2° Medio
UNIDAD: 1
Números.
CONTENIDOS
1. Potencias
1.1 potencias
1.2 propiedades de las potencias
1.3 ecuaciones exponenciales
2. Radicación
2.1 raíces
2.2 propiedades de las raíces
2.3 racionalización
2.4 ecuaciones irracionales
3. Logaritmos
3.1 logaritmos
3.2 propiedades
Definición de potencia
Bueno, ¿entendieron lo que es realmente
una potencia?
Yo si, pero parece que mi amigo no mucho
Bueno, lo explicare mas detenidamente.
Tomen atención.
Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arriba
de este se encuentra otro numero que llamaremos “n”
de esta forma:
a
n
Al “n” se le llama exponente de la potencia
Al “a” se le llama base de la potencia
“a” es el número en cuestión,”n” es
la cantidad de veces que se
Se define de esta forma: an=a•a•a•a• •a (n veces)
multiplica por si mismo.
Las potencias sirven para expresar la
multiplicación de un dato que se repite una cierta
cantidad de veces
Ahora veamos si entendiste
Calculemos el valor de (-2)3
Aplicando la definición tenemos:
(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8
Calculemos el valor de -34
Observamos que la base de la potencia es 3
( y no -3) expresándola en forma de
producto nos queda:
-34 = -3 • 3 • 3 • 3 = -81
Ahora resuelve tú
Soluciones:
-16
2 
4
 2 
4
16

Como conclusión se puede decir
que cuando un término que es
antecedido por un signo negativo
se eleva a un exponente impar el
término siempre será el mismo
que al inicio, en cambio elevado a
un número par se logrará el signo
contrario al inicial.
POTENCIAS CON EXPONENTE 1
Es igual a la base de la potencia, es decir:
a1=a ejemplos: 101=10; 31=3
Ejercita:
1)
71=
2)
221=
Soluciones:
1)7
3)
41=
2)22
1
4)
6=
3)4
4)6
En todo caso, sea cual sea, la base será igual a si misma
si el exponente es 1.
POTENCIAS CON EXPONENTE -1
es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir:
a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ; (1/2)-1=2
Ejercita:
2
1)  
4
2 )  2 ,3 
3 )8
1
Soluciones:
1
 ___
1
 ___
 ___
  2 
4 )  5    
  3 
1) 2
2) 10/23
3) 1/8
1
 ___
4) 3/10
Multiplicación de potencias de igual base
Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y
sumamos los exponentes, es decir:
an • am = an+m
al revés cuando tenemos una base con una suma en el
exponente la podemos descomponer, es decir:
an+m = an • am
EJERCICIO RESUELTO
Expresemos en forma de potencias: aquí tenemos
el producto del término (-1/2) cinco veces (el
término se repite 5 veces).En este caso lo que se
hace es sumar los exponentes de todos los
términos, dejando solo un término.
 1  1  1  1  1   1 
              
 2  2  2  2  2   2 
5
RESUELVE ESTOS EJERCICIOS
PARA VER COMO VAS MANEJANDO
ESTA PROPIEDAD
1) a  a  ___
5
3
2 ) b  b  b  ___
6
3
2
3 ) 5  5  ___
4
4)a
2 x4 y
a
x2 y
 ___
SOLUCIONES:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
espero que te haya ido bien.
1)a8
2)b11
3) 55
4)a3x+2y
División de potencias de igual
base.
 En
este caso, mantenemos la base y restamos
los exponentes, es decir:
an : am = an-m
al revés cuando tenemos una base con una resta
en el exponente la podemos descomponer, es
decir:
an-m = an : am
EJERCICIO RESUELTO
x :x  x
6
2
(a  b )
3
(a  b )
2
6 2
 (a  b )
3 2
 x
4
 (a  b )
Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta
propiedad
1)
m
16
m
 ____
6
x x
5
x x
4
6
2)
5
2
3) 
5
4)m
4
x 1
 ____
2
: 
5
:m
x 1
5
 _____
 _____
SOLUCIONES:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te
haya ido bien.
1)m10
2)x2
3) 2/5
4)m2
POTENCIA CON EXPONENTE 0
Es igual a 1:
a0=1, 00= no existe
Ejemplos:
50=1
-40=-1
Ejercita:
1) 30=___
3)-20=___
2) (1/2)0=___
4) 10=___
Soluciones:
1)1 3)-1
2)1
4)1
POTENCIA CON EXPONENTE
NEGATIVO
Es la misma propiedad que con exponente a -1,solo
que ahora, cuando se da vuelta al ser negativo el
exponente, no queda en 1, sino que en n.
a-n=1/an ; a≠0 ejemplo: 3-2=(1/3)2=1/32=1/9
Ejercitemos:
1)-2-2=___ 3)(1/3)-2=___
2)(-2)-2=___ 4) (22/23)-4=___
Soluciones:
1)-1/4 3)9
2)1/4 4)16
Potencia de una potencia
Aquí debemos elevar la base a la
multiplicación de los exponentes.
(am)n = an • m
En el caso contrario si tenemos una base con
exponentes multiplicándose se pueden
distribuir.
an • m = (am)n
EJERCICIO RESUELTO
Desarrollemos
(a2 :a6)2
Primero tenemos que aplicar la propiedad,
multiplicando los exponentes, luego aplicando las
propiedades ya conocidas deberíamos poder llegar a
un término.
1.
2


2 2


a 
a
a
1
1
8
 6   6  2  12  12  4   8  a
a 
a
a
a
a


2
4
RESUELVE ESTOS EJERCICIOS PARA VER COMO VAS
MANEJANDO ESTA PROPIEDAD
a b
1)  6
 x
2
2

  ___


4
2 ) 3 a b c
4
2
3 ) 9 x y z
6
4 ) a
0 , 25
4

  2 a
3 2
2

b c   ___
1
2
 ___
3
4
2
 ___
5
3
SOLUCIONES:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
espero que te haya ido bien.
1) (a4b8)/x12
2) 72a2b19c9
3) 3x3y2z
4) a3/16
Potencia de un producto
Elevamos el producto de las bases al
exponente común.
an • bn = (ab)n
Por el contrario si tenemos 2 un paréntesis
elevado a un numero, los componentes del
paréntesis se pueden separar.
(ab)n = an • bn
EJERCICIO RESUELTO
Primero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicar
las bases, luego solo resolvemos la potencia resultante.
3  5  3  5   60
4
4
4
RESUELVE ESTOS EJERCICIOS PARA VER COMO VAS
MANEJANDO ESTA PROPIEDAD
1) x  a  8  ___
3
3
2 )  a  b    2 q   ___
2
3) a
4 p 1
b
2
4 p 1
4 ) 8  27  ___
 ___
SOLUCIONES:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
espero que te haya ido bien.
1) (2ax)3
2) [2q(a+b)]2
3) (ab)4p-1
4) 63
POTENCIAS DE 10
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
105 = 100000
106 = 1000000
107 = 10000000
POTENCIA CON EXPONENTE
FRACCIONARIO

Esta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabaja
de la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de la
fracción y luego se hace la raíz de esta, y cuyo índice
corresponde a el denominador de la fracción.
m
1
a
n

n
a
a
n

n
a
m
• Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver
una raíz la podemos transformar en potencia poniendo el índice
como denominador y el exponente que tenga el radicando
como numerador en la potencia que se formaría
5
5
3
3
a a
Resuelve estos ejercicios para ver como
vas manejando esta propiedad
Soluciones:
1
1) 25
 _____
2
1
2 ) 64
 81
2
4
1
3 )125
1)5
2
3
1
 216
1
4 )1728
 _____
3
3
 _____
1
 16
4
 ____
2)17
3)-1
4)10
Reforzamientos varios:
2  ___
2
3  ___
2
(  2 )  ___
3
10  ___
1
(  1 ,1 )  ___
3
(
3
)  ___
6
4
(1
1
4
)  ___
3
2  2  2  2  ___
(12 )
1 2
3
2
1
0
1
 (  12 )
1
2
2
1
2
 ___
3
( 0 , 02 )  ( 0 , 02 )
2
 4 
 3 
  5 
1
 3   2 
  11  
  5  
2
 
5
1
2
1
 
2
5
 
2
1
2
 ___
2
 ___



0
3
 ___
0
 ___
3
2
    ___
5
PROBLEMA DE PROFUNDIZACIÓN:
Alfredo recibe una carta pidiéndole que
participe en una “cadena”, enviándole
copia de la misma carta a 3 otras
personas, cada una de las cuales debe
enviarle un cheque por $1000 a vuelta
del correo. Él, a su vez, debe enviar
$1000 al remitente de la carta que
recibió. Si cada persona que recibe una
carta de esta “cadena” procede como
indicado, todos harán beneficios.
¿dónde esta la trampa?
Descúbrelo a través de tus
conocimientos adquiridos.
Raíces
RAÍCES
En este nuevo capitulo encontramos lo contrario de la
potencias, las raíces, es decir las potencias se simplifican
(eliminan) con las raíces y viceversa
¿Pero con que términos trabajaremos ahora en este capitulo
de raíces, si en potencias a=base, y n=exponente, ahora
como es esto?
Bueno tenemos 3 terminos con los que trabajaremos los
cuales son:
Índice de la raíz
n
Operante
a
Cantidad subradical o radicando
Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede hacer
el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto:
1
n
a  an
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las
propiedades de las raíces, veamos la primera:
Raíz de una potencia con exponente igual al
índice.
 Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el
radicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar el
radicando como potencia, una base elevado a una
fracción de la siguiente forma:
1
n
a
n
n
 ( a ) n  a n  a
n
1
Al elevar a n la raíz n-esima de
a estamos simplificando el
proceso anterior por lo cual el
numero quedaría el numero

Veamos unos ejemplos:
2
5  52  5  5
2
1
3
3
7  73  7  7
3
1
p
p
x
p
 x
5
p
 x  x
1
5
5
1
2
2
2
2
       
5
5
5
5
5
Aplicando la propiedad,
vemos que el índice y el
exponente del radicando
se deja en forma de
potencia, por lo tanto igual
numerador y denominador
dan como resultado 1, así
se dice que se simplifico o
elimino la raíz y se
convierte en una simple
base elevado a 1 lo que
da como resultado la
misma base, como vemos
en los ejemplos.
Ahora te toca a ti trabajar:
6 
2
1.

4
4
3.
3
23 
4.
5
5
2 . 59
3
48

Raíz de un producto:
Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se estén
multiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales tienen
el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen, como se
muestra a continuación.
n
a b 
n
a b
n
Así también podemos hacer el proceso inverso,
donde el producto de dos raíces de igual índice que
puede agrupar en una sola raíz
n
a n b 
n
a b
Resolvamos juntos estos ejercicios, separando
cada raíz en dos productos de raíces y
resolviéndolas por separado, luego se multiplica y
se obtiene el resultado correspondiente:
4
1296 
3
27000 
4
3
4
16  81 
3
25 
8  3 27 
4
16  4 81  2  3  6
125  216 
4  25 
3
8  27 
3
125  3 216  5  6  30
100  10
3
216  6
Trabaja tu:
1 . 3  12 
2. 3a 
3.
3
2x 
2a  6 
3
4x  8x 
3
4. 5 p  5 p 
4
3
4
7
4
25 p
6

SOLUCIONES:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
espero que te haya ido bien.
1) 6
2) 6a
3) 4x
4) 5p4
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes
las nociones de esta propiedad clara, si crees que
costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de
reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de
este módulo y encontrarás algunos links para
reforzarte.
* Pasemos a Raíz de un cuociente:

De la raíz de una fracción o división se puede separar
en 2 raíces pero que poseen el mismo índice que la
anterior y esas dos nuevas raíces se dividen ahora.
a
n

b
n
a
n
b
** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a
raíz de un producto
* Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz y
el denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como se
muestra a continuación:
n
n
a
b

n
a
b
Resolvamos algunos ejemplos para
aprender mejor:
18 :
2 
18

Pero parta poder
resolver algunos
ejercicios no solo
debemos dividir,
sino también
aplicar
propiedades de
las potencias
como es la resta
de exponentes
6
2
5 
125 :
125

25  5
5
2a 
26 a :
26 a

13
2a
444 a : 111 a 
3
444 a
111 a
3

4 2

Vamos te toca ahora
240
 ______
60
3
216
3
4
 ______
8
4096
 ______
16
600
6
 ______
Si tienes alguna duda
no vaciles en repasar
la materia.!!!!
Soluciones:
Acá tenemos las
soluciones de los
ejercicios anteriores,
espero que te haya ido
bien.
1) 2
2) 3
3) 2
4) 10
.
¿Y que pasa ahora con Raíz de una raíz?
Bueno aquí simplemente se multiplican los
índices y se deja al final una sola raíz con
índice igual al producto de los índices. Como
se puede ver:
*
n m
a 
n m
a
Bueno ya que vamos tan avanzados estos ejemplos, los pasaremos volando,
¿o no?:
a b
2 
2 2
2 
4
x 
a b
x 
ab
3 4
531441 
3 a
3 a
1 
1
2
34
3a
x
531441 
1 1
12
531441  3
Sigue multiplicando tu los índices
y resuelve los siguiente:
64  ____
1.
4
2.
5 4 3
81  ____
3.
4.
1  ____
4
729  ____
Soluciones:
Acá tenemos las
soluciones de los
ejercicios anteriores,
espero que te haya ido
bien.
1) 2
2) 1
3) 3
4) 13
Pasemos a amplificación y
simplificación del índice de una
raíz:
Para esto se amplifica o simplifica tanto el
índice como el exponente de la cantidad
subradical, por un termino o numero en
particular, ejemplo:
n
n p
a 
n
a
a
x
1 p

n: y
a
x: y
Resolvamos estos ejercicios:
10
25
5

10 :5
3 4 
3
25
2 •3
3
5:5
1• 3


3• 2
25  5
4
1 2

6
3 4 
3
2
6
432
* • En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolver
mas fácilmente, así queda como resultado 5
• En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores,
ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego se
puede resolver como cualquier otro problema.

Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la
amplificación y simplificación de raíces.
2
 _____
6
7
2
5  _____
15
4  _____
3
3
5
p
4
 _____
SOLUCIONES:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
espero que te haya ido bien.
1. 3 7
2. 5 5
3. 3 4
4. p 3 p
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o
tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y
encontrarás algunos links para reforzarte.
Factor de una raíz como factor:
* En palabras simples es pasar un número que
multiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debe
elevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentro
multiplicándolo por los otros términos dentro de ella, así
se pueden aplicar otras operaciones como la suma de
raíces de igual índice.
a

b

Se da de la siguiente forma:
n
n
ba
n
** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera ser
no entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar:
288 
12  2  12
2
2
Vamos resolvamos:
20 
7 2 
3
250 
2 5  2 5
2
7 2 
2
3
98
5  2  53 2
3
* Se puede ver dos
posibilidades:
• simplificar una
raíz, dejándola mas
simple
• O realizar una
raíz, juntando
términos, pero de
esta forma queda
una raíz muy
compleja.
Racionalización de denominadores:
• La idea es dejar los denominadores sin expresiones con
raíces para poder trabajar mas fácilmente.
• Consiste en eliminar los radicales de los denominadores.
3
3

2
2
3
3
2
2
3

3
3
2
2
4
2
3
2
3

3 2
2
3 2

2

3
3 2
2
3
2
22

2
3 2
3
2
3
2
3

3 2
2
2
En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que el
radicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo índice, para así poder
eliminarse con la raíz, y en el denominador queda sin términos con raíces.
• En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplica
la suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores se
eliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positiva
o negativa), así se eliminan las raíces en el denominador.
• Se presentan los siguiente casos de expresiones:
1
5

2
1
5

2


1 5 
5

2 
1 5 
5

2 
2
5

2
2
5
2
  5   2

2
5
2
5
2
2
  5   2
2
2

5
2
3

5
3
2
Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debe
amplificar usando la formula dada de potencias cúbicas:
a
a
2
3
3
3

2
3
b
3
3
b
3
2
3
3
3
  a  b   a
  a  b   a

2 
2
 ab  b
2
2
 ab  b
2
3
3 
6
3
2
2
3
3 
6
3
2
2
2
2


 2

3
3 
6
2
3
2
5
Hay otros tipos mas de nacionalización que son mucho mas específicos pero
evoquémonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios.
2

• Cuando
tenemos una adición en trinomios se agrupan
dos términos para dejarlos como suma por diferencia a
la hora de multiplicar, así luego de resolver queda una
suma por diferencia simple:
3


2   3  
3 5  2  3




5 2  3


3 5  2  3
 5 
5  2   3   5  2    3 
5  2  3  2 10
3   5  2  3  3   5  2  3   2  2  10    5  2  3   2  10    5 



4  2 10 
4  10  4  2 10 
16  8 10  8 10  4  100 
5 2 3
2
2
Luego de resolver el trinomio, se resolvemos
el binomio resultante igual que si fuera suma
por diferencia, y así se elimina términos con
raíces en el denominador, y en este caso nos
queda con denominador 4.
  3
5 2 3
4  2 10

2  3  2  10
4


Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios:
1)
2
 _____
2
3
2)
3)
2 
1
3
9
 _____
5
 _____
SOLUCIONES
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
espero que te haya ido bien.
1.
2
2
2. 3
3.
5
81
9
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o
tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y
encontrarás algunos links para reforzarte.
Ecuaciones irracionales:
son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical,
para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice de
la raíz, para eliminarla:
Ejemplos:
6 
6 +
2x  1  2  7

2x
- 1
2x
- 1
2x
=

- 1
2
5

=
2x
x
=
- 2
/
()
2
 5 2
25
=
/
26
13
3
3
3x  3
 3
/
3x + 3
 9
/ -6
3
3x + 3  3
3x + 3
= 27
3x = 24
/
+1
/ : 2
x
= 8
()
/ ()
/
3
-3
/ :3
2
PRACTIQUEMOS UN POCO
1. x  1  x  3
2. x  3  5
3 . x ( x  3)  x  5
4. x  4  3  x  2
2
SOLUCIONES:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
espero que te haya ido bien.
1 . x1  5
2 . x  28
3. x 
25
13
4. x 
3
2
x
2
 2
Cotrol: veamos si aprendiste
2n n
3
6
8 +
2
8 +
1
1
2
4
3


1
3
+8
3

2 64 + 7 3 27 
n
15
2
n

64 a

6
1
64 3 + 0,027

4 
6
3
4n
2n
a b c
n

n
3n
a b
18a
5
16 c
3
16x
9y
8
7a b
4
x 
2
x 
2
2
52
3
5 3


5
2

3-
3

3

3+

4n

x -1 2
3x + 1  0
5-
8x  9  2 x  3
2
1 - 2 14
7 
2

VAMOS A HACER ALGUNOS
EJERCICIOS
EJERCICIOS PARA RESOLVER:
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potencias, raíces y logaritmos