DISEÑO DE EXPERIMENTOS
(DESIGNS OF EXPERIMENTS (DoE))
El Propósito del Diseño de Experimentos
industriales (DoE) es comprender mejor los
procesos reales y no comprender los datos
experimentales.
“Los paradigmas de un pasado quieto y estable son
inadecuados en un presente turbulento e inestable”.
Abraham Lincoln.
Simulación/2002
Héctor Allende
Estrategias
Reducción
de
Variación
“Todo
“Los
Trabajo
Procesos
es un
son
Proceso”
Variables”
Análisis
de
Procesos
(Dinámica)
Desarrollo
de
Conocimiento
de los
Procesos
Remoción
de las
Causas
Especiales
Modificar
el
Proceso
Reducción
Mejora
de la
del
Variación
Desempeño
Control
de
Procesos
Datos de Procesos
Datos
Imprecisos
Presencia de
Variabilidad
Modelos basados en
Razonamiento aproximado
3
Simulación/2002
Héctor Allende
El Nuevo “Conocimiento” basado en datos de procesos.
debe agregar valor a los Organización
1. Data Mining (Patrones Globales, Relaciones Significativas)
2. Datos de DoE (Identificación causas, Interacciones)
3. Datos de SPC (Variación, Monitoreo, Capacidad)
Reducción de la Variación
Estrategias : Explorar Relaciones Ocultas, Explorar Curvatura,
Explorar Interacciones (relaciones control, ruido)
Proceso de Aprendizaje
Hipótesis
o Teoría
Pensamiento
deductivo
Consecuencias
Creación de
nuevas ideas
Inferencia
Verificación
de la teoría
Proceso de
Aprendizaje
Planeamiento de
experimento
Pensamiento
inductivo
Datos
5
Simulación/2002
Héctor Allende
INTRODUCCIÓN
¿QUÉ ES UN DISEÑO DE EXPERIMENTOS?
Es un experimento diseñado que consiste en
una prueba o varias de pruebas en las que se
inducen cambios deliberadamente en las
variables de entrada del Sistema (Proceso) de
manera de posibilitar la identificación de las
causas que originan los cambios en la
respuesta.
6
Simulación/2002
Héctor Allende
X1
X2
X3
Transformación
del Proceso
E
Ruido
y

Y  f  X 1 , X 2 , , X k   
y
Vector Respuesta
X 1 , X 2 , , X k

Variables Controlables
Vector Ruido
E
Entrada
7
Simulación/2002
Héctor Allende
ETAPAS EN LA
EXPERIMENTACIÓN INDUSTRIAL
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Reconocimiento de un problema.
Formulación del problema.
Especificación de las variables a medir.
Acuerdo sobre los factores y niveles a usar en el experimento.
Definición del espacio de inferencia.
Selección de las unidades experimentales.
Layout del Diseño.
Desarrollo del modelo estadístico.
Evaluación preliminar del diseño.
Rediseño del experimento.
Recolección de datos.
Análisis de los datos.
Conclusiones.
Implantación.
8
Simulación/2002
Héctor Allende
DIAGRAMA DE DISEÑO.
Formulación de hipótesis
Principios y Leyes
de tema discutido
Desarrollo de un
Diseño Estadístico
Formulación de
hipótesis
Desempeño del Experimento
Recolección de Datos
Análisis Estadístico
Interpretación de los
Resultados
Formulación de
Nuevas Hipótesis
9
Simulación/2002
Héctor Allende
INEFICIENCIA EN LA ESTIMACIÓN
CUANDO EXISTE ERROR EXPERIMENTAL.
Suponga que se desea medir el Peso de 2
objetos A y B con balanzas que tienen un error
experimental con Ley Normal N(0,2).
Modelo:
y  Pu
u N(0,2).
Para medir ambos objetos se disponen de 2
pesadas:
10
Simulación/2002
Héctor Allende
Método Clásico:
y1  PA  u 1
El EMV de
y 2  PB  u 2
PˆA  y 1 , PˆB  y 2

E Pˆ
V Pˆ
V Pˆ

 Ey   P
 V y   
 V y   
E Pˆ A  E  y 1   PA
B
A
B
2
B
2
1
2
2
11
Simulación/2002
Héctor Allende
Método Alternativo:
Un procedimiento alternativo es utilizar los 2
objetos en las 2 pesadas:
A
y3
B
y 3  PB  PA  u 3 .
12
Simulación/2002
Héctor Allende
A
B
y4
y 4  PA  PB  u 4 .
EMV
y4  y3
ˆ
PA 
2
 

ˆ
V P  
E PˆA  PA
A
2
2
Simulación/2002
y  y3
PˆB  4
2
 

ˆ
V P  
E PˆB  PB
B
2
2
13
Héctor Allende
Es decir, hemos reducido la varianza a la mitad,
lo que equivale a estimar con precisión doble.
NOTA: La clave del segundo procedimiento es
utilizar 2 observaciones en cada pesada, lo que
permite reducir la varianza a la mitad.
14
Simulación/2002
Héctor Allende
INTRODUCCIÓN
Variabilidad y Calidad : son conceptos que se
contraponen; puede definirse la calidad como la reducción
de la variabilidad.
• El DoE (estadística) es una disciplina desarrollada
específicamente para el estudio, análisis y comprensión de
la variabilidad de los procesos y de los datos.
• Una de las situaciones en las que hay más aplicación
de la metodología estadística es la que se refiere a la
determinación de factores que causan variación, y la
cuantificación del efecto que cada uno de ellos tiene sobre
esa variación. El estudio de la forma en que se combinan
los factores que afectan conjuntamente la variación. Es
uno de los objetivos principales del diseño de
Experimento.
15
Simulación/2002
Héctor Allende
1
DEFINICIONES. Se pueden definir los siguientes
conceptos:
 EXPERIMENTO. Un estudio en el que el investigador tiene un alto grado de
control sobre las fuentes de variación importantes, se denomina experimento. Si se
tiene poco control sobre los factores, se habla de un estudio observacional.
 FACTORES. Los fenómenos que potencialmente causan variación, y que son
controlados por el experimentador, se denominan factores. También a veces se
denominan tratamientos.
 NIVELES DE UN FACTOR. Son los valores que toma un factor. En general toman
valores que se miden en escala categórica, aunque a veces suelen ser medidos en
escalas numéricas.
 COMBINACIÓN DE TRATAMIENTOS. Cada una de las combinaciones de niveles de
todos los factores involucrados en el experimento.
 CORRIDA EXPERIMENTAL. Cada una de las fases en que se lleva a cabo el
experimento. Cada corrida experimental corresponde a una realización del
experimento, bajo una determinada combinación de tratamientos, y produce una
observación.
 RÉPLICAS. Todas las corridas experimentales que corresponden a una misma
combinación de tratamientos. Son repeticiones del experimento, bajo idénticas
condiciones de los factores. Objetivos: Lograr mayor precisión en la estimación de
los efectos de los factores y de sus interacciones, y estimar el error experimental.
16
Simulación/2002
Héctor Allende
1
 EXPERIMENTO BALANCEADO. Es un experimento en que todos los niveles de cada
factor aparece el mismo número de veces. Si no se da esta situación, el experimento
es desbalanceado.
 DISEÑO. La estructura constituida por los factores y los niveles que se les asignan,
en la experimentación. El diseño es la parte que controla el experimentador.
 RESPUESTA. La variable objetivo, que se pretende optimizar, y que depende
potencialmente de los factores. La respuesta es lo que se mide como resultado de la
experimentación, no es controlada por el experimentador. Es una variable medida en
escala numérica.
 EFECTO PRINCIPAL. Un efecto principal es la variación en la respuesta, atribuida al
cambio en un factor determinado, a través de sus distintos niveles.
 INTERACCIÓN. El efecto producido por la acción de un factor, influido por la
presencia de otro. Es un efecto combinado de dos o más factores. Si no existe un
efecto de interacción, se dice que los efectos de los factores son aditivos.

ERROR EXPERIMENTAL. La parte de la variabilidad que no está explicada por los
factores involucrados en el experimento.
17
Simulación/2002
Héctor Allende
1
DISEÑOS FACTORIALES 22 , CON DOS
FACTORES A DOS NIVELES
 Una fase inicial de un estudio tiene por objeto efectuar un diagnóstico, por esa
razón, basta con utilizar sólo dos niveles para cada factor. El diagnóstico no
entrega la combinación de los niveles optima, de factores, sino que nos permitirá
determinar si cada uno de ellos afecta o no la respuesta, y en qué medida, así
como nos dirá si existe o no interacción entre ambos factores.
 En estos diseños hay 22 = 4 combinaciones de tratamientos posibles, pues por
cada uno de los dos niveles de un factor hay dos niveles del otro. Por eso suele
hablarse de diseños experimentales 22, o simplemente experimentos 22 . A los
factores los designaremos por Factor A y Factor B, respectivamente.
 De los dos niveles que definimos para cada factor, a uno lo llamaremos nivel
bajo y al otro nivel alto . En ciertas situaciones se prefiere hablar de ausencia y
presencia del factor. Por ejemplo, los niveles pueden ser dos distintos procesos de
producción, o pueden ser la utilización o no utilización de un dispositivo.
18
Simulación/2002
Héctor Allende
1
NOTACIÓN: Los niveles de A los designamos por a1 y a2 ,
los de B por b1 y b2 , respectivamente.
• El siguiente esquema muestra los elementos principales de este
experimento:
1
2
3
4
5
D IS E Ñ O
C O R R ID A
E X P E R IM E N T A L
FA C TO R A
FA C TO R B
C O M B IN A C IO N D E
T R A T A M IE N T O S
R E S P U E S TA
1
2
3
4
a1
a2
a1
a2
b1
b1
b2
b2
a 1b 1
a 2b 1
a 1b 2
a 2b 2
Y 11
Y 21
Y 12
Y 22
2
T a b la d e C o m b in a c io n e s d e T ra ta m ie n to s d e l D is e ñ o E xp e rim e n ta l 2 .
19
Simulación/2002
Héctor Allende
1
• El siguiente diagrama ilustra, en forma esquemática, los
elementos que constituyen el experimento 22:
F A C TO R B
N ivel b 2
N ivel b 1
a1b2
a1b1
N ivel a 1
a2b2
a2b1
N ivel a 2
FA C T O R A
2
R e p re s e n ta c ió n g rá fic a d e l e xp e rim e n to 2 .
20
Simulación/2002
Héctor Allende
20
EJEMPLO: En la fabricación de placas de madera aglomerada, se utiliza
viruta combinada con resina de urea-formaldeido. Una característica
deseable del producto terminado, es su rigidez. Se piensa que hay
dos factores que inciden en esta característica, y que pueden
controlarse.
Uno es el tipo de resina, y el otro es el granulado de la viruta. Se
diseña un experimento en que los dos factores tienen dos niveles.
RESPUESTA: Rigidez de la placa (medida en kg.). Peso necesario para
producir una deformación de 5 milímetros.
•
•
FACTORES :
Tipo de Resina.
Granulado de Viruta.
21
Simulación/2002
Héctor Allende
2
FA C TO R E S
N IV E LE S
A : T IP O D E R E S IN A
a 1 : R esina S tandard
a 2 : R esina N uev a
B : G R A N U LA D O D E LA V IR U T A
b1 :
b2 :
F ino
G rueso
Se realizó el experimento, y la medición de las respuestas dio los siguientes
resultados:
C O M B IN A C IÓ N D E
T R A T A M IE N T O S
a 1b 1
a 2b 1
a 1b 2
a 2b 2
ESTIMACIÓN DE EFECTOS:
Efecto Promedio Global:
R ESPU ESTA
Y 11
Y 21
Y 12
Y 22
=
=
=
=
16
17
10
23
1  4 (a 1 b 1 + a 2 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 2 )
1

16  17  10  23
 16 . 5
4
22
Simulación/2002
Héctor Allende
2
Efecto Debido al Factor A:
A 
1
2
B 

+ a 2 b 2 ) - ( a 1b 1 + a 1b 2 )
17  23  16  10

Efecto Debido al Factor B:
( a 2 b 1
1
2
 7
2
( a 1 b 2
+ a 2 b 2 ) - ( a 1b 1 + a 2 b 1 )
10  23  16  17
 0
2
Efecto Debido a la Interacción AB:
AB 

1
2
( a 2 b 2
- a 1b 1 ) - ( a 1b 2 - a 1b 1 )
23  17  10  16
 6
2
Gráfico de Interacción.
R IG ID E Z (K G )
25
a2
R E S IN A
NUEVA
20
15
a1
R E S IN A
STANDARD
10
5
N IV E L b 1
FIN O
N IV E L b 2
GRUESO
R E S IN A
R ig id e z ve rsu s G ra n u la d o , e stra tifica d o p o r tip o d e R e sin a
23
Simulación/2002
Héctor Allende
23
R IG ID E Z (K G )
G RAN U LAD O
GRUESO
25
20
b1
G RAN U LAD O
FIN O
15
10
b2
5
N IV E L a 1
STANDARD
N IV E L a 2
NUEVA
R E S IN A
R ig id e z v e rs u s tip o d e R e s in a , e s tra tific a d o p o r G ra n u la d o
24
Simulación/2002
Héctor Allende
MATRIZ DE DISEÑO DEL EXPERIMENTO 22.
Los cálculos anteriores se pueden efectuar en forma resumida en
una tabla. Dicha tabla se denomina Matriz de Diseño y tiene la
siguiente forma:
E FE C TO
R E S P U E S TA
a 1b 1
a 2b 1
a 1b 2
a 2b 2
1
+
+
+
+
A
+
+
B
+
+
AB
+
+
Un efecto es un contraste si tiene tantos (+) como (-). Los efectos
correspondientes a A, B y AB son contrastes. El efecto 1 no lo es.
Dos efectos se pueden "multiplicar" de la siguiente forma:
(-,+,-,+)  (-,-,+,+) = (+,-,-,+)=AB
Si el resultado de multiplicar dos contrastes es un contraste, como
en el ejemplo anterior, se dice que los contrastes que se
multiplicaron son ortogonales.
25
Simulación/2002
Héctor Allende
25
TABLA DE RESPUESTAS
Los cálculos numéricos que se hicieron, para determinar los efectos 1,
A, B, y AB, se pueden efectuar en forma tabular, por cada efecto,
anotando las respuestas en columnas separadas, según su signo. La tabla
se denomina Tabla de Respuestas, y se muestra a continuación:
ID E N T ID A D
C O M P O N E N TE
R E S IN A
1
a 1b 1
a 2b 1
a 1b 2
a 2b 2
16
TO TA L
V E R IF IC A C IO N
FA C TO R
N E TO
D IV IS O R
E FE C TO
RANGO
66
66
B
AB
16
17
-1
17
10
23
26
16
17
10
23
66
4
1 6 .5
IN T E R A C C IO N
A
16
17
10
G R A N U LA D O
40
66
+1
14
2
7
1
10
23
33
-1
33
66
+1
0
2
0
3
23
27
-1
39
66
+1
12
2
6
2
26
Simulación/2002
Héctor Allende
26
• DIAGRAMA DE EFECTOS: Es una representación gráfica de los
efectos, que tiene por objeto comparar sus magnitudes.
22
20
18
16.5
B
16

14
A
12
T IP O D E
R E S IN A
AB
IN T E R A C C IÓ N
GRANULADO
D E V IR U T A
RÉPLICAS: Es la repetición de las corridas experimentales que
corresponden a cada combinación de tratamientos un número
determinado de veces.
Si el número de réplicas es igual para cada combinación de
tratamientos, se dice que el experimento está balanceado.
27
Simulación/2002
Héctor Allende
27
DISEÑOS FACTORIALES 23 , CON TRES
FACTORES A DOS NIVELES
• Son diseños en que hay tres factores, cada uno con dos niveles.
El número de combinaciones de trata,ientos es 8, o sea, se
duplica el número total de corridas experimentales.
• Se identificará al tercer factor con la letra C, con niveles c1 y c2
respectivamente.
TABLA DE COMBINACIONES DE TRATAMIENTOS:
C O R R ID A
E X P E R IM E N TA L
C O M B IN A C IO N D E
TR A TA M IE N TO S
1
2
3
4
5
6
7
8
a 1b 1c 1
a 2b 1c 1
a 1b 2c 1
a 2b 2c 1
a 1b 1c 2
a 2b 1c 2
a 1b 2c 2
a 2b 2c 2
R E S P U E S TA
Y 111
Y 211
Y 121
Y 221
Y 112
Y 212
Y 122
Y 222
28
Simulación/2002
Héctor Allende
28
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN EXPERIMENTO 23:
F A C TO R B
N ivel b 2
a1b2c2
a2b2c2
a2b2c1
a1b2c1
F A C TO R C
a1b1c1
a2b1c1
N ivel c 1
N ivel b 1
N ivel a 1
N ivel c 2
a2b1c2
a1b1c2
N ivel a 2
FA C T O R A
29
Simulación/2002
Héctor Allende
29
ESTIMACIÓN DE EFECTOS:
Efecto Promedio Global:
1 = 1/8 (( a1b1c1 + a2b1c1 + a1b2c1 + a2b2c1 + a1b1c2 + a2b1c2 + a1b2c2 + a2b2c2 )
Efecto Debido al Factor A:
A = ¼ ( a2b1c1 + a2b2c1 + a2b1c2 + a2b2c2 - a1b1c1 - a1b2c1 - a1b1c2 - a1b2c2 )
Efecto Debido al Factor B:
B = ¼ ( a1b2c1 + a2b2c1 + a1b2c2 + a2b2c2 - a1b1c1 - a2b1c1 - a1b1c2 - a2b1c2 )
Efecto Debido al Factor C:
C = ¼ ( a1b1c2 + a2b1c2 + a1b2c2 + a2b2c2 - a1b1c1 - a2b1c1 - a1b2c1 - a2b2c1 )
Etc.
Las cálculos anteriores se pueden resumir en la siguiente tabla:
30
Simulación/2002
Héctor Allende
30
MATRIZ DE DISEÑO DEL EXPERIMENTO
23.
C O M B IN A C IO N D E
T R A T A M IE N T O S
a 1b 1c 1
a 2b 1c 1
a 1b 2c 1
a 2b 2c 1
a 1b 1c 2
a 2b 1c 2
a 1b 2c 2
a 2b 2c 2
C O N TR A S TE S
1
+
+
+
+
+
+
+
+
A
+
+
+
+
B
+
+
+
+
AB
+
+
+
+
C
+
+
+
+
AC
+
+
+
+
BC
+
+
+
+
ABC
+
+
+
+
TABLA DE RESPUESTAS
EJEMPLO: Se construirá la Tabla de respuestas con un ejemplo.
Suponga que se tienen distintas combinaciones de tratamientos,
Presión (A), Temperatura (B) y Tiempo de Aplicación (C), con dos
niveles. Como respuesta se tienen los siguienetes índices de dureza
(Y):
31
Simulación/2002
Héctor Allende
31
RESPUESTAS OBTENIDAS EN EL EXPERIENTO 23:
C O M B IN A C IO N D E
T R A T A M IE N T O S
IN D IC E D E D U R E Z A
R E S U LT A N T E (y)
a 1b 1c 1
a 2b 1c 1
a 1b 2c 1
a 2b 2c 1
a 1b 1c 2
a 2b 1c 2
a 1b 2c 2
a 2b 2c 2
49
43
69
67
46
23
66
61
La Tabla de Respuestas completa es la siguiente:
COMPON E N TE
1
a 1b 1c 1
a 2b 1c 1
a 1b 2c 1
a 2b 2c 1
a 1b 1c 2
a 2b 1c 2
a 1b 2c 2
a 2b 2c 2
49
TO TA L
V E R IF .
FA C TO R
N E TO
D IV IS O R
E FE C TO
RANGO
424
230
1
424
8
5 3 .0
-1
A
49
43
69
66
46
66
194
424
1
36
4
9 .0
2
161
-1
263
424
1
102
4
2 5 .5
1
-1
69
66
223
424
1
22
4
5 .5
4
-1
196
424
1
32
4
8 .0
3
69
67
46
23
23
66
61
-1
43
69
66
222
49
46
23
61
228
49
67
46
23
ABC
43
67
46
61
201
49
67
66
61
BC
43
69
67
23
66
61
49
46
23
AC
43
69
67
46
23
61
43
69
67
C
49
43
69
23
AB
49
43
67
46
B
202
424
1
20
4
5 .0
5
66
61
205
-1
219
424
1
14
4
3 .5
6
61
205
-1
219
424
1
14
4
3 .5
6
32
Simulación/2002
Héctor Allende
32
•
DIAGRAMA DE EFECTOS:
65
B
60
A
C
BC
AB
55
AC
ABC
53
50
P R E S IÓ N
T IE M P O
45
40

TEM PERATURA
GRÁFICOS DE INTERACCIÓN: Otra forma de visualizar los efectos
principales y las interacciones dobles, es mediante los gráficos de
interacción. Para construirlos, se hace una tabla similar a la Tabla
de Respuestas, pero sólo con la columna de la identidad y las
columnas de las interacciones dobles. El resultado es el siguiente:
33
Simulación/2002
Héctor Allende
33
Tabla de Respuestas para la Construcción de Gráficos de Interacción:
C O M B IN A C IO N D E
1
T R A T A M IE N T O
a 1b 1
AB
BC
AC
a 2b 1 a 1b 2 a 2b 2 b 1c 1 b 2c 1 b 1c 2 b 2c 2 a 1c 1 a 2c 1 a 1c 2
a 1b 1c 1
a 2b 1c 1
a 1b 2c 1
a 2b 2c 1
a 1b 1c 2
a 2b 1c 2
a 1b 2c 2
a 2b 2c 2
49
49
TO TA L
V E R IF IC A C IO N
P R O M E D IO
424
95
66
135
5 3 .0
4 7 .5
3 3 .0
6 7 .5
43
49
43
69
49
69
67
46
43
69
67
69
67
46
23
67
46
23
66
46
23
66
61
23
66
61
128
424
6 4 .0
a 2c 2
49
66
61
92
136
69
4 6 .0
6 8 .0
3 4 .5
127
424
6 3 .5
61
118
110
112
5 9 .0
5 5 .0
5 6 .0
84
424
4 2 .0
34
Simulación/2002
Héctor Allende
34
Gráfico de Interacción.
IN D IC E D E
DUREZA
IN D IC E D E
D U REZA
P R E S IÓ N
70
b2
a1
TEM PERATURA
70
60
40º C
60
50º C
10 P S I
50
50
b1
40
a2
20 PSI
40
30
30º C
30
20
20
C
A
a1
10 P S I
a2
20 P S I
c1
15 M IN
c2
25 M IN
P R E S IÓ N
IN D IC E D E
D U REZA
T IE M P O D E
A P L IC A C IÓ N
T IE M P O D E
A P L IC A C IÓ N
70
1 5 M IN
60
c1
2 5 M IN
50
40
c2
30
20
B
b1
30º C
b2
50º C
TEM PERATURA
G ra fic o s d e in te ra c c io n d e A B , d e B C y d e A C
35
Simulación/2002
Héctor Allende
35
DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS.




El número de combinaciones de tratamientos para llevar a cabo un
experimento factorial de k factores a dos niveles cada uno, es 2k. Si
k , disponer de 2k combinaciones de tratamientos es
sumamente costoso.
Se habla de un Experimento Factorial Fraccionario cuando es
posible realizar el experimento con menos combinaciones de
tratamientos.
FRACCIÓN: Es el número de combinaciones de tratamientos que
quedan al dividir el número total de combinaciones de tratamientos
por una potencia de 2. También se le denomina Bloque.
EXPERIMENTO FRACCIONADO BALANCEADO: Es lo que resulta al
escoger un bloque que sea fracción de 1/p del total de
combinaciones de tratamientos (p<k) y procurando, además, que
los niveles de todos los tratamientos aparezcan el mismo número
de veces.
36
Simulación/2002
Héctor Allende
36
NOTACIÓN: 2k-p, experimento a una fracción 1/2p.
Diseño 22 fraccionado en dos bloques parciales:
B LO Q U E I
B LO Q U E II
a 1b 1
a 2b 2
a 2b 1
a 1b 2
Diseño 23 fraccionado en dos bloques parciales:
B LO Q U E I
B L O Q U E II
a 1b 1c 1
a 2b 2c 1
a 2b 1c 2
a 1b 2c 2
a 2b 1c 1
a 1b 2c 1
a 1b 1c 2
a 2b 2c 2
Diseño 23 fraccionado en cuatro bloques:
B LO Q U E I
B LO Q U E II
B LO Q U E III
B LO Q U E IV
a 1b 1c 1
a 2b 2c 2
a 2b 1c 1
a 1b 2c 2
a 1b 2c 2
a 2b 1c 2
a 1b 1c 2
a 2b 2c 1
37
Simulación/2002
Héctor Allende
37
EFECTOS CONFUNDIDOS

Observe la siguiente matriz de diseño 23, agrupadas en dos
bloques según el diseño 23-1:
C O N TR A S TE S
C O M P O N E N TE
B LO Q U E
I
B LO Q U E
II
a 1b 1c 1
a 2b 2c 1
a 2b 1c 2
a 1b 2c 2
a 2b 1c 1
a 1b 2c 1
a 1b 1c 2
a 2b 2c 2
1
+
+
+
+
+
+
+
+
A
+
+
+
+
B
+
+
+
+
AB
+
+
+
+
C
+
+
+
+
AC
+
+
+
+
BC
+
+
+
+
ABC
+
+
+
+
En cualquiera de los bloques es lo mismo probar el efecto A que el
efecto de la interacción BC. Por lo tanto, al querer medir uno de los
efectos se estará midiendo ambos a la vez. Se dice que los efecto A
y BC están confundidos. También lo está B con AC, C con AB y ABC
con 1.
38
Simulación/2002
Héctor Allende
38
Una forma de determinar cuáles grupos de efectos están
confundidos entre sí, sin tener que construír la matriz de diseño
completa, consiste en identificar el o los efectos que aparezcan
confundidos con la identidad 1, dentro de cada bloque (y por lo
tanto, están confundidos con los bloques).
Al multiplicar ABC por cada uno de los efectos, se obtienen los
siguientes resultados:
ABC  1 = ABC
ABC  A = A2BC = BC
ABC  B = AB2C = AC
ABC  AB = A2B2C = C
ABC  C = ABC2 = AB
ABC  AC = A2BC2 = B
ABC  BC = AB2C2 = A
ABC  ABC = A2B2C2 = 1
39
Simulación/2002
Héctor Allende
39
En resumen, podemos concluir que:
1 está confundido con ABC
A está confundido con BC
B está confundido con AC
C está confundido con AB
CONSTRUCCIÓN DE BLOQUES EN DISEÑOS 2K.
INTERACCIONES GENERALIZADAS: Una interacción generalizada de
dos o más efectos, es la que resulta de "multiplicar" esos efectos.
Por ejemplo, si los efectos son AB y ACD, en un diseño 24, su
interacción generalizada es el efecto AB x ACD = A2BCD = BCD; La
interacción generalizada de B y BC es C; etc.
40
Simulación/2002
Héctor Allende
40
EFECTOS INDEPENDIENTES: Un conjunto de efectos son
independientes si ninguno de ellos es interacción generalizada de
algunos de los restantes. Por ejemplo, el conjunto { A, AC, ABC } es
un conjunto de efectos independientes, pues ninguno es interacción
generalizada de los demás. Sin embargo { A, AC, ABC, C } no lo es,
pues el producto de A por AC es C.
Para definir su estructura de diseño experimental fraccionado, el
experimentador debe tomar las siguientes decisiones:
Debe decidir qué fracción del diseño completo va a utilizar, sea 1/2, 1/4,
1/8, etc. Es decir, va a utilizar un diseño 2k-p y tiene que decidir cuál va a
ser el valor de p.
Debe decidir qué efectos independientes va a confundir con 1. Es decir,
qué efectos está dispuesto a no poder cuantificar. Se prefiere confundir
interacciones de alto orden, siguiendo la regla de que, en la práctica,
mientras más alto es el orden de la interacción, probablemente su efecto
sobre la respuesta será menos significativo.
41
Simulación/2002
Héctor Allende
41
Una vez tomadas sus decisiones, el siguiente
procedimiento le permitirá construir los bloques, que
ya quedan totalmente determinados.
EJEMPLO: Se trata de un diseño 23, y se va a fraccionar a ½, es
decir, dos bloques de cuatro combinaciones cada uno. Se debe
definir un un sólo efecto a confundir con 1, en este caso AB.
•Se construye la ecuación definioria del tipo:
L = 1 x1 + 2 x2 + 3 x3
en que 1 es igual a 1 si A está presente en el efecto a confundir, 0
si no lo está; 2 es 1 si B está, 0 en caso contrario, y lo mismo para
3 . Si se desea confundir ABC, 1 = 1, 2 = 1 y 3 = 1.
42
Simulación/2002
Héctor Allende
42
•En nuestro caso queremos confundir AB, luego 1 = 1, 2 = 1 y
3 = 0, y la ecuación definitoria es
L = x1 + x2
Los términos x1 , x2 y x3 toman el valor del subíndice de a, b y c,
respectivamente, de cada combinación de tratamientos.
•Luego de calculado el valor de L, para cada combinación de
tratamientos, se forma un bloque con todas aquellas para las
cuáles L resultó ser un número par, y el otro bloque con todas
aquellas para las que L resultó ser impar. La siguiente tabla
muestra los cálculos que habría que hacer:
43
Simulación/2002
Héctor Allende
43
CONSTRUCCIÓN DE BLOQUES.
C O M B IN A C IO N D E
T R A T A M IE N T O S
a 1b 1c 1
a 2b 1c 1
a 1b 2c 1
a 2b 2c 1
a 1b 1c 2
a 2b 1c 2
a 1b 2c 2
a 2b 2c 2
E C U A C IO N
D E F IN IT O R IA
x1
1
2
1
2
1
2
1
2
x2
1
1
2
2
1
1
2
2
x3
1
1
1
1
2
2
2
2
L = x1 + x2
2
3
3
4
2
3
3
4
P A R ID A D
B LO Q U E
par
im p a r
im p a r
par
par
im p a r
im p a r
par
I
II
II
I
I
II
II
I
•Los bloques definidos en la última columna, quedan estructurados de la
siguiente forma:
B LO Q U E I
B L O Q U E II
a 1b 1c 1
a 2b 2c 1
a 1b 1c 2
a 2b 2c 2
a 2b 1c 1
a 1b 2c 1
a 2b 1c 2
a 1b 2c 2
44
Simulación/2002
Héctor Allende
44
Si aplicamos la regla vista anteriormente, para determinar qué efectos están confundidos con
cuáles otros, nos encontramos con lo siguiente:
AB  1 = AB
AB  A = A2B = B
AB  B = AB2 = A
AB  AB = A2B2 = 1
AB  C = ABC = ABC
AB  AC = A2BC = BC
AB  BC = AB2C = AC
AB  ABC = A2B2C = C
Recordemos que ahora AB está confundido con 1, por eso se "multiplican" los efectos por AB.
Podemos concluir que:
1 está confundido con AB, que era la condición bajo la cual se construyó el diseño.
A está confundido con B
C está confundido con ABC
AC está confundido con BC
45
Simulación/2002
Héctor Allende
45
RESOLUCIÓN DE UN DISEÑO
FRACCIONADO.
Un diseño fraccionado es de resolución R si, dado cualquier par de
efectos confundidos entre sí, el número total de factores contenidos en
ellos es a lo menos R.
NOTACIÓN: 2Rk-p. Para el ejemplo anterior, el diseño se expresa como 2II3-1.
Las características de los diseños con resoluciones III, IV y Vson:
RESOLUCIÓN III: No hay efectos principales confundidos entre sí, pero si
efectos principales con interacciones dobles. .
RESOLUCIÓN IV: No hay efectos principales confundidos entre sí, ni efectos
principales con interacciones dobles. Si hay interacciones dobles
confundidas entre sí. .
RESOLUCIÓN V: No hay efectos principales ni interacciones dobles
confundidos entre ellos. Si hay interacciones dobles confundidas con
triples. .
46
Simulación/2002
Héctor Allende
46
DISEÑOS FACTORIALES CON MÁS DE DOS
NIVELES.
En una etapa exploratoria, el fijar dos niveles por factor puede ser
conveniente, por economía de recursos y de tiempo. Sin embargo,
un análisis confirmatorio posterior puede requerir que algunos
factores tengan más de dos niveles.
De esta forma, surgen diseños experimentales que se designan
simbólicamente por 32 , 356, 54 , 2332 , etc.
En general, un efecto se mide por un número de contrastes igual al
producto de los números de niveles de los factores que intervienen
en el efecto, cada uno disminuido en uno. El número se denomina
grados de libertad del efecto.
GRADOS DE LIBERTAD: Es una medida de la cantidad de información
que se requiere para medir el efecto.
47
Simulación/2002
Héctor Allende
47
DISEÑOS FACTORIALES 32, CON DOS FACTORES
A TRES NIVELES.
•
•
Como ilustración, veremos un ejemplo de un diseño a dos factores, A y B, cada
uno con tres niveles. Las combinaciones de tratamientos son a1b1, a2b1, a3b1,
a1b2, a2b2, a3b2, a1b3, a2b3 y a3b3.
El siguiente es un conjunto de contrastes ortogonales, que sirven para medir los
efectos. Este conjunto constituye la Matriz de Diseño del experimento 32.
MATRIZ DE DISEÑO DEL EXPERIMENTO 32.
C O M B IN A C IO N D E
TR A TA M IE N TO S
a 1b 1
a 2b 1
a 3b 1
a 1b 2
a 2b 2
a 3b 2
a 1b 3
a 2b 3
a 3b 3
E F E C TO S
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
A2
1
-2
1
1
-2
1
1
-2
1
B1
-1
-1
-1
0
0
0
1
1
1
B2
1
1
1
-2
-2
-2
1
1
1
AB1 AB2 AB3 AB4
1
-1
-1
1
0
0
2
-2
-1
1
-1
1
0
2
0
-2
0
0
0
4
0
-2
0
-2
-1
-1
1
1
0
0
-2
-2
1
1
1
1
48
Simulación/2002
Héctor Allende
48
• También se pueden tratar los contrastes como si fueran
expresiones algebraicas, y factorizarlas, como lo hicimos en el
caso de dos niveles
Es así que el primer contraste se puede simbolizar como:
A1 = ( a3 - a1 )( b1 + b2 + b3 )
una comparación entre los efectos de los niveles 1 y 3 del factor
A. También se tiene
A2 = ( a1 - 2a2 + a3 )( b1 + b2 + b3 )
comparación entre a2 y a1 con a3 combinados. De forma análoga,
B1 = ( a1 + a2 + a3 )( b3 - b1 )
B2 = ( a1 + a2 + a3 )( b1 - 2b2 + b3 )
49
Simulación/2002
Héctor Allende
49
Observe que si sumamos A1 con A2, se forma una comparación entre los
niveles a2 y a3. De forma análoga, los cuatro contrastes para la interacción se
pueden escribir como
AB1 = ( a3 - a1 )( b3 - b1 )
AB2 = ( a3 - a1 )( b1 - 2b2 + b3)
AB3 = (a1 - 2a2 + a3)( b3 - b1 )
AB4 = (a1 - 2a2 + a3)( b1 - 2b2 + b3)
Se puede verificar, que la suma de las cuatro expresiones da
AB1 + AB2 + AB3 + AB4 = 4( a3 - a2 )( b3 - b2 )
una diferencia entre las diferencias de los efectos de a3 y a2 de A, a los niveles
b3 y b2 de B.
50
Simulación/2002
Héctor Allende
50
EJEMPLO: Suponga que las respuestas a las diferentes
combinaciones de tratamientos, en el orden a1b1, a2b1, a3b1, a1b2,
a2b2, a3b2, a1b3, a2b3 y a3b3, son, respectivamente, 59, 27, 44, 53,
27, 29, 69, 35, 48. La siguiente es la Tabla de Respuestas para este
experimento, construida en forma análoga al caso 23, y que nos
permite conocer los efectos:
51
Simulación/2002
Héctor Allende
51
TABLA DE RESPUESTAS PARA EL DISEÑO 32. PRIMERA
PARTE.
C O M PO N E N TE
a 1b 1
a 2b 1
a 3b 1
a 1b 2
a 2b 2
a 3b 2
a 1b 3
a 2b 3
a 3b 3
TO TA L
F A C TO R
T. P O N D E R A D O
N E TO
D IV IS O R
E F E C TO
RANGO
1
A1
59
59
27
44
44
53
53
27
29
29
69
69
35
48
48
391 181 121
1
-1
1
391 -181 121
391
60
9
3
43.4
20.0
2
A2
B1
59
27
44
53
59
27
44
59
27
44
53
27
29
27
29
69
B2
69
35
35
48
48
302 89 130 152
1
-2
-1
1
302 -178 -130 152
124
22
6
3
20.7
7.3
1
4
69
35
48
282 109
1
-2
282 -218
64
6
10.7
3
52
Simulación/2002
Héctor Allende
52
TABLA DE RESPUESTAS PARA EL DISEÑO 32. SEGUNDA
PARTE.
C O M PO N E N TE
a 1b 1
a 2b 1
a 3b 1
a 1b 2
a 2b 2
a 3b 2
a 1b 3
a 2b 3
a 3b 3
TO TA L
F A C TO R
T. P O N D E R A D O
N E TO
D IV IS O R
E F E C TO
RANGO
1
AB1
59
59
27
44
44
53
27
29
69
69
35
48
48
391 107 113
1
1
-1
391 107 -113
391
6
9
2
43.4
3.0
6
AB2
AB3
59
AB4
59
59
27
44
27
44
44
53
53
27
29
29
69
69
69
35
48
128 92
-1
1
-128 92
53 29 103 27
2
-2
-1
2
106 -58 -103 54
12
4
3.0
6
35
48
48
117 35 220 144 27
1
-2
1
-2
4
117 -70 220 -288 108
2
40
4
8
0.5
5.0
8
5
53
Simulación/2002
Héctor Allende
53

DIAGRAMA DE EFECTOS:
RESPUESTA
55
50
45
AB4
40
AB1
B1
35
P R E S IÓ N
AB3
AB2
T IE M P O
30
A2
A1
B2
25
T E M P E R AT U R A
54
Simulación/2002
Héctor Allende
54

GRÁFICOS DE INTERACCIÓN:
RESPUESTA
80
70
60
50
b3
40
b1
P R O M E D IO
30
b2
20
10
a1
a2
a3
55
Simulación/2002
Héctor Allende
55

GRÁFICOS DE INTERACCIÓN:
RESPUESTA
80
70
a1
60
P R O M E D IO
50
40
a3
30
a2
20
10
b1
b2
b3
56
Simulación/2002
Héctor Allende
DISEÑOS 32 FRACCIONADOS.


Se debe fraccionar en un múltiplo de 3, de modo que todas las
fracciones tengan igual número de combinaciones de tratamientos,
y los bloques puedan estar balanceados. Los diseños fraccionados
resultantes son del tipo 3k-p .
Para determinar los efectos confundidos, como en los casos de dos
niveles, se debe observar la matriz de diseño para determinar qué
efectos resultan confundidos con bloques, y qué efectos están
confundidos entre sí. También funciona el método para construir
bloques, visto anteriormente, de modo que se confundan efectos
que uno ha determinado previamente, utilizando ecuaciones
definitorias. En el caso de un diseño 3p balanceado, el número de
efectos independientes que quedan confundidos con bloques está
dado por p.
57
Simulación/2002
Héctor Allende
57
TABLA DE MULTIPLICACIÓN DE EFECTOS PARA
EL DISEÑO 32.
A1
A2
B1
B2
AB1
AB2
AB3
AB4
A1
1
A1
AB1
AB2
B1
B2
AB1
AB2
A2
A1
1
AB3
AB4
AB1
AB2
B1
B2
B1
AB1
AB3
1
B1
A1
AB1
A2
AB3
B2
AB2
AB4
B1
1
AB1
A1
AB3
A2
AB1
B1
AB1
A1
AB1
1
B1
A1
AB1
AB2
B2
AB2
AB1
A1
B1
1
AB1
A1
AB3
AB1
B1
A2
AB3
A1
AB1
1
B1
AB4
AB2
B2
AB3
A2
AB1
A1
B1
1
Multiplicando cada efecto principal e interacción, se determina
cuáles efectos, o componentes de efectos, (como AB1, AB2, etc),
resultan confundidos entre sí. Al multiplicar las componentes de
efectos, se debe utilizar la regla de multiplicación de efectos:
Se multiplican los efectos, eliminando todo factor que aparezca
elevado al cuadrado.
58
Simulación/2002
Héctor Allende
58
EJEMPLO: Se desea comparar la degradación de tres marcas de
aceite de alta calidad, en tres tipos de motores diferentes. Sea el
factor A la marca de aceite, y el factor B el tipo de motor. La
respuesta es una medida codificada de la degradación del aceite,
después de 10 horas de funcionamiento continuado del motor, a un
nivel de revoluciones fijo. Los valores observados de las respuestas
son los siguientes:
C O M PO N E N TE
R E SPU E STA
a 1b 1
a 2b 1
a 3b 1
a 1b 2
a 2b 2
a 3b 2
a 1b 3
a 2b 3
a 3b 3
10
15
12
21
8
19
30
16
18
59
Simulación/2002
Héctor Allende
59
Se desea fraccionar el experimento en tres bloques de tres combinaciones
de tratamientos, de tal modo que se confunda el efecto principal A con
bloques. Recordemos que este efecto tiene dos componentes, A1 y A2.
Para determinar qué efectos quedan confundidos entre sí, multiplicamos
estas dos componentes por cada una de las componentes del experimento,
utilizando la tabla de multiplicar dada anteriormente.
Multiplicación por A1 :
A1  1
=
A1
A1  A1
=
1
A1  A2
=
A1
A1  B1
=
AB1
A1  B2
=
AB2
A1  AB1 =
B1
A1  AB2 =
B2
A1  AB3 =
AB1
A1  AB4 =
AB2
60
Simulación/2002
Héctor Allende
60
Multiplicación por A2:
A2  1
=
A2
A2  A1
=
A1
A2  A2
=
1
A2  B1
=
AB3
A2  B2
=
AB4
A2  AB1 =
AB1
A2  AB2 =
AB2
A2  AB3 =
B1
A2  AB4 =
B2
61
Simulación/2002
Héctor Allende
61
Se observa que los grupos de confundidos son tres, a saber:
1, A1, A2
B1, AB1, AB3
B2, AB2, AB4
Para construir los bloques, observamos que se debe confundir el efecto A,
luego en la ecuación definitoria L= 1x1  2x2, se fijan los valores 1 = 1 y 2
= 0. Esto define la ecuación definitoria
L = x1
en que x1 toma los valores 1, 2 o 3, según el nivel en que se encuentre el
factor A, en cada una de las combinaciones de tratamientos. Los bloques se
forman agrupando aquellas combinaciones de tratamientos que generan el
mismo residuo, si se divide el valor de L por 3.
Este puede ser 0, si L es múltiplo de 3; si no lo es puede tomar los
valores 1 o 2. En este caso L es idéntico al valor de x1, el nivel del factor A,
por lo tanto cada bloque está determinado por las combinaciones de
tratamientos en las que el factor A está al mismo nivel. Los bloques son,
entonces,
62
Simulación/2002
Héctor Allende
62
B LO Q U E I
B LO Q U E II
B LO Q U E III
a 1b 1
a 1b 2
a 1b 3
a 2b 1
a 2b 2
a 2b 3
a 3b 1
a 3b 2
a 3b 3
TABLA DE RESPUESTAS PARA EL DISEÑO 32. PRIMERA PARTE.
C O M PO N E N TE
a 1b 1
a 2b 1
a 3b 1
a 1b 2
a 2b 2
a 3b 2
a 1b 3
a 2b 3
a 3b 3
TO TA L
F A C TO R
T. P O N D E R A D O
N E TO
D IV IS O R
E F E C TO
RANGO
1
10
15
12
21
8
19
30
16
18
149
1
149
149
9
1 6 .6
A1
10
A2
10
15
12
21
12
21
B1
10
15
12
B2
10
15
12
21
8
19
8
19
30
19
30
16
61
-1
-6 1
18
49
1
49
12
3
4 .0
6
18
110
1
110
39
-2
-7 8
32
6
5 .3
4
37
-1
-3 7
30
16
18
64
1
64
27
3
9 .0
1
30
16
18
101
1
101
48
-2
96
5
6
0 .8
8
63
Simulación/2002
Héctor Allende
63
TABLA DE RESPUESTAS PARA EL DISEÑO 32. SEGUNDA PARTE.
C O M PO N E N TE
a 1b 1
a 2b 1
a 3b 1
a 1b 2
a 2b 2
a 3b 2
a 1b 3
a 2b 3
a 3b 3
T O T AL
FAC T O R
T . P O N D E R AD O
NETO
D IV ISO R
E FE C T O
R AN G O
1
10
15
12
21
8
19
30
16
18
149
1
149
149
9
16.6
AB1
10
AB2
AB3
10
AB4
10
10
15
12
12
15
12
12
21
21
8
19
30
18
28
1
28
42
-1
-42
14
2
7.0
2
19
30
40
-1
-40
30
18
30
1
30
21
2
42
19
-2
-38
6
4
1.5
7
22
-1
-22
18
48
2
30
30
15
1
48
16
16
16
-2
-32
24
4
6.0
3
18
70 71
8
1
-2
4
70 -142 32
40
8
5.0
5
64
Simulación/2002
Héctor Allende
64
TABLA DE RESPUESTAS PARA EL DISEÑO 32.
BLOQUE I PRIMERA PARTE.
COM PO N EN TE
a1b 1
a1b 2
a1b 3
TO TAL
FA C T O R
T. PO N D ER AD O
N ETO
D IV IS O R
E FE C T O
1
10
21
30
61
1
61
61
3
20.3
A1
10
21
30
61
-1
-6 1
RANGO
0
1
0
61
3
20.3
1
A2
10
21
30
61
1
61
B1
10
B2
10
21
0
-2
0
61
3
20.3
1
10
-1
-1 0
30
30
1
30
20
1
20.0
1
30
40
1
40
21
-2
-4 2
2
2
1.0
6
65
Simulación/2002
Héctor Allende
65
TABLA DE RESPUESTAS PARA EL DISEÑO 32.
BLOQUE I SEGUNDA PARTE.
COM PO N EN TE
a1b 1
a1b 2
a1b 3
TO TAL
FA C T O R
T. PO N D ER AD O
N ETO
D IV IS O R
E FE C T O
RANGO
1
10
21
30
61
1
61
61
3
2 0 .3
AB 1
10
AB 2
AB 3
10
AB4
10
10
21
10
1
10
30 30
30 40
-1
-1
-3 0 -4 0
20
1
2 0 .0
2
21
1
21
21
0
2
0
0
-2
0
19
2
9 .5
3
10
-1
-1 0
30
2
60
30
0
1
0
0
-2
0
50
1
5 0 .0
1
30
40
1
40
21
-2
-4 2
0
4
0
2
2
1 .0
4
66
Simulación/2002
Héctor Allende
66
TABLA DE RESPUESTAS PARA EL DISEÑO 32.
BLOQUE II PRIMERA PARTE.
COM PO N EN TE
a2b 1
a2b 2
a2b 3
TO TAL
FA C T O R
T. PO N D ER AD O
N ETO
D IV IS O R
E FE C T O
1
15
8
16
39
1
39
39
3
13.0
A1
0
-1
0
RANGO
A2
0
1
0
0
0
-6
0
1
0
B1
15
8
16
39
-2
-7 8
78
3
26.0
1
15
B2
15
8
16
16
-1
-1 6
15
1
15
1
1
1.0
4
16
31
1
31
8
-2
-1 6
15
2
7.5
2
67
Simulación/2002
Héctor Allende
67
TABLA DE RESPUESTAS PARA EL DISEÑO 32.
BLOQUE II SEGUNDA PARTE.
COM PO N EN TE
a2b 1
a2b 2
a2b 3
TO TAL
FA C T O R
T. PO N D ER AD O
N ETO
D IV IS O R
E FE C T O
RANGO
1
15
8
16
61
1
61
61
3
20.3
AB 1
AB 2
AB 3
15
AB4
15
8
0
1
0
0
-1
0
0
0
-2
0
-1
0
0
1
0
0
2
0
0
-2
0
0
0
-3
0
-1
0
15
2
30
0
1
0
16
16
-2
-3 2
2
1
2.0
1
0
1
0
16
31
-2
-6 2
8
4
32
30
4
7 .5
4
68
Simulación/2002
Héctor Allende
68
TABLA DE RESPUESTAS PARA EL DISEÑO 32.
BLOQUE III PRIMERA PARTE.
COM PO N EN TE
a1b 1
a1b 2
a1b 3
TO TAL
FA C T O R
T. PO N D ER AD O
N ETO
D IV IS O R
E FE C T O
1
12
19
18
49
1
49
49
3
20.3
A1
12
19
18
49
-1
-4 9
RANGO
0
1
0
49
0
---
A2
12
19
18
49
1
B1
12
B2
12
19
0
-2
0
49
3
20.3
1
12
-1
-1 0
18
18
1
30
20
1
20.0
1
18
30
1
40
19
-2
-4 2
2
2
1.0
6
69
Simulación/2002
Héctor Allende
69
TABLA DE RESPUESTAS PARA EL DISEÑO 32. SEGUNDA PARTE.
COM PO N EN TE
a1b 1
a1b 2
a1b 3
TO TAL
FA C T O R
T. PO N D ER AD O
N ETO
D IV IS O R
E FE C T O
RANGO
1
12
19
18
49
1
61
61
3
20.3
AB 1
AB 2
12
AB 3
12
AB4
12
12
19
18
18
1
18
12
-1
-1 2
6
1
20.0
2
18
30
-1
-3 0
0
1
0
19
2
38
19
0
-2
0
8
2
4.0
3
12
-1
-1 2
0
2
0
18
18
1
18
0
-2
0
6
1
6.0
1
18
30
1
30
19
-2
-3 8
0
4
0
8
2
4.0
4
70
Simulación/2002
Héctor Allende
70
ELEMENTOS DE ANÁLISIS DE VARIANZA.
La técnica de Análisis de Variancia (ANDEVA), es una análisis de
tipo confirmatorio utilizado para determinar la significación de los
efectos causados por factores experimentales.
 Consiste en la descomposición de la variabilidad total presente en
las respuestas, en componentes que pueden ser atribuibles a cada
uno de los efectos considerados en el experimento.

EL MODELO LINEAL
El Análisis de Variancia se basa en modelos que suponen que la
respuesta de un experimento puede representarse como una suma
ponderada de efectos, unos atribuidos a los diversos factores, otros
atribuidos a las interacciones entre factores, entre otros. La
respuesta es una función lineal de los efectos de los factores y las
interacciones, de ahí que se les denomina modelos lineales.

71
Simulación/2002
Héctor Allende
71
Hasta ahora se ha visto expresiones para los efectos principales e
interacciones en términos de la respuesta. El modelo lineal que se
verá son expresiones para las repuestas, en términos de los efectos.
 Son lo que se llama una reparametrización.

Partiendo de las expresiones de los efectos e interacciones,
construiremos expresiones para las respuestas, simplemente
resolviendo las ecuaciones correspondientes.
 Comenzando por el efecto medio,
1 = ¼ (a1b1 + a2b1 + a1b2 + a2b2)

Si usamos los símbolos “y” en lugar de “ab”, queda
1 = ¼ (y11 + y21 + y12 + y22)
72
Simulación/2002
Héctor Allende
72
Lo mismo para los demás:
A = ½ ((a2b1 + a2b2 )  ( a1b1 + a1b2))
= ½ ((y21 + y22 )  ( y11 + y12))
B = ½ ((a1b2 + a2b2 )  ( a1b1 + a2b1))
= ½ ((y21 + y22 )  ( y11 + y21))
AB = ½ ((a2b2 + a2b1 )  ( a1b2 + a1b1))
= ½ ((y12 + y21 )  ( y12 + y11))
Sólo debemos resolver estas cuatro ecuaciones lineales para y11, y12, y21
e y22 en términos de 1, A, B y AB:
Si calculamos la expresión 1 + ½ A + ½ B + ½ AB, vemos que es igual a:
¼ ((y11 + y21 + y12 + y22) + (y21 + y22  y11  y12)
+ (y12 + y22  y11  y21) + (y22 + y11  y21  y12))
luego
y22 = 1 + ½ A + ½ B + ½ AB
73
Simulación/2002
Héctor Allende
73
de forma análoga, se tienen las expresiones
y11 = 1  ½ A  ½ B + ½ AB
y21 = 1 + ½ A  ½ B  ½ AB
y12 = 1  ½ A + ½ B  ½ AB
Se puede observar que la sucesión de signos (+) o (-) en cada expresión es la
respectiva fila de la matriz de diseño. Si definimos los siguientes términos:
=1
1 = ½ A,
2 = ½ A
1 = ½ B,
2 = ½ B
11 = ½ AB,
12 =  ½ A B,
21 = ½ AB,
22 = ½ AB
Se puede escribir
y11 =  + 1 + 1 + 11
y12 =  + 1 + 2 + 12
y21 =  + 2 + 1 + 21
y22 =  + 2 + 2 + 22
Reparametrización
74
Simulación/2002
Héctor Allende
74
En forma general,
yij =  + i + j + ij, i = 1, 2, j = 1, 2
ERROR ALEATORIO: Variabilidad presenta no atribuible a los factores.
Modelo Lineal para un experimento factorial a dos factores,
yij =  + i + j + ij + eij, i = 1, 2, j = 1, 2
con las condiciones adicionales
1+ 2 = 0
11 + 12 = 0, 21 + 22 = 0,
1 + 2 = 0,
11 + 21 = 0,
12 + 22 = 0.
eij término correspondiente al error aleatorio.
75
Simulación/2002
Héctor Allende
75
Otros ejemplos de modelos lineales:
yi =  + eij,
i = 1, 2,I
(1)
yir =  + i + eir,
(2)
i = 1, 2,,I; r = 1, 2,,R
yijr =  + i + j + eijr,
i = 1, 2,,I; j = 1, 2,,J; r = 1, 2, , R
(3)
yijr =  + i + j + ij + eijr,
i = 1, 2,I; j = 1, 2,,J; r = 1, 2,, R.
(4)
yijkr =  + i + j +k + ij + ik + jk + ijk+ eijkr,
i = 1, 2,,I; j = 1, 2,,J; k = 1,,K; r = 1, 2,,R.
(5)
76
Simulación/2002
Héctor Allende
76
Los términos , i, j, etc., se denominan parámetros de los modelos. Con el objeto
de estandarizar los valores de los parámetros, se agregan condiciones adicionales
sobre estos términos. Estas condiciones son que las sumas sobre cualquiera de los
subíndices es cero. Así

1 + 2++ I = 0,
1 + 2++ J = 0,
1j + 2j ++ ij = 0,
i1 + i2 ++ ij = 0,
para todo valor de j,
para todo valor de i.
77
Simulación/2002
Héctor Allende
77
ANÁLISIS DE VARIANZA A UN FACTOR
Notación para el análisis de varianza a un factor:
y ir
S um a

Ai 
y ir
r
T 

i
r
y ir
R espuesta individual correspondiente a la r -ésim a réplica del
nivel i-ésim o del factor, i = 1,2, ,I; j = 1, 2, , J.
P rom edio
R ecorrido de la sum a o prom edio
Ai R
T odas las réplicas del i-ésim o nivel del factor
A.
T R
T odas las réplicas de todos los niveles del
factor A .
VARIACIÓN TOTAL. Es la variabilidad debida al factor y la variabilidad aleatoria
reunidas. La suma de cuadrados total es una medida de toda la variación presente en
el conjunto de las respuestas observadas, y es igual al número
SCT 

i
r
T 

y

 ir

IR 

2
78
Simulación/2002
Héctor Allende
78
VARIACIÓN ATRIBUIBLE AL FACTOR. Se define una medida de la variabilidad causada
por el factor, y que se denomina suma de cuadrados del factor, o suma de cuadrado
del tratamiento, y es igual al número
SCA  R 
i
T 
 Ai



IR 
 R
2
VARIACIÓN RESIDUAL. Es la variación que no está explicada por los elementos que
intervienen en el experimento, o variación atribuible a error experimental. Se debe a
causas que no son controladas por el experimentador. La variación residual la mide la
suma de cuadrados residual, y es igual a
2
Ai 

SCR     y ir 

R

i
r 
79
Simulación/2002
Héctor Allende
79
TABLA GRADOS DE LIBERTAD PARA EL ANÁLISIS DE VARIANZA A UN FACTOR.
F uente de
V ariación
F actor A
R esiduo
T otal
G rados de
Libertad (g.l.)
I-1
I(R -1 )
IR -1
CUADRADOS MEDIOS. Se definen los cuadrados medios como los cuocientes entre las
sumas de cuadrados y los respectivos grados de libertad. Los cuadrados medios son
medidas de variabilidad promedio, por cada “unidad de información” aportada por las
diversas fuentes de variación.
CUOCIENTE F. El cuociente F es el cuociente entre el cuadrado medio de A, dividido por
el cuadrado medio residual. Es, pues, una comparación entre la variabilidad promedio
atribuible al factor A, y la variación promedio del error experimental, no atribuible a
causas conocidas. Por lo tanto, la magnitud del cuociente F es una medida de la
significación del efecto del factor A.
80
Simulación/2002
Héctor Allende
80
TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA A UN FACTOR
F u e n te D e
V a ria c ió n
F a c to r A
R e s id u o
T o ta l
Sum a D e
C u a d ra d o s
SCA
SCR
SCT
G ra d o s D e
L ib e rta d
I- 1
I (R - 1 )
IR - 1
C u a d ra d o s
M e d io s
C M A = S C A / (I – 1 )
C M R = S C R / I(R - 1 )
-
C u o c ie n te
F
CMA / CMR
-
81
Simulación/2002
Héctor Allende
81
ANÁLISIS DE VARIANZA DE DOS FACTORES
Notación para el análisis de varianza de dos factores:
y ijr
S um a

Ai 
j
Bj 
y ijr
r

i
r
AB ij 

y ijr
y ijr
r
T 

j
i
r
y ijr
R espuesta individual correspondiente a la r -ésim a réplica
del nivel i-ésim o del factor A y del nivel j-ésim o del factor
B
P rom edio
R ecorrido de la S um a o P rom edio
A i JR
T odas las réplicas de todos los niveles del
factor B , del i-ésim o nivel del factor A .
T odas las réplicas de todos los niveles del
B j IR
factor A , del j-ésim o nivel del factor B .
T odas las réplicas del i-ésim o nivel del
AB ij R
factor A , del j-ésim o nivel del factor B .
T IJR
T odas las réplicas de todos los niveles de
los dos factores.
82
Simulación/2002
Héctor Allende
82
VARIACIÓN TOTAL. La suma de cuadrados total es una medida de toda la variación
presente en el conjunto de las respuestas observadas, y es igual a
2
.
SCT 

T 

 y ijr 

IJR


VARIACIÓN ATRIBUIBLE A LOS EFECTOS PRINCIPALES. Está constituida por las sumas de
cuadrados de los factores A y B, respectivamente
SCA  JR 
i
SCB  IR 
j
T 
 Ai



IJR 
 JR
2
 Bj
T 



 IR
IJR 

2
83
Simulación/2002
Héctor Allende
83
VARIACIÓN ATRIBUIBLE A LA INTERACCIÓN. Es un efecto debido al hecho que un factor
puede actuar en forma diferente, bajo los diferentes niveles del otro factor. La
interacción esta presente cuando el resultado de aplicar los dos factores no es la
simple suma de efectos de cada uno, sino que, hay, además, un efecto combinado
de ambos, producto de la forma como cada factor afecta al otro. La suma de
cuadrados de la interacción es el número
Bj
 AB ij
Ai
T 


SCAB  R   



R
JR
IR
IJR 
i
j 
VARIACIÓN RESIDUAL. Variación no explicada por el modelo, o atribuible al error
experimental. Es la variación que no esta explicada por los elementos que
intervienen en el experimento, como la variación en las respuestas correspondientes
a diferentes replicas de una misma combinación de tratamientos. Su medida es la
suma de cuadrados residual,
SCR 

i
j
r

 y ijr


AB ij 


R 
2
84
Simulación/2002
Héctor Allende
84
La propiedad algebraica que permite la descomposición de la variación total, en
componentes atribuibles a las diversas fuentes de variación, a que nos referimos
más arriba, se expresa ahora como
SCT  SCA  SCB  SCAB  SCR
TABLA GRADOS DE LIBERTAD PARA EL ANÁLISIS DE VARIANZA DE DOS
FACTORES.
F uente De
Variación
F ac tor A
F actor B
Interacción
AB
Residuo
Total
Grados De
Libertad (g.l.)
I- 1
J- 1
(I - 1)(J - 1) = IJ – I – J – 1.
IJ(R - 1) = IJR - IJ
IJR - 1
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Simulación/2002
Héctor Allende
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LOS CUADRADOS MEDIOS. Son los cuocientes entre las sumas de cuadrados y los
respectivos grados de libertad.
TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA DE DOS FACTORES
F u e n te D e
V a ria ció n
F a cto r A
F a cto r B
In te ra cció n A B
R e sid u o
T o ta l
Sum a D e
C u a d ra d o s
SCA
SCB
SCAB
SCR
SCT
G ra d o s D e
L ib e rta d
I- 1
J - 1
(I - 1 )(J - 1 )
IJ(R - 1 )
IR - 1
C u a d ra d o s
M e d io s
C M A = S C A /(I-1 )
C M B = S C B /(J -1 )
C M A B = S C A B /(I-1 )(J -1 )
C M R = S C R /IJ(R -1 )
-
C u o cie n te
F
CMA / CMR
CMB / CMR
CMAB / CMR
-
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Héctor Allende
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