MAPA DE NAVEGACIÓN
INECUACIONES
UNIDAD 8
Índice
Teoría
Y
Ejemplos
INECUACIONES O DESIGUALDADES
íNDICE

DEFINICION DE UNA DESIGUALDAD O INECUACION.

PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD.


SOLUCION DE UNA INECUACION.

INECUACIONES CUADRATICAS.


INECUACIONES SIMULTANEAS
INECUACIONES RACIONALES.
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.
DESIGUALDAD: Es una expresión que indica que una cantidad es
mayor o menor que otra.
INECUACIÓN: Es una desigualdad en la que hay una o mas
cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para
determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también
se llaman DESIGUALDADES CONDICIONALES.
EJEMPLO: La desigualdad 2x – 3 > x + 5 es una inecuación porque
tiene la incógnita x.
Es condicional, porque es cierta para cualquier valor de x mayor
que 8, pero es falsa si x es menor o igual que 8.
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PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES.
ALGUNAS PROPIEDADES BASICAS DE LAS DESIGUALDADES
SON LAS SIGUIENTES EN LOS LIBROS DE LA BIBLIOGRAFÍA
DEL TALLER SE PUEDEN ENCONTRAR PROPIEDADES
ADICIONALES
PROPIEDADES FUNDAMENTALES:
1.- Si a > b y b > c entonces a > c.
2.- Si a > b entonces a+c > b+c
y a-c > b-c.
3.- Si a > b y c > 0 entonces ac > bc
y
a/c > b/c.
4.- Si a > b y c < 0 entonces ac < bc y
a/c < b/c.
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INECUACIONES SIMULTANEAS
Son inecuaciones que tienen soluciones comunes.
Ejemplo:
¿Para qué valores de x se verifican simultáneamente las inecuaciones
10x-15 < 0 y 5x > 3?
Resolviendo las inecuaciones, la primera se cumple para x < 3/2, y
la segunda, para x >(3/5); por consiguiente, los valores mayores
que 3/5 y menores que 3/2, verifican simultáneamente ambas
inecuaciones.
Este resultado se escribe así:
3/5 < x < 3/2
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SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN O DESIGUALDAD.
EJEMPLO: 6x – 10 > 3x + 5
Pasamos los términos semejantes de un lado:
6x – 3x > 5 + 10
Reduciendo términos queda:
3x > 15
Despejando x:
x > 15/3
Haciendo la división obtenemos:
x>5
El intervalo de solución es (5, ∞)
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Resolver la inecuación
(6 + x)÷ 3 < (5x - 7)÷ 5
Multiplíquese por 15 (el
común denominador de los
divisores 3 y 5) cada
miembro
30 + 5x < 15x -21
Réstese 15x de cada
miembro:
30 + 5x -15x < 15x -21 -15x
Réstese 30 de cada
miembro:
30 -10x -30 < -21 -30
Divídase entre -10 cada
miembro
(-10x)÷(-10 )> (-51)÷(-10 )
Finalmente
x > 5.1
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INECUACIONES CUADRATICAS
EJEMPLO: Resolver la desigualdad x2 – 5x – 6 > 0
SOLUCION: Se factoriza el trinomio (x – 6)(x + 1) > 0
Se buscan los valores que hacen cero el producto. En este caso son
6 y -1, con estos valores se determinan los intervalos:
(- ∞, -1), (-1, 6), (6, ∞)
Después se comprueba, sustituyendo un valor de cada intervalo en los
factores, para determinar los signos de estos. Posteriormente se
aplica la ley de los signos para el producto tomando como solución
el intervalo o los intervalos que cumplen con la desigualdad.
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siguiente
-Para el intervalo (- ∞, -1)
Se toma, por ejemplo, el valor de x = -4 y se sustituye en cada factor.
(-4-6)(-4+1) = (-10)(-3) = 30
el producto es positivo
-Para el intervalo (-1, 6)
Se toma un valor como el de x = 0 y se sustituye en los factores
(0-6)(0+1) = (-6)(1) = -6
el producto es negativo
-Para el intervalo (6, ∞)
Se toma el valor de x, como x = 7 y se sustituye en cada factor
(7-6)(7+1) = (1)(8) = 8
el producto es positivo
Los intervalos solución son aquellos en los cuales el producto es
positivo, es decir, (- ∞, -1)  (6, ∞)
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INECUACIONES RACIONALES
EJEMPLO : Resolver la desigualdad
2/(3x - 6) < 0
SOLUCION: El numerador es positivo,
entonces para que la desigualdad sea
negativa (menor que cero) el denominador
debe ser negativo, es decir:
3x – 6 < 0
Despejando x queda x < 6/3 con lo cual se
obtiene que x < 2
El intervalo de solucion es (-∞, 2) .
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siguiente
EJEMPLO 2: Resolver (3/(2x + 3)) < (1/(x - 2))
SOLUCION : Se agrupan los términos en un solo miembro de la
desigualdad y se realiza la operación indicada, obteniendo así:
(3/2x + 3 ) - (1/(x - 2)) < 0
3(x-2) – (2x + 3) / (2x + 3)(x - 2) < 0
3x – 6 – 2x + 3 / (2x + 3)(x - 2) < 0
x – 9 / (2x + 3)(x - 2) < 0
Se determinan los intervalos para analizar la desigualdad, de la
siguiente manera:
El denominador debe ser diferente de cero por tanto x ≠ - 3/2 y x ≠ 2.
Luego, el numerador se hace cero cuando x = 9, entonces los posibles
intervalos solución son:
(- ∞, -3/2), (-3/2, 2), (2,9), (9, ∞)
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siguiente
La siguiente tabla, que se presentará a continuación, es
una de las formas de poder resolver una inecuación por
medio de los signos entre los intervalos que se sacan,
tomando valores entre los intervalos y verificando qué
signos son los que quedan cuando se aplican en las
ecuaciones que se obtienen al factorizar.
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siguiente
(-∞ , -3/2)
(-3/2,2)
(2,9)
(9 , ∞)
Signo de x – 9
-
-
-
+
Signo de 2x + 3
-
+
+
+
Signo de x – 2
-
-
+
+
Signo de
(x-9) /
(2x+3)(x-2)
-
+
-
+
INTERVALO
Por tanto la solución de la desigualdad es (-∞ , -3/2) U (2,9)
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INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un numero real x denotado por |x| se define por:
|x|=
x si x > 0
-x si x < 0
0 si x = 0
Ejemplos :
|5| = 5
|-7| = - (-7) = 7
| - 1 / 9| = -(- 1 / 9) = 1 / 9
|0.98 | = 0.98
|0|= 0

a)
b)
Si x es un numero real y a > 0, entonces:
|x| < a ↔ -a < x < a
|x| > a ↔ x > a ó x < -a
Índice
siguiente

a)
b)
Otra forma de ver el valor absoluto
|x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a
|x| ≥ a ↔ x ≥ a o x ≤ -a
Ejemplos: Resolver |x| = 7
Por la definición de valor absoluto, tenemos:
x = 7 o x = -7
Resolver |2x + 8| = 5
2x + 8 = 5
2x = 5 – 8
2x = - 3
x=-3/2
ó
ó
ó
ó
2x + 8 = -5
2x = - 8 – 5
2x = - 13
x = -13 / 2
Resolver |x - 10| = - 3
Como el valor absoluto nunca es negativo, esta ecuación no tiene
solución.
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