Parámetros de Líneas de Transmisión
Algunas configuraciones típicas
500 kV (345 500 E.A.T.)
Dist. Fases externas 24m
150 kV (69 230 A.T.)
18m
31m
Alt. guardia
Alt. cond.
23m
19m
765 kV
U.A.T.
24m
Conductores más utilizados
ACSR – aluminiun conductor steel reinforced
AACSR – alloy aluminium steel reinforced
AAAC – all-aluminium alloy conductor
Consideraciones adicionales respecto a conductores
Arriba de 230 kV es preferible usar más de un conductor por fase, lo que es conocido
como haz de conductores. El haz consiste de dos, tres o cuatro conductores. Con
esto se logra incrementar el radio efectivo de la líneas así como reducir el campo
eléctrico en la superficie de los conductores (gradiente superficial) y con esto
minimizar los fenómenos asociados al efecto corona esto es: pérdidas, ruido audible
y radio interferencia. Otra importante ventaja es la reducción de la reactancia de la
línea.
Aisladores de suspensión
Porcelana
Vidrio templado
Determinación de los Parámetros de Líneas de Transmisión
Resistencia de los conductores
La resistencia dc de un conductor sólido a una determinada temperatura está dada por:
R dc  
l
A
La resistencia del conductor es afectada por tres factores:
-- Constructivos, ejemplo al ser espiralado la longitud termina siendo algo mayor.
-- Efecto skin, aumenta del orden del 2% debido a este fenómeno.
-- Incremento con la temperatura, dentro de los rangos normales de utilización el comportamiento
es líneas y puede ser determinado por:
R 2  R1
T  t2
T  t1
Donde R1 y R2 son las resistencias de los conductores a t1 y t2 (°C) respectivaMente, T constante de temperatura (228 para Al y 234.5 para el Cu).
Dado los factores arriba, la resistencia del conductor es mejor determinada por la hoja de datos
del fabricante, el que normalmente la determina por el ensayo:
R ac 
Pp
I
2
Inductancia
Una corriente eléctrica circulando a través de un conductor, crea un campo magnético en forma
de lazos circulares que rodean al conductor (regla de la mano derecha). Si la corriente i(t) es
variable en el tiempo, el campo magnético también lo será y en cualquier circuito eléctrico que
concatene una porción del flujo magnético se inducirá una tensión dada por:
d (t )
v(t ) 
dt
El flujo concatenado es proporcional a la corriente que lo crea, siendo la constante de proporcionalidad el denominado coeficiente de inducción L, que unicamente depende de la geometría de los
circuitos.
L
 (t )
i(t )
Considerando en primera instancia un único conductor
Bx
dS
dx
0 x
r
I
La intensidad del campo magnético alrededor de un circulo de radio x es constante y tangente
al circulo. La ley de Ampere la relaciona con la corriente I x :
2 x
H
x
. dl  I x
0
Donde I x es la corriente encerrada en el radio x
H
x

Ix
2 x
Inductancia interna
Bx
dS
dx
0 x
r
I
Asumiendo densidad de corriente uniforme y despreciando el efecto skin, tenemos:
I
2 r

2
Ix
2 x
2
Sustituyendo en la expresión anterior:
H
x

I
2 r
x
2
Y siendo la densidad de flujo magnético dada por B x   0 H x
Donde  0 es la permeabilidad
magnética del vacío (o aire) y vale 4 . 10  7 H/m tenemos que:
Bx 
0I
2 r
2
x
El flujo para una pequeña área dS de ancho dx y largo unitario es:
0I
d  x  B x . dS  B x . dx . 1 
2 r
2
xdx
Entonces, cada punto interior del conductor a una distancia x del centro esta rodeado por
Un flujo interior dado por:
r


int
x
0I
 2 r
2
xdx 
x
0I
2 r
(r  x )
2
2
2
Por el hecho de la variación de la corriente respecto al radio, para calcular la inductancia debida
a este flujo interno, se calculará su valor medio en toda la sección del conductor, como:
 medio 
int
r
1
r
r
  x 2 xdx 
int
2
0
0I
 2 r
0
4
( r  x )dx 
2
2
0I
8
Por lo que la inductancia interna vale:
L int 
0
8

1
2
. 10
7
H/m
Interesante notar que es constante.
Inductancia externa
Bx
dS
dx
0
rD
1
x
D2
I
Desde que en este caso el circulo de radio x encierra la totalidad de la corriente I
0I
Bx 
2 x
El flujo para una pequeña área dS de ancho dx y largo unitario es:
d  x  B x . dS  B x .dx . 1 
0I
2
dx
El flujo externo entre los puntos D1 y D2 que concatena al conductor está dado por:

ext
x

0I
2
D2

D1
Entonces:
L ext  2 . 10
7
. ln
D2
D1
H/m
1
x
dx  2 . 10
7
. I . ln
D2
D1
Inductancia línea compuesta por dos conductores
r
I
I
1
r
2
D
Para determinar la inductancia externa del conductor 1, debemos evaluar la integral anterior
entre r y D, ya que más allá de D la corriente neta es cero por lo que no hay contribución
neta al flujo magnético que concatena al circuito:
L1 , ext  2 . 10
7
D
. ln
H/m
r
Por lo que la inductancia total del es:
1
L1 
2 . 10
7
 2 . 10
7
. ln
2
D
H/m
r
La ecuación anterior se puede reordenar como:
L 1  2 . 10
Haciendo: r '  r .e
 2 . 10
7
 2 . 10
7
7
D
1
  ln

r 
4
1

1
D
 ln( e 4 )  ln  ln



r
1



1
D
 ln


ln
1


1
4
r .e


1
4
L1  2 . 10
7
1
ln
 2 . 10
7
. ln
r'
D
1
H/m
Analogamente:
L 2  2 . 10
7
ln
1
r'
 2 . 10
7
. ln
D
1
H/m
Flujo magnético en términos de impedancia propia y mutua
 1  L11 . I 1  L12 . I 2
 2  L 21 . I 1  L 22 . I 2
Desde que I1=-I2
 1  ( L11  L12 ). I 1
 2  (  L 21  L 22 ). I 2
Comparando estas expresiones con las obtenidas para L1 y L2:
L11  2 . 10
7
L 22  2 . 10
7
ln
1
r'
ln
1
r'
L12  L 21  2 . 10
7
ln
1
D
Este concepto puede ser extendido para un grupo de n conductores desde que
la suma de los n fasores de corriente sea igual a cero, por ejemplo para un sistema
trifásico equilibrado donde:
I1  I 2  I 3  0
El flujo que concatena al conductor 1 vale:
 1  L11 . I 1  L12 . I 2  L13 . I 3
o
 1  2 . 10
7
ln
1
r'
. I 1  2 . 10
7
ln
1
D 12
. I 2  2 . 10
7
ln
1
D 13
.I 3
NOTA: r’ se le denomina GMR, esto es radio medio geométrico, como se vió para un
1
conductor cilindrico, vale r .e 4 En la práctica siendo conductores multi-hilos el GMR
si bien se puede calcular considerando el radio propio de los hilos y las diferentes
distancias entre estos, no entanto lo común es que el dato lo dé el fabricante.
Cálculo de la impedancia serie:
gl
Lcg
.g
a
b
g
al
c
Lab
tierra
Lbg
Lag
a
bl
cl
Lbc
b
c
Lac
Corriente de retorno por tierra
Problema: determinación de la impedancia de una línea de transmisión AC en función
de la frecuencia, considerando el retorno por tierra.
Lo resuelve Carson (Bell) en 1926 para líneas telefónicas, su método es directamente aplicable a
líneas de potencia.
En 1976 Gary (EDF), propone una aproximación donde la tierra es substituida por un conjunto
de conductores ficticios de retorno por tierra localizados a una profundidad compleja. Esto es
la distancia entre los conductores ficticios y los reales son ¡Números Complejos!.
En 1981 Deri (U. de Budapest) demuestra la correlación entre el método de Carson y el de Gary
validando este último.
Fines de los 90 aparecen los métodos basados en elementos finitos.
La caída de tensión de cada conductor en un tramo de longitud l está dada por:
Vaa l 
 Zaa



Vbb l
Zba

  l
 Vcc l 
 Zca



 Zga
Vgg l 
Zab
Zac
Zbb
Zbc
Zcb
Zcc
Zgb
Zgc
Zag   Ia 
 
Zbg
Ib
 
Zcg   Ic 
 
Zgg   Ig 
Donde, por el método de profundidad compleja, los elementos de Z están dados
por:
R es el dato de la resistencia del conductor dado
0
2 ( hi  p )
por el fabricante, según a la frecuencia que se
z ii  R  j ( w
ln
)
2
ri
haga el cálculo requerirá corrección por efecto skin
z ik  j ( w
0
2
2 ( hi  hk  p )  X
2
ln
d ik
2
ik
ri  radio medio geométrico
''
0
d ik
)  j( w
ln
)
2
d ik
Siendo:
x ik
i
d ik
k
hi
d ' ' ik
hk
p
Plano ‘espejo’ complejo
k’
2p
i’
k’’
2p
i’’
i’ , k’ conductores simétricos respecto al plano de tierra
i’’ , k’’ conductores simétricos respecto al plano complejo
La profundidad compleja está dada por:
p

jw  0
Donde  es la resistividad del terreno en
 .m
 0 Permeabilidad del espacio libre = 4 . . 10  4 H / km
del conductor.
Eliminación de (los) cables de guardia, variando el caso anterior suponiendo dos cables de
guardia:
z00
[Vabc-Vabcl]
z0n
Iabc
Vaa l   z aa

  z
Vbb l
  ba
1
 Vcc l    z ca
l 
 
z
0

  g 1a
 0   z g 2 a

[0]
z ab
z ac
z ag 1
z bb
z bc
z bg 1
z cb
z cc
z cg 1
z g 1b
z g 1c
z g1 g1
z g 2b
z g 2c
z g 2 g1
zn0
z ag 2   Ia 

z bg 2  Ib 



z cg 2  Ic 


z g 1 g 2  Ig 1




z g 2 g 2   Ig 2 
Ig
znn
Produce:
Vabc  Vabc l    z 00  Iabc    z 0 n  Ig 
0    z n 0  Iabc   z nn  Ig 
De donde podemos
eliminar
Ig :
 Ig     z nn   z n 0  Iabc  sustituyen do en la primera
Vabc  Vabc l    z 00  Iabc    z 0 n  z nn  1  z n 0  Iabc 
Vabc  Vabc l    z 00    z 0 n  z nn  1  z n 0   Iabc 
1
ecuación :
[zabc] Matriz impedancia de fase
Consideración adicional:
1 - Cuando una fase está formada por un haz de subconductores, a los efectos de los cálculos se
usará el GMR (radio medio geométrico) equivalente, estos están dados por:
2 subconduct
ores : GMR
i

3 subconduct
ores : GMR
i

4 subconduct
ores : GMR
i
 1 . 09
ri * d
3
ri * d
4
2
ri * d
3
Sien do r i el radio m edio geom étrico de los su bconuctores (d ado por el fabricante) y d
la se par ación e ntre los m is m os.
Función zser:
Esta función calcula la impedancias serie de una línea de transmisión:
Argumentos de entrada:
• Matriz coordenadas de los conductores y cables de guardia en m (estos al final).
• Vector datos del conductor: radio en mm, resistencia en /km, nro. subconductores
y separación en cm, radio interno en mm (solo para efecto skin).
• Vector datos del cable de guardia: radio en mm, resistencia en /km radio interno
en mm (solo para efecto skin).
• Resistividad del terreno .m.
• Frecuencia en Hz.
Argumentos de salida, matrices de impedancia en Ohmios:
• Secuencia
• Traspuesta
• Fases
• Conductores y cables de guardia (antes de la eliminación de Ig).
.
7m
.
Conductor:
radio (GMR)= 15.19 mm
Resis. = 0.0234 /km
Haz de 3 subconductores separados 40cm
10m
29m
20m
Cable de guardia:
radio (GMR)= 4.75 mm
Resis. = 3.75 /km
=100 .m
Datos de entrada para la función:
xy=[-10 20;0 20;10 20;-7 29;7 29];
datc=[15.19 0.0234 3 40];
datn=[4.75 3.75];
ro=100;
f=60;
[z012,zt,zabc,z]= zser(xy,datc,datn,ro,f)
Función auxiliar de zser (y de yshunt): dcon, distancia entre conductores
g1 .
. g2
Los parámetros son dependientes de las distancias entre conductores
y sus alturas, por lo tanto es útil crear una matriz que contenga toda
esta información:
a2
a1
b1
b2
c1
c2
c’1
c’2
b’1
ha1
a1b1
a1c1
a1a2
a1b2
a1c2
a1g1
a1g2
a1b’1
hb1
b1c1
b1a2
b1b2
b1c2
b1g1
b1g2
a1c’1
b1c’1
hc1
c1a2
c1b2
c1c2
c1g1
c1g2
a1a’2
b1a’2
c1a’2
ha2
a2b2
a2c2
a2g1
a2g2
a1b’2
b1b’2
c1b’2
a2b’2
hb2
b2c2
b2g1
b2g2
a1c’2
b1c’2
c1c’2
a2c’2
b2c’2
hc2
c2g1
c2g2
a1g’1
b1g’1
c1g’1
a2g’1
b2g’1
c2g’1
hg1
g1g2
a1g’2
b1g’2
b2g’2
c2g’2
g1g’2
hg2
c1g’2
a2g’2
b’2
a’1
a’2
.
g’1
.
g’2
Conductores imágenes:
Conductores ficticios simétricos a los originales respecto
a tierra.
Función dcon
La siguiente es una función en la que dadas las coordenadas de los conductores
de una línea de transmisión, arma la matriz distancias definidas anteriormente.
Argumento de entrada:
• Matriz coordenadas de los conductores.
y
Argumento de salida :
• Matriz distancias entre conductores.
g1 .
Datos de entrada:
. g2
xa1 ya1
a1
xb1 yb1
a2
xc1 yc1
b1
xa2 ya2
b2
xb2 yb2
c1
xc2 yc2
c2
xg1 yg1
xg2 yg2
x
.
Ejemplo:
.
6
24
12
» xy=[-12 20;0 20;12 20;-6 24;6 24]
xy =
20
-12
0
12
-6
6
.
» dcon(xy)
ans =
.
20.0000
12.0000
24.0000
7.2111
18.4391
41.7612
20.0000
12.0000
7.2111
7.2111
46.6476
41.7612
20.0000
18.4391
7.2111
44.4072
44.4072
47.5395
24.0000 12.0000
47.5395
44.4072
44.4072
49.4773 24.0000
20
20
20
24
24
Matriz de impedancia traspuesta
La línea de transmisión en si es un elemento desequilibrado en un sistema de
transporte debido a las distancias, y por lo tanto inductancias, no uniformes
Para transformarlo en un elemento equilibrado se recurre a torres de transposición
Con las mismas se logra que cada conductor a lo largo del recorrido de la línea pase
por las tres fases estando en cada una de ellas los mismos kilómetros:
A
i
m
k
B
k
i
m
C
m
k
i
La impedancia traspuesta está dada por:
  z ii
1 
Z t   z ki
3 

  z mi
 zs

Z t  zm

 z m
zm
zs
zm
z ik
z kk
z mk
zm 

zm

z s 
z im   z mm
 
z km  z im
 
z mm   z km
z mi
z ii
z ki
z mk   z kk
 
z ik  z mk
 
z kk   z ik
Donde : z s 
zm 
1
3
1
3
1
Donde la matriz [A] vale :
1

[ A]  1

 1
1
a
2
a
1 

a

2
a 
Siendo:
a  1  120 
z mm
z im
( z ii  z kk  z mm )
( z ik  z km  z im )
Matriz de impedancia de componentes de secuencia
Z 012  [ A ] [ Z t ][ A ]
z km
z ki  

z mi 

z ii  
El resultado de ejecutar el caso propuesto es:
z012 =
0.3066 + 1.2214i -0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i
-0.0000 + 0.0000i 0.0082 + 0.3423i -0.0000
-0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0082 + 0.3423i
zt =
0.1077 + 0.6353i 0.0995 + 0.2930i 0.0995 + 0.2930i
0.0995 + 0.2930i 0.1077 + 0.6353i 0.0995 + 0.2930i
0.0995 + 0.2930i 0.0995 + 0.2930i 0.1077 + 0.6353i
zabc =
0.1066 + 0.6359i 0.1002 + 0.3101i 0.0980 + 0.2589i
0.1002 + 0.3101i 0.1099 + 0.6341i 0.1002 + 0.3101i
0.0980 + 0.2589i 0.1002 + 0.3101i 0.1066 + 0.6359i
z=
Columns 1 through 4
0.0648 + 0.6681i
0.0570 + 0.3432i
0.0569 + 0.2909i
0.0565 + 0.3477i
0.0565 + 0.2944i
Column 5
0.0565 + 0.2944i
0.0565 + 0.3338i
0.0565 + 0.3477i
0.0560 + 0.3188i
3.8060 + 0.9212i
0.0570 + 0.3432i
0.0648 + 0.6681i
0.0570 + 0.3432i
0.0565 + 0.3338i
0.0565 + 0.3338i
0.0569 + 0.2909i
0.0570 + 0.3432i
0.0648 + 0.6681i
0.0565 + 0.2944i
0.0565 + 0.3477i
0.0565 + 0.3477i
0.0565 + 0.3338i
0.0565 + 0.2944i
3.8060 + 0.9212i
0.0560 + 0.3188i
Cálculo de la capacitancia:
Las líneas de transporte tienen las siguientes capacitancias asociadas:
qg
qb
qa
qc
-qb
-qa
Conductores imágenes con carga igual y
de signo contrario a los originales, sirven
para modelar el efecto de la tierra la
que impone una superficie equipotencial
cero.
-qc
.
-qg
a
qa
r
Aplicando la ley de Gauss, para un metro de conductor cilíndrico, la intensidad del
campo eléctrico está dada por:
2h
-qa
E 
Siendo  0 la constante dieléctrica del vacío, la que es igual
a 8.85.10-12 F/m
q
2  0 x
r
La diferencia de potencial entre dos cilindros desde la posición D1 a D2 es definido como
el trabajo necesario para mover una carga de un Coulomb desde D 2 a D1:
a’
D2
V 12 
q
D1

D1
D2
E .dx 
q
 2 
D1
.dx 
0
x
q
2  0
ln
D2
D1
D2
Aplicándolo al sistema a-a’, tenemos que, considerando el conductor a aislado, la diferencia de potencial entre el
conductor a y a’ es:
V aa ' 
qa
2  0
ln
2h
r
Análogamente para el conductor a’: V a ' a 
Aplicando superposición:
 qa
2  0
ln
2h
o lo que es lo mismo: V aa ' 
r
V aa '  V aa '( qa )  V aa '( qa ' ) 
qa
 0
ln
qa
2  0
ln
r
2h
r
Como nos interesa el potencial respecto a tierra, esto es, la mitad entre aa’: V a 
qa
2  0
ln
2h
2h
r
De forma similar, el potencial en el conductor a debido a las cargas de los conductores b y b’ está dado por:
ab
qa
Va(b) 
qb
qa
2  0
ln
ab '
ab
b
ab’
-qb
b’
Aplicando superposición, las tensiones referidas a tierra debido a la presencia de todas las
cargas se puede representar como:
Las tensiones referidas a tierra son función de las cargas y están dadas por:
Va   Paa
  
Vb
Pba
   
Vc   Pca
  
Vg   Pga
Pab
Pac
Pbb
Pbc
Pcb
Pcc
Pgb
Pgc
Pag 

Pbg

Pcg 

Pgg 
 qa 
 
qb
 
 qc 
 
 qg 
0
Donde [P] se le conoce como la matriz de los coeficientes potenciales de Maxwell y está dada por:
Para los elementos
Pii 
1
2  0
ln
de la diagonal
2 hi
ri
y fuera de la diagonal
Pij 
1
2  0
ln
ij '
ij
:
:
Rescribiendo el sistema de ecuaciones y realizando la siguiente partición:
P00
P0n
qabc
[Vabc]
Va   Paa
  
Vb
Pba
   
Vc   Pca
  
 0   Pga
Pab
Pac
Pbb
Pbc
Pcb
Pcc
Pgb
Pgc
Pag 

Pbg

Pcg 

Pgg 
 qa 
 
qb
 
 qc 
 
 qg 
[0]
Pn0
qn
Pnn
Vabc    P00 qabc    P0 n qg 
0    Pn 0 qabc    z nn qg 
Analogamen
te a la impedancia
serie eliminamos
Vabc    P00    P0 n  Pnn  1  Pn 0  qabc 
qg :
[Pabc]
Sabiendo que por definición la capacitancia está dada por: C 
q
v
La capacitancia de línea está dada entonces por:
[Cabc]=[Pabc]-1
Observación:
1 - [Cabc] es una matriz nodal
Los elementos de la diagonal Cii es la suma de las
capacitancias entre la fase i y el resto de las fases. y los elemento Cij son el negativo de la
capacitancia entre las fase i y la j.
2 - Cuando una fase está formada por un haz de subconductores, al igual que en el cálculo de la
impedancia se utilizan las formulas ya presentadas del radio medio geométrico .
Ejemplo
El archivo zyfa.m estudia la variación de la reactancia serie y admitancia paralelo (sec. positiva) en
función del área de los conductores de una línea de transmisión.
Se estudian 4 casos: para 1, 2, 3 y 4 subconductores, tal que en todos los casos la sección total sea la
misma (o sea la sección del subconductor del caso 1 es igual a la suma de las secciones de los dos
subconductores del caso 2 etc.).
Para cada caso (nro. de subconductores) se varia la sección de 500 a 3000 mm2 de 10
en 10, se calcula el radio en función de la sección y número de subconductores: r 
xy=[-10 20;0 20;10 20;-7 29;7 29];
datc=[15.19 0.0234 3 40];
datn=[4.75 3.75];
ro=100;
f=60;
A
ns * 
% Datos de entrada
for ns=1:4
% n lleva el numero de subconductores
datc(3)=ns;
% Se actualiza el nro. de subconductores
k=0;
% Indice para recorrer las filas de cada columna (ns)
for A=500:10:3000
% Rango de variación de la sección
k=k+1;
datc(1)=sqrt(A/(ns*pi));
% Cálculo del radio
[z012]=zser(xy,datc,datn,ro,f);
[y012]=yshunt(xy,datc,datn,ro,f);
X(k,ns)=imag(z012(2,2));
% Calculo reac. serie sec. positiva
Y(k,ns)=1e6*imag(y012(2,2)); % Cálculo admitancia paralela sec. positiva.
end
end
A=500:10:3000;
% Abscisa
figure(1)
plot(A,X);
title('Reactancia serie')
xlabel('Sección en mm2')
ylabel('ohm/km')
legend('1','2','3','4')
grid
figure(2)
plot(A,Y);
title('Admitancia paralelo')
xlabel('Sección en mm2')
ylabel('umho/km')
legend('1','2','3','4')
grid
% Sentencias de ploteo
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