Capítulo 9
Modelos de Espera
Departamento de Informática
Universidad Técnica Federico Santa María
1
Simulación/2002
Héctor Allende
Introducción
Una línea de espera es la resultante de un
sistema cuando la demanda por un bien o
servicio supera la capacidad que puede
proporcionar dicho sistema.
Un sistema está formado por un conjunto de
entidades que en paralelo proporcionan el bien
o servicio donde las transacciones ingresan
aleatoriamente al sistema
2
Simulación/2002
Héctor Allende
Ejemplos de Líneas de Espera
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Redes de Comunicaciones y Computadores
Tareas en un Computador
Cajas en Supermercado o Bancos
Modelos de Tráfico en una Ciudad ( T-A -M)
Líneas de Producción e Inventario
Talleres de Reparación
Hospitales
Estaciones de Bomberos
Sistemas de Distribución o Logísticos
3
Simulación/2002
Héctor Allende
Introducción
Elementos de estudio de dichas líneas de espera serán
entonces los tiempos asociados a cada uno de los
procesos que se desarrollan y las llegadas de las
transacciones al sistema.
Debido a que las variables están fuera del control del
tomador de decisiones, será necesario realizar el
modelado utilizando procesos estocásticos.
4
Simulación/2002
Héctor Allende
Esquema Líneas de Espera
Clientes que entran
al Sistema de Servicio
y Esperan ser Atendidos
Población o
Fuente de
Entrada de
Clientes
Al Sistema
SISTEMA
Instalaciones
de Servicio
Clientes Servidos
salen del Sistema
de Servicio y
vuelven a la
Población
Algunos Clientes
pueden no entrar
al sistema de
Servicio
5
Simulación/2002
Héctor Allende
Definición Básica
Una línea de espera puede modelarse como un
proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se
define como el
número de transacciones en el
sistema en un momento dado.
El conjunto de valores que puede tomar dicha variable
es { 0, 1, 2, 3, 4,.......,N } y cada uno de ellos tiene
asociada una Prob.de ocurrencia {P0, P1, P2........, PN }
6
Simulación/2002
Héctor Allende
Objetivo del Estudio
Determinar el nivel de desempeño del sistema:
• Cantidad de entidades presente
• Velocidad del Servicio en el sistema
Interesa minimizar el costo total del sistema
Los costos de transacciones dan cuenta de la pérdida por
tiempo de espera o la pérdida de clientes por abandono del
sistema.
Los costos de proporcionar el servicio, dan cuenta de los
salarios, energía, mantención, etc.
7
Simulación/2002
Héctor Allende
Objetivo del estudio
Matemáticamente :
Min {Ct} = Ce S + C q Lq
donde
S = 1,2,3,4.........
Lq= f {S,E(t),.......}
Donde:
S: Número de entidades que proporcionan servicio.
E(t): tiempo promedio de Servicio.
Lq: : Número de transacciones en espera.
Ce : Costo de servicio por entidad - tiempo.
Cq : Costo de servicio por transacción - tiempo.
Ct : Costo total por unidad de tiempo
8
Simulación/2002
Héctor Allende
Optimización de Costos
$/tiempo
Costo de servicio
Ct
Costo de servicio
Ct mínimo
Ce.S
Costo de espera
Cq.Lq
S*
No. de Servidores
9
Simulación/2002
Héctor Allende
Líneas de Espera (LE)
• Los modelos de LE nos permitirán estudiar
este tipo de fenómeno y determinar:
Tiempo de Espera Promedio de los Clientes
Largo Promedio de la LE
Factor de Utilización de Servidores
Distribución Tiempos de Espera (Difícil)
Tiempos Ociosos
Eficiencia del Sistema
Pérdidas de Clientes
10
Simulación/2002
Héctor Allende
Elementos Básicos de M-LE
• Población: Fuente de Entradas
– Tamaño Poblacional:
 Infinito ; Finito
– Patrón de Llegadas : Tasa de Llegada
– Patrón de Salidas :
 Cliente Satisfecho
 Cliente vuelve a la LE.
– Actitudes de los Clientes
 Cambios
 Renuncias etc.
11
Simulación/2002
Héctor Allende
Estructura General Sistema Espera
Servidores
en paralelo
Entrada al
Sistema
Salida del
Sistema
Fila
Fuente de
Transacciones
potenciales
12
Simulación/2002
Héctor Allende
Estructura
Los elementos básicos constituyentes
sistema de espera son los siguientes:
de un
 Servidor
 Fila o Cola
 Transacciones Potenciales
13
Simulación/2002
Héctor Allende
Servidor
Representa el mecanismo por el cual las
transacciones reciben de una manera completa el
servicio deseado.
Sus principales características son:
La Cantidad asignada a cada fila existente en
el sistema.
La distribución de probabilidad del Tiempo de
Atención a las transacciones o (Velocidad de
Servicio)
14
Simulación/2002
Héctor Allende
Fila
Es el conjunto de Clientes que espera ser atendido por alguno
de los servidores del sistema.
Sus principales características son:
Capacidad : Es la cantidad máxima de transacciones que
puede albergar cada fila existente en el sistema.
De acuerdo a esto se clasifican en finitas o infinitas.
Orden : Es la forma como los Clientes son extraídas de la
fila para su atención.
Ejemplos: FIFO, prioridad, aleatorio, etc.
Forma de salir : como sale de la fila
mediante el proceso de servicio
mediante factores de abandono : insatisfacción,
desesperación, etc.
15
Simulación/2002
Héctor Allende
Transacciones Potenciales
Representan el número de clientes potenciales que
podría requerir el servicio proporcionado por el
sistema.
Sus principales características son:
El Tamaño del conjunto de potencial de
clientes.
La distribución de probabilidad del Tiempo
entre llegadas o tasa de entrada promedio.
16
Simulación/2002
Héctor Allende
Nomenclatura
S
n
N
n
n
E(t)
V(t)
E(a)
V(a)
C
C
C
2
a
2
s
2
p
número de servidores
número de clientes en el sistema
número máximo de clientes permitidos en el sistema
flujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sistema
capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistema
tiempo promedio de proceso por cliente
varianza del tiempo de proceso
tiempo promedio entre llegadas
varianza del tiempo entre llegada
Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que entran
al sistema.
Coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio.
Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen
del sistema.
17
Simulación/2002
Héctor Allende
Nomenclatura
pii
Pn
L
Lq
W
Wq

Ct
Ce
Cq
Probabilidad de que el sistema cambie del estado i a un estado j
después de un intervalo de tiempo
Probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el
sistema
Número promedio de clientes en el sistema
Número promedio de clientes en la fila
Tiempo promedio de permanencia en el sistema
Tiempo promedio de permanencia en la fila
Factor de utilización promedio del servicio
Costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de
tiempo
Costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo
Costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo
18
Simulación/2002
Héctor Allende
Clasificación de Kendall y Lee
Kendall y Lee 1953
Proponen un sistema de clasificación para sistemas
de líneas de espera, el cual considera seis de las
características mencionadas en la estructura de los
modelos.
El cual tiene el siguiente formato
(a/b/c)(d/e/f)
19
Simulación/2002
Héctor Allende
Clasificación de Kendall y Lee
Donde
a
Distribución de probabilidad del tiempo entre
llegadas de las transacciones
b
Distribuciones de probabilidad del tiempo de
servicio.
Símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:
D:
constante
Ek:
distribución Erlang con parámetro k
G:
cualquier tipo de distribución
GI:
distribución general independiente
H:
distribución hiperexponencial
M:
distribución exponencial
20
Simulación/2002
Héctor Allende
Clasificación de Kendall y Lee
c
número de servidores
d
orden de atención de los clientes
Símbolos utilizados en este campo son:
e
f
FIFO : primeras entradas, primeros servicios
LIFO : últimas entradas, primeros servicios
SIRO : orden aleatorio
PR : con base en prioridades
GD : en forma general
número máximo de clientes que soporta el
sistema en un mismo instante de tiempo
número de clientes potenciales del sistema de
líneas de espera
21
Simulación/2002
Héctor Allende
Ejemplos
Un modelo (M/D/3)(FIFO/20/20) representa la clasificación
de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo
atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas,
primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El
sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían
encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El
tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución
exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los
servidores ocupados, pasan a formarse de una fila común.
22
Simulación/2002
Héctor Allende
Clasificación de Kendall y Lee
Respetando la clasificación Kendall y Lee, es posible
agrupar los diferentes modelos de una manera donde los
procesos Markovianos y los no Markovianos se separan
claramente.
Los Markovianos se dividen en modelos de capacidad finita
y modelos de capacidad Infinita.
Los No Markovianos, se clasifican en modelos con tiempos
entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios con
cualquier tipo de distribución.
23
Simulación/2002
Héctor Allende
Clasificación de Kendall y Lee
Mediante fórmulas generales
Mediante cadenas de
Markov de estado
finito
(M/M/S)
(d/N/f)
(M/M/1) (FCFS/N/)
(M/M/1) (FCFS/N/N)
(M/M/S) (FCFS/N/)
Mediante el factor de
corrección K
(G/G/1) (FCFS/ / )
Mediante la fórmula de
Pollaczek- Khintchine
(M/G/1) (FCFS/  / )
Mediante cadenas de Markov
y series geométricas
(M/M/S) (FCFS/N/N)
(M/M/S)
(d/  / )
(M/M/1) (FCFS/  / )
Mediante el cálculo de límite superior
(G/G/S) ( FCFS //)
(M/M/S) (FCFS/  / )
24
Simulación/2002
Héctor Allende
Medidas de desempeño
Medidas de desempeño:
Utilización de Servicio
Tasa de entrada Promedio
Número Promedio de Clientes en el sistema
Número promedio de Clientes en la fila
Tiempo promedio de espera en el sistema
Tiempo promedio de espera en la fila
Coeficiente cuadrado de variación
25
Simulación/2002
Héctor Allende
Ecuaciones Generales
Utilización de Servicio


s
N
Tasa de entrada Promedio
 
 P
n0
Número Promedio de
clientes en el sistema
n
n
N
L 
nP
n0
n
L  Lq  S
26
Simulación/2002
Héctor Allende
Ecuaciones Generales
Número promedio de
clientes en la fila
Tiempo Promedio de
espera en el sistema
Tiempo promedio de
espera en la fila
N
Lq 
 (n  s) P
ns
W 
L

W  W q  E (t )
Wq 
Lq

27
Simulación/2002
n
Héctor Allende
Ecuaciones Generales
Coeficiente cuadrado de variación
Tiempo entre llegadas
Tiempo de servicio
Tiempo entre salidas del
servicio
C
2
a
C
2
s


V (a )
 E ( a )
2
V (t )
 E (t )
2
C p  C a (1   )  C s 
2
2
2
2
28
Simulación/2002
Héctor Allende
2
Procesos Markovianos
El proceso estocástico asociado a una línea de espera
tiene la propiedad markoviana, es decir la probabilidad
condicional de llegar a un estado futuro depende
exclusivamente del estado actual en el que se
encuentre el sistema, sin importar el estado inicial de
dicho sistema.
Las probabilidades condicionales deben cumplir con
p ij  0
 i, j
N

p ij  1
i
j0
29
Simulación/2002
Héctor Allende
Procesos Markovianos
Las probabilidades de estado estacionario Pj representan
el comportamiento Probabilístico de cada estado del
sistema a largo plazo y se calculan a partir de las
probabilidades de transición( del estado i al estado j) de
un paso de acuerdo con las Probabilidades de transición
de acuerdo con
lim
n 
N
p
n
ij
 Pj
Pj 

Pi p ij
j0
N
Pj  0

Pj  1
j0
30
Simulación/2002
Héctor Allende
Matriz de probabilidades a un paso
Estado Futuro
0
 p 00

p 10
1

2  p 20

...
...

N p
 N0
0
Estado
Actual
1
2
...
p 01
p 02
...
p 11
p 12
...
p 12
p 22
...
...
...
...
pN1
pN 2
...
N
p0 N 

p1 N

p2N 

... 
p NN 
31
Simulación/2002
Héctor Allende
Procesos Markovianos
La matriz Probabilidades a un paso genera un sistema de
ecuaciones
con
N+1
incógnitas,
N+1
ecuaciones
independientes y una ecuación redundante que debe ser
eliminada.
P0  p 00 P0  p 10 P1  p 20 P2  ......  p N 0 PN
P1  p 01 P0  p 11 P1  p 21 P2  ......  p N 1 PN
P2  p 02 P0  p 12 P1  p 22 P2  ......  p N 2 PN
PN  p 0 N P0  p 1 N P1  p 2 N P2  ......  p NN PN
P0  P1  P2  ......  PN  1
32
Simulación/2002
Héctor Allende
Matriz de probabilidades
La solución a este sistema de ecuaciones origina los
valores de las probabilidades estacionarias independientes
del estado en que se encuentra el sistema inicialmente.
0
0
Estado
1
Actual
2
...
N
 P0

P
 0
 P0

 ...
P
 0
Estado Futuro
1
2
...
P1
P2
...
P1
P2
...
P1
P2
...
...
...
...
P1
P2
...
N
PN 

PN

PN 

... 
PN 

33
Simulación/2002
Héctor Allende
Ejemplo
Datos del ejemplo: Consultorio de Salud
• Número total de observaciones del SM: 73
• Intervalo entre observación: 5 Minutos
• Tabla de relaciones existente entre datos
0
0
Estado
1
Actual
2
3
4
3

8

5

5
1

Estado Futuro
1
2
3
5
2
0
7
0
1
5
5
5
0
10
0
0
0
0
4
0

4

5

0
1

34
Simulación/2002
Héctor Allende
Ejemplo
La matriz anterior se explica como:
• De las 73 observaciones, en 10 de ellas el
sistema estuvo en estado 0 y 5 minutos
después el sistema había permanecido igual
en 3 ocasiones, había cambiado a estado 1
en 5 ocasiones, había cambiado a estado 2
en 2 ocasiones, y no se observaron cambios a
los estados 3 y 4.
35
Simulación/2002
Héctor Allende
Ejemplo
Calculando la probabilidad condicional de estado
presente i al estado futuro j, se obtiene la siguiente
matriz a un paso:
0
Estado
Actual
0  0 .3

0 .4
1

2  0 .2

3  0 . 33
4 
 0 .5
1
Estado Futuro
2
3
0 .5
0 .2
0
0 . 35
0
0 . 05
0 .2
0 .2
0 .2
0
0 . 66
0
0
0
0
4
0 

0 .2

0 .2 

0 
0 .5 

36
Simulación/2002
Héctor Allende
Ejemplo
Donde claramente
N

p ij  1
para
i  0 ,1 .... 4
j0
Aplicando las ecuaciones de estado estacionario a la matriz de un
paso, se obtienen las ecuaciones
P0  0 . 3 P0  0 . 4 P1  0 . 2 P2  0 . 33 P3  0 . 5 P4
P1  0 . 5 P0  0 . 35 P1  0 . 2 P2
P2  0 . 2 P0  0 . 2 P2  0 . 66 P3
P3  0 . 05 P1  0 . 2 P2
P4  0 . 2 P1  0 . 2 P2  0 . 5 P4
P0  P1  P2  P3  P4  1
37
Simulación/2002
Héctor Allende
Ejemplo
Resolviendo el sistema de ecuaciones
P0  0 . 355
P1  0 . 310
P2  0 . 122
P3  0 . 041
P4  0 . 173
Número promedio de transacciones en la cola
N
Lq 
 (n  s) P
n
 0 ( 0 . 310 )  1( 0 . 122 )  2 ( 0 . 041 )  3 ( 0 . 173 )
ns
L q  0 . 7179
38
Simulación/2002
Héctor Allende
Procesos Markovianos
Característica principal:
Distribución de probabilidad que define la
llegada y salida de transacciones del sistema:
sigue una ley Poisson.
Para un intervalo de tiempo t esta dado
por:
x0!
p ( X  x0 |  t ) 
x 0  0 ,1, 2 ....
(  t ) 0 e
x

t
39
Simulación/2002
Héctor Allende
Procesos Markovianos
Condiciones que se deben cumplir
•Solamente puede ocurrir una llegada entre t y t.
•Solamente puede ocurrir una salida entre t y t.
•Solamente puede ocurrir una llegada o una salida
entre t y t.
Por lo que el cambio de estado de n a n+1 se lleva a cabo
al ocurrir una llegada.
Un cambio de estado de n a n-1 solo ocurre cuando se
produce una salida.
40
Simulación/2002
Héctor Allende
Matriz de probabilidad a un paso
Estado Futuro
0
 p 00
0

p
1  10
Estado
 0
2

Actual
3  0
 .
.

N-1 0

N  0
1
2
3
...
N-1
N
p 01
0
0
...
0
p 11
p 12
0
...
0
p 21
p 22
p 23
...
0
0
p 32
p 33
...
0
.
.
.
.
.
0
0
0
...
p N 1 , N  1
0
0
0
...
p N , N 1


0

0 

0 
. 

p N 1 , N 
p N , N 
0
41
Simulación/2002
Héctor Allende
Procesos Markovianos
Lo cual conduce a:
p
 ( t )e
n
n, n  1
  n t
  n t
   t n  0 ,1, 2 ,......, N  1
n
p
 (  t )e
n
n, n  1
p
 1    t    t n  0 , 1, 2 ,......, N
n
n, n
n
   t n  0 , 1, 2 ,......, N
n
42
Simulación/2002
Héctor Allende
Ecuaciones de Balance
De la matriz se obtienen las ecuaciones de balance
P0  p 00 P0  p 10 P1
P1  p 01 P0  p 11 P1  p 21 P2
PN 1  p N  2 , N 1 PN  2  p N 1 , N 1 PN 1  p N , N 1 PN
PN  p N 1 , N PN 1  p NN PN
P0  P1  .......... ..  PN  1
43
Simulación/2002
Héctor Allende
Ecuaciones de Balance
Sustituyendo se obtiene
P0  (1   0  t ) P0  (  1  t ) P1
P1   0  tP0  (1   1  t   1  t ) P1   2  tP2
PN 1   N  2  tPN  2  (1   N  1 t   N  1 t ) PN 1   N  tPN
PN  (  N  1 t ) PN 1  (1   N  t ) PN
P0  P1  .......... ..  PN  1
P1
Resolviendo el sistema
P2
P3
 0 P0

1
 0  1 P0

 1 2
 0  1  2 P0

 1 2  3
P4  ..........
..
44
Simulación/2002
Héctor Allende
Ecuaciones de Balance
Generalizando
Pn 
 0 1  2  3 .....  n 1
 1  2  3 .....  n
P0
Finalmente se obtiene
  0  0 1
 0 1  2  0  1  2 ....  n 1 
P0  1 




 1  1  2  1  2  3  1  2  3 .....  n 

45
Simulación/2002
Héctor Allende
1
Elementos Básicos de LE
• Cola de Espera
– Infinita
– Finita : Tamaño Máximo
• Instalaciones de Servicio
– Número Instalaciones
– Disposición Instalaciones de Servicio
 En Serie
 En Paralelo
 Redes de Servidores
– Distribución Tiempos de Servicio
46
Simulación/2002
Héctor Allende
Elementos Básicos de LE
• Disciplina de Servicio
– LIFO
– Aleatorio
– FIFO
– Asignación de Prioridades
A continuación realizaremos las definiciones
de las cantidades que permitirán el estudio
del comportamiento de un sistema de LE.
47
Simulación/2002
Héctor Allende
LE : Definiciones Elementales
N(t):
Número Total de Clientes en el Sistema en el tiempo t
Pn(t): Probabilidad de Estado. Probabilidad que en el
sistema se encuentren n clientes en el instante t
n(t): Tasa de llegada de clientes nuevos cuando se
encuentran n Clientes en el Sistema, en el tiempo t
n(t): Tasa de servicio para el conjunto instalación de servicio
cuando se encuentran n clientes en el sistema, en el
instante t
S:
número de servidores o estaciones de servicio de
las instalaciones de servicio del sistema
48
Simulación/2002
Héctor Allende
LE : Definiciones y Cálculos Elementales
n :Tasa de Llegada en Estado Estacionario cuando hay n clientes en el
sistema
n :Tasa de Atención de las instalaciones de servicio en estado estacionario
cuando hay n clientes en el sistema
bi : Probabilidad que existan i servidores ocupados
si hay cero servidor ocupado, entonces
hay cero clientes en el sistema
bi = Pi
probabilidad que existan i, i < s,
servidores ocupados, es igual a que
existan i clientes en el sistema
8
b0 = P0
bs =
P
n=s
n
probabilidad que existan s servidores
ocupados, es igual a que existan
s o más clientes en el sistema
49
Simulación/2002
Héctor Allende
LE : Definiciones y Cálculos Elementales
B
Número Esperado de Servidores ocupados en un
instante cualesquiera
8
B =

i*bi
[Servidores]
i=0
esto resulta ser también al número esperado siendo
atendidos en un instante dado cualquiera
Ls
Número Esperado de Clientes en el Sistema, en
cualquier instante
8
Ls =
 n Pn
[Clientes]
n=0
50
Simulación/2002
Héctor Allende
LE : Cálculos Elementales
qj
Lq
Probabilidad que existan j clientes haciendo Cola,
en un instante dado
q0 =
Pn
Probabilidad que existan cero clientes
haciendo Cola; e.o.p., que existan s o
menos clientes en el sistema
qj =
Ps+j
j = 1, 2, 3, .... Probabilidad que existan
j clientes haciendo Cola.
Longitud de la Cola: Cantidad promedio o esperado
de Clientes esperando ser atendidos, en cualquier
instante. (no incluye a los que están siendo atendidos)
j q j
j=0
Simulación/2002
8
8
Lq=
Lq =
 (n-1)Pn
n=s+1
Héctor Allende
[Clientes]
51
LE : Definiciones y Cálculos Elementales
U
Tasa de Utilización de los servidores: Razón Promedio
de ocupación por Servidor de la Instalación de Servicio
B
U =
s

Tasa Promedio de Llegada de Clientes
8
 =

n Pn
n=0
R
[Clientes]
[Tiempo]
Tasa Promedio (Esperada) de clientes que pasan:
entran y salen del sistema. El número promedio de
servicios completados por unidad de tiempo.
R =
[Clientes]
[Tiempo]
52
Simulación/2002
Héctor Allende
LE : Definiciones y Cálculos Elementales

Tasa Promedio de atención de las Instalaciones (cuando
en el sistema hay menos clientes que servidores la tasa
de atención del sistema es menor)
s
 =
 n bn
ns
n=1
Ws
tiempo esperado que un cliente cualquiera estará
en el sistema, desde que entra hasta cuando sale de él.
Ls
Ws =

Wq
Tiempo promedio que un Cliente esperará antes
de ser atendido
Lq
Wq =

Simulación/2002
Héctor Allende
53
LE : Medidas de Desempeño
Ls
Número Esperado de Clientes en el Sistema

Ls =
 nPn
n=0
Lq
Número Esperado de Clientes en la cola

Lq =
 (n-s)Pn
n=s+1
Ws
Tiempo Estimado de Espera en el Sistema
Ls =  Ws

Tasa Estimada de Llegada de Clientes
=

 nPn
54
n=0
Simulación/2002
Héctor Allende
LE : Medidas de Desempeño
Relación Tiempos de Espera
Ws = Wq + 1 / 
Relación Número Esperado de Clientes
Ls = Lq +  / 
Número Esperado de Servidores Ocupados
B = Ls - Lq =  / 
Tasa Esperada de Utilización de los Servidores
U =/s
55
Simulación/2002
Héctor Allende
PATRON de LLEGADAS
M: Markoviano
G : General
E : Erlang
DISCIPLINA
DE SERVICIO
TAMAÑO
POBLACION
: Infinita
P : Finita
DG , FIFO , LIFO
RAND, PRI
8
Notación en LE
X X , x , X , X, X
NUMERO
SERVIDORES
TAMAÑO COLA
: Infinita
K : Finita
8
PATRON del SERVICIO
M: Markoviano
G : General
E: Erlang
1: un servidor
s: s servidores
en paralelo
56
Simulación/2002
Héctor Allende
Notación en L.E. : Distribuciones
Llegadas y Salidas
• M : Distribución de Llegadas o Salidas de Poisson
o Markoviana. (Distribución Exponencial de
tiempos de servicio)
• D : Tiempo entre llegadas o de servicio constante
o determinista
• EK : Distribución de Servicio de Erlang o Gamma
de parámetro k entre llegadas o de servicio
• GI : Distribución de Llegadas General
Independiente (o tiempo entre llegadas)
• G : Distribución de Salidas General (o tiempo de
servicio)
57
Simulación/2002
Héctor Allende
Estudio de L.E.
• Todas las definiciones y ecuaciones anteriores,
junto con suposiciones acerca de las
distribuciones de llegada y salida nos permitirán
realizar el estudio de un sistema de l.e. en el
régimen transiente.
• Los cálculos se realizan en secuencia, siendo el
primer paso el cálculo de Pn como función de n y
n y así sucesivamente hasta lograr calcular todas
las medidas de desempeño definidas antes.
• La deducción de una expresión para Pn se logra en
base al diagrama de tasas de transición.
58
Simulación/2002
Héctor Allende
Estudio L.E.: Diagrama Tasas de Transición
• Dado que hay n clientes en el sistema en un
instante t, el número de clientes luego de un t
suficientemente pequeño será (n-1) si ocurrió una
salida o (n+1) si fue una entrada
n1
...
n-1
n
n+1
n
n
...
n+1
• Se obtiene la ecuación de equilibrio:
n-1Pn-1 + n+1Pn+1= ( n + n) Pn
59
Simulación/2002
Héctor Allende
Estudio L.E.: Ejemplos de Cálculo en
base a Diagramas Tasas de Transición
• A continuación ejemplificaremos el proceso de
cálculo de las medidas de desempeño de l.e. en 4
tipos de sistemas de colas definidas por tasas de
llegadas y tiempos de atención poissonianos:
M / M / 1 / DG / / 
M / M / s / DG /  / 
M / M / 1 / DG / P / 
M / M / 1 / DG /  / K
60
Simulación/2002
Héctor Allende
M / M / 1 / DG / /  :
markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita
t
0

1
t

2


3


.......
4




n
....


61
Simulación/2002
Héctor Allende
M / M / s / DG /  /  :
markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita
t
1

....
2
1t

2


s
s-1
(s1)

s
....
s+1
s

s

....
n
s
s
62
Simulación/2002
Héctor Allende
M / M / 1 / DG / P /  :
markoviano, markoviano, 1 servidor, población finita, cola infinita
(P1)
P
0
1

(P2)
2

(P-n1)
....
3


(P-n)
....
n



P

63
Simulación/2002
Héctor Allende
M / M / 1 / DG /  / K :
markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola finita

0

1


2


....
3



....
n



K

64
Simulación/2002
Héctor Allende
Estudio de otros ME
• Los 4 ejemplos anteriores corresponden a los
casos “clásicos en teoría l.e. Veamos otros
ejemplos de Poisson o Markovianos de interés:
M / M / s / DG /  / K
M / M / s / DG / P / 
Caso Finito:
M / M / s / DG / P /  s  P
Autoservicio:
M / M /  / DG /  / 
Modelo de Servicio de Máquinas:
M / M / s / DG / P / P s  P
65
Simulación/2002
Héctor Allende
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Modelos de Espera