Física
Movimiento en 2 dimensiones
Dictado por:
Profesor Aldo Valcarce
2do semestre 2014
FIS109A – 2: Física
2do semestre 2014
Ejemplo 1
Una piedra se deja caer de un acantilado de 100 metros de altura. Si la velocidad
inicial de la piedra es nula:
a)
b)
c)
Determinar el tiempo que demora la piedra en llegar al suelo.
Determinar la velocidad final de la piedra.
Determinar cuanta distancia recorre la piedra durante el último segundo.
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Ejemplo 2
Una persona lanza una piedra hacia arriba desde el techo de un edificio con una
velocidad inicial de 20 m/s. Si el edificio tiene 50 m de altura y la piedra no es
agarrada por la persona cayendo hacia el suelo calcule los siguientes datos de la
piedra:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Tiempo necesario para alcanzar la altura máxima.
Altura máxima.
Tiempo necesario para que la piedra regrese a la altura desde donde fue
arrojada.
La velocidad de la piedra en el instante de c).
Velocidad y posición de la piedra luego de 5 s.
Tiempo necesario para que la piedra llegue al suelo.
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Ejercicio Propuesto
Una persona se encuentra en el piso 8 de un edificio a 24 metros del suelo y ve pasar
por afuera de su ventana un objeto hacia arriba a una velocidad de 50 metros por
segundo.
a)
b)
c)
Determine la altura máxima a la que llega el objeto.
Determine el tiempo en que el objeto llega a su altura máxima.
Determine el tiempo en que el objeto llega de vuelta al suelo.
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Movimiento en 2 Dimensiones
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Definición de posición y velocidad en 2D
La posición de un objeto en 2-D.
y
Posición
 =  + 
 =  + 
∆


x
El vector
desplazamiento es
∆ =  −  = ∆ + ∆
El vector velocidad
es
∆
=
∆
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∆
 =
∆
∆ =  − 
∆ =  − 
∆
 =
∆
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Movimiento en 2-D: Ejemplo
Un explorador camina 10 km al norte y después 5 km en una dirección de 30°
al sur del este. ¿Cuál es su desplazamiento total?
N
30°
1
2
Si ese desplazamiento fue realizado
en 4 horas ¿Cuál fue la velocidad
promedio?
∆
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Definición de velocidad instantánea en 2D
∆
 = lim
∆→0 ∆
En la figura la velocidad instantánea sería
representada por la diferencia entre
a)
un vector muy cercano al vector P y
b)
el vector P,
dividido por el tiempo requerido para hacer
ese desplazamiento.
Se define la rapidez () como la magnitud del vector de velocidad instantánea.
= 
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=
(, − , )2 + (, − , )2
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Definición de aceleración en 2D
∆  − 
=
=
∆
 − 
∆
 = lim
∆→0 ∆
Pueden ocurrir varios cambios cuando un cuerpo se acelera:
1.
La magnitud del vector velocidad (la rapidez ) puede cambiar con .
2.
La dirección del vector velocidad puede cambiar con , pero su magnitud ()
permanece constante.
3.
La magnitud como la dirección pueden cambiar simultáneamente.
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Velocidad en 2D con aceleración constante
La velocidad final  de un cuerpo con velocidad inicial  y
una aceleración constante  será:
 =  +  × 
 = ,  + ,  +   +   × 
 = , +  ×   + , +  ×  
Eje x
, = , +  × 
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Eje y
, = , +  × 
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Posición en 2D con aceleración constante
La velocidad final  de un cuerpo con posición inicial  ,
velocidad inicial  y una aceleración constante  será:
1
 =  +  ×  +  ×  2
2
1
  +   ×  2
2
1
 +  + , ×  +  ×  2 
2
 =   +   + ,  + ,  ×  +
1
 =  + , ×  +  ×  2
2
Eje x
1
 −  = , ×  +  ×  2
2
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Eje y
1
 −  = , ×  +  ×  2
2
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Ecuaciones de Movimiento en 2D
Eje x
Eje y
1
 −  = , + , × 
2
1
 −  = , + , × 
2
, = , +  × 
, = , +  × 
1
 −  = , ×  +  ×  2
2
1
 −  = , ×  +  ×  2
2
, 2 = , 2 + 2  − 
, 2 = , 2 + 2  − 
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Ejemplo: Mov. 2D con  constante
Una partícula parte del origen en  = 0 con una velocidad inicial que
tiene una componente  de 20 m/s y una componente  de -15 m/s. La
partícula se mueve en el plano  solo con una componente de
aceleración , dada por  = 4,0 m/s2.
a)
Determine las componentes del vector velocidad en cualquier
tiempo y el vector velocidad total en cualquier tiempo .
b)
Calcule la velocidad y la rapidez de la partícula en =5 s.
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Proyectiles
 Movimiento 2-D
 Aceleración vertical
 = −
 Aceleración horizontal
 = 0
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Componentes de  en proyectiles
En este caso, con el sistema de coordenadas que se muestra
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 = − 
Independencia de las componentes
Fotografía de múltiple exposición que muestra la posición
de dos esferas a intervalos iguales de tiempo. Una se dejó
caer desde una posición de reposo y la otra se lanzó
horizontalmente.
Se ve que la altura (y por lo tanto el
desplazamiento vertical) de las esferas es la
misma.
El movimiento en la dirección vertical no se
entera de lo que pasa en la dirección horizontal.
Los movimientos vertical y horizontal son
independientes.
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Componente horizontal no cambia
 y  son independientes:
 es constante ( = 0).
, = , −  ∆
 =   +  
Entonces, la magnitud de  aumenta y
su dirección cambia.
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Proyectiles: Ejemplo 1
2,0 m/s
1,5 m
∆x
Una pelota rueda sobre una mesa con velocidad 2,0 m/s. Cae del borde da
la mesa. ¿A qué distancia, ∆, de la mesa llega la pelota al suelo?
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Proyectiles: Ejemplo 2
Se lanza una pelota al aire y 5,0 s después llega al suelo a una
distancia horizontal de 30 m. ¿Con qué ángulo fue lanzada?
y
a
x
∆x=30 m
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Proyectiles: Ejemplo 3
100 m/s
37°
Se dispara un proyectil desde la orilla de un
acantilado de 140 m de altura con una velocidad de
100 m/s a un ángulo de 37° con la horizontal.
140 m
a) Calcule el alcance ∆x, del proyectil.
b) Calcule el tiempo que tarda el proyectil en llegar al nivel del acantilado
c) Calcule la rapidez y la dirección de la velocidad final.
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Proyectiles: Ejercicio 4
¿Qué ángulo de lanzamiento maximiza el alcance de un proyectil? (se supone ∆y =0)
  45
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o
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Resumen
Se definieron los vectores posición , desplazamiento ∆, velocidad  y aceleración  en 2
dimensiones.
El movimiento en 2 dimensiones se puede descomponer como si fuese un vector. La posición
está definida como:
1
 =  + , ×  +  ×  2
2
1
 +  + , ×  +  ×  2 
2
En el movimiento de proyectiles:
 es constante ( = 0).
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, = , −  ∆
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