Rotación de un cuerpo rígido
Física I
Contenido
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Velocidad angular y aceleración angular
Cinemática rotacional
Relaciones angulares y lineales
Energía rotacional
Cálculo de los momentos de inercia
Teorema de los ejes paralelos
Ejemplos de momento de inercia
Momento de torsión
Momento de torsión y aceleración angular
Trabajo, potencia y energía
Velocidad angular y aceleración
angular
Rotación de un cuerpo rígido
alrededor de un eje que pasa por O.
El punto P se mueve a lo largo de un
círculo de radio r. El arco que describe
esta dado por:
s  rq
y
q 
s
r
P
r
O
q
x
Donde q está medido en radianes.
La velocidad angular promedio se
define como:
 
q 2  q1
t 2  t1

q
t
La velocidad angular
instantánea es:
  lim
La aceleración angular
promedio se define como:
 
La aceleración angular
instantánea es:
q
t  0
t
 2  1
t 2  t1
  lim
t  0

dq
dt


t

t

d
dt
Al rotar alrededor de un eje fijo, toda partícula sobre un
cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular y la misma
aceleración angular.
Cinemática rotacional
Las ecuaciones de cinemática se cumplen para movimiento
rotacional sustituyendo x por q, v por , a por . De esta
forma si  = 0 y q = q0 en t0 = 0 se tiene:
   0  t
q  q 0   0 t  12  t
2
   0  2 q  q 0 
2
2
Relaciones angulares y lineales
La velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular
de la siguiente manera:
v
ds

dt
dr q
r
dt
dq
dt
v  r
Similarmente para la aceleración:
a
dv
dt
a  r

dr 
dt
r
d
dt
Ejemplo
En un disco compacto el láser barre la superficie del disco desde
un radio de 23 mm a 58 mm a una velocidad lineal de 1.3 m/s.
Calcule la rapidez en las pistas interior y exterior. El tiempo de
reproducción es de 74 min y 38 s ¿Cuántas revoluciones de el
disco durante ese tiempo? c) ¿Cuál es la longitud total de la pista
del disco? d) ¿Cuál es la aceleración angular durante todo el
intervalo?
La velocidad v siempre es
tangente a la trayectoria
La aceleración lineal en un
punto es a = at +ar
y
y
a
v
O
q
P
ar
P
r
at
x
r
O
q
x
Energía rotacional
Un objeto rígido gira alrededor del
eje z con velocidad angular . La
energía cinética de la partícula es:
Ki 
1
2
miv
La energía total del objeto es:
1
2
La energía total de rotación es la
suma de todos los Ki:


  m r 
KR
Ki 
1
2
1
2
2
2
Donde I es el momento de inercia
definido como:
2
i
I 
KR 
I
m i vi 
2
1
2

m i ri
2
y

m i ri 
2
vi
2
mi
ri
2
i i
O
q
x
Ejemplo
Molécula de oxígeno
z
mO = 2.66 x 10-26 kg
d = 1.21 x 10-10 m
d
 = 4.60 x 1012 rad/s
x
y
Calcular I, KR
Ejemplo
Calcular Iy e Iz
m
b
M
a
M
a
b
m
Cálculo de los momentos de
inercia
El cálculo de momentos de inercia puede hacerse mediante
la integral:
I  lim
mi  0

ri  m i 
2
 r dm
2
Para un objeto tridimensional es conveniente utilizar la
densidad de volumen:
  lim
V  0
m
V

dm
dV
Entonces:
I 

 r dV
2
Teorema de los ejes paralelos
El teorema de los ejes paralelos establece que el
momento de inercia alrededor de cualquier eje que
es paralelo y que se encuentra a una distancia D del
eje que pasa por el centro de masa es
I = ICM + MD2
Ejemplos de momento de inercia
Aro o cascarón
cilíndrico
I CM  MR
2
Barra delgada larga
con eje de rotación
que pasa por el
2
centro.
I CM  121 ML
Cilindro sólido
o disco
I CM 
1
2
MR
Cilindro hueco
2
I CM 
1
2

M R1  R 2
2
2

Barra delgada larga
con eje de rotación
que pasa por el
extremo.
I 
1
3
Placa rectangular
I CM 
1
12

M a b
2
2

Esfera sólida
I CM 
2
5
MR
Esfera hueca
2
I CM 
2
3
MR
2
ML
2
Momento de torsión
Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que gira alrededor de un
eje, el objeto tiende a girar en torno a ese eje. La tendencia de la fuerza a
hacer girar se le llaman momento de torsión t. El momento de torsión
asociado con la fuerza F es:
t  rFsen f = Fd
Donde d es el brazo de momento (o brazo de palanca) de F.
F
F sen f
r
f
F cos f
La fuerza F1 tiende a hacer girar contra
las manecillas del reloj y F2 a favor de
las manecillas del reloj. El momento de
torsión es:
d1
tneto = t1 + t2 = F1d1  F2d2
f
F1
O
O
d
Línea de
acción
d2
F2
Ejemplo
y
Calcular momento de torsión neto
F1
R1
R2
x
z
F2
F1 = 5 N, R1 = 1 m, F2 = 15 N, R2
= 0.5 m
Momento de torsión y
aceleración angular
Una partícula de masa m gira alrededor de un círculo de radio r,
el momento de torsión alrededor del centro del círculo es:
t = Ftr = (mat)r = (mr)r = mr2
O bien:
Ft
t = I
m
El momento de torsión que actúa
sobre la partícula es proporcional
a su aceleración angular.
Fr
r
Para un cuerpo rígido, el elemento dm tendrá una aceleración
angular at. Entonces
dFt = (dm)at
El momento de torsión será:
dt = rdFt = (r dm)at = (r2 dm)
y
El momento de torsión total es la
integral de este diferencial:
dFt
t neto 
 r
t neto  I 
2

dm
r
dm     r dm
2
x
O
ejemplo
El momento de torsión es:
t = Fd = Mg(L/2)
L/2
La aceleración angular es
 
pivote
Mg
t
I

MgL / 2
1 / 3 ML
2

3g
2L
La aceleración lineal del extremo es
a = L = 3/2 g
Ejemplo
 
t

TR
I
I
M
La 2a ley de Newton
F y  mg  T  ma
T
R
a
mg  T
 R 
m
T
I
mg
T 
1
mR
2
I
m
g
a
I
1
mR
 
a
R
M = 2 kg, R = 30 cm, I = 9.90 kg m2, m = 0.5 kg

TR
2
g
R
I
mR
2
T2
Máquina de Atwood
Segunda ley
m1g – T1 = m1a
+
T1
T3 – m2g = m2a
T3
Momento de torsión sobre las poleas
m1
m2
(T1 – T2) = I
+
(T2 – T3) = I
T1
m1
m1g
T3
n1
T2
T2
n2
m2
m2g
T1
mPg
mPg
T3
Resolviendo se obtiene para la
aceleración
a
m1  m 2  g
m1  m 2  2
I
R
2
Trabajo, potencia y energía
El trabajo hecho por la fuerza F al girar el cuerpo rígido es:
dW = F · ds = (F sen f) r dq = t dq
La tasa a la cual se hace
trabajo es:
dW
dq
F
f
ds
dq
r
t
P 
dt
t
dt
Es fácil mostrar que:
P
W 
q
q
0
t dq 


I d  
1
2
I 
2
1
2
I 0
2
0
O
El trabajo realizado por las fuerzas externas al hacer girar
un objeto rígido simétrico alrededor de un eje fijo es igual
al cambio en la energía rotacional del objeto.
Ejemplo
Ei = U = MgL/2
 
3g
L
Ef = KR = I2/2
Ejemplo
K = Kf – Ki = (½m1vf2 + ½m2vf2 + ½If2 ) – 0
R
K + U1 + U2 = 0
U1 = m1gh
m2
h
U2 = m2gh
h
m1

 2  m  m  gh
2
1
vf  
 m  m  I

2
2
  1
R





 
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