Facultad de Ingeniería - Universidad de Buenos Aires (FIUBA)
Departamento de Hidráulica
69.01 Hidráulica General
Presentación de las
Ecuaciones Fundamentales
de la Hidráulica
Realizado por
Ing. Alejandro Norberto Pardo
4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica
1 Ecuaciones de Estado
2 Ecuación de Continuidad
3 Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes)
4 Ecuación de la Acción Dinámica (Cantidad de Movimiento)
Ecuaciones de Estado
Las ecuaciones, en general, de estado vinculan la presión absoluta, el volumen
específico y la temperatura absoluta. En la hidráulica los procesos son isotérmicos,
por lo que la temperatura deja de ser una variable.
Ecuación de estado de un líquido en función del volumen
 f   i  (1    ( p f  pi ))
 f   i e

por diferencias finitas
  ( p f  pi )
por integración
coeficiente de compresibilidad volumétrica.
Ecuación de estado de un líquido en función de r
r f  r i  (1    ( p f  pi ))
r f  ri e
En la práctica :
 ( p f  p i )
Fluído Ideal
por diferencias finitas
por integración
Medio contínuo de viscosidad nula - m=0
Ec. Estado
Líquido Perfecto
Fluído Ideal
+ Incompresible
r = cte
4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica
1 Ecuaciones de Estado
Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs.
Líquido Perfecto
2 Ecuación de Continuidad
3 Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes)
4 Ecuación de la Acción Dinámica (Cantidad de Movimiento)
Ec. Estado
r = cte
Ecuación de Continuidad
Cant. neta masa que atraviesa
sup. vol. de control en la
unidad de tiempo
Principio de Conservación de la Masa
+
m saliente
 m) entrante
 m entrante
  m i ) 
0
Ecuación de Continuidad en un punto : ( m(saliente
(r  v)
Si dt
r=cte
  dydiv
 dy  dx  dz  dt  r  v  dx  dz
 r  dx
 dz(V

y
m entrante
m saliente
t
r
(Cond.
de Compresibilidad)
)  dt
0  dx
 dy  dz
r  dx  dy  dz  0
t
m i fin a l
m iinicial
Simplificando (según el eje y)
(r  v)
y
 dy  dx  dz  dt 
r
t
 dt  dx  dy  dz  0
Extendiendo a los demás ejes y eliminando los diferenciales
(r  u)
x

(r  v)
y

(r  w)
z

r
t
0
o bien
=0

div
m i (r 0 V )   r  0
Análisis según el eje y
r  v  dx  dz  dt 
Var.masa contenida en
vol. de control en
unidad de tiempo

r
div ( r  V ) 
0
t
Ecuación de Continuidad
Principio de Conservación de la Masa
Cant. neta masa que atraviesa
sup. vol. de control en la
unidad de tiempo
Ecuación de Continuidad en un punto : ( m saliente  m entrante )   m i  0
+
Var.masa contenida en
vol. de control en
unidad de tiempo
=0

r
div ( r  V ) 
0
t
Si r=cte  div (V )  0 (Cond. de Compresibilidad)
Ecuación de Continuidad en un Tubo de Corriente
( r U   )
l
 ( r  U   ) dt  ( r   )



0
t
dl
t
Aporte de M
en el recorrido
Aporte de M
en el tiempo
Simplificaciones
• Si fluido incompresible (r=cte)
• Si mentrante no varía con t :
ms

mi
me

dl
Balance M.
en el tiempo
 (U   )
Ecuación
 (U   ) Continuidad
dt  (  )


 compresible
0
para una vena liquida
 l y mov. con
t impermanencia
dl
 t total
( r U   )
l

(r   )
t
• Si r=cte y Q no varía respecto del tiempo, ni del recorrido: Q  cte  U .
0
4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica
1 Ecuaciones de Estado
Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs.
Ec. Estado
Líquido Perfecto
r = cte
2 Ecuación de Continuidad
Principio de Conservación de la Masa
( m saliente  m entrante )   m i  0
Ecuación de Continuidad en un punto
Extensión Ec. Cont. a un Tubo de Corriente
( r U   )
l

( r U   )
t

r
div ( r  V ) 
0
t
 dt
dl

(r   )
3 Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes)
4 Ecuación de la Acción Dinámica (Conservación de la Cantidad de Movimiento)
t
 0
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Fm  Fm  F p  FE  F  Fi  0
Ecuación de Equilibrio Dinámico de las Fuerzas
No se tienen en cuenta las fuerzas elásticas (fluido incompresible, r=cte), ni las fuerzas
debidas a energía superficial.

2






V
V
 Fi ( 0)  rot (V )  V ]
Fm  Fm  F p FmFi  F
mm [ F 
p grad
t
2
Fuerzas de masa debido a las acciones exteriores _ Fm
• Se considera la acción del campo gravitatorio.
r  X  dx  dy  dz
• Son proporcionales al volumen y se suponen aplicadas en
r  Y  dx  dy  dz
el centro de gravedad
• Se considera un elemento fluido de dim. diferenciales, siendo
r  Z  dx  dy  dz
X, Y, Z las fuerzas de masa por unidad de masa.
Fuerzas debido a la viscosidad _ Fm
• Son fuerzas de superficie.
• Se considera caso gral. velocidades según dos ejes.
 x  m (
w
y

v
z
)
 y  m (
u
z

w
x
)
 z  m (
u
y

v
x
)
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Ecuación de Equilibrio Dinámico de las Fuerzas
Fm  Fm  F p  FE  F  Fi  0
No se tienen en cuenta las fuerzas elásticas (fluido incompresible, r=cte), ni las fuerzas
debidas a energía superficial.

2






V
V
 Fi ( 0)  rot (V )  V ]
Fm  Fm  F p FmFi  F
mm [ F 
p grad
t
2
Fuerzas de masa debido a las acciones exteriores _ Fm
r  X  dx  dy  dz.......
Fuerzas debido a la viscosidad _ Fm
 x  m (
w
y

v
z
).......
Fuerzas de presión _ Fp
• Son fuerzas de superficie.
px  p  2  m 
• La presión es proporcional a la velocidad de deformación
lineal
py  p  2  m 
• Se considera que un alargamiento según un eje provoca
una contracción según los otros dos.
pz  p  2  m 
u
x
v
y
w
z
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Ecuación de equilibrio dinámico según el eje y-y :
 p y 1  p m
p y  x2 x  z   z
r  Y  dx  dy  dz Y   dxr dy
dz   [  v
dxdy  dz( div
 r(V
dx dyr dz
Y 
 a))]
 ay r  a y  dx  dy  dz
y
y

z

x
y
z
x
r y
r
y
Reeplazando :
En forma vectorial :
r Y 

v
 w v
 u v
(p  2m 
)m
(

)m
(

)  r ay
 y 1

y
 z 2y
z
x y x 
F 
Operando :
r Y 
p
r
 grad ( p )    [  V  grad ( div (V ))]  a
 v
2
 2m 
 w
2
 m [
 v
2

 u
2
]  m[
 v
2

]  r ay
2
2
2
Se ha considerado
div(V)=0 :
 yal fluido incompresible
y
 z (r=cte)
  y yz según Ec.
 x de
 yContinuidad
x

  u 2 v  w 
 r 1 Y 

V
V
 m  [( 2  2 2 
)
(

)]  r  ay
2
F   grad
 y ( p ) x   V
y   z  grad
 y  x(  y)  rot
 z (V )  V
r
t
2
p
 v
2
 v
2
 v
2
 v
2
d iv (V )
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
 1

2
F   grad ( p )     V 
r

V
 grad (
t
2
V


)  rot (V )  V
2
Simplificaciones :
• Se aplica al fluido perfecto, no viscoso (m=0), con movimiento irrotacional (rot(V)=0)
y se considera de las fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g) :
 1
g   grad ( p ) 
r
• Se considera al fluido en reposo (V=0)
 1
g   grad ( p )  0
r

V
t
 grad (
V
2
)
2
=> Ec. de CLAIREAUT
g 
1

p
r z
0
Ecuación
CLAIREAUT
Si se calcula el trabajo de las fuerzas

 1
( g   grad ( p ))  dl  0
r
 g  dz 
1
r
 dp  0
Ecuación escalar
z
p

 cte
Ec. Fund. Hidrostática
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
 1

2
F   grad ( p )     V 
r

V
t
 grad (
2
V


)  rot (V )  V
2
Simplificaciones :
• Se aplica al fluido perfecto, no viscoso (m=0), con movimiento irrotacional (rot(V)=0)
y se considera de las fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g) :
 1
g   grad ( p ) 
r
• Si se considera mov. permanente (dV/dt=0)

V
t
 grad (
V
2
)
2
=> Ec. de EULER
2
V
 1
g   grad ( p )  grad (
)
r
2
Integración de la Ec. de EULER =>
EC. de BERNOULLI
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Ecuación de BERNOULLI
• Fuerzas de masa, solo la
• Fluido perfecto r=cte.
• Fluido no viscoso m=0.
• Mov. irrotacional rot(V)=0.
gravitatoria F=(0,0,-g).
• Mov. Permanente dV/dt=0.
2


V
 1
( g   grad ( p ))  dl  grad (
)  dl
r
2
Se plantea el trabajo de las fuerzas :
 g  dz 
Escalarmente :
1
r
 dp 
1
 dV
2
2
Operando se obtiene un diferencial de trabajo por unidad de peso :
d (z 
p


V
2
2g
)0
Indica que el trabajo
total realizado es
nulo
z
p


V
La energía es constante
a lo largo del recorrido dl
2
2g
 cte
Ec. de BERNOULLI en la
Línea de corriente
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Un concepto importante...
Ecuación de
Navier - Stokes

V
 1

2
F   grad ( p )     V 
r
t
 grad (
V
2


)  rot (V )  V
2
Se aplica la ec. N-S a un fluido con características similares a las del agua : r=cte, m0 y =0.
 V
L 
   V 

(
)
r l
t
l 2
1
Terna intrínseca
p
V
2
2
(componente tangencial)
Se le aplica, ademas, la acción del campo gravitacional terrestre => F=(0,0,-g). Operando :

l
(z 
p


V
2
2g
Ec. de Bernoulli
m  V
2
)

Indica una
pérdida de
energía

1
g

V
t
 0 Ecuación de BERNOULLI
Generalizada
Movimiento
impermanente
Conclusión : No puede admitirse, en un líquido con las características del agua, transporte
de masa, sino a costa de un consumo de energía.
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Extensión de Ec. de BERNOULLI a un tubo de corriente
La energía
depor
un unidad
filamento
área d
Energía
de de
peso
Energía
Integrando
por unidad
a toda
de
la sección
tiempo,
Potencia
2
22 2
( z  (pz  pV
 dt
V)    dQ
pp 2VV
)

g
  dQ
N dN z(z    2.) g.dQ
  22g g



p 
N  
z   
. .dQ 

 
=>

n
(z 



V
2
. .dQ
2g
Energía Potencial
Energía Cinética
por unidad de tiempo
por unidad de tiempo
Para que la primer integral sea perfecta el término
p
(z 
) debe ser constante a lo largo de la normal.

an 

p

)
V
Para resolver esta integral es necesario conocer
como varía la velocidad en la sección .
En la práctica se evalúa la Potencia real en función
2
0
R
Se cumple si (reglas de Bresse) :
• Movimiento rectilíneo.
• Radio de curv grande - R  
• Velocidad baja - V 0
de U 
Q

y del coef. de Coriolis
siendo la Potencia ficticia :N C
Con lo que la
expresión final para la
sección queda
z
p

 
  U
 
real
NC
fict
2
fict
U
NC
2g
Q
2
2g
 cte
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Aplicaciones de la Ecuación de BERNOULLI en la Línea de Corriente
•
Distribución de presiones en un escurrimiento irrotacional.
•
Erogación por orificio (Teorema de Torricelli).
•
Medición de presiones en conductos.
- Tubo Pitot.
- Tubo Venturi (aplicación al tubo de corriente)
4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica
1 Ecuaciones de Estado
Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs.
Ec. Estado
Líquido Perfecto
r = cte
2 Ecuación de Continuidad
Principio de Conservación de la Masa
( m saliente  m entrante )   m i  0
Ecuación de Continuidad en un punto
Extensión Ec. Cont. a un Tubo de Corriente
( r U   )
l

t
 dt
dl

(r   )
t
 0





Fm  Fm  F p  Fi   m  a
3 Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes)
Fluido r=cte, m=0, rot(V)=0, M. Perm. y F=-g => EULER
( r U   )

r
div ( r  V ) 
0
t

g  1 r  grad ( p )  grad (V
Integración - Trabajo de fuerzas => Ec. BERNOULLI
BERNOULLI - Extensión al tubo de corriente
z  p   V 2 2  g  cte
z  p     U 2 2  g  cte
Limitaciones - Reglas de BRESSE
Fluido en reposo (V=0) => Ec. de CLAIREAUT
4 Ecuación de la Acción Dinámica (Cantidad de Movimiento)
2

g  1 r  grad ( p )  0
2)
Ecuación de la Acción Dinámica
Ecuación de la Cantidad de Movimiento
• No se estudia el movimiento íntimo de las partículas, sino el comportamiento global (Vcontrol).
• Se aplica la segunda ecuación de Newton a un volumen de control. F  d m .V  / dt
• Esta ecuación es aplicable aún en aquellos casos, los cuáles no pueden ser estudiados
con las ecuaciones locales del movimiento.
Variación de la
Cantidad de
Movimiento
Total
control
V (+)
d
d
d
: Volumen control
control
: Superficie control
d
d
V (-)
control
control
: Dif. de Vol. de control
d : Dif. de Sup. de control
=
Var. Cantidad Movimiento
de la masa que
atraviesa la control
gasto elemental de masa
dQ m
 
 r V  d 
+
Var. Cantidad Movimiento
de la masa contenida
en el control
Variación de la cant. de mov. elem.
por efecto del desplazamiento V.


 
d ( m V )1  r V V  d 
Variación de la cant. de mov.
de una masa elemental.
masa elemental

r V  d 



d ( m V ) 2 
( r V  d  )
t
Ecuación de la Acción Dinámica
Ecuación de la Cantidad de Movimiento
control





F 
( m V )1 
( m V ) 2
t
t
V (+)
d
d
d

 
r  V  V  d

t

( r V  d  )

  


dF  r  V  V  d  
( r V  d  )
t
Vectores velocidad aprox. normales a la sección
F 

f
c
 R 
Sumatoria
Fuerzas
de fuerzas que no son
del fluído
del fluído
V (-)
F 
integrando
control
d
 r .V .V .d Q   r .V

.d   r .Q .  .U

 r .V .V .d 


 r .Q .  .U  
Var. cant. de mov.de la masa
que atraviesa la Scontrol
2
 r .V
2
.d Q  r .Q .  .U


t

r .Q .dl
l
Variación de la cant. de mov.
de la masa contenida en Vcontrol
Variación de la cantidad de movimiento en el tiempo
para todo el volumen de control
Ecuación de la Acción Dinámica
Extensión de la Ec. de la Cantidad de Movimiento al tubo de corriente



F   f e  R  r  Q  (
f


U f   i U i )
Acción Dinámica de la corriente (sobre un borde sólido)


Siendo
A  R


A  r  Q  ( i U i  
f

U
f
Resultante de las fuerzas debidas a las velocidades
medias que actúan en las secciones final e inicial
del volumen de control.

)   fe
Fuerzas del
fluído (excepto A)
debidas a :
- Presiones secciones.
- Peso masa vol. Control.
Aplicaciones de esta ecuación
- Fricción entre el fluído
y el contorno sólido.
4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica
1 Ecuaciones de Estado
Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs.
Ec. Estado
Líquido Perfecto
r = cte
2 Ecuación de Continuidad
( m saliente  m entrante )   m i  0
Principio de Conservación de la Masa
Ecuación de Continuidad en un punto
Extensión Ec. Cont. a un Tubo de Corriente
( r U   )
l

( r U   )
 dt
dl

(r   )
t
 0





Fm  Fm  F p  Fi   m  a
3 Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes)
Fluido r=cte, m=0, rot(V)=0, M. Perm. y F=-g => EULER
t

r
div ( r  V ) 
0
t

g  1 r  grad ( p )  grad (V
2
2)
z  p   V 2 2  g  cte
Integración - Trabajo de fuerzas => Ec. BERNOULLI
z  p     U 2 2  g  cte
BERNOULLI - Extensión al tubo de corriente
Limitaciones - Reglas de BRESSE

g  1 r  grad ( p )  0
Fluido en reposo (V=0) => Ec. de CLAIREAUT
4 Ecuación de la Acción Dinámica (Cantidad de Movimiento)
Ecuación de la Cantidad de Movimiento
F  d ( m .V ) / dt
Acción Dinámica de la corriente (sobre un borde sólido)
F 

f
c
 R 
 r .Q .  .U  




A  r  Q  ( i U i   f U f )   f

t
 r .Q .dl
l
Fin
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Navier-Stokes