Gestión Económica y Financiera
Análisis de Riesgo
y Rendimiento
Ing. Wilbert Zevallos Gonzales
Conceptos básicos
Definición de Riesgo
Riesgo es la posibilidad de que los rendimientos futuros reales sean
diferentes de los rendimientos esperados. En otras palabras, representa la
variabilidad de los rendimientos.
Distribuciones de Probabilidad
La probabilidad de que se presente un determinado resultado se define
como la posibilidad porcentual de que ocurra. Una distribución de
probabilidad indica la posibilidad porcentual de incidencia de cada uno de
los resultados posibles.
Conceptos básicos
Rendimiento esperado
Es el rendimiento que un individuo espera que gane una acción a lo largo
del siguiente periodo. Desde luego, ya que esto es sólo una expectativa, el
rendimiento real puede ser mas alto o mas bajo.
Varianza y desviación estándar
Sirven para medir la volatilidad del rendimiento de un instrumento. La
varianza es una medida de las desviaciones del rendimiento de un
instrumento respecto de su rendimiento esperado elevadas al cuadrado.
Conceptos básicos
 
2
( X  )
2
N

 −  2 
=
=1
Conceptos básicos
Valor Esperado
El valor esperado es un indicador estadístico del valor medio, o promedio,
de los resultados posibles. Desde el punto de vista operativo, se define
como el promedio ponderado de los posibles rendimientos, donde las
ponderaciones son las posibilidades de incidencia.

=
 
=1
rj = es el resultado del caso j-ésimo
pj = Probabilidad que ocurra el resultado j-ésimo
Conceptos básicos
Covarianza y correlación
Los rendimientos sobre instrumentos individuales se relacionan entre si. La
covarianza es una estadística que mide la interrelación entre dos
instrumentos. Contribuyen a la comprensión del coeficiente beta.
Conceptos básicos
Suponga que algunos analistas financieros consideran que existen 4 estados igualmente
posibles en la economía: la depresión, la recesión, la normal y el auge. Se espera que los
rendimientos de Supertech se apeguen a los ciclos económicos, cosa que no ocurre con los
rendimientos de Slowpoke. Las predicciones de los rendimientos son:
Estados
Depresion
Recesion
Normal
Auge
Rendimientos
de Supertech
Rendimientos
de Slowpoke
-20%
10%
30%
50%
5%
20%
-12%
9%
Calculo del rendimiento esperado:
Supertech
 0 . 20  0 . 10  0 . 30  0 . 50
 0 . 175  17 . 5 %
4
Slowpoke
0 . 05  0 . 20  0 . 12  0 . 09
4
 0 . 055  5 . 5 %
Conceptos básicos
La varianza y la desviación es:
 
2
( X  )
2
N
Supertech
E stad o
D epresion
R ecesion
N orm al
A uge
V arian za
D esviacio n
T asa d e
R en d im ien to
-0,2
0,1
0,3
0,5
0,066875
25,86%
Slowpoke
2
(X - μ )
(X - μ )
-0,375
-0,075
0,125
0,325
0,140625
0,005625
0,015625
0,105625
0,2675
R en d im ien to
esp erad o
0,175
E stad o
D epresion
R ecesion
N orm al
A uge
V arian za
D esviacio n
T asa d e
R en d im ien to
0,05
0,2
-0,12
0,09
0,013225
11,50%
2
(X - μ )
(X - μ )
-0,005
0,145
-0,175
0,035
0,000025
0,021025
0,030625
0,001225
0,0529
R en d im ien to
esp erad o
0,055
Conceptos básicos
Los rendimientos esperados son 0.175 para Supertech y 0.055 para Slowpoke, y sus
desviaciones son 0.2586 y 0.1150 respectivamente.
Para calcular la covarianza:
Cov ( R A R B ) 
 (R
u
 R A ) * (R u  R B )
N
Para calcular la correlación:
 
Cov  R A R B
 A * B

Conceptos básicos
E stad o
D eprecion
R ecesion
N orm al
A uge
Cov
C o rrela.
T asa d e
D esviacio n d e
T asa d e
D esviacio n d e
P ro d u cto
ren d im ien to
ren d im ien to
ren d im ien to
ren d im ien to
d e las
S u p ertech
esp erad o
S lo w p o ke
esp erad o
d esviacio n es
R AT
(R AT -R A )
R BT
(R B T -R B )
(R AT -R A )*(R BT _R B )
-0,2
0,1
0,3
0,5
-0,375
-0,075
0,125
0,325
0,05
0,2
-0,12
0,09
-0,005
0,145
-0,175
0,035
0,001875
-0,010875
-0,021875
0,011375
-0,0195
0,175
0,055
0,2586
0,115
-0,00488
-0,16393
Si los dos rendimientos se relacionan positivamente entre si, tendrán una covarianza positiva; y
si se relacionan de forma negativa entre si, su covarianza será negativa. Por ultimo, si no se
relacionan, la covarianza debería ser cero.
Una covarianza de -0.004 implica que es probable que el rendimiento sobre una acción este
por encima de su promedio, cuando el rendimiento sobre la otra este por debajo de su
promedio, y viceversa. Sin embargo, es difícil interpretar el tamaño de la cantidad. La
covarianza es como la varianza.
El rendimiento y el riesgo
de los portafolios
Suponga que un inversionista tiene estimados de los rendimientos esperados
y las desviaciones estándar sobre instrumentos individuales, y las
correlaciones entre ellos. Entonces, ¿como elige el inversionista la mejor
combinación o portafolio de instrumentos?
Obviamente, el inversionista preferirá un portafolio con un mayor rendimiento
esperado y una menor desviación estándar del rendimiento.
El rendimiento y el riesgo
de los portafolios
El rendimiento esperado sobre un portafolio
Es simplemente un promedio ponderado de los rendimientos esperados sobre
los instrumentos individuales.
Considerando a las empresas Supertech y Slowpoke y que el inversionista con $100 invierte
$60 en Supertech y $40 en Slowpoke, el rendimiento esperado sobre el portafolio es:
Re n dim iento  0 , 6 * 17 . 5 %  0 , 4 * 5 . 5 %  12 . 7 %
El rendimiento y el riesgo
de los portafolios
Varianza y desviación estándar de un portafolios
La formula de la varianza de un portafolios compuesto por dos instrumentos,
A y B es:
Var ( portafolio s )  X A A  2 X A X B  AB  X B  B
2
2
2
2
Considerando el ejemplo anterior:
Var ( portafolio s )  0 ,36 * 0 , 066875  2 * ( 0 , 6 * 0 , 4 * (  0 , 004875 ))  0 ,16 * 0 , 013225
Var ( portafolio s )  0 , 023851
DE ( portafolio s ) 
0 , 023851  0 ,1544  15 , 44 %
El rendimiento y el riesgo
de los portafolios
El efecto diversificación
Es didáctico comparar la desviación estándar del portafolios con la desviación
estándar de los instrumentos individuales. El promedio ponderado de las
desviaciones estándar de los instrumentos individuales es::
Promedio
Ponderado
 X A A  X B B
Promedio
Ponderado
 0.6 * 0.2586  0.4 * 0.115
Promedio
Ponderado
 0.2012
La desviación estándar del portafolios (15.44%) es menor que el promedio
ponderado de las desviaciones estándar de los instrumentos individuales
(20.12%)
El conjunto eficiente con
dos activos
Los resultados sobre los rendimientos esperados y las desviaciones estándar
se muestran a continuación:
Rendimiento promerio %
20,00%
18,00%
Supertech
16,00%
14,00%
12,00%
10,00%
8,00%
6,00%
Slowpoke
4,00%
2,00%
0,00%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
Desviacion estandar %
25,00%
30,00%
El conjunto eficiente con
dos activos
La elección de 60% y 40% es sólo una de la infinidad de portafolios que pueden crearse. El
conjunto de portafolios se traza a continuación:
20,00%
Supertech
Rendimiento promedio %
18,00%
16,00%
14,00%
12,00%
10,00%
VM
8,00%
6,00%
Slowpoke
4,00%
2,00%
0,00%
0,00%
VM = varianza minima
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
Desviacion estandar %
25,00%
30,00%
El conjunto eficiente de
diversos instrumentos
Cuando los inversionistas suelen tener mas de dos instrumentos, observamos lo siguiente:
Rendimiento
esperado del
portafolios
Conjunto eficiente
(VM – X)
X
R
2
3
1
VM
W
Desviación estándar
del rendimiento del
portafolios
El conjunto eficiente de
diversos instrumentos
Varianza y desviación estándar en un portafolios con muchos activos
La formula para calcular la varianza de un portafolios con muchos activos
puede verse como una extensión a la formula de la varianza de dos activos:
Accion
1
1
X 1 1
2
X 2 X 1 Cov ( R 2 R1 )
3
X 3 X 1 Cov ( R 3 R1 )
2
2
2
3
X 1 X 2 Cov ( R1 R 2 )
X 1 X 3 Cov ( R1 R 3 )
X 1 X N Cov ( R1 R N )
X 2 X 3 Cov ( R 2 R 3 )
X 2 X N Cov ( R 2 R N )
X 2 2
2
2
X 3 X 2 Cov ( R 3 R 2 )
…
X 33
2
2
N
X 3 X N Cov ( R 3 R N )
.
.
N
X N X 1 Cov ( R N R1 ) X N X 2 Cov ( R N R 2 ) X N X 3 Cov ( R N R 3 )
X N N
2
2
Diversificación
No todo el riesgo puede diversificarse.
Varianza del
rendimiento
del portafolios
Riesgo diversificable,
Riesgo único o riesgo
no sistemático
Var
Cov
Riesgo del portafolios,
Riesgo del mercado
O riesgo sistemático
1
2
3
4
Cantidad de
Instrumentos
Diversificación
RIESGO SISTEMÁTICO
El riesgo sistemático, o riesgo de mercado, es aquel que afecta a todo el
mercado.
RIESGO NO SISTEMÁTICO
El riesgo no sistemático se asocia específicamente con el proyecto,
empresa o pequeño grupo de empresas.
Solicitud y concesión de
prestamos sin riesgo
Un inversionista podría combinar una inversión riesgosa con una inversión en
un instrumento sin riesgo.
La señorita Bagwell piensa invertir de sus $1,000, $350 en acciones comunes de Merville
Enterprise y $650 en activos libres de riesgo
Acciones
Comunes
De Merville
Activo
Libre
De riesgo
Rendimiento esperado
14%
10%
Desviación estándar
0.20
0
Rendimiento esperado = (0.35*0,14) + (0.65*0.10) = 0.114
Solicitud y concesión de
prestamos sin riesgo
La formula de la varianza de un portafolios compuesto por dos instrumentos,
A y B es:
Var ( portafolio s )  X A A  2 X A X B  AB  X B  B
2
2
2
2
Sin embargo, como el activo libre de riesgo no tiene variabilidad, entonces, la
expresión se reduce:
Var ( portafolio s )  X A  A
2
2
Var ( portafolio s )  ( 0 ,35 ) * ( 0 . 20 )  0 . 0049
2
DE  X A  A
DE  0 . 35 * 0 . 20
DE  0 . 07
2
Solicitud y concesión de
prestamos sin riesgo
Suponga que, alternativamente la señorita Bagwell solicita $200 en
prestamos con una tasa libre de riesgo. Si combinamos esto con su cantidad
original de $1,000, invierte un total de $1,200 en Merville; su rendimiento
esperado seria:
RE  1 . 20 * 0 ,14  (  0 , 2 * 0 . 10 )
RE  14 . 8 %
DE  1 . 2 * 0 . 2  0 . 24
El rendimiento de 14.8% es mayor que 14%, esto porque ella solicita el
prestamo a 10% para invertir en un instrumento con un rendimiento esperado
mayor que 10%
Solicitud y concesión de
prestamos sin riesgo
120% en Merville Enterprise
-20% en activos libres de riesgo
(solicitud de prestamos a una tasa
libre de riesgo)
Rendimiento esperado
Del portafolios (%)
Merville Enterprise
14
10 = Rf
35% en Merville Enterprise
65% en activos libres de riesgo
Solicitud de prestamos para
Invertir en Merville cuando la tasa
de solicitud del préstamo sea
mayor que la de concederlo
20
Desviación estándar
Del rendimiento del
Portafolio (%)
Solicitud y concesión de
prestamos sin riesgo
Portafolios óptimos
Rendimiento
esperado del
portafolios
Linea II (linea del
Mercado de capitales)
5
Y
A
4
Tasa libre de
Riesgo Rf
Q
2
1
X
70% en al activo sin riesgo
30% en acciones
Representadas por Q
3
Línea I
-40% en el activo sin riesgo
140% en acciones
35% en el activo sin riesgo
65%en acciones
Desviación estándar
del rendimiento del
portafolios
La relación entre el riesgo y el
rendimiento esperado (CAPM)
El rendimiento esperado del mercado
El rendimiento esperado del mercado se puede expresar como:
R M  R F  Prima de riesgo
El rendimiento esperado de un instrumento individual
La BETA mide la sensibilidad de un instrumento a los movimientos en el
portafolio de mercado. Acciones con betas mayores que 1,0 tienden a
amplificar los movimientos conjuntos del mercado. Acciones con betas entre 0
y y 1,0, tienden a moverse en la misma dirección que el mercado, pero no tan
lejos. Por supuesto, el mercado es la cartera de todas las acciones, por lo
tanto la acción media tiene una beta de 1,0.
La relación entre el riesgo y el
rendimiento esperado (CAPM)
Su formula es:
 
COV ( R i , R M )
 ( RM )
2
La Beta de un instrumento es la medida apropiada del riesgo en un portafolios
grande y diversificados.
Puesto que muchos inversionistas están diversificados, el rendimiento
esperado de un instrumento debe estar relacionado positivamente con su
beta.
La relación entre el riesgo y el
rendimiento esperado (CAPM)
Rendimiento esperado
Del instrumento (%)
Línea del mercado de valores (LMV) es la descripción grafica del
modelo de asignación de precios de equilibrio (CAPM)
M
Rm
Rf
T
S
Beta del instrumento
0
0.8
1
La relación entre el riesgo y el
rendimiento esperado (CAPM)
Modelo de asignación de precios de equilibrio
R  R F   * R M  R F
Rendimiento
esperado
de un
instrumento
Tasa
libre de
riesgo
Beta
del
instrumento

Diferencia entre el rendimiento
esperado del mercado y la
tasa libre de riesgo
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Clase 16 Rendimiento y Riesgo