¿Los conejos
se comen a los lobos?
Juan Pablo Pinasco
Semana de la Matemática
FCEyN – UBA - 2009
NO!

Los conejos comen zanahorias

Los lobos se comen a los conejos
Esto no nos dice mucho
(es lógica pura)
Queremos predecir fenómenos,
anticiparnos,
saber qué va a ocurrir.
Modelos matemáticos

¿Qué pasó?

Describir los sucesos

¿Por qué pasó?

Entender las causas

¿Qué pasará si…?

Saber cuánto influyen
Fibonacci (1170-1250)
Estudia cómo se reproduce una pareja de
conejos,
suponiendo que nunca mueren, y que
•
•
a partir del segundo mes, cada pareja
engendra otra pareja de conejos.
X(n)= cantidad de conejos en el mes n
X(n+1) = X(n) + X(n-1)
X(1) = 1
X(2) = 1
Mes n – Parejas de conejos
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
Crece muy rápido!
X(n) es aproximadamente a × bn
a = 1 / √5 y b ≈ 1,6
Crecimiento exponencial
¿Es un buen modelo?
¡NO!
No se muere nadie
Está todo muy pautado
Muy poco real
Modelo nuevo
X(n+1) = X(n) + tnat X(n) - tmort X(n)
X(n+1) = (1 + tnat - tmort)X(n)

tnat = tasa de natalidad
tmort = tasa de mortalidad

Hacemos T = 1 + tnat - tmort y queda

X(n+1) = T X(n)
Vamos a resolverla
Sea X(1) la población inicial
X(2) = T X(1)
X(3) = T X(2) = T T X(1) = T2 X(1)
X(4) = T X(3) = T T2 X(1) = T3 X(1)
X(5) = T X(4) = T T3 X(1) = T4 X(1)
… = …
X(n+1) = T X(n) = T Tn-1 X(1) = Tn X(1)
Crece muy rápido!
El crecimiento sigue siendo exponencial,
es un mejor modelo.
Pero.….
Thomas Malthus (1798)


La población crece en forma exponencial
Los recursos crecen en forma lineal


Crecimiento lineal: 2n
Crecimiento exponencial: 2n
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20…
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024…
Entonces, el modelo anterior tiene que
estar mal

Se observan crecimientos exponenciales

Pero los recursos no alcanzan
(Un buen modelo tiene que considerar esto)
Pierre Francois Verhulst (1838)

Propone una ecuación nueva para
el crecimiento

Crecimiento logístico
X(n+1) = X(n) + r X(n) [C – X(n)]

C es la capacidad del medio
Mejor que antes, pero no del todo.
Hay dos clases de soluciones:
i) X(n) se acerca al valor C
ii) X(n) oscila alrededor de C
El comportamiento es complicado.
Uno no puede predecir
con facilidad
si la solución será
del tipo i) o del tipo ii)
Volvamos a los conejos

Los navegantes europeos los “sembraron”
entre 1500 y 1600.

En especial, en la Patagonia y en Australia.

Se transformaron en plaga para los cultivos.
¿Qué se puede hacer con una
especie molesta?
¿Introducir un predador (o un virus)
para controlarla?
¿Cómo controlar una especie
con otra?
Hay que entender cómo compiten
entre sí

Lotka-Volterra (en diferencias)
X(n+1) – X(n) = TX X(n) + a X(n) Y(n)
Y(n+1) – Y(n) = TY Y(n) - b X(n) Y(n)

Es posible que ambas especies convivan, que
se extinga una, o ambas.
Lotka y Volterra
Ciclo
Linces y conejos (i)
Pero…
¿¡Las liebres se comen a los
linces!?
NO!!

Pero no se sabe bien qué pasó.

Estos no son datos poblacionales, sino de capturas.

Ese período fue malo en términos de alimentos (aún
para los humanos).

Fue un período de cambios políticos y sociales (se
trazan los límites de los estados del norte de EEUU;
se fija la frontera EEUU-Canadá; y se produce la
última gran rebelión Sioux).
Buena noticia:
Sigue habiendo problemas para
investigar!
Gracias!
Imágenes y datos de:
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J. Epstein, Non Linear Dynamics, Math. Biology and Social Science.
J.C. Bastos de Figueiredo, Sistemas Dinâmicos não Lineares em Biologia e
Fisiologia
Adolfo Castillo Meza, Ecuaciones de Lotka Volterra
J. D. Murray, Mathematical Biology I. An Introduction.
M. Iskin da Silveira Costa, Introdução aos Modelos em Ecologia
Populacional
M.E. Gilpin, Do hares eat lynx? Amer. Nat. 107:727-730, 1973.
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