Estefanía Sánchez Castañeda Cód. 20121025046
Sora Díaz José Santiago Cód. 20131025030
Cristian Serrano Sánchez Cód. 20121025032
ING. CASTRAL Y GEODESIA
*
Es un modelo de ecuaciones diferenciales de primer
orden no lineales que modela el crecimiento de dos
poblaciones(Depredador presa).
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*
* El matemático italiano Volterra, después de haberse
interesado por la ecología matemática y haber sido
estimulado por su amigo zoólogo Humberto D' Ancona,
estudio los registros de las pesquerías del Mar Adriático
Superior y observó que, durante y después de la Segunda
Guerra Mundial, cuando la pesca había disminuido
drásticamente, la proporción de los depredadores había
aumentado.
* Este hecho lo llevo a estudiar ese problema de una
manera más general, logrando construir la primer teoría
determinista sistematizada de la dinámica de poblaciones.
* Oscilaciones en las relaciones presa-depredador de
Volterra.
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*
* La especie depredadora se alimenta solo de la especie
presa, mientras que ésta se nutre de un recurso que
se encuentra en el hábitat en grandes cantidades.
* Las dos poblaciones eran homogéneas, es decir, los
parámetros de edad y sexo no cuentan.
* Las características son las mismas en todo el hábitat.
* La probabilidad de interacción entre ambas especies
es la misma.
* Por lo que solo existen dos variables: el tamaño
poblacional de la especie depredadora y el de la
especie presa, que dependen únicamente del tiempo.
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*
R ′ (t)=aR(t)
F ′(t)=−bF(t)
(Presas sin Predadores)
(Predadores sin Presas)
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*
R ′(t)=aR(t)−[c∗interacción]
F ′(t)=−bF(t)+[d∗interacción]
Ahora el problema se centra en encontrar los términos
que aparecen entre los corchetes
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basándose en la hipótesis de que cuanto más se relacionen
presas y depredadores, mayor será el perjuicio de unos y el
beneficio de otros, queda expresado en la ecuación como:
R ′(t)=aR(t)−cR(t)F(t)
F ′(t)=−bF(t)+dR(t)F(t)
Donde
* a: es la tasa instantánea de aumento de conejos en ausencia
de zorros
* b: es la tasa instantánea de disminución de zorros en el caso
de ausencia de conejos.
* c: mide la susceptibilidad de los conejos a ser cazados.
* d: mide la capacidad de depredación de los zorros
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*
* Suponga que el sistema de ecuaciones diferenciales
describen un modelo particular del depredador (y) y de la
presa(x).Determinar la solución y la gráfica:
x ‘(t)=0.1x −0.00002 x y
y′(t)=-0.04y +0.0001 x y
*Debido a que solo podemos resolver las ecuaciones
cuando x=0 y y=0, se desprecian los segundos términos
de la ecuaciones, quedando las mismas:
x’=0.1x
y’=-0.04y
* Acomodando las ecuaciones nos quedan dos ecuaciones
homogéneas:
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* x’= 0.1x
y’=-0.04y
* x’-0.1=0
y’+0.04y=0
* x=e^(mt)
* x’=me^(mt)
* me^(mt)-0.1e^(mt)=0
* e^(mt)(m-0.1)=0
* m=0.1
* x(t)=c1e^(0.1t)
y=e^(mt)
y’=me^(mt)
me^(mt)+0.04e^(mt)=0
e^(mt)(m+0.04)=0
m=-0.04
y(t)=c2e^(-0.04t)
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* Solución:
*x(t)=c1e^(0.1t)
*y(t)=c2e^(-0.04t)
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