Ecuaciones Diferenciales I.
Coexistencia de Poblaciones:
Modelos de Competenciay Depredación.
José Alberto Morales Escalante
Relación Presa-Depredador:
Modelo de Lotka - Volterra
Hipótesis Subyacentes:
•Entorno cerrado.
•Reproducción continua en el tiempo de ambas poblaciones.
•Poblaciones Homogéneas.
•Ambiente ideal para la presa (P) en ausencia del depredador
(D).
•En ausencia de presas, la población de depredadores se
extingue.
Presa:
dP
dt
 r1P  bPD
r1: Tasa de crecimiento en ambiente ideal.
b: Respuesta funcional del depredador
Depredador:
dD
dt
 r2D  qPD
r2: Tasa de crecimiento en ausencia de la
presa.
q: Conversión de biomasa de una población a
otra.
Resultados:
•Las soluciones son periódicas;
su representación implícita
rodea al punto de Equilibrio:
(r1/b,r2/q).
Ley de Conservación
del Valor Medio:
El valor promedio del número de
individuos de cada especie es el
mismo para cualquier número inicial
de individuos, si los parámetros de
crecimiento y ataque permanecen
constantes.
Ley de Perturbación
del Valor Medio:
El intento de destruir a los individuos de dos
especies uniforme y proporcionalmente a su
número lleva a un aumento del valor medio de
las presas y a un decrecimiento del valor medio
de los depredadores.
El aumento en la protección de la presa lleva a
un aumento en ambos valores medios.
Biólogos vs. Teóricos:
El lince y la liebre
Pulgón de los Cítricos
Fuera del Paraíso:
dP
dt
 P(r1(1  P / K )  bD)
La tasa de crecimiento, aún en un ambiente
sin depredadores, considera la competencia
entre individuos de la misma población.
Cambios Cualitativos:
Existe un punto de equilibrio asintóticamente
estable al cual convergen todas las soluciones
no triviales.
Modelos de Competencia
Los valores hi indican cómo el tamaño de una
población determina la parte usada de la
capacidad de carga del entorno.

Ni
Ni
2
 ri   i (  hk N k ) 
k 1
2
ri (1 
(  hk N k )
k 1
ri
(
i
)
)
Conclusiones:
1
N1
2
N2
 e
k
exp(( r1 2  r2 1 )t )
r1 2  r2 1 
r1
r2
r1
1
r2

y

2
1
2
Una de las 2 poblaciones
se extingue.
G.F. Gause pone a
prueba a Volterra.
Principio de exclusión competitiva:
Las especies con hábitos idénticos no pueden vivir juntas al
mismo tiempo.
Bibliografía:
• Joseph Hofbauer, Sigmund. Evolutionary Games and
Population Dynamics. Cambridge U.P. U.K., 2002; pp 11-21.
• Falconi, M. Una semblanza de Vito Volterra. Sánchez Garduño,
et. al. Clásicos de la Biología Matemática. Siglo XXI. México,
2001; pp 92-109.
• Braun, M. Differential Equations and their Applications,
Springer. E.U.A., 1993; pp 443-458.
Links:
•http://www.tu-dresden.de/fghhihb/petzoldt/models.html
•http://www.aw-bc.com/ide/index.html
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