Vectores y tensores
Notación indicial
Ejes
Ox1
Ox2
Ox3
Diversas denominaciones
Vectores unitarios
Abreviación
ē1 (1,0,0)
Eje: Oxi
ē2 (0,1,0)
Vector unitario ēi
ē3 (0,0,1)
con i = 1, 2, 3
x3
P(x1,x2,x3)
ē3
En la Figura 1.1 las coordenadas
del punto P son: x1 , x2 , x3 o xi
El radio vector de P es
OP= x1 ē1 + x2 ē2 + x3 ē3 = Σ xi · ē1 i = 1,2,3
ē1
3
2
O
1
ē2
x1
Fig 1.1
x2
Convención de Einstein
Convención de suma de Einstein:
La expresión anterior para OP puede simplificarse o condensarse aún
más de la siguiente manera:
OP = xi · ei
(1)
“ Siempre que un mismo índice ocurra dos veces en un término se debe
sumar automáticamente, dando al índice repetido valores de 1, 2, 3.”
De esta manera la primera expresión para OP puede simplificarse
omitiendo el signo Σ y omitiendo expesiones idénticas que difieren
solamente en el valor de i. La notación provee brevedad y elegancia en
desarrollos.
Ejemplos:
Ā = Ai· ēi = A1ē1 + A2ē2 + A3ē3
lĀl2 = Ai·Ai = A12 + A22 + A32
Ā·Ū = Ai·Ui = A1·U1 + A2 ·U2 + A3 ·U3
Convención de Einstein
-Un índice repetido se llama “dummy” y puede ser reemplazado
por cualquier otra letra no utilizada en otro lugar de la expresión:
ui·ui = uk·uk = uj·uj en cada caso i, j, k toman valores de 1, 2, 3.
-Un mismo índice no puede ocurir más de dos veces en el
mismo término:
eiii no es permisible
-Un índice no repetido se llama índice “libre”, éste debe tomar
valores de 1, 2 y 3; pero no se aplica la convención de suma.
-Veremos algunos ejemplos.
¿Qué representan diferentes expresiones en notación
indicial?
- uii = ukk = u11 + u22 + u33 . Es una sóla ecuación porque no hay
índices libres, sólo indices dummy.
- wi = ui + vi . Es un conjunto de tres ecuaciones para i = 1, 2, 3 ;
porque i es un índice libre.
- cik = aik + bik Es un conjunto de 9 ecuaciones porque hay dos índices
libres.
- eijk· eilm = epjk· eplm
Es una expresión admisible.
Las siguientes son expresiones no admisibles:
- ak + bi =0
- ai = δik + bj
Delta de Kronecker
Se define como:
δij = 1
si i=j
δij = 0
si i  j
δ11 = δ22 = δ33 = 1
δ12 = δ21 = δ23 = δ32 = δ31 = δ13 = o
Sean los vectores ortogonales ēi:
ē1 · ē1 = ē2 · ē2 = ē 3 · ē3 = 1
ē1 · ē2 = ē2 · ē3 = ē 3 · ē1 = 0
Estas relaciones pueden reducirse a:
ēi· ēj = δij
Delta de Kronecker (Continuación)
El delta de Kronecker puede ser utilizado como operador de
sustitución:
δij·aj = δi1·a1 + δi2·a2 + δi3·a3
Si i = 1 se tiene: δi1 = 1 δi2 = δi3 = 0 ; luego: δij·aj = a1 ,
e igualmente si i = 2: δ2j·aj = a2 y si i = 3 δ3j·aj = a3
Luego : δij·aj = ai
Así, δij operando sobre aj sustituye el índice j por i
Otro ejemplo:
xi / xj es = 1 si i = j, es = 0 si i  j;
Luego xi / xj = δij
Símbolo de Permutación o Alternante
El símbolo de permutación o alternante se expresa por Eijk , el cual
tiene las siguientes propiedades:
0 si hay dos índices iguales;
Εijk es:
1 si i,j,k tiene n orden de permutación par: 1,2,3;
-1 si i,j,k tienen orden de permutación impar: 3,2,1 ; 2,1,3;
1,3,2
E123 = E231 = E312 = 1
E321 = E213 = E132 = 0
E112 = E322 = …. = 0
Se puede probar que : (ūxŵ)i = Eijk·uj·wk
Identidad de permutación: Eijk·Eilm = δjl·δkm - δjm·δkl
Algebra de vectores con notación indicial
Vectores unitarios ēi:
ēi·ēj =δij
ēi·(ējx ēk) = Eijk
Para vectores cualesquiera:
ā·ĉ = ai·ci
āxĉ = Eijk·aj·ck·ēi
(āxĥ)·ĉ = Eijk·ai·hj·ck
[āx(ĥxĉ)]i = Eijk·Eklm·aj·hl·cm
Esta expresión es equivalente a la conocida:
āx(ĥxĉ) = (ā·ĉ)ĥ - (ā·ĥ)ĉ
Transformación de ejes coordenados
Rotación de ejes
Un vector puede ser expresado por sus componentes en un
sistema arbitrario x,y,z o según otro sistema de referencias
arbitrario x’,y’,z’; sin embargo el vector sigue siendo el
mismo.
Por tanto las componentes del vector según x,y,z y según
x’,y’,z’ deben estar relacionadas.
Llamaremos x1,x2,x3 las componentes del vector en el
sistema x,y,z y x’1,x’2,x’3 aquellas en el sistema x’,y’,z’ .
Los dos sistemas de ejes coordenados y los ángulos entre sus
ejes se muestran el la Fig. 1.2
Sistemas de referencias x,y,z y x’,y’,z’
Fig. 1.2
Cosenos de ángulos entre ejes antiguos y nuevos
Los cosenos aij de los ángulos entre los ejes nuevos y los
ejes antiguos se pueden organizar en la siguiente matriz, en
la cual el primer índice del término aij se refiere a los ejes
nuevos y el segundo índice a los ejes antiguos.
De esta manera aij es el coseno del ángulo entre el eje x’i y
el eje xj.
Ejes antiguos
Ejes nuevos
Ejes
x1
x2
x3
x’1
a11
a12
a13
x’2
a21
a22
a23
X’3
a31
a32
a33
Transformación de componentes al girar los ejes
coordenados
Si un vector tiene componentes p1, p2,, p3 respecto de los ejes x1, x2, x3
tendrá componentes p’1, p’2, p’3 respecto de los ejes x’1, x’2, x’3.
La relación entre ambos conjuntos de componentes será:
p’i = aij·pj
(términos nuevos en función de los antiguos notar que los índices dummy
ocurren en lugares más próximos)
pi = aji· p’j
( términos antiguos en función de los términos nuevos, los índices dummy
ocurren en lugares alejados)
Orden de tensores
Los escalares son tensores de orden cero; los vectores son
tensores de orden 1; las tensiones y las deformaciones son
tensores de orden 2.
Como cosa novedosa para muchos, el módulo elástico de un
material anisotrópico es un tensor de orden 4, porque relaciona
dos tensores de orden 2: tenión con deformación,
Transformación de componentes en tensores de segundo orden
Dos vectores, o tensores de primer orden, se relacionan por un tensor
de segundo orden:
pk = Tkl· ql
Donde: k es un índice libre y l es un índice dummy.
Las componentes de p (p’i) en un nuevo sistema de ejes x’i en función
de las componentes (pk) en el sistema antiguo de ejes son:
p’i = aik·pk
Las componentes de q (ql) en el antiguo sistema de ejes xi en función
de las componentes (q’i) en el nuevo sistema de ejes son :
ql = ajl·q’j
Efectuando las siguientes relaciones:
p’i = aik·pk = aik·Tkl·ql = aik·Tkl·ajl·q’j
p’i = T’ij·q’j
Luego:
T’ij =aik·ajl·Tkl (Componentes en ejes nuevos en función de las
componentes en ejes antiguos)
Transformación de componentes en tensores de segundo
orden
La obtención de las componentes en el sistema antiguo de ejes en
función de las componentes en el sistema nuevo de ejes
(transformación inversa) se realiza mediante la siguiente ecuación:
Tij = aki·alj·T’kl
Se puede utilizar como ayuda memoria:En la transformación donde
las nuevas componentes son expresadas en términos de las antiguas
componentes los índice dummy se colocan lo más cerca posible;
mientras que en la transformación inversa los índices dummy se
colocan lo más alejado posible.
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