Econometría
Modelos Pronósticos
Prof. Dr. Héctor Allende
Departamento de Informática
Universidad Técnica Federico Santa María
Modelos de Box-Jenkins.
RECORDEMOS X proceso estocástico ssi la función
es tal que X t tT sucesión de variables aleatorias
Dado X (p.e.), se definen:
 :  
 ,  ,  
1) E  X t    X t 
2) 
X
t , t  k   Cov  X t , X t  k 
X, se dice p.e. e. estricto ssi
F  X t1 ,., X t n   F  X t1  k ,., X t n  k 
Un X un p.e. e. débil ssi
E  X t    X t   cte ,  t  .

X
t , t  k    X t  h , t  h  k ,
 t , h , k  .
Se llaman autocovarianza de X y autocorrelación de X a:
 X  k   Cov
 X t , X t  k 
 X k  
Héctor Allende O.
r k 
r 0 
2
Propiedades:
1)
3) 
2 )  X k    X  k 
 X k   1
X
k    X  k 
Procesos de medias móviles (MA).
Sea X un p.e. Se dirá MA(q) si existe un ruido blanco
  a t t Ζ
y reales  1 ,  2 ,  ,  q  0 tal que
X t  a t   1 a t 1   2 a t  2     q a t  q
X t    a t ,
Propiedades:
1) Todo es un MA(q) es p.e.e.
2) 
X
k   0 ,
k  q
Héctor Allende O.
3
4.2 Procesos Autoregresivos (AR).
Sea X un p.e., se dirá autoregresivo general de orden p si existe un
ruido blanco   a t t Ζ
y reales  1 ,  2 ,  ,  p  0
tal que
X t   1 X t 1   2 X t  2     p X t  p  a t
Propiedades: AR(p)
AR ( p )
Un
no es en general estacionario.
Un AR(P) es estacionario ssi las raíces de      1   1      p  p
están fuera del círculo unitario.
Todo X p.e. AR(p):  kk  0 ,  k  p .
0
Autoregresivos de media móvil (ARMA(p;q)).
X se dirá un ARMA(p,q) general si existe un ruido blanco   a t t Ζ
reales  1 ,  2 ,  ,  p 1 ,  2 ,  ,  q , con  p  0   q  0
X t   1 X t 1   2 X t  2     p X t  p  a t   1 a t 1   2 a t  2     q a t  q
Héctor Allende O.
4
Anotando
    1  1      p 
p
    1   1      q 
q
Se tiene que:
   X t    a t
Propiedades: ARMA(p,q)
1.
2.
3.
4.
XARMA(p,q) es estacionario ssi      0
no tiene raíces
dentro del círculo unitario.
XARMA(p,q) es invertible ssi      0 no tiene raíces dentro del
círculo unitario.
XARMA(p,q) es    X t    a t ,    X k      X  k 
donde  X  k   E  X t a t  k 
función de autocovarianza cruzada.
XARMA(p,q) 
   
X
k   0 ,
k  q.
Héctor Allende O.
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4.4 Proceso ARIMA.
X se dirá un ARIMA(p,d,q) ssi  d X es un p.e.e. ARMA(p,q) con

d
 1   
d
Tres formas de visualizar un ARIMA.
1)   1    X t    a t
d
X t  1   1  X t 1     p   p 1  X t  p   p X t  p 1  a t   1 a t 1     q a t  q
d 1

2) X t 

j
at j  at
j 1

3) X t 

j
X t j  at
j 1
Ejemplo:
ARIMA(1,1,1)
1    1    X t
 a t   a t 1
X t    1    X t 1 

 
  1   
j2
X t j  at
j2
Héctor Allende O.
6
4.5 ARIMA estacional.
Diremos que X es un ARIMA estacional de orden P,D,Q y período “s” si
con raíces fuera del disco unitario grados P y Q:
 : y 
 0   s X t   0  a t
0
0
s
1  
s
     p
1
s
Es decir
ps
1   
s D
 s X es un ARMA
D
donde
s  1 
X t  1   1 B     Q B
s
Qs
a
s
XARIMA(P,D,Q)s
t
 Ps , Q s 
Obs: Diremos que X es un proceso ARIMA estacional multiplicativo de ordenes
P,D,Q, p,d,q y período “S” si existen polinomios  0 ;  0 ;  y  de
grados P, Q, p y q respectivamente, con sus raíces fuera del círculo unitario
y un ruído blanco A:
   0    s X t     0  a t
s
Notación:
d
D
s
X  ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s
Héctor Allende O.
7
Método de Box-Jenkins.
Se postula una clase
de modelos ARIMA
Identificación del modelo
tentativo: p, d, q, P, D, Q
Estimación de Parámetros
del modelo tentativo
Verificación de diagnóstico ¿Es
adecuado el modelo?
Uso del modelo con fines
de: Control, Predicción.
Héctor Allende O.
8
4.5 Identificación de modelos ARIMA.
Sea X p.e.e.
1)
lim  X  k   0 ;
 X k  
k
k 
 X 0 

X
2)
 X  k  decae rápidament
3)
MA  k 
 X k   0
4)
AR  p 
 X  k  decae exponencia
5)
ARMA
6)
φ kk : coeficient






 X
 X 1 

1

1
 
   2 ,k
  
 
 
  k ,k
1
e
 eF

  kk  0
k  p.
mente a partir de k  p.
 X k  1    1, k 


a cero
n parcial.

 1
lmente
geométrica
e de correlació

 e
k  q.
 p, q   X  k  decae
1
k
e a cero.


  1  
  X




2
  X


 


 

   k 

  X

eF
 kk   kk
Héctor Allende O.
9
4.6 Estimación de parámetros.
Se pueden utilizar los siguientes métodos de estimación:

Mínimos cuadrados condicionados [Box and Jenkins].

Máxima verosimilitud [ Denby and Martin].

GM-estimadores [ Allende and Heiler].

Etc.
    X  t      a  t 
4.7 Verificación y diagnóstico. Dado
Todos se basan en el análisis de los residuos. Se postula:


1
a t ˆ , ˆ         X
ra  k  
k 
 a 0 

a
t
nk
 1 

  aˆ t  a aˆ t  k  a
 n  k  t 1

n
2
1
ˆ
a

a
 
t
 n  t 1



Héctor Allende O.


1
Test de bondad de ajuste.
 rˆa2  k  
   2K  p  q 
Q 1  n  n  2  

k 1  n  k 
K
Test de Ljung-Box (1978).
Q 3  na
1
K
2
K

k 1
nk
  K  p q 
2
n
Función de autocovarianza residual  K 
   aˆ
t
ˆ ; aˆ t  K ˆ 
t 1  p  K
Test robusto de Portmanteau (Allende; Galbiati, 1996).
a 
Héctor Allende O.
2
 aˆ t
ˆ ; aˆ t 1 ˆ 
11
4.8 Predicciones en modelos ARMA.
    X  t  k      a  t  k 
Sean
Xˆ t  k  y aˆ t  k  los mejores predictores lineales de X t  k  y a t  k 
dado
X  s , s  t .
predictor de
Además,
Por la linealidad de los predictores tenemos que el mejor
   X t  k  es    Xˆ t  k  y   a t  k  es   aˆ t  k 
X t  k   Xˆ t  k ,
k 0
 X t  k , k  0
aˆ t  k   0 ,
 a t  k ,
siendo
k 0
k0
aˆ t  k   X t  k   Xˆ t  k 1 1 , k  0
Héctor Allende O.
12
4.9 Predicciones en modelos ARIMA.
Consideremos la predicción de un modelo ARIMA(p,d,q)
    X  t      a  t 
1) X  t      1 X  t    1      p  d X  t    p  d   a  t      q a  t  q 
2 ) X t    

  a t    j 
j
j0
3 ) X t    


j
X t    j   a t 
j 1
El mejor predictor lineal de
X t    
a partir de  X u  : u  t  o bien a u  : u  t 
X t   
 1

  a t    j     a t    j 
j
j
j0
Xˆ   
j

  a t    j 
j
j
e t    X t     Xˆ   
 1
  a t    j 
j
j0
E e t    0 ,
  1
V e t       

 j0
2
a
2
j




Héctor Allende O.
13
Luego, el mejor predictor lineal de
X t   
es
Xˆ t    E  X t     X u  : u  t 
 E  X t    a u  : u  t 
Nota:
Los errores de predicción no están correlacionados hacia adelante
e e t  , e t  j    0
Héctor Allende O.
14
4.9 Algorítmo de Predicción en ARIMA(p,d,q).
1)
Xˆ t 1   ˆ 1 X t     ˆ p  d X t  p  d   a t   ˆ1 a t  1     ˆq a t  q 
2)
aˆ t  1  X t  1   Xˆ t 1 ,
aˆ u   0 ,
Usando
t  p  d , , n
u  p  d   X u  : u  1, 2 ,  , n 
(1) Xˆ
pd
1
( 2 ) aˆ t  p  1 ,
A partir de n tenemos
repetir hasta t  n .
Xˆ n   no depende de aˆ u para   q
   Xˆ n    0 ,   máx q , p  d 
Usando aˆ t : t  p  d ; n  podemos estima:
n
ˆ 
2
a
2
aˆ t
 n  p  d 
t  p  d 1
Héctor Allende O.
15
Actualización de las predicciones
Xˆ t 1    Xˆ t   1    aˆ t 1
aˆ t 1  X t  1  yˆ t 1


  1
2
e t       j a t  j   N  0 ,  a   


j0
 j0

 1
2
j




X t   
Luego, un intervalo de confianza para
IC   X t     Xˆ t    Z  1  




2 
  1
 

 j0
Héctor Allende O.
2
j
 2
 a


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Ejemplo: Dada la serie
t
X (t)
1
2
2
1
3
-1
4
0
5
-2
6
0
        
Modelo
1  0 ,5   X t   1  0 ,5  a t 
Algorítmo
:
Estimar
ˆ a ; I 0 , 95  X 7 ; I 0 , 95  X 8 
2
Xˆ t 1   0 ,5 X t   0 , 5 aˆ t 
aˆ t  1  X t  1   Xˆ t 1 
t
X t 
Xˆ t 1 
aˆ t
aˆ t
1
2
3
4
5
6
2
1
-1
0
-2
0
1
0,5
-1,25
0,63
-2,32
1,16
0
0
-1,5
1,25
-2,63
2,32
0
0
2,25
1,563
6,917
5,382
Héctor Allende O.
2
17
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Capítulo 6 - Departamento de Informática