Colegio San Pablo
Verdad y Virtud
Departamento de Matemática
Licda. Katherine Harley
INECUACIONES
DEFINICIÓN:
Una inecuación es un enunciado que incluye
alguna de las relaciones de orden:
 “mayor que” > ……………. 2x + 4 >3x – 9
 “menor que”< ……………. 3(x+4) < 2x + 1
4
 “mayor o igual que” …….. 3x 2  1  2 x
 “menor o igual que”
…….. 4m  2  m  8


INECUACIONES LINEALES
Son aquellas en las cuales la variable tiene
grado uno.
 Se resuelven con un procedimiento muy similar
al de las ecuaciones lineales, es decir, dejando
las variables a un lado y los números al otro,
pasando a efectuar la operación contraria.
 Se debe invertir la desigualdad si se pasa un
número negativo a multiplicar o dividir.

EJEMPLO:
4( x  1)  2 x  8
4x  4  2x  8
4 x  2 x  8  4
2 x  12
12
x
2
x  6
S  , 6
-6
EJEMPLO
CUIDADO
Cuando en una inecuación
se pasa a multiplicar o a
dividir un número negativo
al otro lado, se debe invertir
la desigualdad
2x 1 1
3  5x
  1
3
2
2
2(2 x  1)  3 6  3(3  5 x)

6
6
4x + 2 + 3 < 6 – 9 + 15x
4x – 15x < 6 – 9 – 2 – 3
–11x < –8
x> 8
11
8

S   ,  
 11

8
11
INECUACIONES SIMULTÁNEAS
Son aquellas en las cuales la variable está
entre dos valores “a” y “b”
 Ejemplo

4  x  7
S  4,7
-4
7
EJEMPLOS:
x  12  3x  20  x
x  12  3x
12  3x  x
12  2x
6 x
S  6,10
3x < 20 + x
3x – x < 20
2x < 20
x < 10
6
10
3x  2  2 x  1  x  6
3x+2 > 2x + 1
3x – 2x > 1 – 2
x > –1
2x 1  x  6
2 x  x  6  1
x  7
S  1, 
-7
-1
2x  4  x  5  2x
2x  4  x  5
x  5  2x
5  2x  x
2 x  x  5  4
x  9
-9
5  x
-5
S 
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
I Caso:
valor absoluto “menor que” 0 tiene S = 
Ejemplos:
1. 2 x  4  0
2
2. 3 x  6 x  4  0

S 
S 

II Caso: valor absoluto “menor o igual que” 0

Tiene solución resolviendo la ecuación igual a
cero porque no puede ser negativo.

Ejemplos:
1. 3x  5  0
3x  5  0
3x  5
5
x
3
5 
S  
3
2.
x  4x  3  0
2
x  4x  3  0
2
( x  3)( x  1)  0
x  3, x  1
S  3, 1

III Caso: valor absoluto “mayor o igual que” 0

Tiene solución S = R

Esto significa que cualquier número real sirve
para su solución, dado que siempre va a dar un
resultado mayor o igual que 0

Ejemplos:
1.
3x  2  0
S 
2.
4x  8x  1  0
2
S 

IV Caso: valor absoluto “mayor que” 0

Tiene solución S   x / xanulaelvalorabsoluto

Esto significa que para cualquier número real
se tiene una solución mayor que 0, pero deben
eliminarse los valores donde se hace igual a
cero.
EJEMPLOS:
1.
x2 0
x+2=0
x=–2
S   2
2.
x  4x  5  0
2
x  4x  5  0
2
 x  5 x 1  0
x  5, x  1
S   1,5



V Caso: valor absoluto “menor que” o “menor o
igual que” un número negativo.
Tiene solución S  
Esto significa que ningún número hace posible
que un valor absoluto sea negativo.
EJEMPLOS:
1. 2x  4  3
S 
2.
4 x  8  7
2
S 

VI Caso: valor absoluto “mayor que” o “mayor o
igual que” un número negativo.

Tiene solución S = R

Esto significa que cualquier número real
siempre tiene valor absoluto que no puede ser
negativo.
EJEMPLOS:
1.
3x  8  4
2.
2x  9  1
S=R
S=R

VII Caso: valor absoluto “menor que” o “menor
o igual que” un número positivo.

Se elimina el valor absoluto y se resuelven las
inecuaciones simultáneas entre el negativo y el
positivo.

La solución es un intervalo.
EJEMPLOS:
1.
2x  4  3
3  2 x  4  3
3  4  2 x  3  4
7  2 x  1
7
1
x
2
2
-7/2
-1/2
 7 1 
S  , 
 2 2
2.
x 1  2
2  x  1  2
2  1  x  2  1
1  x  3
-1
3
S  1,3

VIII Caso: valor absoluto “mayor que” o “mayor
o igual que” un número positivo.

Se resuelven por aparte dos inecuaciones: una
mayor que el positivo y otra menor que el
negativo.

La solución son dos intervalos.
EJEMPLOS:
1.
2x  3  1
2x  1  3
2 x  2
2
x
2
x  1
2x  3  1
2 x  3  1
2 x  1  3
2 x  4
4
x
2
x  2
x  1
x  2
-2
-1
S  , 2U 1, 
2.
6x  9
2
3
2x  3  2
2x  2  3
2 x  1
1
x
2
6x  9
2
3
6x  9
 2
3
2 x  3  2
2 x  2  3
2 x  5
5
x
2
5
x
2
1
x
2
-5/2
-1/2
5   1


S   ,  U  ,  
2 2


RESUMEN:
S 
<0
< negativo
 negativo
S 
 0
 negativo
> negativo
S = números que lo hacen cero

0
S = R – números que lo hacen cero
>0
S = un intervalo
< positivo
 positivo
Recuerde: se quita el valor absoluto y se
resuelven las inecuaciones simultáneas entre
el negativo y el positivo.
S = dos intervalos
> positivo
positivo
Recuerde: Se resuelven dos inecuaciones
independientes, mayor que el positivo y menor
que el negativo.
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