ESTADÍSTICA III
1.5. DISTRIBUCIONES
MUESTRALES EN UNA
POBLACIÓN NORMAL CON
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
45
ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIONES MUESTRALES EN POBLACIONES NORMALES
1.
De la media muestral
X  N ...,...

1.1. con varianza conocida
1.1.1
1.1.2
muestras grandes
muestras pequeñas
1.2. con varianza desconocida
1.2.1
1.2.2.
muestras grandes
muestras pequeñas
2.
De la diferencia de medias
3.
De la proporción
4.
…
46
ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL
1.5.1
CUANDO SE CONOCE LA VARIANZA POBLACIONAL
Sea (x 1 , x 2 ,....., x n ) una muestra
Entonces
la distribuci
aleatoria
de tamaño
n, procedente
ón del estadístic o media muestral
de una población
tendrá una distribuci
N   ,  ;
ón normal 
Si X  N   ,   
 

X  N  ,

n


Si X  ¿   , 

 

T .C . L .  Si n  30  X  N   ,

n



X -

 N 0 ,1 
n
47
ESTADÍSTICA III
Considere
una población
cuyo comportami
N(50,100). Si de tal población
1) La probabilid
ento está caracteriz ado por el de una v.a. N(  ,  )
se toma una muestra
de tamaño
n  25. Calcular
:
ad de que X  60
2) P(48  x  51)
X  N ( 50 ,100 )

X


60  50
x
P  x  60   P 


100


n
25




  P ( Z  5 )  1; 100 %



100 

X  N  50,

25


X
51  50 
 48  50
P ( 48  x  51 )  P 
 Z 

2
2


1

P   1  Z    0 . 5328
2

48
ESTADÍSTICA III

X  N  50 , 

x
X  N ( 50 ,100 )
10 


5 
P ( x  60 )
60


1

e
 60   


2
 2

2
50
60
X
P ( x  60 )
60  50 

P ( X  60 )  P  Z 
  P ( Z  5)
2


Z  N(0,1)
0
5
Z
49
ESTADÍSTICA III
Supóngase que el tiempo que un artículo permanece en stock es
una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (1,7).
De una producción de 100 de estos artículos, calcular la probabilidad
de que el tiempo medio de permanencia en stock de los mismos sea
mayor que 4.5
X~U(1,7)
1
1

 si x  1, 7 

f ( x) b  a
6
  0 en otro caso

E (x) 
ab
VAR(x)

b - a  2
2
E (x) 
8
 4
2
12
VAR(x)

36
3
12

3 
X  N  4 ,

100


4 .5  4 

P ( X  4 .5 )  P  Z 
  P ( Z  16 )  0 . 002
0
.
03


50
ESTADÍSTICA III
1.5.2
Distribución de la media muestral cuando no se conoce la varianza poblacional

 
X  N   ,

n 

X  

 N ( 0 ,1)
n

si no se conoce  
X  
S
 si n es grande
 N(0,1)
n
X  
S
 si n es pequeño
t n -1
n
" grados de libertad"
51
ESTADÍSTICA III
DIST. MUESTRAL
MEDIA CUANDO
VARIANZA ES CONOCIDA
 

X  N  ,

n 

x -

n
MEDIA CUANDO
VARIANZA ES DESCONOCIDA
 N (0,1)
a) n es grande
S 

x  N  ,

n 

x -
 N (0,1)
s
n
b) n es pequeño
S 

x  N  ,

n 

x -
 t n 1
s
n
VARIANZA
proporción
52
ESTADÍSTICA III
DEMOSTRACIÓN:
DISTRIBUCIÓN
x
2
:Recordar
Sea x1,x2,….,xn una muestra aleatoria de tamaño n, procedente de
una población N(μ, σ). Entonces las variables aleatorias
Zi 
Xi 

 N ( 0 ,1)
y
n

i 1
n
Z
2
i


i 1
 Xi  


 

n
 n
2
53
ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIÓN t-Student: Recordar
Sean U y V dos variables independientes tal que:
U  N (0,1)
V  n
2

U
V
 tn
n
F
de
snedecor
n
2
Fn , m 

2
m
cociente entre dos C hi
54
1.5.3
ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL
S2

2
1
S 
2
 x
n 1
  n 1
 x
i

2
n
 x
 x    n  1 S 
2
i
i 1
i 1
i 1
 x 
   x
i
     x     
     x     2  xi      x     

2
i
i
2
n
i 1
   x
2
n
 x
2
 x
i
    n  x     2  x      xi   
 x
i
    n  x     2  x     nx  n  
 x
i
    n  x     2n  x     x   
 x
i
   nx   
2
2
2
2
2
2
2
 n  1 S 2
 x
i

2
 x

 
2
D E M O ST R A C IÓ N :
i 1
     x 
n

2
2
2
n
2
 x
i
i 1


2
n 1
 n-1  S 2
 n-1  S 2
2

   nx   
2
i
 n  1 S 2

2
2

nx  

2
2
55
ESTADÍSTICA III
 x
 
i

2

2
 n  1 S 2

2

 n  1 S 2
 xi    

 
2




2
n

i 1
n

2
 n -1
nx   

2


x 

 

n

2






1

2
2
2

 



VAR     2 n 
E     n  1; Var     2 ( n  1)
  n  1 S 
E S 
  n  1  n  1
E
 ( n  1) 
E n  n
2
2
n
2
n -1
2
n -1
2



2


2

   ( n  1 )
( n  1) E S
2
  n  1 S 2
VAR 
2


( n  1)
2
  
 E S
2
4
2

  2 ( n  1) 


   2 ( n  1)  Var ( S
Var S

2
2
2
2
)
2
4
n 1
56
1.5.4
ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES
CUANDO SE CONOCE LA VARIANZA POBLACIONAL
“Tiempo medio de duración de dos piezas”,“Salarios hombres mujeres”…..
“Sean (x1....xn) e (y1…..yn) dos muestras aleatorias simples e
independientes de tamaños nx y ny procedentes de N(μx,σx) y N(μy,σy)
respectivamente. Entonces la distribución muestral de la diferencia de
medias x  y se distribuye:
xy  x   y
x
 xy 
y
2
2

nx

ny

x  y  N  x  y,


(x  y)  x  y 

2
x
nx


x
2
nx

2
y 
ny



 N (0,1)
2
y
ny
57
ESTADÍSTICA III
Ejemplo:
Salario medio hombres=129.000 ptas., σ2=2.500
Salario medio mujeres=128.621 ptas., σ2=3.000
Si tomamos una muestra aleatoria de 36 hombres y 49 mujeres ¿Cuál es
la probabilidad de que el salario medio de los hombres sea al menos
400 ptas mayor al de las mujeres?
A : HOMBRES
 X  ? 129000 , 2500
B : MUJERES
 Y  ?(128621,3 000)
X - Y 

 N  129000 - 128621,



n x  36
n y  49
3000  
 2500


 
49  
 36
N 379 ,11 . 43 
379 400
(X  Y )
58
ESTADÍSTICA III
P
 X
Y

  X  Y   379 400  379
 400  P 


11.43
11.43






P  Z  1.83   0.0336
379 400
(X  Y )
0
1.43
Z
59
1.5.5
ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CUANDO
NO SE CONOCE LA VARIANZA POBLACIONAL
X  N   x , x   n x
Y  N   y ,
y
 n
y
A )las varianzas poblacionales son descono cidas pero iguales

2
B )las varianzas poblacionales son descono cidas pero distintas

2

2
x
2
x

y

2
y
60
ESTADÍSTICA III

A) X  N   X ,



Y  N  y ,


  n  1 S 2
x
x
,
 
2




nx
 n  1 S
y
,

 2


ny
2
y
 
2
n x 1
2
n y 1
Si :
W 
n x
2

además
Z 
 1 S x
X
2
sabemos
- Y   

n
 1 S
y

2
2
y
 
2
nx  ny 2
que :
X
 Y
 2
 
X



 n
ny 
 x

 N ( 0 ,1)
2
y
61
ESTADÍSTICA III
Si W  
2
y Z  N (0,1)
Z
T 
t
W
n
x
n
y
n
x
n
2
y
2
sustituyendo
( X  Y )  (
T 
Y
)
2 2 



 n
ny 
 x

 n x  1 S x2   ny  1  S 2y



X
2
( X  Y )  (


 1  1 
n
n 
y 
 x
X

Y
)
 n x  1 S x2   ny  1  S 2y
n
( X  Y )  (  X  Y )
 n x  1 S x   n y  1 S y
2


 nx  n y  2 


2
x


 nx  n y  2  


 n y  2  . n x .n y
nx  ny
 tn x  n y  2
62
ESTADÍSTICA III
Un agricultor utiliza una semilla híbrida que produce 90 Tm. Por hectárea
y un productor le ofrece una semilla también híbrida que produce 110 Tm.
por Hra. En 5 parcelas diferentes se siembran las dos semillas:
1
2
3
4
5
HIBRIDO1
90
85
95
76
80
HIBRIDO2
97
82
102
94
78
¿Cuál es la probabilidad de que con el nuevo híbrido la producción media
sea 15Tm. mayor que la antigua?
63
ESTADÍSTICA III
P ( X 1  X 2  15)
S i suponem os  x  
X
tn x  n y  2 

P t 


nx
Y
y
  
x
 y
nx  ny  2
 1 S x   n y  1 S y
2
2
nxn y
nx  ny


 n x  1  S x2   n y  1  S y2 
15    x   y 
90  85  95  76  80
X 
5
Y 
97  82  102  94  78
5
SX 
2
SY 
2
1
(5  1)
1
(5  1)

XI  X

Y I  Y


2
t
2
15  (90  110 ) 

P t 
  t5  5  2  t8


64
ESTADÍSTICA III
B)
x y
B .1) S i las varianzas son desconocidas y distintas pero los tam años
m uestrales son grandes  S  
2

  X  Y ,
X
-Y

N




Z 
 X -Y    
S
 Y
X
2
SX
nx

2
2
Sy 


ny 

 N (0,1)
2
2
X

nx
Sy
ny
B .2)S i las varianzas son desconocidas y distintas pero los tam años
m uestrales son pequños 
 X -Y    
S
2
X
X

2

nx
v 
 Y
ny
2
 S2
Sy 
X



n
n
x
y


S
2
x
 tv
Sy
nx 
nx  1
2

S
2
y
2
ny 
ny  1
2
65
1.5.6.
ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL COCIENTE DE VARIANZAS
X  N   x , x   n x
Y  N   y ,
y
 n
y
x
y
1,
1,
..... x n 
..... y n 
A )  x y  y son conocidas
B )  x y  y son desconocidas
66
ESTADÍSTICA III
A)
Sx 
2
Sy 
2
nx
1

nx
1
ny
(X i  x)
2
i 1
ny

(Xi  y)
2
i 1
n
S nx 
2
x

(X i  x) 
2
i 1
2
x
S nx

2
x
2
y
S ny

2
y
nx


i 1
ny


i 1
2
 X i  x 
2




nx

x


 Xi  y

 y
2

2



ny

67
ESTADÍSTICA III
" E l cociente de dos 
n / nx
2
es una F "
2
x

2
ny
/ ny
 Fn x , n y
2
nxSx
F

2
x
n yS

2
y
2
y
nx

ny
S y
2
x
2
y
S 
2
2
x
 Fn x , n y
68
ESTADÍSTICA III
B)
L as m edias poblacionales son descono cidas
Sx 
2
nx
nx
1
nx  1

 xi  x  
2
i 1
 1 S 
2
x
nx
 x
 x 
2
i
nx

i 1
n
y
 1 S

2
y
2
y


i 1
nx
 F 
ny
y
2
x
nx


i 1
2
 xi  x 
2




n x 1

x


2
 y  y
2
i

   n y  1
 y 
 1 S x
2

n
 1 S
2
x
2
x
 1 S

2
y
2
y
nx
 1

n
y
 1
2
Sx 
2
y
S 
2
x
2
y
 Fn x 1 , n y 1
69
1.5.7
ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL
p
x
p 

n
p
num ero de éxitos
tam año m uestral

 N  p,
n

x
pq 

n 
E  x   μ;
E  pˆ   p
X  B n, p  
E ( X )  np


V A R ( X )  npq 
np
x 1
E (p)= E    E ( x ) 
 p
n
n
n
 
1
npq
pq
x
VAR   
VAR ( x) 

2
n
 n  n2
n
VAR  p 

ˆ  
pq
n
 N (0,1)
pq
n
70
ESTADÍSTICA III
Supóngase que p=0.4 representa la proporción de familias que poseen un
determinado electrodoméstico. Si se toma una muestra de tamaño n=225
familias, calcular la probabilidad de que en la misma se encuentren más de
100 familias que posean tal electrodoméstico.
x  proporción de éxitos;
x  B  225, 0.4 
E  x   np  225 * 0.4  90
V A R  x   npq  225 * 0.4 * 0.6  54


x

 N (0.4, 0.24 )
p 
n
pq
 x  npq
VAR ( p)  VAR   

 0.24 

n
n
n
 n  np
E ( p)  E   
 0.4
x
n
 
150 
0.44  0.4 


P p 

P
p

0.44

P
Z






225 
0.25 


71
ESTADÍSTICA III
EJEMPLO:
Supongamos que el 30% de la población viviendas de un país tienen más de
un cuarto de aseo. Con el fin de obtener una información más precisa se
toma una muestra aleatoria de tamaño 400 viviendas. Obtener:
P(0.25<p<0.32);P(p>0.33)
ˆ 

 N  p,

n

x
pq  
   0 .3,
n  
0 .3 * 0 .7 


400





0 . 33  0 . 3 
 0 . 25  0 . 3
P ( 0 . 25  ˆ  0 . 32 )  P
 Z 


0 . 21


400


P (  2 . 18  Z  0 . 873 )  0 . 7932


0 . 33  0 . 3

P Z 

0 .3 * 0 .7

400




 P ( Z  1 . 31 )  0 . 0951



72
1.5.8
ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES
ˆ X  ˆ Y 
 ˆ
 ˆ
pX
X
X
 ˆ Y
 ˆ Y
x
y

nx
ny
 px  py

pxqx
nx

pyqy
ny

 pY  N  p x  p y ,


pxqx
nx
pyqy 


ny 

73
ESTADÍSTICA III
Una máquina produce piezas con un tamaño que se ajusta a una distribución
normal cuyo valor medio es de 14 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que la media
de una muestra de tamaño 20 sea menor que 13.5 cms, sabiendo que la
cuasivarianza muestral ha sido de 8 cm2 ?→ X  N   ,14  →DISTRIBUC.
MUESTRAL DE LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA NO SE CONOCE Y n ES
PEQUEÑO
X  N   ,14   P  x  13 . 5 

S 
8 

X  N   ,
  N  14 ,

20 
n


X 
S
 t n 1
n

13 . 5  14

P  X  13 . 5   P t n 1 

8
20

P t 19  1 . 25   0 . 22





74
ESTADÍSTICA III
Sea X=nº de bajas laborales en la provincia de Las Palmas
Sea Y=nº de bajas laborales en la provincia de Santa Cruz
Se sabe que ambas variables se distribuyen normalmente.
L.P
6 8 9 5 0 1 4 2 0 1
Tfe.
3 4 2 2 1 0 5 0 1 3
¿Hay más accidentes en la provincia de LP que en la de Tfe? P (( x  y )  0 )
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS CUANDO NO SE
CONOCEN LAS VARIANZAS POBLACIONALES
A )
X
 
Y
B )
X
 
Y
tn x  n y  2 
X
nX

P  tn x  n y  2 


 Y


 1 s x
2
X
nX
 Y
   
  n  1 s
x
y
y


 1 s x
2

2
y
   
  n  1 s
x
y
y
2
y

 


75
ESTADÍSTICA III
Se sabe que la proporción de personas que acuden al cine es de 40%.
Si se toma una muestra de tamaño 150 españoles, calcular la
probabilidad de que en la misma nos encontremos con más de 50
personas que han ido al cine.
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE
PROPORCIONES
50 

P  ˆ 

150


pq 
0 .4 * 0 .6 


ˆ
  N  p,
  N  0 .4 ,

n
150




ˆ  
 N ( 0 ,1)
pq
n
50


 0 .4 

100

P Z 
0 .4 * 0 .6 



150


76
ESTADÍSTICA III
DIST. MUESTRAL
MEDIA CUANDO
 

X  N  ,

n 

VARIANZA ES CONOCIDA
x -

 N (0 ,1 )
n
a ) n e s gra n d e
MEDIA CUANDO
S 

x  N  ,

n 

VARIANZA ES DESCONOCIDA
x -
 N (0 ,1 )

n
b) n es pequeño
S 

x  N  ,

n 

x -

 t n 1
n
VARIANZA
2
Sx 
A )  x y  y son conocidas
Sy  x
2
B )  x y  y son desconocidas
…
2
Sx 
2
y
Sy  x
2
proporción
Etc…..
p

 N  p,
n

x
pq 

n 
2
y
2
ˆ  
pq
n
2
 Fn x , n y
 Fn x  1 ,n y  1
 N ( 0 , 1)
77
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