Física:
Repaso Matemático, Vectores y
Sistemas de Referencia
Dictado por:
Profesor Aldo Valcarce
2do semestre 2014
FIS109A – 2: Física
2do semestre 2014
Fechas de pruebas
C1: Miércoles 13 de agosto (8:30 hrs cátedra)
C2: Viernes 29 de agosto (14:00 hrs)
I1: Lunes 8 septiembre (18:30 hrs)
C3: Viernes 26 de septiembre (14:00 hrs)
C4: Viernes 3 de octubre (14:00 hrs)
I2: Lunes 13 octubre (18:30 hrs)
C5: Viernes 24 de octubre (14:00 hrs)
I3: Lunes 10 noviembre (18:30 hrs)
C6: Viernes 14 de noviembre (14:00 hrs)
Ex: Martes 2 diciembre (8:30 hrs)
FIS109A – 2: Física
2do semestre 2014
Repaso Matemático
Notación científica: es un modo conciso de representar números mediante la técnica
llamada coma flotante aplicada al sistema decimal.
100 = 1; 101 = 10; 102 = 100; 103 = 1000; 104 = 10000
El resultado de la potencia  es igual a la unidad () seguida de  ceros.
En el caso de una potencia entera negativa − es igual a / , o equivalentemente ‘0, ( −
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Repaso Matemático
Notación científica – Operaciones Matemáticas
 Adición: se suman los coeficientes y se mantiene el exponente, por lo que siempre se debe
tener el mismo exponente.
5 × 105 + 4 × 105 =
9 × 105
−8 × 103 + 3 × 104 = −8 × 103 + 30 × 103 =
22 × 103 =
2,2 × 104
 Multiplicación: se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes
(3 × 105 ) × (4 × 102 ) = 12 × 107
= 1,2 × 108
 División: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes
(6 × 103 )/(8 × 107 ) = 0,75 × 10−4 = 7,5 × 10−5
 Potenciación: se potencia el coeficiente y se multiplican los exponentes
(5 × 103 )3 = 53 × 103×3 = 125 × 109 = 1,25 × 1011
 Radicación: se obtiene la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz
3
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8 × 109 =
2 × 103
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Repaso Matemático
Despejar variables de una ecuación
Muchas de las ecuaciones típicas que se verán en clases tienen las siguientes formas:
Problema:
 = ℎ
se quiere despejar ℎ
Solución:
Nos damos cuenta que tanto  y  están multiplicando ℎ, por lo
cual pasan dividiendo al otro lado:

ℎ=

 =  +  se quiere despejar 
2
 =

Sabemos que  que está sumando pasa al otro lado restando 
 −  =  ; y ahora  que está multiplicando pasa al otro lado
dividiendo:
=
se quiere despejar 
 − 

Como  está dividiendo pasa al otro lado multiplicando    =
 2 ; ahora sacando la raíz cuadrada a ambos lados:
 =  
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Repaso Matemático
Despejar variables de una ecuación
Muchas de las ecuaciones típicas que se verán en clases tienen las siguientes formas:
Problema:
Solución:
2  = 2 − 2 se quiere despejar 
Como el término 2 está restando pasa al otro lado sumando 
2  + 2 = 2 ; ahora se saca la raíz cuadrada a ambos lados
quedando:
2 + 2
 =
 2
 =  − 
2
se quiere encontrar 
En este caso, como  no se puede despejar directamente, se deberá
recurrir a la ‘solución de la ecuación cuadrática’, la cual indica que si
se tiene una ecuación de la forma  2 +  +  = 0, los posibles
valores de  serán:
Hay que reescribir adecuadamente esta
ecuación:
 2
 −  +  = 0
2
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 = ;  = −;  = 
2
− ± 2 − 4
=
2
 ±  2 − 2
=

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Repaso Matemático
Transformación de unidades
Muchas veces en física se necesitará cambiar de unidades para lo cual se utiliza el ‘factor de conversión’,
donde
  ×   ó =  
Por ejemplo, se quiere cambiar 2 horas a minutos
Se quiere cambiar 30 cm a metros
O cambiar 120 km/hr a m/s
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Repaso Matemático
Transformación de unidades
Un poco más complicado es cuando se deben cambiar unidades que se encuentran elevadas a alguna
potencia.
Por ejemplo, cambiar un volumen de 0,4 3 a  (1  = 1 3 )
100 
0,4 ()3 = 0,4  ×
1 
3
= 0,4 × 1003 × 3
= 4 × 105 
También se puede querer cambiar 500  2  −3 ℎ −1 al sistema MKS
2
500
= 500
 3 ℎ
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0,4536  2
 ×
1 
0,305  3
3600 
 × 1 
× ℎ ×
1 ℎ
0,20572
= 500 ×
0,028373 × 3600 
2
= 1,007 3
 
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Ejercicio Propuesto
¿Cuántas botellas de coca-cola de 200 cc se necesitan para tener un metro
cúbico (1 3 ) de coca-cola?
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Vectores y Sistemas de Referencia
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Magnitudes Físicas
 Escalares: definidos por un número
Ej.: masa, tiempo, presión, temperatura, energía, voltaje,…
 Vectoriales: definidas por magnitud, dirección y sentido
Ej.: fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento, campo eléctrico, campo
magnético, …
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Sistemas de Referencias
Un sistema de referencia (o marco de referencia) es un conjunto de convenciones usadas
por un observador para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un sistema físico y
de mecánica.
¿Cómo informarle a otra
persona la posición de un punto
en una hoja?
El punto B se encuentra en: (6 en
x , 5 en y) ó (6, 5).
Coordenadas Cartesianas o
rectangular (x, y).
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Sistemas de Referencias 2
En ocasiones es más conveniente representar un punto de acuerdo a sus coordenadas polares
(r,θ).
La estrella se encuentra en: (13 en r ,
23° en θ) ó (13, 23°).
Coordenadas Polares (r,θ).
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Sistemas de Referencias 3
Las transformaciones de las coordenadas cartesianas a las polares (y viceversa) se pueden realizar
usando las siguientes relaciones trigonométricas.
y

sen θ =


cos θ =


tan θ =

r = 2 + 2
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r
θ
x
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Vector Geométrico
Sentido
A
Magnitud: largo del vector
Dirección
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Propiedades de vectores: Igualdad
Tienen igual
magnitud,
dirección y
sentido
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Propiedades de vectores: Suma
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Ejemplo: suma de dos vectores
Si una persona camina 3
metros al este y luego 4
metros al norte
¿Cuál es la distancia desde el
punto inicial?
¿Cuál es la dirección?
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Suma de vectores: regla del
paralelogramo
La suma de dos vectores que parten desde el mismo origen es la diagonal del paralelogramo que
forman sus proyecciones.
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Suma de 4 vectores
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La suma es conmutativa
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La suma es asociativa
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Ejemplo 1
Pasos:
1.- Hacer figura.
2.- ¿Qué se busca?
3.- ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector AC ?
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Vectores: Neutro, Inverso y Resta
inverso
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neutro
Ponderación: Multiplicación por un
escalar
λA
A
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2A
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Componentes de un vector
Se definen los vectores
unitarios i y j que indican la
dirección en los ejes x e y,
respectivamente.
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Signos de las componentes
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Componentes de un vector
Se definen los vectores
unitarios i y j que indican la
dirección en los ejes x e y,
respectivamente.
Representación de los vectores que
conectan los puntos:
FIS109A – 2: Física
D y B:
6+5
D y A:
−5  + 3 
D y C:
4,5  − 3,5 
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Se conocen las componentes: ¿cuáles son
las magnitud y dirección?
Magnitud
Dirección:
tan  
Ay
Ax
Φ
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θ
tan  
Ax
Ay
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Se conocen la magnitud y dirección: ¿cuáles son las
componentes?
En esta figura:
A x  A cos 
A y  A sin 
y
Ax  0 , A y  0
Entonces, usando el ángulo
Tenemos:
ϕ
θ
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θ
Base de vectores en cartesianas
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Suma de Vectores por componentes
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Suma de Vectores por componentes
R=A+B
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Ponderación: Multiplicación por un
escalar
λA
A
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2A
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Ejemplo 1: continuación
Pasos:
1.- Hacer figura.
2.- ¿Qué se busca?
3.- ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector AC ?
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Ejemplo 2
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Resumen
 Repaso matemático.
 Las magnitudes físicas pueden ser escalares o vectoriales.
 La posición en un plano se puede representar en el sistemas de coordenadas i)
cartesianas o ii) polares.

sen θ =


cos θ =


tan θ =

r =   + 
 Repaso de vectores:
 Se pueden sumar y restar entre si.
 Se pueden ponderar (multiplicar por un escalar).
 Se pueden descomponer dependiendo del sistema de referencia.
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Clase 2: Vectores