03/10/2015
CÁLCULO
VECTORIAL
VECTORES


CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
 Definición de vector
 Cantidades escalares
 Cantidades vectoriales
ÁLGEBRA VECTORIAL
 Sistemas de referencia
 Igualdad entre vectores
 Múltiplos de un vector
 Adición de vectores
 Productos vectoriales
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VECTORES

ESCALAR
Cantidades que pueden caracterizarse exclusivamente con un
número
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CANTIDADES ESCALARES

Cantidades vectoriales
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CANTIDADES VECTORIALES

VECTOR
Segmento de línea
dirigido.
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CANTIDADES VECTORIALES
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SISTEMAS DE REFERENCIA
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SISTEMAS DE REFERENCIA

Sistema de referencia en
una dimensión:
Recta
R
1
-4/3
-6 -5 -4 -3 -2 -1
p
2
0
1
2
3
4
5
6

Sistema de referencia n
dimensiones:
n Rectas
Rn
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SISTEMAS DE REFERENCIA

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SISTEMAS DE REFERENCIA
Sistema de
coordenadas
rectangulares:
Los ángulos entre los
ejes coordenados son
de 90°
2 Dimensiones:
R2

Coordenadas
cartesianas
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SISTEMAS DE REFERENCIA
2 Dimensiones:
2
R

Coordenadas
polares
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SISTEMAS DE REFERENCIA
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SISTEMAS DE REFERENCIA
Coordenadas
polares
Coordenadas
cartesianas
r = [x + y ]
q = tan (y/x)
2
2 1/2
x = r cos q
y = r sen q
3 Dimensiones:
3
R

Coordenadas
cartesianas
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SISTEMAS DE REFERENCIA
3 Dimensiones:
R3
Coordenadas
cilíndricas

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SISTEMAS DE REFERENCIA
3 Dimensiones:
3
R
Coordenadas
esféricas

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SISTEMAS DE REFERENCIA
Coordenadas cartesianas
r = [x + y ]
q = tan (y/x)
z=z
2
2
1/2
Coordenadas cartesianas
2
r = [x 2+ y +
z 2] 1/2
q = tan (y/x)
2 1/2
2
2
f = z / [x + y + z ]
Coordenadas cilíndricas
x = r cos q
y = r sen q
z=z
Coordenadas esféricas
x = r cos q sen F
y = r sen q sen F
z = r cos F
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SISTEMAS DE REFERENCIA
A = B
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IGUALDAD
xA = B
2A = B
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PRODUCTO POR ESCALAR
(-1) A = - A
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PRODUCTO POR ESCALAR

Propiedades
x ( yA ) = (xy) A = xy A
(x + y) A = xA + yA
0A = 0
(-1)A = -A
A / |A| = A
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PRODUCTO POR ESCALAR
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VECTORES UNITARIOS
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VECTORES UNITARIOS
5 -8=-3
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ADICIÓN DE VECTORES
A
A + B
B
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ADICIÓN DE VECTORES
C =A+B
C = A + B – 2 AB cos a
2
2
2
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ADICIÓN DE VECTORES
C = aA + bB
A y B vectores base
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ADICIÓN DE VECTORES
C = A – B = A + (– B)
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ADICIÓN DE VECTORES

Propiedades
A+B=B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
0+A= A
A + -A = 0
x (A + B) = xB + xA
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ADICIÓN DE VECTORES
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ADICIÓN DE VECTORES
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ADICIÓN DE VECTORES
 Ejercicio
Un cuadro que pesa 8 N se aguanta mediante
dos cables que ejercen tensiones T1 y T2, tal
como lo indica la figura. Determinar la
tensión de los cables.
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ADICIÓN DE VECTORES
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ADICIÓN DE VECTORES
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ADICIÓN DE VECTORES
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ADICIÓN DE VECTORES
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ADICIÓN DE VECTORES
r =xi+yj+zk
i, j, k
A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + By j + Bz k

Vector de posición

Base canónica

Suma por
componentes
A + B = (Ax+ Bx)i + (Ay+ By) j + (Az+ Bz) k
C = Cx i + Cy j + Cz k
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ADICIÓN DE VECTORES
 Ejercicio
Una partícula se desplaza en el plano XY de
modo que sus coordenadas x y y varían con el
tiempo según x(t)= At3 + Bt y y(t) = Ct2 + D,
donde A = 1.00 m/s3, B = - 32.0 m/s, C = 5.0
m/s2 y D = 12.0 m. Calcule su posición a) t1 =
3 s, b) t2 = 5 s, c) el desplazamiento y c) la
velocidad promedio durante ese intervalo de
tiempo .
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ADICIÓN DE VECTORES
 Ejercicio
Un avión se encuentra en la posición (3,4,5)
dada en km, al medio día y viaja con una
velocidad
v = 400 i + 500 j - k
en km por hora. El piloto avista un
aeropuerto en la posición (23,29,0).
(a) ¿A qué hora pasará el avión sobre el
aeropuerto?
(b) ¿Cuál será la altura del avión cuando pase
por el aeropuerto?
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ADICIÓN DE VECTORES
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ADICIÓN DE VECTORES
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ADICIÓN DE VECTORES
A B = A veces B = B veces A
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PRODUCTOS VECTORIALES
3 x 2 = 3 veces 2
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PRODUCTOS VECTORIALES
3 x 2 = 2 x 3 = 2 veces 3
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PRODUCTOS VECTORIALES
 Producto
Escalar
Producto Punto
Producto Interno
A . B = AB cos f = BA cos f = B . A
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PRODUCTOS VECTORIALES
 Producto
entre vectores unitarios
i . i = (1)(1) cos (0) = 1
j . j = (1)(1) cos (0) = 1
k. k = (1)(1) cos (0) = 1
i . j = (1)(1) cos (p/2) = 0
j . k = (1)(1) cos (p/2) = 0
k. i = (1)(1) cos (p/2) = 0
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PRODUCTOS VECTORIALES
 Producto
escalar
A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + By j + Bz k
A B = (Ax i + Ay j + Az k) (Bx i + By j + Bz k)
(Ax i) (Bx i + By j + Bz k)+
(Ax j) (Bx i + By j + Bz k)+
(Ax k) (Bx i + By j + Bz k)
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PRODUCTOS VECTORIALES
A . B = (Ax i) (Bx i) + (Ax i) (By j) + (Ax i) (Bz k)+
(Ay j) (Bx i) + (Ay j) (By j) + (Ay j) (Bz k)+
(Az k) (Bx i) + (Az k) (By j) + (Az k) (Bz k)+
= (Ax Bx) + (Ay By) + (Az Bz)
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PRODUCTOS VECTORIALES
 Propiedades
A . B = B. A
A .(B + C) = A . B + A .C
m (A . B) = (m A) . B = A .(m B) = (A .B) m
2
2
2
2
.
A A = A = Ax + Ay + Az
|A | = (A .A) 1/2
A .B = 0 A B
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PRODUCTOS VECTORIALES
 Producto
Vectorial
Producto Cruz
AxB
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PRODUCTOS VECTORIALES
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PRODUCTOS VECTORIALES
A x B = AB sen f
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PRODUCTOS VECTORIALES
 Producto
entre vectores unitarios
i x i = (1)(1) sen (0) = 0
j x j = (1)(1) sen (0) = 0
k x k = (1)(1) sen (0) = 0
i x j = (1)(1) sen (p/2) = 1
j x k = (1)(1) sen (p/2) = 1
k x i = (1)(1) sen (p/2) = 1
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PRODUCTOS VECTORIALES
 Producto
entre vectores unitarios
ixi =0
jxj =0
kxk =0
ixj =k
jxi =-k
jxk =i
kxj =-i
kxi =j
ixk =-j
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PRODUCTOS VECTORIALES
A x B = (Ax i) x (Bx i) + (Ax i) x (By j) + (Ax i) x (Bz k)+
(Ay j) x (Bx i) + (Ay j) x (By j) + (Ay j) x (Bz k)+
(Az k) x (Bx i) + (Az k) x (By j) + (Az k) x (Bz k)+
= ¿?
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PRODUCTOS VECTORIALES
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