And now for something (not quite)
completely different
La Gravedad (y mi vieja compañera de ruta)
•Vimos una propiedad física de las partículas: su masa.
•Vimos que esta establecía una inercia, una “resistencia” al cambio
de velocidad.
La Gravedad (y mi vieja compañera de ruta)
•Vimos una propiedad física de las partículas: su masa.
•Vimos que esta establecía una inercia, una “resistencia” al cambio
de velocidad.
•Vimos también la existencia de una fuerza, la gravedad, que es
siempre atractiva.
La Gravedad (y mi vieja compañera de ruta)
•Vimos una propiedad física de las partículas: su masa.
•Vimos que esta establecía una inercia, una “resistencia” al cambio
de velocidad.
•Vimos también la existencia de una fuerza, la gravedad, que es
siempre atractiva.
•Esta fuerza es, además, proporcional a la masa.
La Gravedad (y mi vieja compañera de ruta)
•Vimos una propiedad física de las partículas: su masa.
•Vimos que esta establecía una inercia, una “resistencia” al cambio
de velocidad.
•Vimos también la existencia de una fuerza, la gravedad, que es
siempre atractiva.
•Esta fuerza es, además, proporcional a la masa.
•Y decrece con el cuadrado de la distancia.
La Fuerza Eléctrica (y un compañero temporario)
•Existen otros parámetros físicos que determinan las interacciones
entre partículas. en lo que sigue veremos uno importante; la carga.
La Fuerza Eléctrica (y un compañero temporario)
•Existen otros parámetros físicos que determinan las interacciones
entre partículas: en lo que sigue veremos uno importante; la carga.
•Una partícula queda entonces determinada por dos parámetros, su
masa y su carga.
La Fuerza Eléctrica (y un compañero temporario)
•Existen otros parámetros físicos que determinan las interacciones
entre partículas.
•Una partícula queda entonces determinada por dos parámetros, su
masa y su gravedad.
•La carga determina otra interacción física, la fuerza eléctrica.
La Fuerza Eléctrica (y un compañero temporario)
•Existen otros parámetros físicos que determinan las interacciones
entre partículas.
•Una partícula queda entonces determinada por dos parámetros, su
masa y su carga.
•La carga determina otra interacción física, la fuerza eléctrica.
•Esta fuerza es proporcional a las dos cargas, e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia y por lo tanto en muchos
sentidos se comporta exactamente como la gravedad ( y por lo
tanto vale para esta interacción mucho de lo que estudiamos hasta
aquí)
•Existen sin embargo algunas diferencias, cualitativas y
cuantitativas que agregan varias novedades a este problema.
Diferencias cuantitativas entre la fuerza eléctrica y gravitatoria: Escala
Ley de Coulomb
(Una de las ) Leyes
de Newton
Cortesía de la U de Toledo
Diferencias cuantitativas entre la fuerza eléctrica y gravitatoria: Escala
El ejemplo de Feynnann:
Un 1 % de asimetría de carga a
una distancia de un metro genera
una fuerza capaz de levantar el
planeta entero
Cortesía de la U de Toledo
Diferencias cuantitativas entre la fuerza eléctrica y gravitatoria: Escala
El ejemplo de Feynnann:
Un 1 % de asimetría de carga a
una distancia de un metro genera
una fuerza capaz de levantar el
planeta entero
La fuerza gravitatoria es
“relevante” ahí donde no hay
fuerza electrica ya sea por la
ausencia de cargas o, mas
precisamente, por el balance de
cargas (cantidad equivalente de
cargas positivas y negativas)
Cortesía de la U de Toledo
Diferencias cualitativas entre la fuerza eléctrica y gravitatoria: El Signo
La carga de las partículas
viene en dos sabores.
Las partículas pueden
tener cargas positivas o
negativas. Cargas iguales
se repelen y cargas
distintas se atraen.
Nótese que la variable
relevante es el acuerdo o
no de signo y no el signo
de cada una.
Diferencias cualitativas entre la fuerza eléctrica y gravitatoria: El Signo
La magnitud de la fuerza
decrece con la distancia
(con el cuadrado, como la
gravedad). Interacciones
atractivas (de cargas
distintas) se vuelven
menos atractivas y las
repulsivas menos
repulsivas. Dicho de otra
manera el signo de la
interacción queda solo
determinado por el signo
de las cargas y su
magnitud por la mangitud
(en modulo) de las cargas
y la distancia entre ellas.
Diferencias cualitativas entre la fuerza eléctrica y gravitatoria: El magnetismo
Las cargas en
movimiento generan
corrientes lo cual resulta
en otra interacción
(magnética). Esto no
sucede con la gravedad,
la fuerza que siente un
planeta no depende de su
estado de movimiento.
Esto hace que gravedad y
electro se separen
cuando incluyamos
dinámica. Por ahora
estudiaremos
electrostática, cargas que
no se mueven (o cuyo
movimiento puede
ignorarse)
Una propiedad “util” de la gravedad: aditividad.
•La fuerza resultante por la interacción de un cuerpo con otras dos
partículas es igual a la suma de la interacción con cada una de
ellas. Esto permite resolver cada interacción por separado y luego
simplemente sumar los resultados para calcular la fuerza
resultante.
Una propiedad “util” de la gravedad: aditividad.
•La fuerza resultante por la interacción de un cuerpo con otras dos
partículas es igual a la suma de la interacción con cada una de
ellas. Esto permite resolver cada interacción por separado y luego
simplemente sumar los resultados para calcular la fuerza
resultante.
Una propiedad “util” de la gravedad: aditividad.
•La fuerza resultante por la interacción de un cuerpo con otras dos
partículas es igual a la suma de la interacción con cada una de
ellas. Esto permite resolver cada interacción por separado y luego
simplemente sumar los resultados para calcular la fuerza
resultante.
•Esto establece la idea de “base”. Si conocemos la solucion a
ciertos problemas fundamentales, y sabemos como generar
problemas arbitrarios “sumando” estos problemas, podemos
resolver problemas en apariencia mas complicados.
Aditividad ma non tanto, o, mas bien, “no algebraica”
?=?
?=?
Aditividad ma non tanto, o mas bien “no algebraica”
El efecto de proximidad
domina sobre la
diferencia de carga.
Para distancias
cortas
(comparadas
con el radio de
la distribución
de carga)
puede haber
grandes
diferencias.
Este “modelo” que
resulta de haber
ignorado la distribucion
espacial de cargas
resulta, en este caso,
inapropiado.
Aditividad ma non tanto, o mas bien “no algebraica”
Un ejemplo algo mas complicado sobre el mismo principio, cuando dos
estructuras (átomos, moléculas, proteínas) interactúan a distancias
comparables a sus propios tamaños, la distribución de cargas es
fundamental para entender la interacción entre estas estructuras. En este
caso ya no basta “sumar cargas”.
Algunas distribuciones de carga pertinentes y no puntuales y algunos
fisicos lo suficientemente famosos como para convertirse en billetes
Lord Ernesto Rutherford
Niels Bohr
Algunas distribuciones de carga pertinentes y no puntuales en una
versión mas privada…
Dos preguntas que en este
curso no vamos a
responder, pero que vale
la pena saber que
existen:
1) ¿Porque el núcleo no se
repele?
2) ¿Por qué los electrones
no colapsan con el
núcleo?
Algunas distribuciones de carga pertinentes y no puntuales en una
versión mas privada…
¿Porque el núcleo no se repele?
Porque existen otras fuerzas
cuyo rango de acción es
mucho mas corto (del tamaño
del núcleo) y luego decaen
mucho mas rápido que r2 y
por lo tanto solo dominan en
el interior del núcleo. Nótese
que el núcleo (viso
eléctricamente es como un
resorte comprimido) Cuando
el núcleo se parte esta
energía se libera. Esto
sucede en una reacción
nuclear y la energía liberada
en este caso es de hecho
eléctrica.
Algunas distribuciones de carga pertinentes y no puntuales en una
versión mas privada…
¿Por qué los electrones no
colapsan con el núcleo?
Esta pregunta no admite
respuesta en la mecánica
clásica. No basta seguir
sumando interacciones
nuevas sino apelar a una
nueva física con nuevos
principios. Entre ellos el de
incerteza que ejerce una
“pseudo-fuerza” de repulsion
o una resistencia a colapsar
al equilibrio. Una especie de
resistencia a encontrarse en
estados estables ya que
estos son, entre otras cosas,
completamente deterministas.
Repaso, pues…(mucho texto)
•
Una partícula (sin ir a si son fundamentales o no) está caracterizada por una lista de
parámetros físicos: a uno que conocíamos (la masa) le hemos agregado un segundo:
la carga
Repaso, pues…(mucho texto)
•
Una partícula (sin ir a si son fundamentales o no) está caracterizada por una lista de
parámetros físicos: a uno que conocíamos (la masa) le hemos agregado un segundo: la
carga
•
Cada uno de estos parámetros físicos esta asociado a una interacción: masagravedad, carga – fuerza electrica. La carga (respectivamente la masa) establece un
factor de escala que determina la magnitud (y el signo en caso de la carga) de la
interaccion con otras particulas (a su vez ponderadas por su propia carga y masa)
Repaso, pues…(mucho texto)
•
Una partícula (sin ir a si son fundamentales o no) está caracterizada por una lista de
parámetros físicos: a uno que conocíamos (la masa) le hemos agregado un segundo: la
carga
•
Cada uno de estos parámetros físicos esta asociado a una interacción: masa-gravedad,
carga – fuerza electrica. La carga (respectivamente la masa) establece un factor de escala
que determina la magnitud (y el signo en caso de la carga) de la interaccion con otras
particulas (a su vez ponderadas por su propia carga y masa)
•
Ambas fuerzas tiene la misma dependencia espacial y la misma regla de escaleo con
su parametro critico. El producto de las dos cargas dividido el cuadrado del radio (y
el equivalente masa-gravedad) En electro, a esta regla se la llama Ley de Coulomb.
Repaso, pues…(mucho texto)
•
Una partícula (sin ir a si son fundamentales o no) está caracterizada por una lista de
parámetros físicos: a uno que conocíamos (la masa) le hemos agregado un segundo: la
carga
•
Cada uno de estos parámetros físicos esta asociado a una interacción: masa-gravedad,
carga – fuerza electrica. La carga (respectivamente la masa) establece un factor de escala
que determina la magnitud (y el signo en caso de la carga) de la interaccion con otras
particulas (a su vez ponderadas por su propia carga y masa)
•
Ambas fuerzas tiene la misma dependencia espacial y la misma regla de escaleo con su
parametro critico. El producto de las dos cargas dividido el cuadrado del radio (y el
equivalente masa-gravedad) En electro, a esta regla se la llama Ley de Coulomb.
•
Ambas fuerzas son aditivas. Esto permite superponer problemas y tratar la
interacción con un conjunto de cargas (una distribución) individualmente y luego
sumar las soluciones.
Repaso, pues…(mucho texto)
•
Una partícula (sin ir a si son fundamentales o no) está caracterizada por una lista de
parámetros físicos: a uno que conocíamos (la masa) le hemos agregado un segundo: la
carga
•
Cada uno de estos parámetros físicos esta asociado a una interacción: masa-gravedad,
carga – fuerza electrica. La carga (respectivamente la masa) establece un factor de escala
que determina la magnitud (y el signo en caso de la carga) de la interaccion con otras
particulas (a su vez ponderadas por su propia carga y masa)
•
Ambas fuerzas tiene la misma dependencia espacial y la misma regla de escaleo con su
parametro critico. El producto de las dos cargas dividido el cuadrado del radio (y el
equivalente masa-gravedad) En electro, a esta regla se la llama Ley de Coulomb.
•
Ambas fuerzas son aditivas. Esto permite superponer problemas y tratar la interacción con
un conjunto de cargas (una distribución) individualmente y luego sumar las soluciones.
•
Esto no ha de confundirse con que la carga de una estructura sea la suma de sus
cargas. Esta aproximación es valida cuando las distancias entre las cargas internas
y la carga externa son grandes. Por ejemplo, no importa cual es la distribución de
cargas de una mesa. Es “como si” no tuviese cargas. A la escala molecular esta
asimetria de distribuciones puede ser pertinente y las cargas han de sumarse con su
posicion adecuada. Esto genera estructuras que veremos mas adelante como por
ejemplo, un dipolo.
Repaso, pues…(mucho texto)
•
Una partícula (sin ir a si son fundamentales o no) está caracterizada por una lista de
parámetros físicos: a uno que conocíamos (la masa) le hemos agregado un segundo: la
carga
•
Cada uno de estos parámetros físicos esta asociado a una interacción: masa-gravedad,
carga – fuerza electrica. La carga (respectivamente la masa) establece un factor de escala
que determina la magnitud (y el signo en caso de la carga) de la interaccion con otras
particulas (a su vez ponderadas por su propia carga y masa)
•
Ambas fuerzas tiene la misma dependencia espacial y la misma regla de escaleo con su
parametro critico. El producto de las dos cargas dividido el cuadrado del radio (y el
equivalente masa-gravedad) En electro, a esta regla se la llama Ley de Coulomb.
•
Ambas fuerzas son aditivas. Esto permite superponer problemas y tratar la interacción con
un conjunto de cargas (una distribución) individualmente y luego sumar las soluciones.
•
Esto no ha de confundirse con que la carga de una estructura sea la suma de sus cargas.
Esta aproximación es valida cuando las distancias entre las cargas internas y la carga
externa son grandes. Por ejemplo, no importa cual es la distribución de cargas de una
mesa. Es “como si” no tuviese cargas. A la escala molecular esta asimetria de
distribuciones puede ser pertinente y las cargas han de sumarse con su posicion
adecuada. Esto genera estructuras que veremos mas adelante como por ejemplo, un
dipolo.
•
Las fuerza eléctrica y gravitatoria no completan la lista de fuerzas. Otras fuerzas
importantes permiten “estabilizar” los atomos, como las fuerzas nucleares. No
veremos estas fuerzas en este curso.
Tres maneras de ver (mas o menos lo mismo),
tres conceptos que no debieran confundir…
• Fuerza
• Campo
• Potencial
Tres maneras de ver (mas o menos lo mismo),
tres conceptos que no debieran confundir…
La fuerza es el concepto físico mas natural. Es un agente que establece una
interacción entre cuerpos y que según la ley de Newton modifica el estado de
movimiento de un cuerpo, satisface el principio de acción y reacción etc...
Se conocen varias fuerzas distintas y aun no existe una teoría unificada que
pueda entender estas fuerzas como manifestaciones de un único agente.
Una propiedad de las partículas es su carga, que esta asociada a una fuerza
conocida como fuerza eléctrica.
Esta fuerza sigue la Ley de Coulomb, que queda determinada por la siguiente
ecuación:
Esta fuerza tiene varias propiedades que describimos anteriormente y que comparte
en gran medida con la fuerza de gravedad, dos relevantes para las proximas dos
“construcciones” son, la proporcionalidad con la carga y la dependencia con la
posicion (recordar... fuerza conserativa -> gradiente de potencial)
Tres maneras de ver (mas o menos lo mismo),
tres conceptos que no debieran confundir…
• Fuerza
• Campo
• Potencial
EXPERIMENTO MENTAL EN PASOS EN BUSCA
DE LA DEFINICION DE CAMPO
(puede fallar)
q1
1) Imaginemos una carga en el centro de la nada.
EXPERIMENTO MENTAL EN PASOS EN BUSCA
DE LA DEFINICION DE CAMPO
(puede fallar)
q1
q2
2) Ubiquemos ahora una segunda carga, de tamaño y signo desconocido.
¿Cual es la fuerza que siente esta carga?
Según la ley de Coulomb, esta será:
F k
q1  q 2
r
2
¿Cuanto tiempo tarda esta partícula en sentir la fuerza?
Nuevamente, una pregunta sin respuesta, pero que pretende motivar la
siguiente reflexión.
EXPERIMENTO MENTAL EN PASOS EN BUSCA
DE LA DEFINICION DE CAMPO
(puede fallar)
q1
q2
4) La partícula 1 (roja) establece un “campo de fuerzas”; asigna una propiedad a cada punto
del espacio de manera tal que una carga en ese punto sentirá una fuerza proporcional a ese
campo y a su propia carga.Lo unico relevante para que esto sea así, es que se puede
factorizar la fuerza en una componente que depende de la segunda partícula y de una cantidad
del espacio determinada por la primer partícula.
F k
q1  q 2
r
2
 q2 
kq 1
r
2
Campo generado por q1
EXPERIMENTO MENTAL EN PASOS EN BUSCA
DE LA DEFINICION DE CAMPO
(puede fallar)
q1
q2
5) De la pregunta del tiempo de la interacción se desprende la idea de que este campo
espacial de fuerzas esta presente aun cuando no haya Q2. Es decir que la primera carga deja
una huella en el espacio, como si irradiase un objeto capaz de interactuar, con un signo, una
dirección, una fuerza, y Q2 solo atestigua ese campo, como si fuese un termómetro que
midiese un campo de fuerzas ya existente.
F k
q1  q 2
r
2
 q2 
kq 1
r
2
Campo generado por q1
Tres maneras de ver (mas o menos lo mismo),
tres conceptos que no debieran confundir…
• Fuerza
• Campo
• Potencial
Vuelta a la energía, fuerzas espaciales y la
posibilidad de derivar la fuerza de una función
potencial
•
Tal como vimos en mecánica, una fuerza conservativa (que depende del
espacio) puede pensarse como la derivada de un potencial. Este potencial
es un escalar cuyas derivadas direccionales establecen la fuerza en la
dirección correspondiente y cuyos puntos de invarianza establecen
regiones estables (ausencia de fuerza).
•
El uso de una función potencial tiene el mismo tipo de utilidad (conocer
aspectos importantes de la fisica como funciones del punto, independiente
de la historia, trayectoria, velocidades, tiempo...) que vimos en mecánica.
También establecer una cantidad relacionada al trabajo hecho por una
fuerza al desplazar una carga de un punto a otro. De hecho, lo único que
asumimos entonces fue que la fuerza era función de la posición.
•
Veremos que esto en realidad no es cierto en electro, cuando las cargas se
mueven generan corrientes que interactúan por fuerzas magnéticas… Pero
hasta aquí nada se mueve (Electrostatica) y por lo tanto no hay mas que q
y r.
Fuerza, campo y potencial, una tabla útil (cortesía de Wikipedia)
Partícula
Cantidad
Vectorial
Relación
Cantidad
Escalar
Relación
Campo
Gradiente, la dirección (y cantidad de cambio, de
una función escalar)
Algunos ejemplos simples (y ya vistos varias veces) de campos. Este campo
podría denotar un campo de fuerzas debido a una distribución de cargas
(aunque notar que hay un problema con el escaleo), la difusión de calor en un
fluido (por ejemplo por la presencia de una fuente térmica), el flujo de un fluido
en presencia de una cascada... En fin, varias funciones que combinan
dirección y magnitud que resultan de efectos globales de un objeto localizado
(la carga, la fuente térmica, el agujero en la pileta...)
Objetos Eléctricos, reglas de
suma y composición y La Ley de
Gauss
Objetos Eléctricos: La cara de la
carga.
Fundamentos de la carga...
“Objecto electrico”
“Objetos Mecanicos”
De las partes a los objetos. Casi todos los cuerpos microscópicos, átomos,
moléculas, macromoléculas, células... constituyen “objetos electricos”.
Elementos constituidos por un arreglo geometrico de cargas. El objetivo de
esta clase es entender la estructura de algunos objetos importantes. Esto
puede hacerse resolviendo las cuentas desde “primeros principios”. En
ciertas situaciones de simpleza geometrica, de presencia de simetrias, uno
puede evitarse muchas cuentas utilizando algunos principios genericos.
Veremos en particular una ley (una de las tantas leyes de conservacion) que
resulta muy util; LA LEY DE GAUSS.
Ejemplo: Un cuadrado de vértices cargados.
Ejemplo 2: Un objeto afamado
+
+
FLUJO – CANTIDAD DE CAMPO QUE ATRAVIESA UNA SUPERFICIE
E
FACIL
Superficie  E
Magnitud del campo * Superficie
(si el campo es constante a lo
largo de la superficie y siempre
normal)
DIFICIL
Suma (integral) del flujo en cada porcion
del área para lo que hay que ponderar la
magnitud del campo y cuan normal es a
la superficie punto a punto.
EN AMBOS CASOS SE PUEDE CALCULAR EL FLUJO
DIFICIL
FACIL
EN AMBOS CASOS SE PUEDE CALCULAR EL FLUJO
DIFICIL
DIFICIL
El campo eléctrico de una carga puntual.
E 
kq
r
2
rˆ
(La ley de Coulomb)
¿Cual es el “flujo” (la cantidad de campo que atraviesa una superficie)
generado por este campo?
E 
kq
r
2
rˆ
r1
En general el flujo se calcula como la integral “normal” a una superficie
que estima la cantidad de campo que la atraviesa (“lo que sale, menos
lo que entra”)
¿Cual es el “flujo” (la cantidad de campo que atraviesa una superficie)
generado por este campo?
Flujo  Sup  E
E 
kq
r
2
rˆ
r1
En este caso de geometría sencilla en el que el campo es siempre ortogonal a la
superficie ELEGIDA y constante a lo largo de esta superficie, el calculo del flujo es
muy simple. Es el producto de la magnitud del campo, por el área de la superficie.
¿Cual es el “flujo” (la cantidad de campo que atraviesa una superficie)
generado por este campo?
Flujo  Sup  E
 
E 
kq
r
2
rˆ
r1
kq
r1
2
 ( 4   r1 )
2
¿Cual es el “flujo” (la cantidad de campo que atraviesa una superficie)
generado por este campo?
Flujo  Sup  E
 
E 
kq
r
2
rˆ
r1
kq
r1
2
 ( 4   r1 )
  4   kq
EL FLUJO A TRAVES DE UNA ESFERA ES PROPORCIONAL A LA
CARGA, Y ES INDEPENDIENTE DEL RADIO DE LA ESFERA
2
¿Cual es el “flujo” (la cantidad de campo que atraviesa una superficie)
generado por este campo?
Flujo  Sup  E
r2
E 
kq
r
2
 
kq
r2
2
 ( 4   r2 )
rˆ
  4   kq
Al aumentar el radio de la esfera, esta aumenta en forma proporcional
a la disminución del campo, con lo que el flujo se conserva. De alguna
manera, el flujo se diluye en un área mayor, conservando su integral.
2
El flujo a través de superficies no esféricas
  4   kq
Esta regla de escaleo también es cierta para cualquier diferencial
(fracción) de superficie, lo cual permite deformar la esfera en una
superficie con chichones sin que esto tampoco cambie el flujo.
El flujo a través de superficies no esféricas
F4
F2
F2=-F1 y F3=F4=0
 0
F1
F3
Dicho de otra manera, el flujo a través de esta superficie (que no
contiene carga) es cero. Una vez mas, lo que entra se igual a lo que
sale, dado una disminución del campo equivalente al aumento de
superficies.
El flujo de campo eléctrico de una carga puntual a
través de una superficie arbitraria.
Uno puede seguir
intuitivamente con
este proceso de
deformación de la
esfera ( o en su
defecto probarlo
matemáticamente)
para mostrar que
de hecho, dada
cualquier superficie
en este problema
definido por el
objeto eléctrico
mas simple (una
carga puntual) el
flujo puede tomar
dos valores
posibles:
  4   kq
Si la superficie
contiene la carga
 0
Si la superficie NO
contiene la carga
Dado que el campo eléctrico es lineal, en
presencia de muchas cargas el flujo se suma.
  4  k ( 2  q )
Dada cualquier
distribución de
cargas y cualquier
superficie el flujo
es simplemente
una constante
multiplicada por la
carga contenida en
la superficie.
 0
  4  k (  q )
 0
Ley de Gauss: Las cargas como “fuentes de
campo”.
 SUPERFICIE  4   k  Q CONTENIDA
SUPERFICE
•Ley de Gauss: El flujo de campo eléctrico en cualquier superficie es igual a una constante por la carga
eléctrica contenida en dicha superficie (pueden ser cargas discretas o distribuciones de carga).
•Esto resulta fundamentalmente del hecho de que el campo eléctrico decrezca con el cuadrado de la
distancia, el mismo factor con el que crecen las superficies.
•Establece que las cargas son fuentes de campo, lugares donde se origina una divergencia (las cargas
negativas son sumideros, lugares donde se “vierte” el campo, donde se extingue.
•El campo de una partícula se diluye en el espacio, esparciéndose a lo largo de superficies cada vez mas
grandes a medida que estas se alejan del punto de la carga (fuente). Superficies que no contienen cargas
son regiones de paso del campo, este ni se acumula ni se extingue en el interior de esta superficie.
•Cualquier objeto eléctrico, por complejo que sea, es expresable como una suma de cargas individuales (o
una distribución de densidad de cargas). La aditividad del campo hace que el flujo sea proporcional a la
cantidad de carga contenida.
Ley de Gauss: Las cargas como “fuentes de
campo”.
 SUPERFICIE  4   k  Q CONTENIDA
SUPERFICE
•Ley de Gauss: El flujo de campo eléctrico en cualquier superficie es igual a una constante por la carga
eléctrica contenida en dicha superficie (pueden ser cargas discretas o distribuciones de carga).
•Esto resulta fundamentalmente del hecho de que el campo eléctrico decrezca con el cuadrado de la
distancia, el mismo factor con el que crecen las superficies.
•Establece que las cargas son fuentes de campo, lugares donde se origina una divergencia (las cargas
negativas son sumideros, lugares donde se “vierte” el campo, donde se extingue.
•El campo de una partícula se diluye en el espacio, esparciéndose a lo largo de superficies cada vez mas
grandes a medida que estas se alejan del punto de la carga (fuente). Superficies que no contienen cargas
son regiones de paso del campo, este ni se acumula ni se extingue en el interior de esta superficie.
•Cualquier objeto eléctrico, por complejo que sea, es expresable como una suma de cargas individuales (o
una distribución de densidad de cargas). La aditividad del campo hace que el flujo sea proporcional a la
cantidad de carga contenida.
Ley de Gauss: Las cargas como “fuentes de
campo”.
 SUPERFICIE  4   k  Q CONTENIDA
SUPERFICE
•Ley de Gauss: El flujo de campo eléctrico en cualquier superficie es igual a una constante por la carga
eléctrica contenida en dicha superficie (pueden ser cargas discretas o distribuciones de carga).
•Esto resulta fundamentalmente del hecho de que el campo eléctrico decrezca con el cuadrado de la
distancia, el mismo factor con el que crecen las superficies.
•Establece que las cargas son fuentes de campo, lugares donde se origina una divergencia (las cargas
negativas son sumideros, lugares donde se “vierte” el campo, donde se extingue.
•El campo de una partícula se diluye en el espacio, esparciéndose a lo largo de superficies cada vez mas
grandes a medida que estas se alejan del punto de la carga (fuente). Superficies que no contienen cargas
son regiones de paso del campo, este ni se acumula ni se extingue en el interior de esta superficie.
•Cualquier objeto eléctrico, por complejo que sea, es expresable como una suma de cargas individuales (o
una distribución de densidad de cargas). La aditividad del campo hace que el flujo sea proporcional a la
cantidad de carga contenida.
Ley de Gauss: Las cargas como “fuentes de
campo”.
 SUPERFICIE  4   k  Q CONTENIDA
SUPERFICE
•Ley de Gauss: El flujo de campo eléctrico en cualquier superficie es igual a una constante por la carga
eléctrica contenida en dicha superficie (pueden ser cargas discretas o distribuciones de carga).
•Esto resulta fundamentalmente del hecho de que el campo eléctrico decrezca con el cuadrado de la
distancia, el mismo factor con el que crecen las superficies.
•Establece que las cargas son fuentes de campo, lugares donde se origina una divergencia (las cargas
negativas son sumideros, lugares donde se “vierte” el campo, donde se extingue.
•El campo de una partícula se diluye en el espacio, esparciéndose a lo largo de superficies cada vez mas
grandes a medida que estas se alejan del punto de la carga (fuente). Superficies que no contienen cargas
son regiones de paso del campo, este ni se acumula ni se extingue en el interior de esta superficie.
•Cualquier objeto eléctrico, por complejo que sea, es expresable como una suma de cargas individuales (o
una distribución de densidad de cargas). La aditividad del campo hace que el flujo sea proporcional a la
cantidad de carga contenida.
Ley de Gauss: Las cargas como “fuentes de
campo”.
 SUPERFICIE  4   k  Q CONTENIDA
SUPERFICE
•Ley de Gauss: El flujo de campo eléctrico en cualquier superficie es igual a una constante por la carga
eléctrica contenida en dicha superficie (pueden ser cargas discretas o distribuciones de carga).
•Esto resulta fundamentalmente del hecho de que el campo eléctrico decrezca con el cuadrado de la
distancia, el mismo factor con el que crecen las superficies.
•Establece que las cargas son fuentes de campo, lugares donde se origina una divergencia (las cargas
negativas son sumideros, lugares donde se “vierte” el campo, donde se extingue.
•El campo de una partícula se diluye en el espacio, esparciéndose a lo largo de superficies cada vez mas
grandes a medida que estas se alejan del punto de la carga (fuente). Superficies que no contienen cargas
son regiones de paso del campo, este ni se acumula ni se extingue en el interior de esta superficie.
•Cualquier objeto eléctrico, por complejo que sea, es expresable como una suma de cargas individuales (o
una distribución de densidad de cargas). La aditividad del campo hace que el flujo sea proporcional a la
cantidad de carga contenida.
Utilidad de la ley de Gauss: Utilizada en sentido inverso
permite determinar campos calculando el flujo.
R
•Ejemplo 1: Una esfera (no puntual) cargada de radio R.
•Se trata de aplicar la lógica inversa, establecer la superficie, calcular el
flujo y, asumiendo valida la Ley de Gauss, determinar el campo.
•Problema en dos pasos: 1) Determinar las superficies adecuadas (sino
La Ley de Gauss sigue siendo validad, pero deja de ser útil) y 2)
Calcular el campo a través de estas superficies.
Esferas, esferas, esferas. La simetría arquetípica.
R
Flujo  4  k  Q ENCERRADA
r
•Superficie de interés 1: Una esfera contenida en la densidad de carga.
La totalidad de carga es:
Q  
4
r
3
3
Esto esta relacionado según la ley de Gauss al flujo del campo, que en este caso, por la simetría del
problema (aquí es donde se pasa de la generalidad a la utilidad) es igual a:
Flujo  Sup  E  4   r  E
2
La incógnita que
queremos despejar
Usando la ley de Gauss se tiene la siguiente relación entre el flujo y la carga acumulada:
Flujo  Sup  E  4   r  E  4   k  Q
2
Por la ley de Gauss
Esferas, esferas, esferas. La simetría arquetípica.
R
r
•Superficie de interés 1: Una esfera contenida en la densidad de carga.
La totalidad de carga es:
Q  
4
r
3
3
Flujo  Sup  E  4   r  E
La incógnita que
queremos despejar
2
Por la ley de Gauss se tiene la siguiente relación entre el flujo y la carga acumulada:
Flujo  Sup  E  4   r  E  4   k  Q
2
Por la ley de Gauss
Simplemente remplazando se obtiene:
4  r  E  4  k   
2
4
3
r  E   
3
4
3
k r
Dentro de
una esfera
cargada E
crece
Un ejemplo, tal vez el único, donde la distribución espacial
es “irrelevante”.
R
r
•Superficie de interés 2: Una esfera que contiene estrictamente la totalidad de la carga. Aqui,
independientemente del valor de r, el total de la carga será. De hecho vista desde exterior,
esta esfera de carga es indistinguible de una carga puntual.
Q  
4
3
R
3
Un ejemplo, tal vez el único, donde la distribución espacial
es “irrelevante”.
R
r
•Superficie de interés 2: Una esfera que contiene estrictamente la totalidad de la carga. Aqui,
independientemente del valor de r, el total de la carga será. De hecho vista desde exterior,
esta esfera de carga es indistinguible de una carga puntual.
Q  
4
R
3
3
Haciendo todo igual que antes...:
4  r  E  4  k   
2
4

R  E 
3
3
Flujo
Suma de Cargas
4
k R
3
2
r
3

Qk
r
2
¿Y en la frontera?
R
r
•Tenemos dos maneras de estimar el campo en la frontera...
E 
Qk
R
E  
4
Aproximándose desde el exterior
2
k R
Aproximándose desde el interior
3

E 
4
3
2
R
3
R k

Qk
R
2
Dan lo mismo indicando que el campo es
continuo en la superficie.
Otro problema simétrico: invarianza en el plano o, lo que
no es lo mismo (pero es igual): un hilo (cargado) infinito.
•Superficie de interés 1: Un cilindro de longitud L y radio R (L arbitrariamente grande)
Por simetría (una vez mas, si no Gauss, al menos utilizado sobre una única superficie
no es suficiente para determinar íntegramente la distribución de carga, ya que establece
una única ecuación y hay que determinar varias direcciones del campo), por simetria
entonces, el campo esta en la dirección ortogonal al hilo.
Flujo  Sup  E

Carga Encerrada
(Gauss)
E  2  r  L   
E  2  r  L    4  k  Q
E  2  r  L    4  k  Q  4  k    L
Otro problema simétrico: invarianza en el plano o, lo que
no es lo mismo (pero es igual): un hilo (cargado) infinito.
•Superficie de interés 1: Un cilindro de longitud L y radio R (L arbitrariamente grande)
Por simetría (una vez mas, si no Gauss, al menos utilizado sobre una única superficie
no es suficiente para determinar íntegramente la distribución de carga, ya que establece
una única ecuación y hay que determinar varias direcciones del campo), por simetria
entonces, el campo esta en la dirección ortogonal al hilo.
E  2  r  L    4  k  Q  4  k    L
E 
2k 
r
En un hilo infinito
E decrece con r
Aun otro problema simétrico donde
Gauss es util para calcular el
campo: un plano cargado.
Mismo rollo (superficie
adecuada, simetría,
blablabla) se obtiene:
(el área de la superficie
aumenta de manera
proporcional a la carga lo
que resulta en un campo
constante)
E  2    k   En un plano infinito, el campo es constante (no depende de r)
Resumen de las reglas de escala (una batalla de infinitos)
Carga Puntual
(Finita)
E  1

r
2
E 1
Hilo Infinito
(Infinito 1D)
r





Plano Infinito
(Infinito 2D)
Esfera Infinita
(Infinito 3D)
E  r ( Const )
Er
0
1
En todos los casos
el campo se “diluye”
como una superficie
(1/R2). En cada
caso, ademas, la
carga escalea con
R, y segun esta
relacion se
establece el escaleo
del campo.
Una breve nota sobre la relevancia (la practicidad de los
infinitos)

Hilo Infinito
(Infinito 1D)
E 1
r





Plano Infinito
(Infinito 2D)
Esfera Infinita
(Infinito 3D)
E  r ( Const )
Er
0
1
No existen, o en
todo caso hay un
punto donde en
términos prácticos
los hilos, planos o
esferas cargadas
infinitas (ni siquiera
Olmedo era infinito).
Todos estos objetos
son sin embargo de
gran utilidad practica
ya que en ciertas
aproximaciones
(cuando la distancia
al plano, o al hilo es
mucho menor que
sus respectivos
tamaños) donde
esta aproximación
es valida.
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fuerza electrica. La carga