Vectores
Presentación PowerPoint de
Joaquín E. Borrero V, Profesor de
Física
Colegio Comfamiliar del Atlántico
©
2011
Vectores
Los topógrafos usan mediciones precisas
de magnitudes y direcciones para crear
mapas a escala de grandes regiones.
Objetivos: Después de completar
este módulo, deberá:
• Demostrar que cumple las expectativas matemáticas:
análisis de unidades, álgebra, notación científica y
trigonometría de triángulo recto.
• Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y
vectoriales.
• Determinar los componentes de un vector dado.
• Encontrar la resultante de dos o más vectores.
Expectativas
• Debe ser capaz de convertir unidades
de medición para cantidades físicas.
Convierta 40 m/s en kilómetros por hora.
m
1 km
3600 s
40--- x ---------- x -------- = 144 km/h
s 1000 m
1h
Expectativas (cont.):
• Se supone manejo de álgebra
universitaria y fórmulas simples.
Ejemplo:
 v0  v f 
x  
t
2


v0 
vf t  2x
t
Resuelva para vo
Expectativas (cont.)
• Debe ser capaz de trabajar en notación
científica.
Evalúe lo siguiente:
(6.67 x 10-11)(4 x 10-3)(2)
F = -------- = ------------3)2
2
(8.77
x
10
r
Gmm’
F = 6.94 x 10-9 N = 6.94 nN
Expectativas (cont.)
• Debe estar familiarizado con prefijos del SI
metro (m)
1 m = 1 x 100 m
1 Gm = 1 x 109 m
1 nm = 1 x 10-9 m
1 Mm = 1 x 106 m
1 mm = 1 x 10-6 m
1 km = 1 x 103 m
1 mm = 1 x 10-3 m
Expectativas (cont.)
• Debe dominar la trigonometría del
triángulo recto.
y y = R sen q
sen q 
R
R
y
cos q 
x = R cos q
R
q
x
x
tan q 
y
x
R2 = x2 + y2
Repaso de matemáticas
Si siente necesidad de
pulir sus habilidades
matemáticas, intente el
tutorial del Capítulo 2
acerca de matemáticas.
La trigonometría se
revisa junto con los
vectores en este módulo.
Seleccione Capítulo 2 del On-Line Learning
Center en Tippens-Student Edition
La física es la ciencia
de la medición
Longitud
Peso
Tiempo
Comience con la medición de longitud:
su magnitud y su dirección.
Distancia: cantidad escalar
 Distancia es la longitud de la ruta
tomada por un objeto.
s = 20 m
A
B
Una cantidad escalar:
Sólo contiene magnitud
y consiste de un
número y una unidad.
(20 m, 40 mi/h, 10 gal)
Desplazamiento-Cantidad vectorial
• Desplazamiento es la separación en
línea recta de dos puntos en una
dirección especificada.
D = 12 m, 20o
A
q
B
Una cantidad vectorial:
Contiene magnitud Y
dirección, un número,
unidad y ángulo.
(12 m, 300; 8 km/h, N)
Distancia y desplazamiento
• Desplazamiento es la coordenada x o y
de la posición. Considere un auto que
viaja 4 m E, luego 6 m W.
D
Desplazamiento neto:
4 m, E
x = -2
x = +4
6 m, W
D = 2 m, W
¿Cuál es la distancia
recorrida?
¡¡ 10 m !!
Identificación de dirección
Una forma común de identificar la dirección
es con referencia al este, norte, oeste y sur.
(Ubique los puntos
abajo.)
N
W
60o
60o
50o
60o
Longitud = 40 m
40 m, 50o N del E
E
40 m, 60o N del W
40 m, 60o W del S
S
40 m, 60o S del E
Identificación de dirección
Escriba los ángulos que se muestran a continuación
con referencias al este, sur, oeste, norte.
N
W
45o
E
50o
S
500 S del E
N
W
E
S
450 W del N
Clic para ver las respuestas...
Vectores y coordenadas polares
Las coordenadas polares (R, q) son una excelente
forma de expresar vectores. Considere, por
ejemplo, al vector 40 m, 500 N del E.
90o
180o
270o
90o
40 m
R
180o
50o
0o
270o
R es la magnitud y q la dirección.
q
0o
Vectores y coordenadas polares
Se dan coordenadas polares (R, q) para cada
uno de los cuatro posibles cuadrantes:
90o
(R, q) = 40 m, 50o
120o
210o
180o
60o
60o
50o
60o
3000
270o
0o
(R, q) = 40 m, 120o
(R, q) = 40 m, 210o
(R, q) = 40 m, 300o
Coordenadas rectangulares
y
(-2, +3)
(+3, +2)
+
(-1, -3)
+
x
La referencia se hace
a los ejes x y y,
y los números + y –
indican posición en
el espacio.
Derecha, arriba = (+, +)
-
Izquierda, abajo = (-, -)
(+4, -3)
(x, y) = (?, ?)
Repaso de trigonometría
• Aplicación de trigonometría a vectores
Trigonometría
R
y
y = R sen q
x
x = R cos q
cos q 
q
x
y
sen q 
R
R
tan q 
y
x
R2 = x2 + y2
Ejemplo 1: Encuentre la altura de un
edificio si proyecta una sombra de 90 m
de largo y el ángulo indicado es de 30o.
La altura h es opuesta a 300 y el lado
adyacente conocido es de 90 m.
tan 30 
op
ady
h
300

h
90 m
h = (90 m) tan 30o
90 m
h = 57.7 m
Cómo encontrar componentes
de vectores
Un componente es el efecto de un vector a lo
largo de otras direcciones. A continuación se
ilustran los componentes x y y del vector (R, q).
x = R cos q
R
q
x
y
y = R sen q
Cómo encontrar componentes:
Conversiones de polar a rectangular
Ejemplo 2: Una persona camina 400 m en
una dirección 30o N del E. ¿Cuán lejos está
el desplazamiento al este y cuánto al norte?
N
N
R
q
x
400 m
y
30o
E
y=?
x=?
El componente x (E) es ADY:
x = R cos q
El componente y (N) es OP:
y = R sen q
E
Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en
una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el
desplazamiento del este y cuánto del norte?
N
Nota: x es el lado
400 m
30o
adyacente al ángulo de 300
y=?
x=?
E
x = (400 m) cos 30o
= +346 m, E
ADY = HIP x cos 300
x = R cos q
El componente x es:
Rx = +346 m
Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en
una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está
el desplazamiento del este y cuánto del norte?
N
Nota: y es el lado opuesto
400 m
30o
al ángulo de 300
y=?
x=?
E
OP = HIP x sen 300
y = R sen q
y = (400 m) sen 30o
El componente y es:
= + 200 m, N
Ry = +200 m
Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en
una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el
desplazamiento del este y cuánto del norte?
N
400 m
30o
Rx =
Ry =
+200 m
E
Los componentes
x y y son cada
uno + en el
primer cuadrante
+346 m
Solución: La persona se desplaza 346 m al
este y 200 m al norte de la posición original.
Signos para coordenadas
rectangulares
90o
Primer cuadrante:
R es positivo (+)
R
q
+
+
0o > q < 90o
0o
x = +; y = +
x = R cos q
y = R sen q
Signos para coordenadas
rectangulares
90o
180o
+
R
Segundo cuadrante:
R es positivo (+)
q
90o > q < 180o
x=-;
y=+
x = R cos q
y = R sen q
Signos para coordenadas
rectangulares
Tercer cuadrante:
R es positivo (+)
180o
q
180o > q < 270o
x=-
-
R
270o
y=-
x = R cos q
y = R sen q
Signos para coordenadas
rectangulares
Cuarto cuadrante:
R es positivo (+)
q
+ 360o
R
270o
270o > q < 360o
x=+
y=-
x = R cos q
y = R sen q
Resultante de vectores
perpendiculares
Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es
como cambiar de coordenadas rectangulares a polares.
R
q
x
y
R 
x  y
2
tan q 
2
y
x
R siempre es positivo; q es desde el eje +x
Ejemplo 3: Una fuerza de 30 lb hacia el sur y
una de 40 lb hacia el este actúan sobre un
burro al mismo tiempo. ¿Cuál es la fuerza
NETA o resultante sobre el burro?
Dibuje un esquema burdo.
Elija una escala burda:
Ej: 1 cm = 10 lb
40 lb
40 lb
Nota: La fuerza tiene dirección
tal =
como
4 cm
40 lbla
longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar
30vectores
lb
3longitud
cm = 30para
lb
como si se tuvieran
30 lb
encontrar la fuerza resultante. ¡El
Cómo encontrar la resultante (cont.)
Encontrar (R, q) a partir de (x, y) dados = (+40, -30)
40 lb
Rx
q
f
R=
tan f =
Ry
R
30 lb
x2 + y 2
-30
40
R=
40 lb
30 lb
(40)2 + (30)2 = 50 lb
f = -36.9o
q = 323.1o
Cuatro cuadrantes (cont.)
30 lb
q
Ry
f
40 lb
R = 50 lb
Rx
40 lb Rx
q
q
30 lb
R
Ry
Rx 40 lb
Rx
f
f
Ry
30 lb
R
q
R
R = 50 lb
40 lb
Ry
R
30 lb
f = 36.9o; q = 36.9o; 143.1o; 216.9o; 323.1o
Notación vector unitario (i, j, k)
k
z
y
Considere ejes 3D (x, y, z)
j
Defina vectores unitarios i, j, k
i
x
Ejemplos de uso:
40 m, E = 40 i
40 m, W = -40 i
30 m, N = 30 j
30 m, S = -30 j
20 m, out = 20 k 20 m, in = -20 k
Ejemplo 4: Una mujer camina 30 m, W;
luego 40 m, N. Escriba su desplazamiento
en notación i, j y en notación R, q.
En notación i, j se tiene:
+40 m
R
f
-30 m
R = Rx i + Ry j
Rx = - 30 m
Ry = + 40 m
R = -30 i + 40 j
El desplazamiento es 30 m oeste
y 40 m norte de la posición de partida.
Ejemplo 4 (cont.): A continuación se
encuentra su desplazamiento en
notación R, q.
+40
m
tan f 
R
 30
;
f = 59.1
q = 1800 – 59.10
f
-30 m
R 
 40
q = 126.9o
(  30)  (40)
2
2
R = 50 m
(R, q) = (50 m, 126.9o)
0
Ejemplo 6: La ciudad A está 35 km al sur y
46 km al oeste de la ciudad B. Encuentre la
longitud y dirección de la autopista entre las
ciudades.
46 km
R = -46 i – 35 j
R 
(46 km )  (35 km )
2
2
f?
35
km
R=?
R = 57.8 km
tan f 
 46 km
 35 km
f = 52.70 S de W.
B
A
q = 1800 + 52.70
q = 232.70
Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la
fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña
si su brazo forma un ángulo de 280 con el suelo.
F = 240 N
Fy
F
280
Fy
Fx
Fx = -|(240 N) cos 280| = -212 N
Fy = +|(240 N) sen 280| = +113 N
O en notación i, j :
F = -(212 N)i + (113 N)j
Ejemplo 8. Encuentre los componentes de
una fuerza de 300 N que actúa a lo largo del
manubrio de una podadora. El ángulo con el
suelo es de 320.
32o
32o
Fx = -|(300 N) cos 320| = -254 N
Fy = -|(300 N) sen 320| = -159 N
F = 300 N
Fx
Fy
320
F
Fy
O en notación i, j
:
F = -(254 N)i - (159 N)j
Método de componentes
1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala
con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del
2o a la cola del 3o, y así para los demás.
2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la
punta del último vector y note el cuadrante de la
resultante.
3. Escriba cada vector en notación i, j.
4. Sume algebraicamente los vectores para obtener
la resultante en notación i, j. Luego convierta a
(R, q).
Ejemplo 9. Un bote se mueve 2.0 km al este,
luego 4.0 km al norte, luego 3.0 km al oeste y
finalmente 2.0 km al sur. Encuentre el
desplazamiento resultante.
1. Inicie en el origen.
Dibuje cada vector a
escala con la punta del
1o a la cola del 2o, la
punta del 2o a la cola
del 3o, y así para los
demás.
D
N 3 km, O
2 km, S
C
B
4 km, N
A
2 km, E
E
2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta
del último vector y note el cuadrante de la resultante.
Nota: La escala es aproximada, pero todavía es
claro que la resultante está en el cuarto cuadrante.
Ejemplo 9 (cont.) Encuentre el
desplazamiento resultante.
3. Escriba cada vector
en notación i, j:
A = +2 i
B=
+4j
C = -3 i
D=
-2j
R = -1 i + 2 j
1 km al oeste y 2 km
al norte del origen.
D
2 km, S
N
3 km, O
C
B
4 km, N
A
E
2 km, E
4. Sume algebraicamente
los vectores A, B, C, D
para obtener la resultante
en notación i, j.
5. Convierta a notación R, q
Vea página siguiente.
Ejemplo 9 (cont.) Encuentre desplazamiento
resultante.
La suma resultante es:
R = -1 i + 2 j
D
2 km, S
N
3 km, O
C
4 km, N
Ahora encuentre R, q
R 
(  1)  (2) 
2
2
5
B
E
A
2 km, E
R = 2.24 km
tan f 
 2 km
 1 km
f = 63.40 N del O
R
f
Rx = -1 km
Ry = +2
km
Recordatorio de unidades significativas:
N
Por conveniencia,
D
3 km
2 km
C
siga la práctica de
B
4 km
suponer tres (3)
E
cifras significativas
A
para todos los datos
2 km
en los problemas.
En el ejemplo anterior, se supone que las
distancias son 2.00 km, 4.00 km y 3.00 km.
Por tanto, la respuesta se debe reportar como:
R = 2.24 km, 63.40 N del O
Dígitos significativos
para ángulos
q=
36.9o;
323.1o
30 lb
R
q
Puesto que una décima
de grado con frecuencia
puede ser significativa, a
veces se necesita un
cuarto dígito.
Regla: Escriba los
ángulos a la décima de
grado más cercana. Vea
los dos ejemplos
siguientes:
q
Ry
Rx 40 lb
Rx
f
40 lb
Ry
R
30 lb
Ejemplo 10: Encontrar R, q para los tres
desplazamientos vectoriales siguientes:
A = 5 m, 00
B = 2.1 m, 200
C = 0.5 m, 900
R
q
A=5m
C=
B
0.5 m
200
B = 2.1 m
1. Primero dibuje los vectores A, B y C a escala
aproximada y los ángulos indicados. (Dibujo burdo)
2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta
del último vector; note el cuadrante de la
resultante. (R, q)
3. Escriba cada vector en notación i, j. (continúa...)
Ejemplo 10: Encuentre R, q para los tres
desplazamientos vectoriales siguientes. (Puede
ser útil una tabla.)
Para notación i, j,
encuentre los
componentes x, y
de cada vector A,
B, C.
Vector
f
A=5m
00
R
B
q
A=5m
0.5 m
200
B = 2.1 m
componente x (i) componente y (j)
+5m
B = 2.1 m 200 +(2.1 m) cos 200
C = 0.5 m 900
C=
0
Rx = Ax + Bx + Cx
0
+(2.1 m) sen 200
+ 0.5 m
Ry = Ay + By + Cy
Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para
tres vectores: A = 5 m, 00; B = 2.1 m,
200; C = 0.5 m, 900.
componente x (i) componente y (j)
Ax = + 5.00 m
Ay = 0
Bx = +1.97 m
By = +0.718 m
Cx = 0
Cy = + 0.50 m
4. Sume los vectores
para obtener la
resultante R en
notación i, j.
A = 5.00 i +
0j
B = 1.97 i + 0.718 j
C=
0 i + 0.50 j
R = 6.97 i + 1.22 j
Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres
vectores: A = 5 m, 00; B = 2.1 m, 200; C = 0.5
m, 900.
R = 6.97 i + 1.22 j
Diagrama para
encontrar R, q:
5. Determine R, q a partir
de x, y:
R 
(6.97 m )  (1.22 m )
2
R = 7.08 m
tan f 
1.22 m
6.97 m
R
2
q
Ry
1.22 m
Rx= 6.97 m
q = 9.930 N del E
Ejemplo 11: Un ciclista viaja 20 m, E luego 40 m
a 60o N del W, y finalmente 30 m a 210o. ¿Cuál
es el desplazamiento resultante gráficamente?
C = 30 m
B=
40 m
30o
R
f
q
Gráficamente, se usa
regla y transportador
para dibujar los
componentes, luego se
mide la resultante R, q
60o
A = 20 m, E
Sea 1 cm = 10 m
R = (32.6 m, 143.0o)
A continuación se proporciona una
comprensión gráfica de los componentes
y la resultante:
Cy
By
Nota: Rx = Ax + Bx + Cx
30o
C
R
Ry
f
B
q
Ry = Ay + By + Cy
60o A
Rx
Cx
0
Ax
Bx
Ejemplo 11 (cont.) Use el método de
componentes para encontrar la resultante.
Cy B
y
Ry
Escriba cada vector
en notación i, j.
30o
C
R
f
B
q
60
Ax = 20 m, Ay = 0
A
Rx
A
Cx
x
Bx
Cx = -30 cos 30o = -26 m
Cy = -30 sen 60o = -15 m
A = 20 i
Bx = -40 cos 60o = -20 m
By = 40 sen 60o = +34.6 m
B = -20 i + 34.6 j
C = -26 i - 15 j
Ejemplo 11 (cont.) Método de componentes
Cy B
y
Ry
Sume algebraicamente:
A = 20 i
30o
C
R
f
B
q
Rx
Cx
+19.6
Bx
R
f
-26
B = -20 i + 34.6 j
60
A
C = -26 i - 15 j
A
R = -26 i + 19.6 j
x
R=
(-26)2 + (19.6)2 = 32.6 m
tan f =
19.6
-26
q = 143o
Ejemplo 11 (cont.) Encuentre la resultante.
Cy B
y
R = -26 i + 19.6 j
30o
B
C
Ry
R
f
q
Rx
Cx
60
A
+19.6
A
Bx
R
f
-26
x
El desplazamiento resultante del ciclista se proporciona
mejor mediante sus coordenadas polares R y q.
R = 32.6 m; q = 1430
Ejemplo 12. Encuentre A + B + C para los
vectores que se muestran a continuación.
A = 5 m, 900
B = 12 m, 00
C = 20 m, -350
Ax = 0; Ay = +5 m
B
Cx
350 C
A
y
q
C
R
Cx = (20 m) cos 350
A=
0 i + 5.00 j
B = 12 i +
0j
C = 16.4 i – 11.5 j
Cy = -(20 m) sen -350
R = 28.4 i - 6.47 j
Bx = +12 m; By = 0
Ejemplo 12 (cont.). Encuentre A + B + C
Rx = 28.4 m
q
R
Ry = -6.47 m
B
350
A
C
q
R
R 
(28.4 m )  (6.47 m )
tan f 
2
6.47 m
28.4 m
2
R = 29.1 m
q = 12.80 S del E
Diferencia vectorial
Para vectores, los signos indican la dirección. Por
tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar
se debe cambiar el signo (dirección).
Considere primero A + B gráficamente:
B
R=A+B
R
A
A
B
Diferencia vectorial
Para vectores, los signos indican la dirección. Por
tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar
se debe cambiar el signo (dirección).
Ahora A – B: primero cambie el signo
(dirección) de B, luego sume el vector negativo.
B
A
-B
R’
A
A
-B
Suma y resta
La resta resulta en un diferencia significativa tanto
en la magnitud como en la dirección del vector
resultante. |(A – B)| = |A| - |B|
Comparación de suma y resta de B
B
R=A+B
A
R
A
A
R’ = A - B
B
R’
-B
Ejemplo 13. Dados A = 2.4 km N y B = 7.8
km N: encuentre A – B y B – A.
A – B;
B-A
A-B
+A
-B
R
A
B
2.43 N 7.74 N
B-A
+B
-A
R
(2.43 N – 7.74 S)
(7.74 N – 2.43 S)
5.31 km, S
5.31 km, N
Resumen para vectores
 Una cantidad escalar se especifica completamente
sólo mediante su magnitud. (40 m, 10 gal)
 Una cantidad vectorial se especifica completamente
mediante su magnitud y dirección. (40 m, 300)
Componentes de R:
Rx = R cos q
Ry = R sen q
R
q
Rx
Ry
Continúa resumen:
 Encontrar la resultante de dos vectores
perpendiculares es como convertir de coordenadas
polares (R, q) a rectangulares (Rx, Ry).
Resultante de vectores:
R 
x  y
2
tan q 
y
x
2
R
q
Rx
Ry
Método de componentes
para vectores
 Inicie en el origen y dibuje cada vector en
sucesión para formar un polígono etiquetado.
 Dibuje la resultante desde el origen hasta la
punta del último vector y note el cuadrante de
la resultante.
 Escriba cada vector en notación i, j (Rx, Ry).
 Sume algebraicamente los vectores para
obtener la resultante en notación i, j. Luego
convierta a (R, q).
Diferencia vectorial
Para vectores, los signos indican dirección. Por
tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar
se debe cambiar el signo (dirección).
Ahora A – B: primero cambie el signo
(dirección) de B, luego sume el vector negativo.
B
A
-B
R’
A
A
-B
Conclusión de la unidad. Vectores
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Vectors - Joaquinborrerovisbal's Blog