Econometría
Capitulo 5
Modelos Pronósticos
Ingenuos y Adaptivos
Departamento de Informática
Universidad Técnica Federico Santa María
Métodos Ingenuos
Definición y Notación
Una serie cronólogica o serie de tiempo es una colección de
observaciones de un cierto fenómeno hechas secuencialmente
en el tiempo (altura; espacio; etc).
Denotaremos una serie de tiempo mediante por la siguiente
secuencia: x(t1) , x(t2) , ... , x(tn)
donde x(ti) es el valor tomado por el proceso estocástico en el
instante ti .
Habitualmente supondremos que la serie es equiespaciada,

es decir, que existe h  IR tal que
(  i : i  N ) se verifica
Héctor Allende O.
t i 1  t i  h
2
Métodos Ingenuos
Entonces S.p.d.g. podemos considerar la serie
x (1), x ( 2 ) ,  ...., x ( n )
la cual también se puede denotar
x1 , x 2 ,  ....., x n 1, x n
Ejemplos de S.T.
1. Series Físicas
Meteorología: agua caída, temperatura máxima, velocidad del
viento.
Geofísica: series sismológica, series de temp.volcánica
Medicina: electrocardiogramas, electroencefalogramas.
Química: viscosidad de un proceso, temperatura de un proceso
Telecomunicaciones: series de señales.
Astronomía: brillo de una estrella, actividad solar.
Héctor Allende O.
3
Métodos Ingenuos
2. Series Económicas
Precios de acciones, precio del cobre en Londres, índice de
cesantía, IPC; ADR; PIB;
3. Series de Marketing
Series de ventas, gastos, utilidades, demanda, oferta.
4. Series Demográficas
Tasa de natalidad, tasa de mortalidad, censos poblacionales.
5. Series de Energia
Demanda de energia; Actividad de Energia Solar; etc.
Héctor Allende O.
4
Métodos Ingenuos
Objetivos del Estudio de Series Cronológicas
1. Modelación: Encontrar un modelo estadístico que explique el
comportamiento de la serie (y que explique en lo posible el
fenómeno que originó la serie).
2. Predicción: Predicción de valores futuros de la serie dando, en
lo posible, límites de confianza.
Metodología
Etapa 1: análisis exploratorio de datos
Se grafica la serie: t en la abscisa, x(t) en la ordenada.
Esto debe hacerse siempre, independiente del nivel de
simplecidad de los datos o de los modelos que se emplean
posteriormente.
Héctor Allende O.
5
Métodos Ingenuos
a) Permite detectar posibles “outliers”
Los outliers son observaciones que se alejan fuertemente del
modelo estocástico subyacente ; ya sea por errores de medición o
porque en el fenómeno en estudio presentó un comportamiento
absolutamente inusual.
Héctor Allende O.
6
Métodos Ingenuos
1)
2)
1)
Observaciones:
Si se sospecha que una observación es un outlier, se debe reunir
información adicional desde fuera del observador, sobre posibles
factores que afectaron el proceso. De verificarse que se trata de
una observación aberrante y mostrar la serie un comportamiento
similar antes y después del outlier conviene pre-procesar la seríe
usando por ejemplo un filtro de medias, obteniendosé un nueva
seríe.
En caso contrario ( huelgas; actos de terrorismo; terremotos etc)
es necesario usar métodos o tecnicas especiales tales como el
análisis de intervenciones.
Otra alternativa es utilizar procedimientos robustos en el
modelado de la serie cronológica.
Héctor Allende O.
7
Métodos Ingenuos
b) Permite determinar tendencias
Héctor Allende O.
8
Métodos Ingenuos
c) Permite determinar variaciones cíclicas o estacionales.
Héctor Allende O.
9
Métodos Ingenuos
Modelos Ingenuos
Antes de recurrir a los métodos más sofisticados uno debe
preguntarse si el problema en cuestión realmente lo justifica o
bien si bastaria con usar técnicas baratas.
Esto dependerá esencialmente de la importancia de las decisiones
que se tomarán en base al modelo y sus predicciones ( Corto
largo; o mediano plazo).
Modelos
a) x(t) = T(t)+E(t)+A(t)
aditivo
b) x(t) = T(t) E(t) A(t)
multiplicativo
c) x(t) = T(t) E(t) + A(t)
mixto
Héctor Allende O.
10
Métodos Ingenuos
T: Tendencia de la serie
Representa la dirección predominante de la serie, es decir
su comportamiento promedio.
E: Variación estacional
Se caracteriza por períodos o ciclos de la serie.
A: variaciones accidentales.
Se caracteriza cambios irregulares ya sean de tendencia
variancia o ciclos de la serie).
Modelos
x(t) = T(t)*E(t)*A(t)
lnx(t) = lnT(t)+lnE(t)+lnA(t)
Héctor Allende O.
11
Métodos Ingenuos
Estimación de la Tendencia
a) Regresión
Mediante inspección gráfica se decide cual curva ajustar.
i) T(t) = a + bt
(recta)
ii) T(t) = a ebt
(exponencial)
iii) T(t) = a + bt + ct2
(parábola)
etc.
b) Medias Móviles
La idea es remover el efecto estacional antes de estimar la
tendencia.
1
x (t  6 )  x (t  5 )    x (t  4 )  x (t  5 ) 
Z (t )  2
1
2
x (t  6 )
(anual)
12
La estimación de T(t) se anotará Tˆ(t )
Héctor Allende O.
12
Métodos Ingenuos
Estimación de la Variación Estacional
Si se utilizo regresión a x(t) para estimar tendencia se calcula la
serie residual W(t)
Wˆ ( t )  x ( t )  Tˆ ( t ) ( Caso Aditivo)
x (t )
Wˆ ( t ) 
Tˆ ( t )
( Caso Mixto)
W(t) Es una serie en que sólo deberían manifestarse los efectos
estacionales y accidentales.
Si se aplicó medias móviles se tendrá que, además de la serie
W(t) se puede estimar mediante
x (t )
~
~
W ( t )  x ( t )  z ( t ) ( Aditivo) ; W (t) 
( Mixto)
z (t )
~
W ( t ) : también será una serie en que sólo se encontrará
presente efectos estacionales y accidentales.
Héctor Allende O.
13
Métodos Ingenuos
En cualquiera de estos casos denotaremos mediante w(t) la
serie residual en que se han removido los efectos de la
tendencia.
Caso aditivo
Caso mixto
Héctor Allende O.
14
Métodos Ingenuos
Para estimar E(t) comenzaremos podemos considerar
e(h) = promedio de los valores de w en el mes h.
e 
1
12
e(h)

12
suponiendo
serie mensual
h 1
Como es razonable esperamos que el promedio de las
estimaciones sea 0 en el caso aditivo y 1 en el mixto,
estimamos E(h) mediante
Eˆ ( h )  e ( h )  e
;
Caso Aditivo
Eˆ ( h )  e ( h )  ( e  1) ; Caso mixto
Para elegir entre ambos modelos se suele utilizar el gráfico de
la serie residual.
En caso de series de Índices se sugiere usar modelos mixtos.
Héctor Allende O.
15
Métodos Ingenuos
Formulacion General del Problema de Predicción
La predicción correspondiente, que dependerá del
modelo elegido y, en general, de n y k, se anotará
xˆ n ( k )  Tˆ ( n  k )  Eˆ ( n  k )
Caso Aditivo
xˆ n ( k )  Tˆ ( n  k ) Eˆ ( n  k )
Caso Mixto
k es el horizonte de predicción o número de pasos adelante
que se está prediciendo y n el origen de la predicción.
Una vez conocido x(n+k) podemos calcular el error de
predicción correspondiente:
e n ( k )  x ( n  k )  xˆ n ( k )
Héctor Allende O.
16
Métodos Ingenuos
Ejemplo Numérico
Indíces Trimestrales de Precios al Por Mayor de un País
1er Trimestre
2do Trimestre
3er Trimestre
4to Trimestre
1977
120
90
90
100
1978
130
110
110
130
1979
140
120
110
150
1980
150
140
140
170
1981
180
180
170
190
Se toma t = 1 : 1er Trimestre 1977. Se grafica la serie:
Héctor Allende O.
17
Métodos Ingenuos
Se suaviza la serie obteniéndose
1977
1er Trimestre
2do Trimestre
3er Trimestre
4to Trimestre
101,25
105
1978
110
116,25
121,25
123,75
1979
125
127,5
131,25
135
1980
141,25
147,5
153,75
162,5
1981
171,25
177,5
Se grafica la serie suavizada:
Héctor Allende O.
18
Métodos Ingenuos
Se efectúa una regresión lineal con esta serie:
(r2 = 0.96)
Tˆ (t )  84 . 65  4 . 71 t
Como se trata de un índice usamos el modelo mixto.
Calculamos la serie residual usando w (t ) 
1977
1er Trimestre
2do Trimestre
3er Trimestre
4to Trimestre
0,89
0,95
1978
1,18
0,95
0,91
1,05
1979
1,12
0,94
0,84
1,11
x (t )
z (t )
1980
1,06
0,95
0,91
1,05
1981
1,05
1,01
de donde Eˆ (1)  1 . 11 ; Eˆ ( 2 )  0 . 96 ; Eˆ ( 3 )  0 . 89 ; Eˆ ( 4 )  1 . 04
Héctor Allende O.
19
Métodos Ingenuos
Las predicciones para 1982 serán :
1er Trimestre :
xˆ 20 (1)  Tˆ ( 21 )Eˆ (1)  203 . 75
2do Trimestre :
xˆ 20 ( 2 )  Tˆ ( 22 )Eˆ ( 2 )  180 . 74
3er Trimestre :
xˆ 20 ( 3 )  Tˆ ( 23 )Eˆ ( 3 )  171 . 75
4to Trimestre :
xˆ 20 ( 4 )  Tˆ ( 24 )Eˆ ( 4 )  205 . 60
Héctor Allende O.
20
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Introducción
Una de las críticas que se les hace a los métodos ingenuos es que
no se adaptan a lo largo del tiempo en forma natural : tanto la
tendencia como la estacionalidad, se estiman una sóla vez y las
estimaciones deben ser actualizadas si se obtienen nuevas
observaciones.
Una familia de modelos que aparece hacia fines de la década de
los años 60, intenta solucionar este problema. Se les conoce
técnicas de suavizamiento exponencial, y se constituyó en un
avance en el modelado de series cronológicas.
Una de las principales características de estas técnicas es que son
“baratas”. Debido a esto, aún siguen siendo utilizadas en ciertas
actividades de pronóstico
donde es necesario efectuar
predicciones rutinarias (en el corto plazo) de ventas, control de
inventario o planificación de la producción. Aplicar técnicas más
sofisticadas en este caso no se justifica.
Héctor Allende O.
21
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Suavizamiento Exponencial Simple
En este caso se supone que la serie está compuesta por un nivel
(constante) y una componente residual (impredecible)
Es decir, la serie se supone localmente constante la mejor
predicción de X(n+h) será la estimación que tengamos del nivel
en el instante h.
Luego parece razonable estimar el nivel como promedio
ponderado de las observaciones dando un peso mayor a las
últimas observaciones.
x ( n )   x ( n )  (1   ) x ( n  1)
 : constante
de suavizamie
Héctor Allende O.
0  1
nto
22
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Observaciones:
1) Las fórmulas de actualización anteriores modifican las
estimaciones al considerar nuevos datos.
2) Como elegir la constante de suavizamiento volveremos más
adelante.
3) Predicciones: xˆ ( n , h )  x ( n )
4) A partir de la ecuación 3) vemos que al obtener nuevos datos
de la serie las predicciones se actualizan mediante:
xˆ ( n  k , h )    x ( n  k )  (1   )  xˆ ( n  k  1)
5) Se puede comprobar que xˆ ( n ,1 ) es el valor real z que minimiza
la función

f (z ) 

2
[ x ( n  j )  z ] (1   )
j
j 0
Héctor Allende O.
23
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Método de Holt - Winters
La versión anterior es la más simple de los llamados modelos de
suavizamiento exponencial. Se han desarrollado una serie de
variantes, las cuales consideran la serie constituida localmente a
partir de un nivel de tendencia y (eventualmente) por un factor de
estacionalidad, además de un residuo impredecible aditivo.
Posiblemente la extensión más natural del suavizamiento
exponencial simple sean los modelos de Brown – AEG, los el
modelos
de Holt y Winters entre otros que veremos a
continuación.
Héctor Allende O.
24
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Caso no estacional
Supogamos que la serie se comporta localmente como la suma de
un nivel y una tendencia lineal, más de un residuo impredecible.
Anotando x (t ) y m (t ) como las estimaciones del nivel y de la
pendiente de la recta (de la tendencia lineal) en el instante t, una
propuesta razonable es tomar.
x ( t )  A x ( t )  (1  A )  x ( t  1)  m ( t  1) 
m ( t )  C  x ( t )  x ( t  1)   (1  C ) m ( t  1)
Héctor Allende O.
0  A 1
0  C 1
25
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Observaciones:
(Caso no estacional)
1) Las fórmulas de actualización anteriores modifican las
estimaciones al considerar nuevos datos.
2) Las estimaciones del nivel y de la pendiente en el instante “t”
se estiman como un promedio ponderado de la estimación
anterior y la estimación sugerida apartir del nuevo dato.
3) Para iniciar el algoritmo recursivo se propone tomar.
x (2)  x(2)
m ( 2 )  x ( 2 )  x (1)
4) Predicciones: Siendo consecuentes con el modelo se propone
xˆ ( n , h )  x ( n )  m ( n )  h
Héctor Allende O.
26
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Modelo de Holt - Winters (Multiplicativo)
A las suposiciones del modelo anterior le agregamos un factor
estacional de período s, multiplicativo (respecto de la tendencia)
x (t ) se interpreta como un nivel desestacionalizado.
Anotando Eˆ (t ) a la estimacióm de la componente estacional en el
instante t parece razonable tomar:
x (t )  A
x (t )
Eˆ ( t  s )
 (1  A )  x ( t  1)  m ( t  1) 
m ( t )  C  x ( t )  x ( t  1)   (1  C ) m ( t  1)
x (t )
ˆ
E (t )  D
 (1  D ) Eˆ ( t  s )
x (t )
Héctor Allende O.
0  A 1
0  C 1
0  D 1
27
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Modelo de Holt – Winters (Aditivo)
El metodo anterior se adapta trivialmente al caso en que la
estacionalidad es aditiva con respecto de la tendencia, en lugar de
ser multiplicativa
x ( t )  A [ x ( t )  Eˆ ( t  s )]  (1  A )[ x ( t  1)  m ( t  1)]
m ( t )  C  x ( t )  x ( t  1)   (1  C ) m ( t  1)
0  C 1
Eˆ ( t )  D [ x ( t )  x ( t )]  (1  D ) Eˆ ( t  s )
0  D 1
Héctor Allende O.
0  A 1
28
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Observaciones: (Caso Estacional)
1) Las formulas modifican las estimaciones considerando
nuevos datos.
La estimación del nivel (t-1): x (t  1) junto a la estimación de
la pendiente m (t  1) sugerirán un nivel x (t  1)  m (t  1) en el
instante t. Esta estimación se ve modificada al considerar la
nueva observación.
La estimación en el instante (t-1) de la pendiente m (t  1)
.
Una nueva estimación de la pendiente sería x (t )  x (t  1) en
el anterior y la estimación sugerida por el valor tomado por la
serie en t.
La estimación en el instante (t-s) de la estacionalidad es
Eˆ (t  s ) Dado x (t  1) una nueva estimación de la
estacionalidad sería x (t ) / x (t )
. La estacionalidad en t se
estima como promedio ponderado de estimación anterior y la
sugerida por el valor tomado por la serie en el instante t.
Héctor Allende O.
29
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
2) Inicialización: Una manera de resolver el problema de
inicialización en el modelo de H-W multiplicativo es tomando
x( j)
Eˆ ( j ) 
j  1, 2 ,  s
s
 x(k )
k 1
x (s) 
1
s
x(k )

s
y con m ( s )  0
k 1
Para el caso aditivo la estimación de la componte estacional se
modifica por
Eˆ ( j )  x ( j ) 
s
 x (k )
k 1
Héctor Allende O.
30
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
3) Predicciones: Siendo consecuentes con las suposiciones
hechas para el modelo multiplicativo se toma
xˆ ( n , h )  [ x ( n )  m ( n )  h ]  Eˆ ( n  h  s ) ,
xˆ ( n , h )  [ x ( n )  m ( n )  h ]  Eˆ ( n  h  2 s ) ,
h  1 ,2 ,  , s
h  s  1 , s  2 ,  ,2 s

Análogamente para el modelo aditivo se toma
xˆ ( n , h )  x ( n )  m ( n )  h  Eˆ ( n  h  s ) ,
xˆ ( n , h )  x ( n )  m ( n )  h  Eˆ ( n  h  2 s ) ,
h  1 ,2 ,  , s
h  s  1 , s  2 ,  ,2 s

Héctor Allende O.
31
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Determinación de las constantes de suavizamiento
Una alternativa es elegir  , A , C , D
de acuerdo a las
características particulares que se atribuye a las componentes
de la serie.
Si
 , A , C , D  0 , las predicciones dan más importancia a
observaciones pasadas que a las presentes.
Inversamente, si  , A , C , D  1 , las prediccionesdan menor
importancia al pasado y más importancia al presente de la
serie.
En el caso de suavizamiento exponencial simple:
Si la serie varía lentamente   0 (valor típico 0.3)
En cambio si la serie varía bruscamente   1 (valor típico
0.7)
Héctor Allende O.
32
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Otro método más objetivo es elegir A , C y D que mejor
habrían predicho los valores conocidos de la serie.
n
2

Min
x (t )  xˆ (t  1 ,1 ) 
3
A ,C ,D  0 ,1 
t  k 1

donde k se elige lo suficientemente grande como para que el
efecto de inicialización del proceso sea despreciable.
Al estimar A , C y D numéricamente se pierde la simplicidad
de los métodos de suavizamiento exponencial.
Como esta es su carácteristica más importante, si se está
dispuesto ha resolver el problema de minimización
correspondiente entonces más vale usar métodos más
sofisticados como por ejemplo: Box y Jenkins o ANN
Héctor Allende O.
33
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Ejemplo No1.
Indíces Trimestrales de Precios al Por Mayor de un País
Usando el método de Holtz y Winter prediga los valores de los
índices trimestrales para 2002.
Considere A=0,30 B=0,50 y D=0,30
1er Trimestre
2do Trimestre
3er Trimestre
4to Trimestre
1997
120
90
90
100
1998
130
110
110
130
Héctor Allende O.
1999
140
120
110
150
2000
150
140
140
170
2001
180
180
170
190
34
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Debido a que es una serie de índices el modelo a ocupar debe ser
el modelo multiplicativo.
Inicialización del método
m (4)  0
x (4) 
Eˆ ( j ) 
1
4
4
 x (k )
k 1
x (j)
100

Eˆ (1 )  1 ,2
Eˆ ( 2 )  Eˆ ( 3 )  0 ,9
Héctor Allende O.
Eˆ ( 4 )  1 ,0
35
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Formulas de actualización (1/3)
x ( 5 )  0 ,3
x (5 )
 130
 0 ,7 [ x ( 4 )  m ( 4 )]  0 ,3 
Eˆ (1 )
 1 ,2

  0 ,7 [100  0 ]  102 ,5

m ( 5 )  0 ,5 [ x ( 5 )  x ( 4 )]  0 ,5 m ( 4 )  0 ,5 [102 ,5  100 ]  0 ,5  0  1 ,25
Eˆ ( 5 )  0 ,3
x (5 )
x (k )
 0 ,7 Eˆ (1 )  0 ,30
130
102 ,5
 0 ,7  1 ,2  1 ,22
 110 
  0 ,7 [102 ,5  1 ,25 ]  109 ,29
0
,
9


x ( 6 )  0 ,3 
m ( 6 )  0 ,5 [109 ,29  102 ,5 ]  0 ,5  1 ,25  4 ,02
Eˆ ( 6 )  0 ,30
110
109 ,29
 0 ,7  0 , 9  0 , 932
 110 
  0 ,7 [109 ,29  4 ,02 ]  115 , 98
0
,
9


x ( 7 )  0 ,3 
m ( 7 )  0 ,5 [115 , 98  108 ,29 ]  0 ,5  4 ,02  5 ,36
Eˆ ( 7 )  0 ,30
110
115 , 98
 0 ,7  0 , 9  0 , 915
Héctor Allende O.
36
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Formulas de actualización (2/3)
 130 
  0 ,7 [115 , 98  5 ,36 ]  123 , 94
1
,
0


x ( 8 )  0 ,3 
m ( 8 )  0 ,5 [123 , 94  115 , 98 ]  0 ,5  5 ,36  6 ,66
Eˆ ( 8 )  0 ,30
130
123 , 94
 0 ,7  1 ,0  1 ,015
 140 
  0 ,7 [123 , 94  6 ,66 ]  125 , 85
1
,
22


x ( 9 )  0 ,3 
m ( 9 )  0 ,5 [125 , 85  123 , 94 ]  0 ,5  6 ,66  4 ,28
Eˆ ( 9 )  0 ,30
140
125 , 85
 0 ,7  1 ,22  1 ,19
 120

  0 ,7 [125 , 85  4 ,28 ]  129 ,72
0
,
932


x (10 )  0 ,3 
m (10 )  0 ,5 [129 ,72  125 , 85 ]  0 ,5  4 ,28  4 ,07 ,36
Eˆ (10 )  0 ,30
120
129 ,72
 0 ,7  0 , 932  0 , 932
Héctor Allende O.
37
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Formulas de actualización (3/3)
x (11 )  129 ,72 ;
m (11 )  2 ,04 ;
Eˆ (11 )  0 , 895
x (12 )  136 . 57 ;
m (12 )  4 , 44 ;
Eˆ (12 )  1 ,04
x (13 )  136 ,52 ;
m (13 )  2 ,19 ;
Eˆ (13 )  1 ,16
x (14 )  142 ,26 ;
m (14 )  3 , 96 ;
Eˆ (14 )  0 , 946
x (15 )  149 ,28 ;
m (15 )  5 , 96 ;
Eˆ (15 )  0 , 876
x (16 )  157 ,38 ;
m (16 )  6 ,79 ;
Eˆ (16 )  1 ,05
x (17 )  161 , 47 ;
m (17 )  5 , 44 ;
Eˆ (17 )  1 ,14
x (18 )  173 , 92 ;
m (18 )  8 , 94 ;
Eˆ (18 )  0 , 97
x (19 )  186 ,22 ;
m (19 )  10 ,62 ;
Eˆ (19 )  0 , 89
x ( 20 )  192 ,07 ;
m ( 20 )  8 ,24 ;
Eˆ ( 20 )  1 ,03
Héctor Allende O.
38
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Predicciones
Las predicciones para 2002 son las siguientes:
xˆ ( 20 ,1)  [ x ( 20 )  m ( 20 )  1]  Eˆ (17 )  (192 ,07  8 ,24 )  1 ,14  228 ,35
xˆ ( 20 ,2 )  [ x ( 20 )  m ( 20 )  2 ]  Eˆ (18 )  (192 ,07  8 ,24  2 )  0 ,97  202 ,29
xˆ ( 20 ,3 )  [ x ( 20 )  m ( 20 )  3 ]  Eˆ (19 )  (192 ,07  8 ,24  3 )  0 ,89  192 ,94
xˆ ( 20 , 4 )  [ x ( 20 )  m ( 20 )  4 ]  Eˆ ( 20 )  (192 ,07  8 ,24  4 )  1 ,03  231 ,78
Predicciones
xˆ ( 20 ,1 )
xˆ ( 20 ,2 )
xˆ ( 20 ,3 )
xˆ ( 20 , 4 )
Método Ingenuo
203,75
180,74
171,75
205,6
Héctor Allende O.
Método de Holtz-Winter
228,35
202,29
192,94
231,78
39
Modelos de Suavizamiento
Exponencial
Es posible mejorar los valores iniciales tomando:
x (1 ) 
1
4
x (k )

4
k 1
m (1 ) 
1
4
[y 2  y 1 ]
1 x (j )
x ( j  4) 
ˆ
E (j)  


2  y1
y2

donde
j  1 ,2 ,3 , 4
y 1 : promedio del 1er año
y 2 : promedio del 2do año
Héctor Allende O.
40
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Capítulo 5 - Departamento de Informática