2 – Modelo del transformador
Representación Física
m
I1
I2
+
V1
+
d 1
E1
N1
-
d 2
E2
V2
-
N2
Circuito Equivalente
Z1=R1+jX1
+
I1
V1
Ic
Rc1
Z2=R2+jX2
I´2
I0
Im
jXm1
I2
+
E1
E2
V2
-
N1 : N2
Lado primario
N1 espiras
Transf. ideal
Lado secundario
N2 espiras
V1 - Tensión aplicada
I1 - Corriente drenada por la fuente
I0 - Corriente de vacío
Im1 - Corriente de magnetización
Ic - Corriente debido parásitas e histéresis
E1 - Tensión inducida en el primario
I’2 - Corriente de carga, “vista” desde el primario
Los parámetros del circuito, esto es, los elementos que representan las imperfecciones respecto
al transformador ideal son:
jXm1 - Reactancia de magnetización
Rc1 - Resistencia representativa de las perdidas de
potencia activa en el núcleo (histéresis y corrientes parásitas)
X1 , X2 - Reactancias de dispersión del primario y secundario
R , R2 - Resistencia de los conductores primario y secundario
Obtención del circuito equivalente “visto” desde el primario
Dado el circuito equivalente original:
Z1=R1+jX1
+
I1
Ic
Rc1
V1
Z2=R2+jX2
I´2
I0
Im
jXm1
I2
+
E1
E2
V2
-
N1 : N2
Transf. ideal
Siendo las relaciones fundamentales del transformador ideal dadas por:
E1 E2

N1 N 2
I '2 N1  I 2 N 2
Del circuitoarriba :
E2  V2  Z2 I 2 , la ecuaciónde tensióndel lado secundario.
Ademásde las relacionesfundamentales del transformador ideal,
N
N
E2  E1 2 y I 2  I '2 1
N1
N2
Substituyendo llegamosa :
2
N 
N
E1  1 V2   1  Z2 I '2
N2
 N2 
V’2
Z’2  R'2  jX'2
donde:
2
N 
R'2   1  R2 y jX '2 
 N2 
2
N 
j 1  X 2
 N2 
El circuito equivalente ‘visto’ desde el primario queda entonces dado por:
Z1=R1+jX1
+
I1
Z´2=R´2+jX´2
I0
Ic
Rc1
V1
+
I´2 +
E1
V´2
Im
jXm1
-
-
Dado que la impedancia paralelo es mucho mayor que las impedancias serie se puede
probar que el circuito arriba se puede aproximar satisfactoriamente a:
Ze1= Z1 + Z´2 =(R1+ R´2) +j(X1 +X´2)
I1
+
V1
I0
Ic
Rc1
I´2 +
Im
jXm1
V´2
-
-
Siendo la impedancia equivalente vista desde el primario Ze1 conocida como impedancia de
cortocircuito Zcc y la impedancia paralelo (Rc1 || jXm1 ) conocida como impedancia de vacío
Z0 y se obtienen a partir de los ensayos respectivos *.
Obs. En forma análoga se puede obtener el circuito “visto” desde el secundario multiplicando
tanto la impedancia serie como la impedancia paralelo por  N 2 
N 
 1
2
* Este ensayo de cortocircuito se refiere al ensayo con tensión reducida para determinar
las perdidas en el hierro, bien diferente del ensayo de aguante al cortocircuito.
Determinación de los parámetros del circuito equivalente, dados los datos de los
ensayos de circuito abierto (ensayo a vacío) y cortocircuito.
Ensayo Circuito abierto
+
V1
I0
I0
Ic
Rc1
Im
jXm1
Datos:
Parámetros:
V
P0
V
Ic  1
Rc1
Rc1 
V1
I0
P0
V1 del orden de la nominal
2
1
I m  I 02  I c2
X m1 
V1
Im
Ensayo de Cortocircuito
Isc
Ze1=Re1+jXe1
+
(Dado la relación de impedancia y las condiciones de
ensayo se puede despreciar la rama paralelo)
V1
V1 reducida tal que ISC no supere a la I nominal.
Donde:
2
N 
Re1  R1   1  R2
 N2 
Datos:
Vsc
Isc
Psc
2
N 
X e1  X1   1  X 2
 N2 
Parámetros:
Psc
I sc 2
V
Ze1  sc
I sc
Re1 
Xe1  Ze1  Re1
Obs. Cada uno de los ensayos pueden hacerse indistintamente tanto del lado del primario
como del secundario, por ejemplo si el primario corresponde a alta tensión es más factible
realizar ensayo circuito abierto aplicando tensión del lado de baja (secundario).
Luego, todas las impedancias obtenidas deben expresarse como “vistas” del mismo lado del
transformador.
Transformador trifásico de transmisión en reparación, particularidad: dos conmutadores bajo carga
(primer plano de la foto), fábrica Tadeo Czerweny, provincia de Santa Fé, Argentina.
Transformador 150/31.5, 63 MVA, ONAF, en etapa de ensayos de recepción, fábrica ZTR, Ucrania.
Tres paneles correspondientes a los mismo transformadores, durante ensayo de operación en paralelo de tres
transformadores, se observa debajo de las llaves de comando el regulador de tensión.
Modelo del transformador en valores por unidad
Dado el siguiente circuito monofásico:
Z1
+
Z2
I´2
I1
I2
+
Zm
V1
E1
E2
V2
Z
-
N1 : N2
V1  I1 .Z1  E1
Transf. ideal
E2  I2 .Z2 V2
Se eligen dos magnitudes de base independientes, S (MVA) y V (kV), las demás
,I y Z, quedan determinadas.
En este caso Sbase es la potencia nominal del transformador y Vbase,,1 y Vbase,,2 las tensiones
nominales, entonces:
Vbase,1 E1 N1


a
Vbase,2 E2 N 2
Las corrientes de base quedan determinadas:
I base,1 
I base, 2 
Sbase
Vbase,1
Sbase
Vbase, 2
Ibase,1 Vbase,2 1


Ibase,2 Vbase,1 a
y las impedancias:
V 2base,1
Zbase,1 
Sbase
V 2base,2
Zbase,2 
Sbase
Zbase,1 V 2base,1
 2
 a2
Zbase,2 V base,2
Aplicando las expresiones anteriores en las ecuaciones
del transformador:
E2
Vbase,2
V1
I
Z
E
 1 . 1  1
Vbase,1 Ibase,1 Zbase,1 Vbase,1
Entonces sustituyo:
E2
I
Z
V
 2 . 2  2
Vbase, 2 I base, 2 Zbase, 2 Ubase,2
Llegamos a:
V1, pu  I1, pu.Z1, pu  I2, pu.Z2, puV2, pu
Esto es, “integramos” las dos ecuaciones en una, eliminando así la relación de transformación
quedando el circuito equivalente:
Z1,pu
+
I2,pu
Z2,pu
I1,pu
+
Zm,,pu
V1,pu
V2,pu
Zpu
-
-
Sabemos que en la práctica:
Z,pu=Z1,pu+ Z2,,pu
Ipu
+
+
V1,pu
-
Zm,,pu
V2,pu
-
Zpu
Visto desde el primario:
Z, p  Z1  a Z2
2
Entonces:
Z, p
Z1
a 2 Z2
Z pu 


Zbase,1 Zbase,1 Zbase,1
Z pu 
ahora:
Zbase,1
 a2
Zbase,2
Z1
Z2

Zbase,1 Zbase,2
Analogamente,visto desde el secundario:
Z , s 
Z1
 Z2
a2
Z pu 
Z,s
Z
Z2
 2 1 
Zbase,2 a .Zbase,2 Zbase,2
Z pu 
Z1
Z2

Zbase,1 Zbase,2
Los valores de impedancia, voltaje y corriente son los mismos independientemente si están
referidos al primario o al secundario.
3 – Modelo de líneas
a) Parámetros
Algunas configuraciones típicas
500 kV (345 500 E.A.T.)
Dist. Fases externas 24m
150 kV (69 230 A.T.)
18m
31m
Alt. guardia
Alt. cond.
23m
19m
765 kV
U.A.T.
24m
Conductores más utilizados
ACSR – aluminiun conductor steel reinforced
AACSR – alloy aluminium steel reinforced
AAAC – all-aluminium alloy conductor
Consideraciones adicionales respecto a conductores
Arriba de 230 kV es preferible usar más de un conductor por fase, lo que es conocido
como haz de conductores. El haz consiste de dos, tres o cuatro conductores. Con
esto se logra incrementar el radio efectivo de la líneas así como reducir el campo
eléctrico en la superficie de los conductores (gradiente superficial) y con esto
minimizar los fenómenos asociados al efecto corona esto es: pérdidas, ruido audible
y radio interferencia. Otra importante ventaja es la reducción de la reactancia de la
línea.
Aisladores de suspensión
Porcelana
Vidrio templado
Determinación de los Parámetros de Líneas de Transmisión
Resistencia de los conductores
La resistencia dc de un conductor sólido a una determinada temperatura está dada por:
Rdc  
l
A
La resistencia del conductor es afectada por tres factores:
-- Constructivos, ejemplo al ser espiralado la longitud termina siendo algo mayor.
-- Efecto skin, aumenta del orden del 2% debido a este fenómeno.
-- Incremento con la temperatura, dentro de los rangos normales de utilización el comportamiento
es líneas y puede ser determinado por:
R2  R1
T  t2
T  t1
Donde R1 y R2 son las resistencias de los conductores a t1 y t2 (°C) respectivaMente, T constante de temperatura (228 para Al y 234.5 para el Cu).
Dado los factores arriba, la resistencia del conductor es mejor determinada por la hoja de datos
del fabricante, el que normalmente la determina por el ensayo:
Rac 
Pp
I2
Cálculo de la capacitancia:
Las líneas de transporte tienen las siguientes capacitancias asociadas:
qg
qa
qb
qc
-qb
-qa
-qc
.
-qg
Conductores imágenes con carga igual y
de signo contrario a los originales, sirven
para modelar el efecto de la tierra la
que impone una superficie equipotencial
cero.
Las tensiones referidas a tierra son función de las cargas y están dadas por:
Va  Paa
Vb  Pba
 
Vc  Pca
  
Vg  Pga
Pab
Pbb
Pcb
Pgb
Pac
Pbc
Pcc
Pgc
Pag qa 
Pbg qb 
Pcg qc 
 
Pgg qg 
0
Donde [P] se le conoce como la matriz de los coeficientes potenciales de Maxwell y está dada por:
Para los elementosde la diagonal:
2h
1
Pi i 
ln i
20
ri
y fuera de la diagonal:
Pi j 
1
20
ln
ij'
ij
Rescribiendo el sistema de ecuaciones y realizando la siguiente partición:
P00
P0n
qabc
[Vabc]
Va  Paa
Vb  Pba
 
Vc  Pca
  
 0   Pga
Pab
Pbb
Pcb
Pgb
Pac
Pbc
Pcc
Pgc
Pag qa 
Pbg qb 
Pcg qc 
 
Pgg qg 
[0]
Pn0
qn
Pnn
Vabc  P00qabc P0n qg 
0  Pn0 qabc znn qg 
Analogamente a la impedanciaserie eliminamosqg :
Vabc  P00 P0n Pnn 1 Pn0 qabc
[Pabc]
Sabiendo que por definición la capacitancia está dada por: C 
q
v
La capacitancia de línea está dada entonces por:
[Cabc]=[Pabc]-1
Observación:
1 - [Cabc] es una matriz nodal
Los elementos de la diagonal Cii es la suma de las
capacitancias entre la fase i y el resto de las fases. y los elemento Cij son el negativo de la
capacitancia entre las fase i y la j.
2 - Cuando una fase está formada por un haz de subconductores, al igual que en el cálculo de la
impedancia se utilizan las formulas ya presentadas del radio medio geométrico .
Cálculo de la impedancia serie:
gl
Lcg
.g
a
b
g
al
c
Lab
tierra
Lbg
Lag
a
bl
cl
Lbc
b
c
Lac
Corriente de retorno por tierra
Problema: determinación de la impedancia de una línea de transmisión AC en función
de la frecuencia, considerando el retorno por tierra.
Lo resuelve Carson (Bell) en 1926 para líneas telefónicas, su método es directamente aplicable a
líneas de potencia.
En 1976 Gary (EDF), propone una aproximación donde la tierra es substituida por un conjunto
de conductores ficticios de retorno por tierra localizados a una profundidad compleja. Esto es
la distancia entre los conductores ficticios y los reales son ¡Números Complejos!.
En 1981 Deri (U. de Budapest) demuestra la correlación entre el método de Carson y el de Gary
validando este último.
Fines de los 90 aparecen los métodos basados en elementos finitos.
La caída de tensión de cada conductor en un tramo de longitud l está dada por:
Vaal   Zaa
Vbb   Zba
 l   l
Vccl   Zca

 
Vggl   Zga
Zab
Zbb
Zcb
Zgb
Zac
Zbc
Zcc
Zgc
Zag  Ia
Zbg  Ib
Zcg  Ic 
 
Zgg  Ig
Donde, por el método de profundidad compleja, los elementos de Z están dados
por:
R es el dato de la resistencia del conductor dado
0 2(hi  p) por el fabricante, según a la frecuencia que se
zii  R  j(w ln
)
2
ri
haga el cálculo requerirá corrección por efecto skin
ri  radio mediogeométricodel conductor.
2
2
2
(
h

h

p
)

X
ik
0
0 d ''ik
i
k
zik  j( w ln
)  j( w ln
)
2
dik
2 d ik
Siendo:
xik
i
d ik
k
hi
d ' 'ik
hk
p
Plano ‘espejo’ complejo
k’
2p
i’
k’’
2p
i’’
i’ , k’ conductores simétricos respecto al plano de tierra
i’’ , k’’ conductores simétricos respecto al plano complejo
La profundidad compleja está dada por:
p

jw0
Donde  es la resistividad del terreno en .m
0 Permeabilidad del espacio libre = 4. .104 H / km
Eliminación de (los) cables de guardia, variando el caso anterior suponiendo dos cables de
guardia:
z00
[Vabc-Vabcl]
z0n
Iabc
Vaal   zaa
Vbb   z
l
 ba
1
Vccl    zca
l
 z
0

  g1a
 0   z g 2a
zab
zbb
zcb
z g1b
z g 2b
zac
zbc
zcc
z g1c
z g 2c
zag1 zag2   Ia 
zbg1 zbg2   Ib 
 
zcg1 zcg2   Ic 

z g1 g1 z g1 g 2   Ig1
z g 2 g1 z g 2 g 2   Ig2
[0]
zn0
znn
Ig
Produce:
Vabc Vabcl   z00Iabc z0n Ig
0  zn0 Iabc znn Ig
De dondepodemoseliminar Ig :
Ig  znn 1 zn0 Iabc sustituyendo en la primera ecuación:
Vabc Vabcl   z00Iabc z0n znn 1 zn0 Iabc
Vabc Vabcl   z00 z0n znn 1 zn0 Iabc
[zabc] Matriz impedancia de fase
Consideración adicional:
1 - Cuando una fase está formada por un haz de subconductores, a los efectos de los cálculos se
usará el GMR (radio medio geométrico) equivalente, estos están dados por:
2 subconductores : GMRi  ri * d
3 subconductores : GMRi  3 ri * d 2
4 subconductores : GMRi  1.09 4 ri * d 3
Siendo ri el radio medio geométrico de los subconuctores (dado por el fabricante) y d
la separación entre los mismos.
Función zser:
Esta función calcula la impedancias serie de una línea de transmisión:
Argumentos de entrada:
• Matriz coordenadas de los conductores y cables de guardia en m (estos al final).
• Vector datos del conductor: radio en mm, resistencia en /km, nro. subconductores
y separación en cm, radio interno en mm (solo para efecto skin).
• Vector datos del cable de guardia: radio en mm, resistencia en /km radio interno
en mm (solo para efecto skin).
• Resistividad del terreno .m.
• Frecuencia en Hz.
Argumentos de salida, matrices de impedancia en Ohmios:
• Secuencia
• Traspuesta
• Fases
• Conductores y cables de guardia (antes de la eliminación de Ig).
.
7m
.
Conductor:
radio (GMR)= 15.19 mm
Resis. = 0.0234 /km
Haz de 3 subconductores separados 40cm
10m
29m
20m
Cable de guardia:
radio (GMR)= 4.75 mm
Resis. = 3.75 /km
=100 .m
Datos de entrada para la función:
xy=[-10 20;0 20;10 20;-7 29;7 29];
datc=[15.19 0.0234 3 40];
datn=[4.75 3.75];
ro=100;
f=60;
[z012,zt,zabc,z]= zser(xy,datc,datn,ro,f)
Matriz de impedancia traspuesta
La línea de transmisión en si es un elemento desequilibrado en un sistema de
transporte debido a las distancias, y por lo tanto inductancias, no uniformes
Para transformarlo en un elemento equilibrado se recurre a torres de transposición
Con las mismas se logra que cada conductor a lo largo del recorrido de la línea pase
por las tres fases estando en cada una de ellas los mismos kilómetros:
A
i
m
k
B
k
i
m
C
m
k
i
La impedancia traspuesta está dada por:
 z ii z ik z im   z mm z mi
1 
Z t   z ki z kk z km    z im z ii
3
 z mi z mk z mm   z km z ki
 z s zm zm 
Z t   z m z s z m 
Donde: z s
 z m z m z s 
z mk   z kk
z ik    z mk
z kk   z ik
z km z ki  

z mm z mi  
z im z ii  
1
 ( z ii  z kk  z mm )
3
1
z m  ( z ik  z km  z im )
3
Matriz de impedancia de componentes de secuencia
Z012  [ A]1[Zt ][ A]
Donde la matriz [A] vale :
1 1 1 
[ A]  1 a 2 a 
1 a a 2 
Siendo:
a  1120
a) Modelos
Línea con parámetros distribuidos de largo l :
Is
+
Vs
I(x + x)
+
V(x+ x)
-
zx
Ir
I(x)
+
+
yx
yx
-
V(x)
Vr
-
x
x
l
V ( x  x)  V ( x)  zx I ( x)
V ( x  x)  V ( x)
 z I ( x)
x
Tomandoel límite x  0
dV(x)
 z I ( x)
dx
Para la corriente:
I ( x  x)  I ( x)  yx V ( x  x)
I ( x  x)  I ( x)
 y V ( x  x) para x  0 :
x
dI(x)
 y V ( x)
dx
Derivandola tensión:
d2V(x)
dI ( x)
z
sustituyendo la derivadade la corrientepor y V ( x) :
2
dx
dx
d2V(x)
 zy V ( x) haciendo 2  zy llegamosa la siguienteecuacióndiferencial de segunorden
dx2
d2V(x) 2
  V ( x)  0 cuya soluciónes :
dx2
V(x)  A1ex  A2e x dondela constantede propagación  se puedeexpresarcomo:
    j
Constante de fase
Constante de atenuación
Para la corriente:
1 dV ( x) 
I ( x) 
 ( A1ex  A2e x )
z dx
z
1
( A ex  A2e x )
Zc 1
z
siendo: Zc 
conocidacomoimpedanciacaracterística
y
I ( x) 
Para x  0, V(x)  Vr y I(x)  Ir conesta condiciónpuedenser halladaslas constatesA1 y A2 .
Vr  ZcIr
A1 
2
Vr  ZcIr
A2 
2
Sustituyendo y reagrupando terminos:
ex  e x
ex  e x
Vr  Zc
Ir
2
2
1 ex  e x
ex  e x
I ( x) 
Vr 
Ir
Zc
2
2
V ( x) 
Reconociendo las funcioneshyperbolicas, las ecuacionesse puedenreescribircomo:
V ( x)  cosh(x) Vr  Zc sinh(x) Ir
1
I ( x) 
sinh(x) Vr  cosh(x) Ir
Zc
Para x  l , V (l )  Vs y I (l )  Is, ademássi lo representamosen la formamatricial:
Vs A B Vr
 Is   C D  Ir 
  
 
Donde
A  cosh(l )
1
C
sinh(l )
Zc
B  Zc sinh(l )
D  cosh(l )
Dado el siguiente modelo :
Z
Is
Iz
Ir
+
Vs
+
Y/2
Y/2
Vr
-
La corrienteen la rama serie está dada por :
Y
Iz  Ir  Vr, y la tensiónde entrada:
2
Vs  Vr  Z Iz, sustituyendo por Iz :
 ZY 
Vs   1 
Vr  Z Ir
2 

La corrientede entradaestá dada por :
Y
Is  Iz  Vs, sustituyendo por Iz y Vs :
2
 ZY 
 ZY 
Is  Y  1 
Vr   1 
 Ir
4 
2 


-
 ZY

Z  Vr
Vs
  1  2
 Is    ZY
ZY   Ir 
  1 

1
4
2 

La idea es entonceshallar Z e Y de tal formade equivalenciar :
 ZY

Z  Vr
Vs 1  2
 Is    ZY
ZY   Ir 
  1 

1
4
2 

Vs  cosh( .l ) Zc.sinh( .l ) Vr
 Is    1 sinh( .l ) cosh( .l )   Ir 
   Zc
 
Haciendo:
Z  Zc sinh(l ) y
 ZY 
 l  cosh(l )  1
llegamosa :
1 
  cosh(l ) usandola identidad tanh  
2 
sinh(l )

 2
2
 l 
Y
tanh 
Zc
 2
Recapitulando:
Dado los parámetros z e y de una línea de transmisión se puede relacionar la corriente
y tensión de salida con la corriente y tensión de entrada mediante la expresión:
Vs A B Vr
 Is   C D  Ir 
  
 
Donde
A  cosh(l )
1
C
sinh(l )
Zc
-1
Vr A B Vs
o  
  
 Ir  C D  Is 
B  Zc sinh(l )
D  cosh(l )
Siendo:
Zc 
z
,
y
  zy ,
l long.en km
Además la línea se puede representar por el siguiente modelo :
Is
+
Vs
-
Z=Zc sinh ( l)
Y 1
 l 
 tanh 
2 Zc
 2
Y 1
 l 
 tanh 
2 Zc
 2
Ir
+
Vr
-
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Fundamentos régimen permanente