1. Conceptos Fundamentales de Ecuaciones
diferenciales. Clasificación y concepto de solución.
2. Ecuaciones de segundo orden homogéneas:
Coeficientes constantes, Cauchy- Euler.
3. Ecuaciones de Segundo orden No Homogéneas:
Método de Variación de parámetros, Coeficientes
Indeterminados
4. Método de Series de Potencias: Ecuación
diferencial de Bessel, Hermite, Legendre,
Laguerre.
5. Función Gamma y Función error.
1  x 
2
d  x
2
dx
2
 2x
d x
dx
2

m
  l  l  1 
2
1

x


 x  0

H aciendo el cam bio de variable
m
2
  x    x  1 u  x 
2
1  x
2

d  x
2
dx
2
 2x
d x
2

m
  l  l  1 
2
1

x

dx

 x  0

m
2
  x    x  1 u  x 
2
1
d
2
2
2
2
2
  x  1 u '  x   m x  x  1
u  x    x  1 2
dx
m
d 
m
m
mx


u ' x   2
u x


x 1
2
dx

2
m
2
  x  1  u ''  x   2 m x  x  1 
2
  x  1
2
m
2
2
m
1
2


2mx

u x  
u  x   2
x 1


u '  x    m  m  1  x  m   x  1 
2



2
 m ( m  1) x  m  u  x  
2
2


x  1





2
m
2
2
u x
1  x
2

d  x
2
dx
  x  1  x  1
2
2
 2 x  x  1
2
m
2
m
2
2
 2x
d x
dx
2

m
  l  l  1 
2
1 x


 x  0





2
m
(
m

1
)
x

m


2mx




u
x

u
x

u
x








2
2
2


x

1


 x  1




2
 2
mx
m

 
u ' x   2
u  x   l  l  1 
x  1 2 u  x   0

2



x 1
1 x 

m




2
m
(
m

1)
x

m

2
m
x
2
 u  x 
  x  1   u   x   2
u x   

2
2


x

1


 x  1




2
mx
m

 
2 x u ' x   2
u  x   l  l  1 
2


x 1
1 x

  x  1  u   x   2 m xu   x  
2
m ( m  1) x  m
2
x 1
2
2

m
 2 xu '  x   2
u  x   l  l  1 
2
x 1
1 x

2mx
2

u x  0

u x

u x  0

  x  1  u   x   2 m xu   x  
2
m ( m  1) x  m
2
x 1
2
2

m
 2 xu '  x   2
u  x   l  l  1 
2
x 1
1 x

2mx
2
u x

u x  0

  x  1  u   x   2  m  1  xu   x 
2

m ( m  1) x  m 2 m x 2 
m
 l  l  1 

 2
2
2
u x  0
1 x
x 1
x  1

2
2
2
2

m ( m  1) x  m 2 m x 2 
m
  x  1  u   x   2  m  1  x u   x    l  l  1   2

 2
2
u x  0
x 1
x 1
x  1

2
m
x 1
2

x 1
2
m  m x  mx  m
2

m ( m  1) x  m
2
2
m
2
2
x 1
2
2mx
x 1
2
2
m 1  x

  1  x
x 1
2
2

2
2
m  m x  m x  m  2m x
2

2
2
2
x 1
2
m  mx  x  1
2
m
2
2
x 1
2
  m  m  1

  x  1  u   x   2  m  1  xu   x    l  l  1   m  m  1   u  x   0
2
  x  1  u   x   2  m  1  xu   x    l  l  1   m  m  1   u  x   0
2
l  l  1  m  m  1  l  l  m  m   l  m   l  m  1
2
2
y la ecuación queda
(1  x ) u ''  x   2  m  1  xu '  x    l  m   l  m  1  u  x   0
2
1  x 
2
d  x
2
dx
2
 2x
d x
dx
2

m 
  l  l  1 
 x  0
2 
1 x 

H aciendo el cam bio de variable
m
2
  x    x  1 u  x 
2
o btenem os
(1  x ) u ''  x   2  m  1  xu '  x    l  m   l  m  1  u  x   0
2
T om am os ahora la ecuaci ón de Leg e n d r e
(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x ),
2
y la derivam os m veces
( m es un entero positiv o); es decir,
d
m
dx
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x ) ]
2
m
d
m
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )] ;
2
m
dx
n
( fg )     f
n
dx
k 0  k 
d
n
n
(k )
g
(n  k )
C om o
d
d
(1  x )   2 x ,
2
dx
2
dx
d
(1  x )   2 ,
2
2
3
dx
(1  x )  0
2
3
tenem os
m
2
(m  k ) d
2
[(1

x
)
y
''(
x
)]

(
y
'')
(1

x
)

 
m
k
dx
dx
k 0  k 
d
m
k
2
 m  (2 m )
2
 y
(1  x ) 
0
 (1  x ) y
2
(2 m )
 m  (2 m  k ) d
2
y
(1

x
)
k 
k
dx
k 0 

2
 m  ( 2  m  1)
 m  (2 m  2)
(2 x)    y
(  2)
 y
1
2
 2 m xy
(1  m )
 m ( m  1) y
(m )
k
m
d
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )] ;
2
dx
m
n
( fg )     f
n
dx
k 0  k 
d
n
n
(k )
g
(n  k )
C om o
d
x 1
d
y
dx
2
dx
2
x0
tenem os que
m
(mk ) d
[ xy '( x )]     ( y ')
( x) 
m
k
dx
dx
k 0  k 
d
m
1
k
 m  (1  m  k ) d
( x)
ky
k
dx
k 0 

1
 m  (1  m )
 m  (1  m 1)
(1  m )
(m )
 y
(x)    y
 xy
 my
0
1
k
d
m
dx
m
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )] ;
dx
d
n
n
k f
k 0 

n
( fg ) 
(k )
g
(n  k )
m
[(1  x ) y ''( x )]  (1  x ) y
2
dx
m
2
d
(2 m )
 2 m xy
(1  m )
 m ( m  1) y
(m)
m
dx
d
n
d
2
m
[ xy '( x )]  xy
(1  m )
 my
(m )
m
dx
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )]
2
m
 (1  x ) y
2
 2 xy
(1  m )
(2 m )
 2 m xy
 2my
(m )
(1  m )
 m ( m  1) y
 l ( l  1) y
(m )
(m )
 (1  x ) y
(2 m )
 2( m  1) xy
(1  m )
 [  m ( m  1)  2 m  l ( l  1)] y
 (1  x ) y
(2 m )
 2( m  1) xy
(1  m )
 ( l  m )( l  m  1) y
2
2
(m )
(m )
d
m
dx
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )]
2
m
 (1  x ) y
2
(2 m )
 2( m  1) xy
(1  m )
 ( l  m )( l  m  1) y
(m)
H acien d o el cam b io d e variab le
d yx
m
u x 
dx
m
la ecu ació n q u ed a
(1  x ) u '' 2 ( m  1) xu '  ( l  m )( l  m  1) u  0
2
1  x 
2
d  x
2
dx
2
 2x
d x
dx
2

m
  l  l  1 
2
1

x


 x  0

H aciendo el cam bio de variable
m
2
  x    x  1 u  x 
2
o btenem os
(1  x ) u ''  x   2  m  1  xu '  x    l  m   l  m  1  u  x   0
2
(1  x ) u ''  x   2  m  1  xu '  x    l  m   l  m  1  u  x   0
2
d
m
dx
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )]
2
m
 (1  x ) y
2
(2 m )
 2( m  1) xy
(1  m )
 ( l  m )( l  m  1) y
(m )
0
d yx
m
P or lo tanto, u  x  
dx
m
y y  x  es la solución
de la e cuación de Legendre
(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )  0
2
Las soluciones de la ecuación asociada d e Legendre
1  x 
2
d  x
2
dx
2
 2x
d x
dx
2

m
 l  l  1 
2
1

x


 x  0

están dadas com o
  x   1  x
2

m/2
d yx
m
dx
m
donde y  x  son las soluciones de la ecuación de Lege ndre
(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )  0
2
1  x 
2
d  x
2
dx
2
 2x
  x   c1 Pl
m
d x
dx
2

m
  l  l  1 
2
1 x


 x  0

 x   c2Q  x 
Las funciones Pl
m
l
m
x
yQ
m
l
x
son las
funciones asociadas de Legendre.
d 
d 
m
0
 sin 
  l  l  1 
2
 sin  d  
d 
sin 
1
2
1
P ara que la solución de esta ecuación
esté definida en x   1 y x  1 (que
corresponde a   0 y  =  ) se requiere
que l sea un num ero entero y 0  m  l
y entonces
     Pl
m
 cos  
1 d  2 dR 
1
 
Y 
1
 Y
2 2
 0
r
k r 
 sin 

2
2
R dr 
dr 
Y sin    
   Y sin   
2
 
Y 
1
 Y
  l  l  1
 sin 

2
2
Y sin    
   Y sin   
2
1
La solución de la parte angular queda
Pl
m
 cos   e
im 
donde l y m son enteros y se cum ple
que  l  m  l
1 d  2 dR 
1
 
Y 
1
 Y
2 2
 0
r
k r 
 sin 

2
2
R dr 
dr 
Y sin    
   Y sin   
2
 
Y 
1
 Y
  l  l  1
 sin 

2
2
Y sin    
   Y sin   
2
1
L a s o lu c ió n a la p a rte á n g u la r q u e d a
Yl
m
 ,   
 2l  1  l  m ! m
im 
Pl  co s   e
4
 l  m !
d o n d e l y m s o n e n te ro s y s e c u m p le
que
l  m l
L a s fu n cio n e s
Yl
m
 ,   
 2l  1  l  m ! m
im 
Pl  cos   e
4
 l  m !
d o n d e l y m so n e n te ro s
y
se cu m p le q u e
lm l
so n lo s a rm ó n ico s e s fé r ico s


1



Lˆ 
 sin 

2
2
sin    
   Y sin   
2
1
Lˆ Y   l  l  1  Y
Yl
m
 ,   
 2l  1  l  m ! m
im 
Pl  co s   e
4
 l  m !
d o n d e l y m s o n e n te ro s y s e c u m p le q u e
l  m  l
d  2 dR 
2 2
r
  k r R  l  l  1 R
dr 
dr 
d  2 dR 
2 2
r
   k r  l  l  1   R  0
dr 
dr 
2
r
2
d R
dr
2
 2r
dR
  k r  l  l  1   R  0
dr
2
2
2
r
2
d R
dr
2
 2r
dR
  k r  l  l  1   R  0 r
dr
2
2
E s cla ro , q u e e l ú n ico p u n to sin g u la r
d e e sta e cu a ció n e s r  0.
S In e m b a rg o , e s a lre d e d o r d e l 0 q u e
n o s in te re sa b u sca r u n a so lu ció n .
¡N o sab em os q u é h acer!
Differential Equations for Engineers
Wei-Chau Xie
University of Waterloo
Cambridge University Press
2
d y
dx
2
 P x
dy
dx
 Q x y  0
U n punto x 0 es llam ado un punto ordinario
de la ecuación diferencial si los coefic ientes
P  x  y Q  x  son funciones analíticas en x 0 .
2
d y
dx
2
 P x
dy
 Q x y  0
dx
U n punto x 0 es llam ado un punto ordinario de la ecuación diferencial
si los coeficientes P  x  y Q  x  son funciones an alíticas en x 0 .
E s d ecir,
P x 

 P x  x 
n
n
0
n0
Q x 

 Q x  x 
n
n
0
n0
so n co n verg en tes p ara x  x 0  r co n r  0 .
2
d y
dx
2
 P x
dy
dx
 Q x y  0
U n punto x 0 es llam ado un punto ordinario de la ecuación diferencial
si los coeficientes P  x  y Q  x  son funciones an alíticas en x 0 .
S i un punto no es un punto ordinario,
se le llam a punto singular.
y   P  x  y   Q  x  y  0
E l punto x 0 es un punto sing ula r
de la ecuación diferencial si
P x o Q x
no son a nalíticas e n x 0 .
y   P  x  y   Q  x  y  0
E l punto x 0 es un punto singular regular
de la ecuación diferencial si
P  x  o Q  x  no son analíticas en x 0 ,
pero
 x  x0  P  x 
y  x  x0  Q  x 
sí son analíticas en x 0 .
2
y   P  x  y   Q  x  y  0
E l punto x 0 es un
punto singular irregular
de la ecuación diferencial si no
es ni ordina rio ni singular regular.
y   P  x  y   Q  x  y  0
S i x  0 es u n p u n to sin g u lar reg u lar, en to n ces
xP  x  

Px
n
n
y x Q x 
2

Q
n
x
n
n0
n0
p ara x  r .
P o r lo tan to ,
P x 

Px
n
n 1
y Q x 
n0
p ara x  r y x  0 .

Q
n0
n
x
n2
y   P  x  y   Q  x  y  0
S e propone
yx  x


a
n0

x 
n
n
a
n
x
n 
n0
para x  r y x  0, que es la llam ada
solución en serie de Frobenius.
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n0
S u stitu yen d o en la ecu ació n d iferen cial


n  
  n    1 a n x
n   2
n0

  Pn x
n 1


n0

  Qn x
n0
 0
 n   a
n0
n2


a
n0
n
x
n 
n
x
n   1
n 
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n 
n0

 n   n  
 1 a n x
n0
n   2



Pn x
n 1
n0

   n    an x
n   1


n0
 Qn x
n0
n2

  an x
n 
0
n0
E l segundo térm ino se puede escribir com o


Pn x
n0
n 1

   n    an x
n   1


n0

 n
 n   2
     m    Pn  m a m  x
n0 m 0

n

n0 m0
Pn  m x
n  m 1
 m    am x
m   1

y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n 
n0

  n    n  
 1 a n x
n   2
n0



Pn x
n 1
n0

   n    an x
n0
n   1

  Qn x
n0
n2

  an x
n 
0
n0
E l tercer térm ino se puede escribir com o

Q
n0
n
x
n2

  an x
n0
n 

 n
 n   2
    Qn m am  x
n0 m0

y   P  x  y   Q  x  y  0 ;

yx 
a
x
n
n 
n0

 n   n  
 1 a n x
n   2
n0

Px
n 1
n
n0

Q
n0

n
x
 n   a
n
x
n   1
n0
n2


a
n0
n


Pn x
n 1
n0



x
n 


  n    an x
n   1
n0



n0
Qn x
n2



an x
n 
0
n0

 n
 n   2
     m    Pn  m a m  x
n0 m0


 n
 n   2
    Qn  m am  x
n0 m 0


   n    n    1 a n 
n0 
n
   m    P
nm
m0
 n   2
 Q n  m  a m  x
0

y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n 
n0


  n  
n0 
  n    1 a n 
 n   2


m


P

Q
a
x
0
 nm
 
nm  m 
m0

n
P ara n  0, ten em o s la ecu ació n
in d icial
     1    P0  Q 0  a 0  0
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;

yx 
a
n
x
n 
n0


  n  
n0 
 n   2


m


P

Q
a
x
0
 nm
 
nm  m 
m0

n
  n    1 a n 
P ara n  1,
n   n  
 1 a n 
n
   m    P
nm
m0
 Q n  m  a m  0,
por lo tanto,
n 1
   m    P
nm
an  
m0
n   n  
 Q n  m  a m
 1    n    P0  Q 0
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n 
n0


  n  
n0 
  n    1 a n 
 n   2


m


P

Q
a
x
0
 nm
 
nm  m 
m0

n
     1    P0  Q 0  a 0  0
n 1
   m    P
nm
an  
m0
n   n  
 Q n  m  a m
 1    n    P0  Q 0
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n 
n0


  n  
n0 
  n    1 a n 
 n   2


m


P

Q
a
x
0
 nm
 
nm  m 
m0

n
P ara n  0,
     1    P0  Q 0  a 0  0

a0  0
ó
    1    P0  Q 0  0 .
    1    P0  Q 0  a 0  0
C aso 1 .
S i a 0  0, en to n ces
a1  a 2  a 3  ....  0
y
y  x   0.
    1    P0  Q 0  a 0  0
C aso 2. S i a 0  0, entonces
    1    P0  Q 0  0
que es la llam ada ecuación indicial, y d e la
que se obtienen dos raices,  1 y  2 .
P or lo tanto, para tener una solución
diferente de cero, se requiere que a 0  0 y
que  sea una raíz de la ecuación indicial.
S ea la ecuación diferencial
y   P  x  y   Q  x  y  0.
S i x  0 es un punto singular regular,
entonces
xP  x  

Px
n
n0
para x  r .
n
y x Q x 
2

Q
n0
n
x
n
S u p o n g am o s q u e la ecu ació n in id ical
    1    P0  Q 0  0
tien e d o s raices reales  1 y  2 , co n  1   2 .
E n to n ces la ecu ació n d iferen cial tien e a l
al m en o s u n a so lu ció n en serie d e F ro b en iu s
d ad a p o r
y1  x   x
1


an x
n
n0
c o n a 0  0 y 0  x  r , y d o n d e lo s
co eficien tes a n p u ed en ser d eterm in ad o s
su stitu yen d o y1  x  en la ecu ació n .
U na segunda solución linealm ente indepen diente
se obtiene com o sigue:
1. S i  1   2 no es un entero, la segunda soluc ión
es otra vez una serie de Frobenius, dada com o
y2  x   x
2

b
n
x
n
n0
con 0  x  r , y donde los coeficientes b n pueden
ser determ inados sustituyendo y 2  x  en la ecu ación.
U na segunda solución linealm ente indepen diente
se obtiene com o sigue:
2. S i  1   2 =  1 , entonces
y 2  x   y1  x  ln x  x


b
n
x
n
n0
con 0  x  r , y donde los coeficientes b n pueden
ser determ inados sustituyendo y 2  x  en la e cuación,
una vez que y1  x  es conocida.
U na segunda solución linealm ente indepen diente
se obtiene com o sigue:
3. S i  1   2 es un entero positivo, entonces
y 2  x   ay1  x  ln x  x
2

b
n
x
n
n0
con 0  x  r , y donde los coeficientes b n y a pued en
ser determ inados sustituyendo y 2  x  en la ecuación,
una vez que y1  x  es conocida.
La solución general de
la ecuación es
y  x   c1 y1  x   c 2 y 2  x 
2
r
2
d R
dr
2
 2r
dR
  k r  l  l  1   R  0
dr
2
2
E s cla ro , q u e e l ú n ico p u n to sin g u la r
d e e sta e cu a ció n e s r  0.
S In e m b a rg o , e s a lre d e d o r d e l 0 q u e
n o s in te re sa b u sca r u n a so lu ció n .
¡N o sab em os q u é h acer!
2
r
2
d R
dr
2
 2r
2
x
2
d y
dx
y
 0
2
 x
dR
  k r  l  l  1   R  0
dr
dy
dx
2
2
  x 
2
2
y 0
, x0
2
x
2
d y
dx
y
 0
2
x
dy
dx
  x 
2
2
y 0 ,
x0
2
x
2
d y
dx
2
 x
dy
dx
  x 
2
2
y 0
S i p o n e m o s la e cu a ció n e n la fo rm a ca n ó n ica
y '' P  x  y ' Q  x  y  0
te n e m o s
P x 
1
x
y
Q x 
x 
2
x
2
2
.
P o r lo ta n to , e s o b v io q u e x  0
e s u n p u n to sin g u la r.
2
x
2
d y
dx
2
P x 
 x
dy
dx
1
,
x
  x 
2
Q x 
2
y 0
x 
2
x
2
2
x  0 e s u n p u n to sin g u la r.
Com o
xP  x   1
x Q  x  x 
2
2
2
s o n a n a lític a s e n x  0, e n to n c e s x  0
e s u n p u n to s in g u la r re g u la r.
2
x
2
d y
dx
2
 x
dy
dx
yx 
  x 
2
2
y 0


n0
an x
n 
2
x
2
d y
dx
2
 x
dy
dx

x
2
 n   n  
  x 
2
 1 a n x
n   2
  n     n    1 a

n0
 n  

n  

 x  n    an x
n   1
  x 
2
n0



yx 
y 0

an x
n 
n0
n0
n0
2

x
n
n 


 n    a
x
n
n 
 1    n       a n x
2
n 

2
a
x
n
n 
n0



n0

an x
n 
0
n0

n0

2
an x
n   2

x
2
a
n0
0
x
n
n 
0
S ustituyendo en la ecuación diferencial
solución en serie de Frobenius.
para x  r y x  0, que es la llam ada
yx  x
a
n0

a
n0
n
x 
n

n
x

n 
S e propone
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n y a se obtienen al sustituir
y 2  x   ay1  x  ln x  x
b x
n0
con 0  x  r ,
n
2

n
3. S i  1   2 es un entero, entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y 2  x   y1  x  ln x  x
b x
n0
n


n
con 0  x  r ,
2. S i  1   2   entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y2  x   x
2
n

n
con 0  x  r ,
y1  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes a n se obtienen al sustituir
y1  x   x
d y
dx
n0
1. S i  1   2 no es un entero, la segunda solu ción es
2
x
b x
2
2
x
dy
dx
a
n0
1
n

x
n
con a 0  0 y 0  x  r ,
  x 
una solución en serie de Frobenius, dada por
E ntonces la ecuación diferencial tiene a l m enos
tiene dos raices reales  1 y  2 , con  1   2 .
    1    P0  Q 0  0
S uponem os que la ecuación indicial
para x  r .
xP  x  
Px
n0
n

n
y x Q x 
2
Q
n0
n
x

n
entonces
S i x  0 es un punto singular regular,
2
y   P  x  y   Q  x  y  0.
S ea la ecuación diferencial
2
y 0
yx 


an x
n 
n0
1 y  2.
que es la llam ada ecuación indicial, y d e la que se obtiene dos raices,
    1    P0  Q 0  0


n0
C aso 2. S i a 0  0, entonces
 n  


a
n0
n
x
2
n 

n



1

n




a
x


 

 n
n   2
n2m
   

a
m2
m2
x
m 


an x
n   2
n0


0
a
n2
n2
x
n 
S ustituyendo en la ecuación diferencial
solución en serie de Frobenius.
para x  r y x  0, que es la llam ada
yx  x
a
n0

a
n0
n
x 
n

n
x

n 
S e propone
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n y a se obtienen al sustituir
y 2  x   ay1  x  ln x  x
b x
n0
con 0  x  r ,
n
2

n
3. S i  1   2 es un entero, entonces
2
x
2
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y 2  x   y1  x  ln x  x
d y
dx
2
x
dy
b x
n0
n


n
con 0  x  r ,
2. S i  1   2   entonces
  x 
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y2  x   x
b x
n0
n
2

n
con 0  x  r ,
1. S i  1   2 no es un entero, la segunda solu ción es
y1  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes a n se obtienen al sustituir
y1  x   x
a
n0
1
n

x
n
con a 0  0 y 0  x  r ,
una solución en serie de Frobenius, dada por
E ntonces la ecuación diferencial tiene a l m enos
tiene dos raices reales  1 y  2 , con  1   2 .
    1    P0  Q 0  0
S uponem os que la ecuación indicial
para x  r .
xP  x  
Px
n0
n

n
y x Q x 
2
Q
n0
n
x

n
entonces
S i x  0 es un punto singular regular,
y   P  x  y   Q  x  y  0.
2
2
S ea la ecuación diferencial
dx
y 0
yx 


an x
n 
n0
1 y  2.
que es la llam ada ecuación indicial, y d e la que se obtiene dos raices,
    1    P0  Q 0  0
C aso 2. S i a 0  0, entonces


n0
 n  

n 

  n    1   n       a n x 


n0


n0
an x
2
n   2
n 2m
   


m2
am  2 x
m 

a
n
x

0
n0


n   2
an  2 x
n 
n2
  n    n    1    n      2  a n x n   



a
n2
n2
x
n 
0
S ustituyendo en la ecuación diferencial
solución en serie de Frobenius.
para x  r y x  0, que es la llam ada
yx  x
a
n0

a
n0
n
x 
n

n
x

n 
S e propone
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n y a se obtienen al sustituir
2
x
2

n0
b x
n0
con 0  x  r ,
n
2

n
3. S i  1   2 es un entero, entonces
d y
dx

y 2  x   ay1  x  ln x  x
2
 n  

 x
dy
y 2  x  en la ecuación.
  x 
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y 2  x   y1  x  ln x  x
b x
n0
n


n
con 0  x  r ,
2. S i  1   2   entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y2  x   x
b x
n0
n
2

n
con 0  x  r ,
1. S i  1   2 no es un entero, la segunda solu ción es
y1  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes a n se obtienen al sustituir
y1  x   x
a
n0
1
n

x
n
con a 0  0 y 0  x  r ,
una solución en serie de Frobenius, dada por
E ntonces la ecuación diferencial tiene a l m enos
tiene dos raices reales  1 y  2 , con  1   2 .
    1    P0  Q 0  0
2
2
S uponem os que la ecuación indicial
para x  r .
xP  x  
Px
n0
n

n
y x Q x 
2
Q
n0
n
x

n
entonces
S i x  0 es un punto singular regular,
y   P  x  y   Q  x  y  0.
S ea la ecuación diferencial
dx
y 0
yx 


an x
n 
n0
n  
2
n 
 1    n       a n x

1 y  2.
que es la llam ada ecuación indicial, y d e la que se obtiene dos raices,
    1    P0  Q 0  0
C aso 2. S i a 0  0, entonces


an2 x
n 
 0
n2
    1      2  a 0 x  


 1  


 1  

    n  
n2
2
1 
 1    1       a1 x
n  
     a 0 x   1  
2


n2
2

 n  



2

2
n 
 1    n       a n  a n  2 x
0

2
2
1 
   a1 x


2
n 
   an  an  2 x
0

S ustituyendo en la ecuación diferencial
solución en serie de Frobenius.
para x  r y x  0, que es la llam ada
yx  x
a
n0

a
n0
n
x 
n

n
x

n 
S e propone
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n y a se obtienen al sustituir
y 2  x   ay1  x  ln x  x
b x
n0
con 0  x  r ,
n
2

n
3. S i  1   2 es un entero, entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y 2  x   y1  x  ln x  x
2
x
dx
2
x
dy
2
n
con 0  x  r ,
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y2  x   x
b x
n0
n
2

n
y 0
1. S i  1   2 no es un entero, la segunda solu ción es
y1  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes a n se obtienen al sustituir
y1  x   x
a
n0
1
n

x
n
con a 0  0 y 0  x  r ,
una solución en serie de Frobenius, dada por
2
E ntonces la ecuación diferencial tiene a l m enos
tiene dos raices reales  1 y  2 , con  1   2 .
    1    P0  Q 0  0
S uponem os que la ecuación indicial
para x  r .
xP  x  
Px
n0
n

n
y x Q x 
2
entonces
Q
n0
n
x

n
2
y   P  x  y   Q  x  y  0.
S ea la ecuación diferencial
dx


  x 
con 0  x  r ,
S i x  0 es un punto singular regular,
     a 0 x   1  
2
n

y 2  x  en la ecuación.
d y
2
b x
n0

2. S i  1   2   entonces
2
yx 


an x
n 
n0

1 y  2.
2
   a1 x

que es la llam ada ecuación indicial, y d e la que se obtiene dos raices,
    1    P0  Q 0  0
C aso 2. S i a 0  0, entonces
2

1 
2



n2
a
0
 n  


2
0
   0
2
1  

2
n 
   an  an  2 x
0

2
 2  
S ustituyendo en la ecuación diferencial
solución en serie de Frobenius.
para x  r y x  0, que es la llam ada
yx  x
a
n0

a
n0
n
x 
n

n
x

n 
S e propone
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n y a se obtienen al sustituir
y 2  x   ay1  x  ln x  x
b x
n0
con 0  x  r ,
n
2

n
3. S i  1   2 es un entero, entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y 2  x   y1  x  ln x  x
2
x
dx
  
2
2
n

n
con 0  x  r ,
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
d y
2
b x
n0

2. S i  1   2   entonces
2
y2  x   x
dy
b x
n0
n
2

n
con 0  x  r ,
  x 
1. S i  1   2 no es un entero, la segunda solu ción es
y1  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes a n se obtienen al sustituir
y1  x   x
 x
a
n0
1
n
x

n
con a 0  0 y 0  x  r ,
una solución en serie de Frobenius, dada por
E ntonces la ecuación diferencial tiene a l m enos
2
tiene dos raices reales  1 y  2 , con  1   2 .
    1    P0  Q 0  0
S uponem os que la ecuación indicial
para x  r .
xP  x  
Px
n0
n

n
y x Q x 
2
Q
n0
n
x

entonces
S i x  0 es un punto singular regular,
y   P  x  y   Q  x  y  0.
S ea la ecuación diferencial
dx
 a 0 x   1  


n
2
y 0
yx 

a
x
n
n 
n0
2
1 y  2.
   a1 x

2
que es la llam ada ecuación indicial, y d e la que se obtiene dos raices,
    1    P0  Q 0  0
C aso 2. S i a 0  0, entonces
1 



n2
 n  


2

2
n 
   an  an2 x
0

1  
 1  

1   

2
2
   a1  0


1  2  a1
a1  0
2
2
 1  2  
0
2

2
 1  2
S ustituyendo en la ecuación diferencial
solución en serie de Frobenius.
para x  r y x  0, que es la llam ada
yx  x
a
n0

a
n0
n
x 
n

n
x

n 
S e propone
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n y a se obtienen al sustituir
y 2  x   ay1  x  ln x  x
b x
n0
con 0  x  r ,
n
2

n
3. S i  1   2 es un entero, entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y 2  x   y1  x  ln x  x
b x
n0
n


n
con 0  x  r ,
2. S i  1   2   entonces
2
x
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y2  x   x
d y
2
dx
2
dy
2
n0
n

n
con 0  x  r ,
  x 
1. S i  1   2 no es un entero, la segunda solu ción es
y1  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes a n se obtienen al sustituir
y1  x   x
a
n0
1
n

x
n
con a 0  0 y 0  x  r ,
una solución en serie de Frobenius, dada por
x
E ntonces la ecuación diferencial tiene a l m enos
tiene dos raices reales  1 y  2 , con  1   2 .
    1    P0  Q 0  0
2
S uponem os que la ecuación indicial
para x  r .
xP  x  
Px
n0
n

n
y x Q x 
2
entonces
Q
n0
n
x

n
S i x  0 es un punto singular regular,
y   P  x  y   Q  x  y  0.
S ea la ecuación diferencial
dx
     a 0 x   1  
2
b x
2


1 y  2.
2
y 0
yx 


an x
n 
n0
2
   a1 x

que es la llam ada ecuación indicial, y d e la que se obtiene dos raices,
    1    P0  Q 0  0
C aso 2. S i a 0  0, entonces
2
1 



n2
 n  


2

2
n 
   an  an2 x
0

1  
 n  n  2   a n  a n  2  0
an  
an  2
n  n  2

S ustituyendo en la ecuación diferencial
solución en serie de Frobenius.
para x  r y x  0, que es la llam ada
yx  x
a
n0

a
n0
x 
n
n

n
x
n 

S e propone
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n y a se obtienen al sustituir
y 2  x   ay1  x  ln x  x
b x
n0
con 0  x  r ,
n
2

n
3. S i  1   2 es un entero, entonces
y 2  x  en la ecuación.
2
x
2
2
2
y 2  x   y1  x  ln x  x
b x
n0
n


n
con 0  x  r ,
2. S i  1   2   entonces
d y
dx
  
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
2
x
dy
y 2  x  en la ecuación.
  x 
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y2  x   x
b x
n0
n
2

n
con 0  x  r ,
1. S i  1   2 no es un entero, la segunda solu ción es
y1  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes a n se obtienen al sustituir
y1  x   x
a
n0
1
n

x
n
con a 0  0 y 0  x  r ,
2
una solución en serie de Frobenius, dada por
E ntonces la ecuación diferencial tiene a l m enos
tiene dos raices reales  1 y  2 , con  1   2 .
    1    P0  Q 0  0
S uponem os que la ecuación indicial
para x  r .
xP  x  
Px
n0
n

n
y x Q x 
2
entonces
Q
n0
n
x

n
S i x  0 es un punto singular regular,
y   P  x  y   Q  x  y  0.
S ea la ecuación diferencial
dx
 a 0 x    1  
1  
an  
2
y0
y x 


an x
n 
n0

2
1 y  2.

C aso 2. S i a 0  0, entonces

1 
2
   a1 x     n  


n2
que es la llam ada ecuación indicial, y d e la que se obtiene dos raices,
    1    P0  Q 0  0

a1  0
an 2
an  
y
n  n  2

2

n 
2
0
   an  an2 x

an2
n  n  2


C o m o a1  0, te n e m o s q u e
a 2 n  1  0 p a ra n  0,1, 2,...
S ustituyendo en la ecuación diferencial
solución en serie de Frobenius.
para x  r y x  0, que es la llam ada
yx  x
a
n0

a
n0
n
x 
n

n
x

n 
S e propone
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n y a se obtienen al sustituir
y 2  x   ay1  x  ln x  x
b x
n0
con 0  x  r ,
n
2

n
3. S i  1   2 es un entero, entonces
y 2  x  en la ecuación.
2
x


2
a
y 2  x   y1  x  ln x  x
d y
2
dx
2
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
2
 x
dy
a4  
y2  x   x
a2
4  4  2

n

n
con 0  x  r ,
y0
con 0  x  r ,
1. S i  1   2 no es un entero, la segunda solu ción es
y1  x  en la ecuación.
2
y donde los coeficientes a n se obtienen al sustituir
y1  x   x
a
n0
1

n
x
n
con a 0  0 y 0  x  r ,
una solución en serie de Frobenius, dada por
E ntonces la ecuación diferencial tiene a l m enos
tiene dos raices reales  1 y  2 , con  1   2 .
para x  r .
xP  x  
Px
n0
n

entonces
n
y x Q x 
2
Q
2
n0
n
x

n
S i x  0 es un punto singular regular,
y   P  x  y   Q  x  y  0.
S ea la ecuación diferencial
x   1  
0


n0
S uponem os que la ecuación indicial

2  2  2
n
  x 
b x
2
    1    P0  Q 0  0
1  
a2  
n

y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
dx
a0
b x
n0

2. S i  1   2   entonces

y x 
2
1 y  2.
   a1 x

2
1 
C aso 2. S i a 0  0, entonces




a1  0
a0
2  1 1  
2
a2


que es la llam ada ecuación indicial, y d e la que se obtiene dos raices,
    1    P0  Q 0  0
n2
 n  

an  
y
2n
n 

 n ! 1  
a0
2

2
n 
   an  an2 x
0

an2
n  n  2


2  22 
2
n
2

an x
n0

   1
a0
2
...
a 2 n    1

  2    ...  n   
2  2!1  v  1  2
4

S ustituyendo en la ecuación diferencial
solución en serie de Frobenius.
para x  r y x  0, que es la llam ada
yx  x
a
n0

a
n0
n
x 
n

n
x

n 
S e propone
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n y a se obtienen al sustituir
y 2  x   ay1  x  ln x  x
b x
n0
con 0  x  r ,
n
2

n
3. S i  1   2 es un entero, entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
2
x
2
y 2  x   y1  x  ln x  x
d y
dx
b x
n0
n


n
con 0  x  r ,
2. S i  1   2   entonces
2
 x
dy
  x 
y2  x   x
b x
n0
n
2

n
con 0  x  r ,
1. S i  1   2 no es un entero, la segunda solu ción es
y1  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes a n se obtienen al sustituir
y1  x   x
2
a
n0
1
n

x
n
con a 0  0 y 0  x  r ,
una solución en serie de Frobenius, dada por
E ntonces la ecuación diferencial tiene a l m enos
tiene dos raices reales  1 y  2 , con  1   2 .
    1    P0  Q 0  0
S uponem os que la ecuación indicial
para x  r .
xP  x  
Px
n0
n

n
y x Q x 
2
Q
n0
n
x

n
entonces
S i x  0 es un punto singular regular,
y   P  x  y   Q  x  y  0.
S ea la ecuación diferencial
dx
1  
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
que es la llam ada ecuación indicial, y d e la que se obtiene dos raices,
    1    P0  Q 0  0
C aso 2. S i a 0  0, entonces
y  x   a 0    1
n0
 a0 x
   1
n0
a 2 n    1
1 y  2.



yx 
y 0


an x
n 
n0
a 2 n 1  0

2
n
n
2
2n
 n !1  
x
n
2
2n
 n !1  
a0
  2    ...  n   
2 n 
  2    ...  n   
 x
 
n !  1     2    ...  n     2 
1
2n


   1  

t
t
e
d
t
,

>
0

0
E s u n a g en eralizació n d el facto rial.
C u an d o   k es u n en tero , se tien e
  k  1  k    k   k !
S ustituyendo en la ecuación diferencial
solución en serie de Frobenius.
para x  r y x  0, que es la llam ada
yx  x
a
a
n0

n0
n
x 
n

n
x

n 
S e propone
y 2  x  en la ecuación.
2
x
2
y donde los coeficientes b n y a se obtienen al sustituir
y 2  x   ay1  x  ln x  x
d y
dx
b x
n0
con 0  x  r ,
n
2

n
3. S i  1   2 es un entero, entonces
2
 x
y 2  x  en la ecuación.
dy
y 2  x   y1  x  ln x  x
b x
n0
n


n
con 0  x  r ,
2. S i  1   2   entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y2  x   x
b x
n0
con 0  x  r ,
n
2

n
1. S i  1   2 no es un entero, la segunda solu ción es
2
y1  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes a n se obtienen al sustituir
y1  x   x
a
n0
1
n

x
n
con a 0  0 y 0  x  r ,
una solución en serie de Frobenius, dada por
E ntonces la ecuación diferencial tiene a l m enos
tiene dos raices reales  1 y  2 , con  1   2 .
    1    P0  Q 0  0
S uponem os que la ecuación indicial
para x  r .
xP  x  
Px
n0
n

entonces
n
y x Q x 
2
Q
n0
n
x

n
S i x  0 es un punto singular regular,
y   P  x  y   Q  x  y  0.
S ea la ecuación diferencial
dx
y  x   a0 x
  x 
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir


yx 
y 0 ;

an x
n 
n0

   1
1 y  2.
que es la llam ada ecuación indicial, y d e la que se obtiene dos raices,
    1    P0  Q 0  0
C aso 2. S i a 0  0, entonces
n
n0
P o n ie n d o
2

 x
 
n ! 1     2    ...  n     2 
1
a 0   2   1    

2n
1
te n e m o s
y1  x   J   x 
d o n d e J   x  e s la fu n ció n d e B e sse l
d e p rim e ra cla se d e o rd e n 
J  x  
1
2  1  


x


   1
n0
n
x
 
n ! 1     2    ...  n     2 
1
2n
S ustituyendo en la ecuación diferencial
solución en serie de Frobenius.
para x  r y x  0, que es la llam ada
yx  x
a
n0

a
n0
n
x 
n

n
x

n 
S e propone
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n y a se obtienen al sustituir
y 2  x   ay1  x  ln x  x
b x
n0
con 0  x  r ,
n
2

n
3. S i  1   2 es un entero, entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y 2  x   y1  x  ln x  x
b x
n0
n


n
con 0  x  r ,
2. S i  1   2   entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y2  x   x
2
x
2
n0
n

n
con 0  x  r ,
1. S i  1   2 no es un entero, la segunda solu ción es
y1  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes a n se obtienen al sustituir
d y
dx
b x
2
2
x
dy
dx
y1  x   x
a
n0
  x 
1
n

x
n
con a 0  0 y 0  x  r ,
una solución en serie de Frobenius, dada por
E ntonces la ecuación diferencial tiene a l m enos
tiene dos raices reales  1 y  2 , con  1   2 .
    1    P0  Q 0  0
S uponem os que la ecuación indicial
para x  r .
xP  x  
2
Px
n0
n

n
y x Q x 
2
Q
n0
n
x

n
entonces
S i x  0 es un punto singular regular,
y   P  x  y   Q  x  y  0.
S ea la ecuación diferencial
2

y0 ;
y x 


an x
n 
n0
1 y  2.
que es la llam ada ecuación indicial, y d e la que se obtiene dos raices,
    1    P0  Q 0  0
C aso 2. S i a 0  0, entonces
y1  x  
1
2  1  


x

y1  x   J   x  

   1
n0

n
x
 
n ! 1     2    ...  n     2 
   1
n0
1
n
x
 
n !  n    1  2 
0 x
1
2n
2 n 
S ustituyendo en la ecuación diferencial
solución en serie de Frobenius.
para x  r y x  0, que es la llam ada
yx  x
a
n0

a
n0
n
x 
n

n
x

n 
S e propone
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n y a se obtienen al sustituir
y 2  x   ay1  x  ln x  x
b x
n0
con 0  x  r ,
n
2

n
3. S i  1   2 es un entero, entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y 2  x   y1  x  ln x  x
b x
n0
n


n
con 0  x  r ,
2. S i  1   2   entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y2  x   x
b x
n0
n
2

n
con 0  x  r ,
1. S i  1   2 no es un entero, la segunda solu ción es
y1  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes a n se obtienen al sustituir
y1  x   x
a
n0
1
n

x
n
con a 0  0 y 0  x  r ,
una solución en serie de Frobenius, dada por
E ntonces la ecuación diferencial tiene a l m enos
tiene dos raices reales  1 y  2 , con  1   2 .
    1    P0  Q 0  0
S uponem os que la ecuación indicial
para x  r .
xP  x  
2
x
2
n0
n

n
y x Q x 
2
Q
n0
n
x

n
entonces
S i x  0 es un punto singular regular,
y   P  x  y   Q  x  y  0.
S ea la ecuación diferencial
d y
dx
Px
2
x
dx
1 y  2.
que es la llam ada ecuación indicial, y d e la que se obtiene dos raices,
    1    P0  Q 0  0
C aso 2. S i a 0  0, entonces
y1  x   J   x  
dy

  x 
   1
n0
2
n
2
y 0
x
 
n !  n    1  2 
0 x
1
2 n 
1.0
J
x
0.8
0.6
0.4
0.2
2
0.2
0.4
4
6
8
10
J
0.3
x
0.2
0.1
5
0.1
0.2
10
15
20
25
30
¿Y la segunda solución?
D e acuerdo con el teorem a de Fuchs,
la form a de la segunda solución linealm e nte
independiente depende de cóm o sean
las soluciones de la ecuación indicial;
según sea  1   2  2 un no e ntero,
cero o un entero positivo.
S ustituyendo en la ecuación diferencial
solución en serie de Frobenius.
para x  r y x  0, que es la llam ada
yx  x
a
n0

a
n0
n
x 
n

n
x

n 
S e propone
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n y a se obtienen al sustituir
y 2  x   ay1  x  ln x  x
b x
n0
con 0  x  r ,
n
2

n
3. S i  1   2 es un entero, entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y 2  x   y1  x  ln x  x
b x
n0
n


n
con 0  x  r ,
2. S i  1   2   entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
2
x
2
y2  x   x
n0
n

n
con 0  x  r ,
1. S i  1   2 no es un entero, la segunda solu ción es
y1  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes a n se obtienen al sustituir
d y
dx
b x
2
2
 x
dy
dx
  x 
y1  x   x
a
n0
1
n

x
n
con a 0  0 y 0  x  r ,
una solución en serie de Frobenius, dada por
E ntonces la ecuación diferencial tiene a l m enos
tiene dos raices reales  1 y  2 , con  1   2 .
    1    P0  Q 0  0
S uponem os que la ecuación indicial
para x  r .
xP  x  
Px
n0
n

n
y x Q x 
2
Q
n0
n
x

n
entonces
S i x  0 es un punto singular regular,
y   P  x  y   Q  x  y  0.
S ea la ecuación diferencial
2
2
y 0 ;
yx 

a
n
x
n 
n0
1 y  2.
que es la llam ada ecuación indicial, y d e la que se obtiene dos raices,
    1    P0  Q 0  0
C aso 2. S i a 0  0, entonces
y1  x   J   x  

   1
n0
n
x
 
n !  n    1  2 
0 x
1
2 n 
C aso 1 .  n o es u n en tero
E x iste u n a seg u n d a serie d e F ro b en iu s
y2  x   x


b
0  x  .
n
n
x ,
n0
S ig u ien d o ex actam en te el m ism o p ro ced im ien to ,
a 2 n  1  0,
a2 n   1
b0
n
2
2n
 n ! 1  
  2    ...  n   
y
y 2  x   b0 x


   1
n0
0  x  .
n
1
n !  1     2    ...  n  
 x
 
2
2n
,
y 2  x   b0 x


   1
n
n0
1
n ! 1     2    ...  n  
x
 
2
2n
,
0  x  .
H aciendo
b0   2

  1    
1
se tiene
y2  x  

   1
n0
0  x  .
n
1
x
 
n !  n    1  2 
2 n 
 J   x 
C aso 1 .  n o es u n en tero
2
x
2
d y
dx
J  x  
2

x
dy
dx
   1
n0
n
  x 
2
2
y0
 x
 
n !  n    1  2 
1
2 n 
La solución general es
y  x   c1 J   x   c 2 J   x 
J 1/ 3  x 
y
J 1/ 3  x 
1.0
0.5
2
4
6
8
10
0.5
2
4
6
0.5
J 11 / 7  x 
1.0
y
J  11 / 7  x 
8
10
S ustituyendo en la ecuación diferencial
solución en serie de Frobenius.
para x  r y x  0, que es la llam ada
yx  x
a
n0

a
n0
n
x 
n

n
x

n 
S e propone
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n y a se obtienen al sustituir
y 2  x   ay1  x  ln x  x
b x
n0
con 0  x  r ,
n
2

n
3. S i  1   2 es un entero, entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
y 2  x   y1  x  ln x  x
b x
n0
n


n
con 0  x  r ,
2. S i  1   2   entonces
y 2  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes b n se obtienen al sustituir
2
x
2
y2  x   x
n0
n

n
con 0  x  r ,
1. S i  1   2 no es un entero, la segunda solu ción es
y1  x  en la ecuación.
y donde los coeficientes a n se obtienen al sustituir
d y
dx
b x
2
2
 x
dy
dx
  x 
y1  x   x
a
n0
1
n

x
n
con a 0  0 y 0  x  r ,
una solución en serie de Frobenius, dada por
E ntonces la ecuación diferencial tiene a l m enos
tiene dos raices reales  1 y  2 , con  1   2 .
    1    P0  Q 0  0
S uponem os que la ecuación indicial
para x  r .
xP  x  
Px
n0
n

n
y x Q x 
2
Q
n0
n
x

n
entonces
S i x  0 es un punto singular regular,
y   P  x  y   Q  x  y  0.
S ea la ecuación diferencial
2
2
y 0 ;
yx 

a
n
x
n 
n0
1 y  2.
que es la llam ada ecuación indicial, y d e la que se obtiene dos raices,
    1    P0  Q 0  0
C aso 2. S i a 0  0, entonces
y1  x   J   x  

   1
n0
n
x
 
n !  n    1  2 
0 x
1
2 n 
C aso 2.   0,  1   2
La prim era solución en serie de Frobeniu s
se sim plifica com o
y1  x   J 0  x  

   1
n0
0  x  .
n
1
 n !
2
x
 
2
2n
C aso 2.   0,  1   2
y1  x   J 0  x  

   1
1
n
 n !
n0
2
x
 
2
2n
, 0  x  .
La segunda solución linealm ente independ iente es
y 2  x   y1  x  ln x 

b
n0
n
n
x ,
0  x  .
C aso 2.   0,  1   2
La segunda solución es
y2  x  

2
Y 0  x    ln 2    J 0  x 
donde

2  x

Y 0  x     ln    J 0  x  
  2



1 1

1  
n 1
2 3

1



2
n 1
 n !
y
 n 1

  0.57721566...  lim    ln n 
n 
 k 1 k

1

2n

nx 
  
2 

C aso 2.   0,  1   2
2
x
2
d y
dx
2
x
dy
dx
  x 
2
2
y0
 0
2
x
d y
dx
2

dy
 xy  0
dx
La solución general es
y  x   c1 J 0  x   c 2Y0  x 
J0  x
1.0
y Y0  x 
0.5
2
0.5
1.0
4
6
8
10
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Ecuación diferencial de Bessel, Hermite, Legendre, Laguerre.