Predicción por descomposición de series
Descomposición de series:
•Sobre una serie temporal Yt podemos identificar una serie de
componentes básicos que se denominan respectivamente como:
•TENDENCIA: Tt Movimientos de larga duración que se
mantienen durante todo el periodo de observación.
•CICLO: Ct Oscilaciones alrededor de la tendencia producidos
por períodos alternativos de prosperidad y depresión.
•ESTACIONALIDAD: St Movimiento que se produce, dentro
de un periodo anual, por motivos no estrictamente económicos
(climáticos, sociales,ect.)
•IRREGULARIDAD: It Movimientos erráticos generados por
causas ajenas al fenómeno económico y no repetidos en el
tiempo
Predicción por descomposición de series
Descomposición de series:
•Podemos plantear diferentes esquemas alternativos de
descomposición de una serie temporal:
•ADITIVO:
Yt  Tt  Ct  St  I t
•MULTIPLICATIVO:
Yt  Tt * Ct * St * I t
•MIXTO:
Yt  Tt * (1  Ct ) * (1  St )  I t
Predicción por descomposición de series
Descomposición de series:
• Generalmente, el proceso de descomposición de una serie se
realiza, en el enfoque clásico, mediante un proceso secuencial
de identificación y separación de componentes.
• Por regla general el orden en el que se van identificando
los sucesivos componentes es el siguiente (para estructura
aditiva):
1.Estacionalidad
2.Tendencia
Sˆt  f (Yt )
1
ˆ
Tt  f (Yt )
2
ˆ
Ct  f (Yt )
4.Componente irregular I t  Yt 2  Cˆt
3.Ciclo
Yt1  Yt  Sˆt
Yt 2  Yt1  Tˆt
Predicción por descomposición de series
Desestacionalización:
• Proceso de eliminación del componente estacional de una serie.
Es frecuente antes de aplicar un proceso de desestacionalización
realizar un análisis de LABORALIDAD y efecto PASCUA
(Semana Santa)
• LABORALIDAD: Corrección de los datos originales en
función del número de días laborables de cada mes.
• Efecto PASCUA: Corrección que se aplica a los meses de Abril
o Marzo en función de las fechas de Semana Santa.
A las series de las que se han eliminado estos efectos se les
denomina SERIES CORREGUIDAS DE CALENDARIO.
Predicción por descomposición de series
Desestacionalización:
• Métodos alternativos:
• Diferencias sobre la media móvil
• Ratios sobre la media móvil
• X-11 /X-11 ARIMA / X-12
• Métodos basados en el Proceso Generador de Datos y
Análisis en el dominio de las frecuencias
(TRAMO/SEATS)
Predicción por descomposición de series
Desestacionalización:
Media móvil: Transformación de la serie original en la que las
nuevas observaciones para cada periodo son un promedio de las
observaciones originales. El orden de la media móvil indica el
número de observaciones a promediar.
Mensuales
Orden 12
Sin centrar
Centrada
11
1
MM Yt   Yt r
12 r 0
12
6
1
MMc Yt 
Yt r

12 r 6
12
Con =0,5 para r=-6 y +6 y =1 resto
Trimestrales
Orden 4
1 3
MM Yt   Yt r
4 r 0
4
2
1
MMc4Yt   Yt r
4 r 2
Con =0,5 para r=-2 y +2 y =1 resto
Predicción por descomposición de series
Desestacionalización:
DIFERENCIAS SOBRE LA MEDIA MÓVIL (Aditivo)
Paso 1: Calcular la media móvil centrada de orden 12 para
series mensuales y 4 para series trimestrales.
6
1
Wt  MMc Yt 
Yt r

12 r 6
12
2
1
4
Wt  MMc Yt   Yt r
4 r 2
Paso 2: Calcular las diferencias de la serie original y la media móvil
dt  Yt  Wt
Paso 3: Calcular los índices de estacionalidad para cada periodo m
(1 a 12 en mensual y 1 a 4 en trimestres) por promedio de la serie
de diferencias.
1,2,...,12
im   dt t  m  

t 1
 1,2,...,4 
N /m
Predicción por descomposición de series
Desestacionalización:
• DIFERENCIAS SOBRE LA MEDIA MÓVIL (Aditivo)
Paso 4: Reponderar los índices de estacionalidad para que sumen 0.
sm  im  i
1
con i 
M
M
i
m 1
m
( M  12 ó M  4)
Paso 4: Calcular la serie desestacionalizada Y1t por diferencias
entre la serie original y los índices de estacionalidad.
Sˆt  sm
Y  Yt  Sˆt
1
t
Predicción por descomposición de series
Desestacionalización:
RATIO SOBRE LA MEDIA MÓVIL (Multiplicativo)
Paso 1: Calcular la media móvil centrada de orden 12 para
series mensuales y 4 para series trimestrales.
2
6
1
Wt  MMc Yt 
Yt r

12 r 6
12
1
Wt  MMc Yt   Yt r
4 r 2
4
Paso 2: Calcular el ratio entre la serie original y la media móvil
Yt
rt 
Wt
Predicción por descomposición de series
Desestacionalización:
• RATIO SOBRE LA MEDIA MÓVIL (Multiplicativo)
Paso 3: Calcular los índices de estacionalidad para cada periodo m
(1 a 12 en mensual y 1 a 4 en trimestres) por promedio de la serie
N /m
de diferencias.
1,2,...,12
im   rt t  m  

t 1
 1,2,...,4 
Paso 4: Reponderar los índices de estacionalidad para que su
producto sea unitario.  im

 12 i1 * i2 * * i12 
sm  

im
 4

i1 * i2 * i3 * i4 

Paso 4: Calcular la serie desestacionalizada Y1t por cociente entre
la serie original y los índices de estacionalidad.
Sˆt  sm
Yt1  Yt / Sˆt
Predicción por descomposición de series
Extracción de Tendencia:
En general es difícil diferenciar entre el componente tendencial y
el cíclico y, habitualmente, se obtienen de forma conjunta
eliminando de la serie desestacionalizada el componente irregular,
obteniéndose una nueva serie denominada de CICLOTENDENCIA.
Una forma sencilla de eliminar el componente irregular consiste
en calcular una media móvil centrada de orden bajo (p.e. 3) sobre
la serie previamente desestacionalizada.
1
1
CTt  MM 3Yt1   Yt1 s
3 s 1
El componente irregular se obtendría por diferencia (en un
esquema aditivo) entre la serie desestacionalizada y la de Ciclo1
Tendencia
I  Y  CT
t
t
t
Predicción por descomposición de series
Extracción de Tendencia:
Otras alternativas más complejas para extraer los componentes
tendenciales y cíclicos:
ALISADO EXPONENCIAL DE LA SERIE
AJUSTE DE FUNCIONES DE TIEMPO
FILTRADO DE SERIES: HODRICK-PRESCOTT
Predicción por descomposición de series
Extracción de Tendencia:
ALISADO EXPONENCIAL:
2
1
2
t 1
t
t
t
Se obtiene la nueva serie de componente tendencial aplicando
una media móvil ponderada sin centrar, donde  oscila entre 0
(menos alisada) y 1 (más alisada)
T  Yˆ   *Y  1   *Yˆ
Se pueden plantear especificaciones más complejas:
2
Incluyendo más términos: Yˆ 2   *Y 1   1   *Yˆt 21  1    *Yˆt 2 2
t
t
Alisado Doble-exponencial: Yˆt 2   *Wt  1   * Yˆt 21
Wt   * Yt1  1   *Wt 1
Predicción por descomposición de series
Extracción de Tendencia:
Ajuste de tendencia:
2
1
2 2
ˆ
ˆ
ˆ
Tt  Yt  f (t )  aˆ  b * t a, b / Min(Yt  Yt )
Se obtiene la nueva serie de componente tendencial ajustando los
datos observados a una especificación en función del tiempo,
calculándose los parámetros de la función de tiempo forma que se
minimicen las diferencias cuadráticas entre la serie original y la
estimada.
 n
  n   n 
aˆ  Y  bˆ * t
1
n  Yi * t     Yt  *   t 
  t 1   t 1 
bˆ   t 1
2
 n 2  n 
n  t     t 
 t 1   t 1 
Se pueden plantear distintas especificaciones de la función:
Predicción por descomposición de series
Lineal
60
50
40
30
20
10
0
Yt  a  b * t
Lineal
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20
Parábola
Yt  a  b * t  c * t
2
150
Parábola
100
50
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 1415 1617 18 1920
Yt  a * b
Exponencial
LnYt   c  d * t
Yt  a * t
Potencial
t
b
LnYt   c  d * Lnt 
200
Exponencial
150
100
50
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213 1415 16 1718 1920
200
Potencial
150
100
50
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 1314 1516 1718 1920
Predicción por descomposición de series
Ajuste de funciones de tiempo:
Modelos de difusión o procesos acotados
Difusión interna: Yt   Yt * (  Yt )
Paso 1: Calcular la serie normalizada en porcentaje sobre el
Yt
techo de referencia.
Zt 

Paso 2: Calcular la serie normalizada en diferencias Z t  Z t  Z t 1
Paso 3: Calcular el producto de la serie normalizada y la
diferencia hasta 1: X t  Zt * 1  Zt 
Paso 4: Ajustar mediante regresión el modelo: Zt   * X t
Para obtener la predicción debemos aplicar la formulación:


2
ˆ
ˆ
 (1   )  1    4 * ˆ * Z t
Z t 1 
2 * ˆ
Predicción por descomposición de series
Extracción de Tendencia:
FILTRADO DE SERIES :HODRICK-PRESCOTT
Tt  Yˆt
N
2

/ Min Yt  Yˆt
t 1
1
    
2 2
N
t 2
 
Yˆt21  Yˆt 2  Yˆt 2  Yˆt21

2
Se obtiene la nueva serie de componente tendencial que sea “lo
mas suave posible” (penalizándose con el parámetro  la
volatilidad de la nueva serie) y que minimize las diferencias
cuadráticas frente a la serie original.
Los propios autores proponen unos valores de  para cada tipo de
series:
Anual: 100
Trimestral: 1600
Mensual:14400
Predicción por descomposición de series
Extracción de Tendencia:
FILTRADO DE SERIES :HODRICK-PRESCOTT
En términos matriciales podemos expresar el problema de
minimización como:
Min (Yt  Yˆt 2 )'(Yt  Yˆt 2 )  ( AYˆt 2 )( AYˆt 2 )
Donde:
0
1  2 1
0 1  2 1

2
ˆ
AYt  0 0
1 2



 
0 0
0
0
0
0
1

0





0 0
0 0
0 0
 
1 2
0 Yˆ12 
 
0 Yˆ22 
0 * Yˆ32 
  
   
1 Yˆn2 
Igualando a cero la primera derivada y despejando la serie Y2t
obtenemos:
Yˆ 2  ( I  AA)1Y 1
t
t
Predicción por descomposición de series
Extracción del Ciclo:
Por diferencia entre la serie desestacionalizada y la serie de
tendencia calculada, podemos obtener una estimación de la serie
con componente cíclico e irregular:
CI t  Yˆt 3  Yˆt1  Yˆt 2  Yt  St  Tt
Y aplicando una media móvil de orden bajo (p.e. 3) obtendríamos
la serie libre de componente irregular, es decir , el componente
cíclico.
1 1
Ct  MM 3Yˆt 3 
3
ˆ
Y
 t s
3 s 1
Igualmente podríamos obtener el componente cíclico realizando
un ajuste de tendencia sobre la serie de Ciclo-Tendencia, para
separar ambos componentes:
Predicción por descomposición de series
Ajuste y predicción del Ciclo:
Una opción alternativa para extraer y predecir el componente
cíclico sería la utilización del ajuste de funciones periódicas.
Una función periódica es aquella que repite sus valores en el
tiempo cada p periodos y puede venir expresada como:
 2p

Yt  A * cos
 
 N

donde:
•A, amplitud de la oscilación.
•p, período.
•, desfase.
•N número total de observaciones.
1,5
1
A
0,5
0
-0,5 1
8
15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99
T
-1
-1,5
DESFASE = PI/2
1,5
1
0,5
0
-0,5 1
-1
-1,5
8
15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99
Predicción por descomposición de series
Ajuste y predicción del Ciclo:
A efectos de ajustar y predecir series cíclicas podemos utilizar
la expresión alternativa:
Yt   * cos(0 * p * t )   * sen(0 * p * t )
0 es lo que se denomina frecuencia básica y es igual a 2*/N
Paso 1: Identificar el número de máximos (mínimos) cíclicos p y
construir las series:
COSPt= COS(2*3.1416/N*p*t) y SENPt=SENO(2*3.1416/N*p*t)
Paso 2: Ajustar mediante regresión el modelo:
Yt  1 * COSP  2 * SENP
Paso 3: Calcular los errores (residuos) y si tienen comportamiento
cíclico repetir el proceso añadiendo nuevos términos al modelo.
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ANÁLISIS PRIMARIO DE SERIES TEMPORALES