¿QUE SIGNIFICA GEOMETRIA?
geo = Tierra,
Metria = medida
NACIMIENTO DE LA GEOMETRIA
La geometría nacida de la AGRIMENSURA, la
geometría se convirtió entre los antiguos griegos
en un lenguaje científico para describir la
idealizaciones de los objetos.
Los puntos y las líneas son abstracciones que se
trazan sobre un papel.
¿QUÉ ES LA GEOMETRÍA?
es una rama de las matemáticas que se ocupa de
las propiedades del espacio. En su forma más
elemental, la geometría se preocupa de
problemas métricos como el cálculo del área y
diámetro de figuras planas y de la superficie y
volumen de cuerpos sólidos.
ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Este tipo de geometría empírica, que floreció en el
Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue
refinado y sistematizado por los griegos.
GEOMETRÍA EGIPCIA
conocían la forma de aproximarse al área de un
círculo
Área del círculo = [ (Diámetro) x 8/9 ]2
AREA DEL CIRCULO
HUBIERON PROBLEMAS CON LA FORMULA
con la norma que el área es igual al cuadrado de 8 /
9 del diámetro del círculo. supone que π es de 4 ×
(8 / 9) ² =(3.160493 ...), con un error de poco más
de 0,63 por ciento
los cálculos de los babilonios (25 / 8 = 3,125, con un
error del 0,53 por ciento), pero no fue superado
hasta la llegada de Arquímedes cuya
aproximación fue de 211875/67441 = 3,14163,
donde había un error de poco más de 1 entre
10000 ).
después se usaba un cuadrado de 9 unidades. Esta
pieza fue cortada en forma de cuadrícula de 3x3.
Los cuadrados de las diagonales fueron utilizados
para hacer un octógono irregular con una
superficie de 63 unidades. Esto dio un segundo
valor de π de 3,111 ...
Los dos problemas juntos indicaron un rango de
valores de Pi entre 3.11 y 3.16.
Después usaban 22 como π
7
GEOMETRÍA BABILONIA
conocían las normas generales para la medición de
áreas y volúmenes
medía la circunferencia de un círculo como tres
veces el diámetro π como valor 3
El teorema de Pitágoras era también conocido por
los babilonios
Los babilonios también son conocidos por la milla
babilónica, que fue una medida de distancia igual
a siete millas actuales.
GEOMETRÍA INDIA
3er milenio aC. Las excavaciones en Harapa,
Mohenjo-Daro (en la actual Pakistán), Lothal (en
la actual India) y otros lugares a lo largo del valle
del río Indus se dieron cuenta de la utilización
de las matemáticas.
fabricaban ladrillos cuyas dimensiones eran de la
proporción 4:2:1
Utilizaron un sistema normalizado de pesos sobre
la base de los ratios: 1 / 20, 1 / 10, 1 / 5, 1 / 2, 1, 2,
5, 10, 20, 50, 100, 200, y 500, con la unidad peso
que tiene aproximadamente 28 gramos.
Los altares estaban obligados a ser de cinco capas
de ladrillo quemado, con la condición adicional de
que cada capa fuera de 200 ladrillos.
LIBRO DE BRAHMA SPHUṬA SIDDHANTA
Brahma Sphuṭa Siddhanta escribió su trabajo
astronómico en el 628 cuyo capítulo 12 contiene
66 versos del sánscrito, este tratado se dividió en
dos secciones:
PRIMERA SECCIÓN
"Operaciones básicas" (incluidas las raíces cubo,
fracciones, y el índice de proporción, y el trueque)
SEGUNDA SECCIÓN
"prácticas de matemáticas" (incluidas series
matemáticas, figuras planas, apilar ladrillos,
aserrado de la madera, y la acumulación de
grano).
este último punto, manifestó su famoso teorema
sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico.
TEOREMA DE BRAHMAGUPTA:
Si un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales son
perpendiculares, entonces la línea trazada
perpendicular desde el punto de intersección de
las diagonales a cualquier lado del cuadrilátero
siempre cortará el lado opuesto.
GEOMETRÍA CHINA
INICIOS DE LA GEOMETRÍA EN CHINA
sobre la geometría en China fue el Mo Jing,
perteneciente a los primeros escritos del filósofo
Mozi (470 aC-390 aC). Se compiló años más tarde
después de su muerte por sus seguidores
alrededor del año 330 aC.
EL MO JING
el Mo Jing presenta conceptos geométricos en
matemáticas que son tal vez demasiado
avanzados y no ha tenido un antecedente
conocido al respecto.
El Mo Jing describe diversos aspectos sobre muchos
campos relacionados con la ciencia y la física y
proporcionó un pequeño cúmulo de información
sobre las matemáticas.
"un
punto puede estar en la final
de una línea, o en su inicio".
Al igual que Euclides, el Mo Jing dijo que
Al igual que las teorías de Demócrito , el Mo Jing
dijo “que un punto es la unidad más pequeña, y
no puede ser reducido a la mitad, ya que 'nada' no
puede ser reducido a la mitad.”
Declaró que “ dos líneas de igual
longitud siempre terminan en el
mismo lugar”
LOS NUEVE CAPÍTULOS SOBRE EL ARTE DE
LAS MATEMÁTICAS.
Los nueve capítulos sobre el Arte de las
Matemáticas, es el título.
El libro ilustra un diálogo entre el anterior duque
de Zhou y Shang Gao gao sobre las propiedades
del ángulo recto de los triángulos y el teorema de
Pitágoras.
ANGULO DE 90°
CENTIGRADOS
Estableció como valor al número
Pi 3,1555 utilizando 142/45. Liu Hui escribió
también el estudio matemático para calcular la
distancia entre las mediciones de profundidad,
altura, anchura y superficie.
DIBUJO DE UNA DEMOSTRACION DEL
TEOREMA DE PITAGORAS
GEOMETRÍA CLÁSICA GRIEGA
En su matemática, desarrolló métodos muy
similares a los sistemas de coordenadas de la
geometría analítica, y la limitación del proceso de
cálculo integral. El único elemento del que
careció en dichos campos fue una mejor cultura
del álgebra en la que expresar mejor sus
conceptos.
PRIMEROS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
Los griegos introdujeron los problemas de
construcción, en los que cierta línea o figura debe
ser construida utilizando sólo una regla de borde
recto y un compás.
TRES FAMOSOS PROBLEMAS DE
CONSTRUCCIÓN
la duplicación del cubo (construir un cubo de
volumen doble al de un determinado cubo),
la cuadratura del círculo (construir un cuadrado
con área igual a un círculo determinado)
la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en
tres partes iguales).
Ninguna de estas construcciones es posible con la
regla y el compás, y la imposibilidad de la
cuadratura del círculo no fue finalmente
demostrada hasta 1882.
la geometría era la joya de la corona de sus
ciencias, llegando a una exhaustiva y una
perfección de metodología
Se amplió la rama de la geometría a muchos
nuevos tipos de cálculos, curvas, superficies, y
sólidos, que cambió su metodología de ensayo y
error a la deducción lógica
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reconoció que los estudios de geometría "eterna
formas", o abstracciones, de los cuales física los
objetos son sólo aproximaciones, y desarrollaron
la idea de una "teoría axiomática"
APORTACIONES A LA GEOMETRÍA
THALES DE MILETO
Thales de Mileto (635-543 aC), fue uno de los
geómetras griegos mas antiguo y el primero al
que se le atribuye la deducción matemática.
En el siglo VI a.c. predijo con una precisión un
eclipse solar.
También probo que los ángulos opuestos por el
vértice son iguales
TEOREMA DE TALES
Si tres o mas paralelas son cortadas por dos
transversales ,a segmentos proporcionales en
una de ellas les corresponde segmentos
proporcionales en la otra.
T
R
a
X
Y
Z
S
T
T1
M
b
N
P
Si X y Y ; T y T1 transversales
RS
Se cumple que ----- =
ST
MN
----NP
PITAGORAS
Pitágoras (582-496 aC) El teorema que lleva su
nombre puede no haber sido descubrimiento
suyo, pero fue probablemente uno de los primeros
en dar una prueba deductiva del mismo.
El teorema de Pitágoras es un teorema que se
aplica exclusivamente a triángulos rectángulos, y
nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de
un triángulo, si es que se conocen los otros dos.
El teorema se enuncia así:
c2 = a2+ b2
Hipotenusa = cateto a al cuadrado + cateto b al
cuadrado
donde a y b son los lados del triángulo rectángulo,
y c siempre es la hipotenusa (el lado más grande
del triángulo).
En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras
Dio un postulado desarrollado y aceptado por los
matemáticos griegos es la siguiente afirmación:
"una línea recta es la distancia más corta entre
dos puntos".
Otro teoremas que dio fue: "la suma de los ángulos
de cualquier triángulo es igual a la suma de dos
ángulos rectos",
"el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de
los otros dos lados" (conocido como teorema de
Pitágoras).
Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de
puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir
lógicamente a partir de estos axiomas.
EUCLIDES
CONSIDERADO
PADRE DE LA PATRIA
Euclides (c. 325-265 aC), uno de los estudiantes de
Platón, escribió un tratado en 13 libros
(capítulos) , titulado "Los Elementos de
Geometría "presentó la geometría de una forma
ideal axiomática, que vino a ser conocida como la
geometría euclidiana.
En el quinto postulado de su libro LOS
ELEMENTOS , afirma que por un punto exterior
a la recta solo puede trazarse una paralela
LIBROS DE LOS ELEMENTOS
COMPRENDE DE 13 LIBROS:
 El 1:cont. Axiomas
 El 1,2,3 4:cont proposiciones de la geometría plana
 El 5y6:cont.teoria de las magnitudes geométricas
 El 7,8,9:cont. Teoría de los números ,enteros positivos,
divisibilidad de los factores primos, proporciones y
progresiones geométricas y aritméticas
 El 8: cont. Algunas falacias lógicas
 El 10:trata de los números irracionales (el mas
complicado y extenso de todo los libros)
 El 11,12,13:cont. Geometría del espacio
El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones,
ha servido como libro de texto básico de
geometría hasta casi nuestros días.
ARQUIMEDES
ARQUÍMEDES
Inventó formas de medir el área de ciertas figuras
curvas así como la superficie y el volumen de
sólidos limitados por superficies curvas, como
paraboloides y cilindros
También elaboró un método para calcular una
aproximación del valor de pi, la proporción entre
el diámetro y la circunferencia de un círculo y
estableció que este número estaba entre 3 10/70 y
3 10/71.
En el siglo III a.c. calculo la relación entre la
longitud de la circunferencia(C) y el radio (R)
aproximando el valor de la razón:
C = 3.1415 …
R
mediante in circulo de 1 y polígonos de 96 lados
Este numero se le conoce como π
3.
141592651487415454754654
4554556545154151555555554565565
469854448445484548168268865454816558
54585564165416541155496497561297152421724
55149541145912615975276571971621792172721921
54581875212685655292384546841516841689454894584
4444844523481684584454875105689158489464984604804
48945155155095974528024408248042814428081043048214
84664984252941294285285212851041025867412684105885
14441514151564651561615654165481548945164154861564
84894848484816846874184584126845184258412584125484
12541541541254154154125412541548125648512471255158
15454050486+504510404848 45557584558565748646984885
9494564841654164514515684512541254512584512541551
454544154154141564512564514125451254125412515568
546516584516826411568451649451294529451698485
448471654815640498049461040940+9746007484
41548451841561645154150564810584105415
846504409484084878848489451545165
44815546580955557456848785
5665156541651566
EL DESCUBRIMIENTO MAS IMPORTANTE DE
ARQUÍMEDES (VOLUMEN DE UNA ESFERA)
Un solido que flota en un liquido no solo desaloja su
propio volumen sino también su peso, se deduce
que pierde peso como pierde liquido.
Descubrió el calculo del volumen de una esfera: es
igual a las 2 terceras partes del volumen del
cilindro circunscrito mas pequeño.
Ve==2/3 VC
VC =
R3
R22R= 2
Ve= 2/3 2
R3
R3 = 4/3
APOLONIO DE PERGA
APOLONIO DE PERGA
Los griegos, y en particular Apolonio de Perga,
estudiaron la familia de curvas conocidas como
cónicas y descubrieron muchas de sus
propiedades fundamentales.
por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor
del Sol son fundamentalmente cónicas.
ARTHUR CAYLEY
ARTHUR CAYLEY
Casi al mismo tiempo, el matemático británico
Arthur Cayley desarrolló la geometría para
espacios con más de tres dimensiones.
. El uso de conceptos con más de tres dimensiones
tiene un importante número de aplicaciones en
las ciencias físicas, en particular en el desarrollo
de teorías de la relatividad.
RENE DESCARTES
(1596-1650)
En su obra ENSALLOS FILOSOFICOS (1637), da
a conocer un ensayo sobre la optica,uno de la
geometría y uno mas de la astronomía
EN ESTOS ESTUDIOS REALIZA IMPORTANTES
APORTACIONES AL CONOCIMIENTO:
FILOSOFICO:
Antepone los siguientes descubrimientos como es el
racionalismo y al escolástico (basado en el inicio
de la autoridad)
EN OPTICA:
Establece la ley de la igualdad del angulo de
incidencia y del angulo de reflexión de la luz.
EN GEOMETRIA:
Introduce el método de coordenadas para el estudio
geométrico de las ecuaciones
SU FAMOSA FRASE FUE:
COGITO, ERGO SUM
que significa
“PIENSO, LUEGO EXISTO”
ERATÓSTENES
Se propuso a calcular las dimensiones terráqueas,
para lo caul planeo el problema de medir un arco
de circunferencia terrestre.
TOLOMEO
Creía que la tierra era el centra del universo y que
los demás planetas giraban alrededor de la tierra
y trazo el movimiento de la luna en la tierra.
Desplazamiento de la luna alrededor de la tierras
luna
tierra
orbita
ERRORES DE TOLOMEO
Las orbitas no son en forma de un circulo si no es
elíptica
 La tierra no es el centro del universo

EL DOCUMENTO MATEMATICO MAS
ANTIGUO
EL PAPIRO RHIND
Existen 2 rollos de papiro egipcio que datan
aproximadamente de 2000 y1788 a.c. el mas
antiguo esta en moscu y el otro en british
museum.
En ellos se expone el conocimiento sobre la
geometría y la aritmética que poseían los
egipcios.
En los papiros hay 28 problemas cuya resolución
se basa en las reglas establecidas en el mismo
papiro. Muestran que los egipcios tenían una
noble tenacidad para resolver los problemas
aritméticos y de medición.
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