MÓDULO 3
Instituto de Ciencias Básicas
CURSO DE NIVELACIÓN 2012
En este módulo resolveremos problemas de aplicación sólo a funciones lineales y cuadráticas, y
al igual que en el módulo 2 debemos tener presente cuales son los pasos a seguir en la
resolución de dichos problemas. Recordemos…
¿Cómo resolvemos un problema?
En el proceso de resolución de problemas, es posible establecer algunas pautas generales. Las
que se presentan a continuación son una adaptación de las establecidas por George Polya en el
libro Cómo plantear y resolver problemas. Se formulan también ciertas preguntas que ayudan a
clarificar cada paso del proceso.
COMPRENDER EL PROBLEMA. Luego de leerlo y asegurarse que se ha comprendido,
establecer las incógnitas, los datos, determinar las condiciones dadas y si es posible, realizar un
gráfico en que se destaquen los datos y las incógnitas. ¿Qué está tratando de encontrar?, ¿Cuáles
son los datos?, ¿Cuál es la condición? ¿Es suficiente para determinar la incógnita?
CONCEBIR UN PLAN. Determinar una relación entre la información dada y las incógnitas
que permita, con los recursos disponibles, encontrar la solución del problema.
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EJECUTAR EL PLAN. Al poner en práctica su plan, comprobar cada uno de los pasos. ¿Son
correctos los pasos utilizados?
EXAMINAR LA SOLUCIÓN OBTENIDA. ¿Cuál es la respuesta al problema?¿Puede
verificar la solución obtenida? ¿Verifica el razonamiento?
ELABORAR CONCLUSIONES. La solución que se acepta o rechaza permite llegar a una
conclusión, la que resuelve el problema y determina el comienzo de una nueva investigación.
¿Cuál es la respuesta del problema? ¿Es razonable la respuesta?
Ejemplos:
1) Ecuación de demanda. Suponga que los clientes demandarán 40 unidades de un producto
cuando el precio es de $ 12 por unidad y 25 unidades cuando el precio es de $ 18 cada una.
Halle la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal. Determine el precio por unidad cuando
se requieren 30 unidades.
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Solución:
Supongamos que x es la cantidad de unidades demandadas del producto, e y es el precio por unidad,
entonces tenemos los puntos (40,12) y (25,18).
Aplicamos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos  x1 , y 1  ,  x 2 , y 2 
dada por
y 2  y1
y  y1 
Obteniéndose
D (q ) 
2
5
y 
q  28
x 2  x1
2
( x  x1 )
x  28
5
Luego la ecuación de demanda está dada por
y el precio por unidad para 30 unidades demandadas es $16
2) Ecuación de oferta. Un fabricante de electrodomésticos produce 3000 unidades cuando el precio
es de $ 940 y 2200 unidades cuando el precio es $ 740. Suponga que el precio P, y la cantidad q
producidas están relacionadas de manera lineal. Determine la ecuación de oferta.
Solución:
1
p

q  190
En forma análoga al ejercicio anterior se obtiene
4
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3) Ecuación de costo. Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto es $ 40 y el
costo para 20 unidades es $ 70. Si el costo c, está relacionado de manera lineal con la
producción, q, determine el costo de producir 35 unidades.
Solución:
La función de costos está dada por C ( x )  3 x  10 , luego el costo de producir 35 unidades
es $115.
4) Tarifas de electricidad. Una compañía de electricidad cobra a clientes residenciales 125
centavos por kilowatt-hora más un cargo base mensual. La factura mensual de un cliente viene
con $ 51,65 por 380 kilowatt-hora. Determine una función lineal que describa el monto total por
concepto de electricidad, si x es el número de kilowatt-hora utilizados en un mes.
Solución:
Supongamos que la función lineal buscada está dada por
, donde m se
f (x )  m x  n
denomina pendiente de la recta y n es la intersección de la recta con el eje y.
Como la empresa cobra 125 centavos por kilowatt-hora f ( x )  0 ,125 x  n . Si reemplazamos
el punto (380,51.65), obtenemos el valor de n y luego obtenemos nuestra función
f ( x )  0 ,125 x  4 ,15
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5) Depreciación. Suponga que el valor de una pieza de maquinaria disminuye cada año en 10%
de su valor original. Si el valor original es $8000, determine una ecuación que exprese el valor V
de la maquinaria t años después de su compra, en donde 0 < t < 10. Haga un bosquejo de la
ecuación, seleccione t como el eje horizontal y V como el eje vertical. ¿ Cuál es la pendiente de la
recta resultante? Este método de considerar el valor del equipo se denomina depreciación lineal.
Solución:
El valor de la máquina con respecto al tiempo t, está dado por V = -800 t + 8000 y su pendiente
es m=-800
8000
10
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6) Apreciación. Un nuevo edificio de apartamentos se vendió por $ 960000 cinco años después
de que se compró. Los propietarios originales calcularon que el edificio se apreciaba $ 45000
por año, mientras ellos fuesen los propietarios. Determine una función lineal que describa la
apreciación del edificio, si x es el número de años desde la compra original.
Solución:
La apreciación después de la compra está dada por A (x) = 45000 (x – 5) + 960000
Luego A (x) = 45000 x + 735000
7) Chirrido de grillos. Los biólogos han encontrado que el número de chirridos por minuto
hechos por los grillos de cierta especie están relacionados con la temperatura. La relación es casi
lineal. Los grillos chirrían todo el verano a 68 º F, los chirridos de los grillos son 124 por
minuto. A 80º F son alrededor de 172 por minuto. Determine una ecuación que dé la
temperatura Fahrenheit, t en términos del número de chirridos, c por minuto.
Solución:
Considerando los puntos (68,124) y (80,172) podemos determinar la función de temperatura
t 
1
c  37
4
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8) Demanda. La función de demanda para el fabricante es p=F(q)= 120 - 3q, donde p es el
precio en dólares por unidad, cuando se demanda q unidades por semana. Encuentre el nivel de
producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.
Solución:
Tenemos que el Ingreso está dado por I = p * q, luego I ( q )  (120  3 q ) q  120 q  3 q 2
Este ingreso representa una ecuación cuadrática de vértice
2
b
  b     b 4 ac  b
V  
, f
,
   
2
a
2
a
4a

   2a

en este caso
  120  120 2
V  
,

6
 12





en donde

   20 ,1200


f ( x )  ax  bx  c
2

Lo que significa que el ingreso total es máximo
Cuando se producen 20 unidades por semana.
Este ingreso total máximo es de U$ 1200.
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9) Ingreso. La función de demanda para la línea de Laptops de una compañía de electrónica
es P = 2400 – 6 q, en donde P es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores
demandan q unidades (semanales). Determine el nivel de producción que maximizará el
ingreso del fabricante y determine este ingreso.
Solución:
2
El ingreso está dado por I ( x )  2400 x  6 x ,luego el vértice es V  ( 200 , 240000 ) Así el
ingreso se maximiza al producir 200 unidades y este alcanza los U$ 240000
10) Utilidad. La utilidad diaria de la venta de árboles para el departamento de jardinería de
2
un almacén está dada por p  x    x  18 x  144
, en donde x es el número de árboles
vendidos. Determine el vértice y las intersecciones con los ejes de la función, y haga la gráfica
de la función.
Solución:
El vértice es (9,225)
la intersección:
con el eje y (0,144)
con el eje x (-6,0) , (24,0)
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11) Arquería. Un muchacho que está parado en una colina, dispara una flecha directamente
hacía arriba con una velocidad inicial de 80 pies por segundo. La altura h, de la flecha en pies, t
2
segundos de que se soltó se describe por la función h t    16 t  80 t  32
a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la flecha?
b) ¿Cuántos segundos después de que se suelta, alcanza esta altura?
c) ¿Desde qué altura es lanzada la flecha?
d) ¿Qué altura alcanza la flecha cuando han transcurrido 3 segundos?
e) ¿Cuántos segundos deben pasar para que la flecha alcance una altura de 96 pies?
Solución:
a) La altura máxima es de 132 pies.
b) La altura máxima se alcanza a los 2,5 segundos.
c) h(0)=32, luego la altura desde que se lanzo la flecha es de 32 pies.
d) Basta calcular H(3)=128 pies
2
e) Debemos buscar los valores de t que cumplen  16 t  80 t  32  96
, lo que nos da la
2
ecuación cuadrática  16 t  80 t  64  0 de soluciones t=1 y t=4 segundos.
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Ejercicios de Propuestos
1).- Determine los valores de la función para cada una de las funciones:
2
a) h  s   s  3 : h 4  ; h  1 ; h  2 x 
b) h  v  
1
 1 
h 1  : h 
 ; h 1  x 
16


:
v
c) g  x  
x  5
x
2
 4
; g   2  ; g 1  ; g x  h 
2).- Suponga que el costo total, en dólares, de la fabricación de q unidades de un determinado
artículo está por la función
C q   q
3
 30 q
2
 400 q  500
a) Calcule el costo de fabricación de 20 unidades.
b) Calcule el costo de fabricación
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3).- Un estudio de eficiencia del turno matinal en cierta fábrica revela que un trabajador medio
que llega a las 8:00 a.m. habrá ensamblado f x    x 3  6 x 2  15 x
radios
transistores x hora después.
a) ¿Cuántos radios habrá ensamblado el trabajador a la 10:00 a.m.?
b) ¿Cuántos radios ensamblará entre las 9:00 a.m. y las 10:00 a.m.?
4).- Determine el valor de la variable pedida en los siguientes ejercicios:
a) Calcule el valor de
b) Calcule el valor de
c) Calcule el valor de
k Si f(x) = kx – 3 y f(2) = 5.
h Si f(x) = 4x – 3 y f(h) – f(-h) = 16.
a Si h(a) = -5 con h(x) = 3x - 12
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5).- Complete la tabla de valores de la siguiente función: f(x) = 2x + 6
x
-1
-2
f(x)
5
8
9
6).- Graficar en el plano las siguientes funciones, indicando intersección con los ejes
coordenados:
a).- f  x   3 x  15 .
b).- y 
2
3
x 
5
7
c).- g  x    x 2  x  12
d).- f  x   x 2  5 x  6
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7).- El % de alcohol (y) que hay en cierta sustancia depende de la masa (x) en gramos de
dicha sustancia. Se sabe que:
 100  x  8  ; si 8  x  9
f x   
100  10  x ; si 9  x  10
Determine:
a).- ¿Qué % de alcohol tiene la sustancia si su masa es 8,7 gramos?
b).- ¿Qué % de alcohol hay en 9,9 gramos de sustancia?
c).- ¿Cuál es la masa de una sustancia que tiene 38 % de alcohol?
8).- El flete aéreo de una libra de mercadería cuesta $58 transportándola 832 millas y $120
transportándola 2.040 millas. Encontrar:
a).- Una función lineal que determine el costo de transporte aéreo, si
los datos representan la política usual de costos.
b).- El costo de transportar una libra por 1.750 millas.
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9).- El costo de almacenaje de un artículo está dado por:
f(x) = 0.04 . X + 1.36; donde “x” es el costo unitario del artículo.
a).- Dibujar la gráfica de la función costo de almacenaje.
b).- ¿Cuál es el costo de almacenaje para un artículo que cuesta $6?
c).- Encuentre el valor de un artículo para el cual su costo de
almacenaje es de $1.80?.
10).- El capital de una empresa al transcurso de cierto tiempo se comporta
como lo muestra la tabla
x (meses)
y (millones)
3
6
12
14
10
2
a).- Podemos deducir que la tendencia entre el capital y el tiempo es lineal.
Justifique esta propuesta.
b).- ¿Cuál fue el capital inicial?
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11).- La compañía MULTIGAS distribuidora de gas natural ha modificado la modalidad para
el cobro de suministro de su servicio, informando lo siguiente:
Cargo Fijo: $2.300
$450 por cada Kg. entre 0 y 12
$ 30 de recargo por consumo entre 12 y 20 Kg inclusive.
$ 90 de recargo por consumo sobre los 21 Kg.
a).- Confeccione la función que representa los cobros por consumo.
b).- Determine cuánto ha de pagar una persona que consume 19 Kg.
c).- Determine cuánto ha de pagar una persona que consume 133 Kg.
12).- Suponga que t horas después de la media noche, la temperatura en Miami era
1 2
grados Celsius
C  t    t  4 t  10
6
a).- ¿Cuál era la temperatura a las 2:00 p.m?
b).- ¿Cuánto aumentó o disminuyó la temperatura entre las 6:00 p.m.
y las 9:00 p.m.?
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13).- Se estima que dentro de t años, la población de cierta comunidad suburbana será
6
miles.
 
P t  20 
t1
a).- ¿Cuál será la población de la comunidad dentro de 9 años?
b).- ¿Cuánto crecerá la población durante el noveno año?
c).- ¿Qué le sucederá al tamaño de la población a largo plazo?
14).- Suponga que durante un programa nacional para inmunizar a la población contra
cierto tipo de gripe, los funcionarios de saluda encontraron que el costo de vacunar
al x% de la población era aproximadamente f  x   150 x
millones de dólares.
200  x
a).- ¿Para qué valores de x tiene f(x) una interpretación práctica en este contexto?
b).- ¿Cuál fue el costo de vacunación del primer 50% de la población?
c).- ¿Cuál fue el costo de vacunación del segundo 50% de la población?
d).- ¿Qué porcentaje de la población se había vacunado después de una inversión
de 37.5 millones de dólares?
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15).- Una pelota se deja caer desde el techo de un edificio. Su altura (en pies) después de t
segundos está dada por la función H  t    16 t 2  256
a).b).c).d).-
¿A qué altura estará la pelota después de 2 segundos?
¿Qué distancia recorrerá la pelota durante el tercer segundo?
¿Cuál es la altura del edificio?
¿Cuándo la pelota hará impacto con el suelo?
16).- En cierta industria, el costo total de producción de q unidades durante el período diario
de producción es C q   q 2  q  900 dólares.
En un día normal de trabajo, se fabrican q(t) = 25t unidades durante las primeras horas de
un período de producción.
a).- ¿Cuánto se habrá gastado en producción al final de la tercera hora?
b).- ¿Cuándo alcanzará el costo total de producción US$11.000?
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17).- Un fabricante puede producir radios a un costo de US$10 cada uno y estima que si se
venden a x dólares cada uno, los consumidores comprarán aproximadamente 80 – x
radios cada mes.
Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio x, elabore la
gráfica de esta función y determine el precio al cual la utilidad del fabricante será la
mayor.
18).- Si un proyectil se lanza, y después de t segundos alcanza una altura H (en metros), la cual
se determina de acuerdo al siguiente modelo
H t    16 t
a).b).c).d).-
2
 640 t  2
En cuanto tiempo el proyectil alcanza su altura máxima y cual es dicha altura.
Cuál es su altura al cabo de 6 segundos
En cuanto tiempo alcanza 5106 metros.
Desde que altura fue lanzado.
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2
19).- Considere las funciones f  x   x  x  6
y
g x    2 x
a).- Grafique las funciones, y halle matemáticamente los puntos de
intersección entre ellas.
b).- Halle gráficamente los puntos de x  IR tales que f  x   g ( x )
20).-Andrés compró un automóvil nuevo por $10.000.000.
a) ¿Cuál es el valor del automóvil después de t años , suponiendo que se deprecia
linealmente cada año a una tasa del 12% de su costo original ?
b)¿Cuál es el valor del automóvil después de 5 años?
21) En un hospital un paciente que está a dieta de líquidos tiene que escoger jugo de
ciruela o jugo de naranja para satisfacer su requerimiento de tiamina diaria que
es de 1,5 mg diario. 1 onza de jugo de ciruela contiene 0,05 mg de tiamina y 1
onza de jugo de naranja contiene 0,08 mg de tiamina.
a) ¿ Qué relación lineal hay entre la cantidad de mg de tiamina obtenida de ambos
jugos y el requerimiento total?
b) Represente gráficamente esta relación lineal e interprete el significado de la
pendiente
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Soluciones
1) a) h(4)=13, h(-1)=-2, h (  2 x )  4 x 2  3
b) h(1)=1, h(1/16)=4, h (1  x ) 
c) g(-2)=-7/8, g(1)=-4/5, g ( x  h ) 
2) a) C(20)=4500 ,
1
1 x
xh5
( x  h)  4
2
C(0)=500
3) a) f(2)=46 , f(2)-f(1)=26
4) k=4 , h=2 , a=7/3
5) f(-1)=4 , f(-2)=2 , f(-1/2)=5 , f(1)=8 , f(3/2)=9
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6)
a)
c)
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b)
d)
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7) a)70%
b)
10%
c)
x=8,38 o
x= 9,62
8) C ( x )  31 x  2310 , C(1750)=31745/302
604
9)
151
C(6)=1.6 libras , C(11)=1.80. La gráfica de l costo es
10) Es cierto la función de costo es C ( x ) 
11)
 2300  450 x 0  x  12

f ( x )   2300  480 x 12  x  20
 2300  570 x
x  20

12) a) C(14)=33.3
,
4
x  18
, C(0)=18
3
f(19)=11420 , f(133)=78110
C(21)-C(18)=20.5-28=-7.5
aumento 7.5 grados
13) a) P(9)=19.4 , b) P(9)-P(8)=19.4-58/3=1/15 , c) la población tiende a 20
14) a)
0  x  80
b) U$50 millones
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c) U$ 100 millones d) 40%
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55
8
8

15)
a) H(2)=192 , b) H(2)-H(3)=80
16)
C(75)=6600 ,
17)
, c) H(0)=256
, c) a los 4 segundos
q=100
U ( x )  70 x  x
2
, la utilidad mayor es de 1225 dólares
18) a) a los 20 segundos y alcanza 6402 metros , b) la altura es de 3266
metros
c) En 11 segundos o 29 segundos
d) 2 metros
19) a) x = -3 y x = 2 , b) ]-∞,.3] U [2,∞[
20) a) y = 10.000.000 – 1.200.000t , b) 4 millones
21) a) Sea x la variable asignada a la cantidad de onzas de jugo de ciruela que consume
diariamente el paciente . Sea y la variable asignada a la cantidad de onzas de jugo de
naranja que consume diariamente el paciente. 1,5 = 0,05x + 0,08y
b) El valor de la pendiente es -5/8 y significa que por cada 5 onzas de disminución
de jugo de naranja debe aumentar en 8 onzas el jugo de ciruela para mantener el
requerimiento de tiamina del paciente.
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