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¿QUÉ ES LA CINEMÁTICA?
La cinemática es la parte de la física que
estudia el movimiento de los cuerpos sin tener
en cuenta las causas que lo producen
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¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO?
Decimos que un cuerpo se mueve cuando cambia de lugar.
La localización de un punto en el espacio respecto de otro
punto que tomamos como referencia (P.R.) recibe el
nombre de posición.
Para saber si un cuerpo se encuentra en movimiento, es
necesario fijar su posición en un instante determinado
respecto al P.R.. Si su posición varía con el tiempo, decimos
que, respecto a ese punto, el objeto está en movimiento.
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DEL
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MOVIMIENTO
EL OBJETO QUE SE MUEVE: UN PUNTO MATERIAL
EL SISTEMA DE REFERENCIA
TRAYECTORIA DESCRITA POR UN MÓVIL
EL OBJETO QUE SE MUEVE: UN PUNTO MATERIAL
Para simplificar el estudio del movimiento
prescindiremos de todos los componentes del
cuerpo y de sus dimensiones y lo trataremos como si
fuera un punto material.
EL SISTEMA DE REFERENCIA
Para determinar la posición de un punto en cualquier
instante es necesario fijar otro punto en el espacio como
referencia, es decir, el punto de referencia (P.R.)
• El punto de referencia puede ser cualquier objeto, real o
imaginario.
• Si el punto de referencia está en reposo o se mueve con
velocidad constante decimos que es un sistema de
referencia inercial. Podemos considerar la Tierra como un
sistema de referencia inercial.
Sistema cartesiano de referencia
En el plano
En el espacio
Este sistema está formado por un punto
en el espacio y tres ejes concurrentes
TRAYECTORIA DESCRITA POR EL MÓVIL
El punto P(x,y,z) estará en reposo
respecto a O si sus coordenadas
permanecen constantes con el tiempo.
Cuando el punto P se mueve, sus
coordenadas van tomando distintos
valores con el tiempo.
Ejemplos: rastro que deja un caracol, un avión,…
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MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO
Conocimientos
Previos
Las magnitudes necesarias para el estudio del movimiento
pueden ser:
 MAGNITUDES ESCALARES
 Espacio recorrido
Tiempo
 MAGNITUDES VECTORIALES
 Posición
 Desplazamiento
 Velocidad
 Aceleración
 MAGNITUDES ESCALARES
Para ser definidas sólo necesitamos conocer su
valor numérico y la unidad correspondiente
Espacio recorrido
Tiempo
Ejemplo: El autobús recorrió 72 Km en 55 minutos
 MAGNITUDES VECTORIALES
Se representan por vectores (segmentos orientados)
Para ser correctamente definidas necesitamos conocer
su:
 Punto de aplicación u origen
 Módulo, intensidad o valor numérico y su unidad
Dirección o posición espacial del vector (línea en la
que se apoya el vector)
Sentido, que viene indicado por la punta de la flecha
Elementos de un vector
SENTIDO
DIRECCIÓN
PUNTO DE APLICACIÓN
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MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO
VECTOR DE POSICIÓN
VECTOR DESPLAZAMIENTO
ESPACIO RECORRIDO
VELOCIDAD
ACELERACIÓN
VECTOR DE POSICIÓN
Existen dos formas de localizar un punto (P) en el espacio:
 Coordenadas cartesianas P(x,y,z)
Con un vector de posición, r, es un vector que une el
origen del S.R. con el punto P. El origen de este vector
se halla siempre en el origen de coordenadas y su
extremo coincide en cada instante con la posición
del punto móvil.
VECTOR DE POSICIÓN
z
P(x,y,z)
r
k
i 0 j
x
y
Ejemplos
En una dimensión
En el plano
P(3,0,0)
y
P(3,2,0)
x
Donde
son vectores
unitarios que tienen la dirección
de los ejes , x, y, z, respectivamente
y sentidos positivos
x
El módulo del vector de posición se calcula
Vector de posición
Módulo o valor
numérico
VECTOR DESPLAZAMIENTO
Si en un instante determinado
un móvil se encuentra en la
posición Po (xo, yo, zo) y al cabo
de cierto tiempo su posición es
P1 (x1, y1, z1) diremos que el
móvil se ha desplazado desde el
punto Po al P1. Este cambio de
posición viene definido por el
vector desplazamiento,
z
Po(xo,yo,zo)
P1(x1,y1,z1)
o
y
x
  
 r  r1  r0
El vector desplazamiento es un vector
que
tiene su origen en la posición inicial del móvil y su extremo
en la posición final.
El vector desplazamiento es la diferencia entre el vector
de posición final y el vector de posición inicial, o, lo que
es lo mismo el incremento del vector de posición.
Observa que el vector de desplazamiento sólo interviene
en las posiciones inicial y final del móvil, es
independiente de la trayectoria seguida para pasar de
una posición a otra.
El módulo del vector desplazamiento proporciona la
distancia que el objeto se desplaza en línea recta. En
general esa distancia no coincide con la distancia
recorrida por el cuerpo, a no ser que lleve movimiento
rectilíneo y que no varíe de sentido
ESPACIO RECORRIDO
• El espacio recorrido es la longitud de la
trayectoria que ha seguido el móvil. Es una
magnitud escalar.
ESPACIO RECORRIDO
P1
P2
VECTOR
DESPLAZAMIENTO
TRAYECTORIA
VELOCIDAD
Para determinar el movimiento de una partícula es
necesario conocer como varía su posición en el
transcurso del tiempo. La velocidad es la magnitud
que relaciona el desplazamiento con el tiempo. La
velocidad es una magnitud vectorial, primero
estudiaremos el concepto de velocidad media
VECTOR VELOCIDAD MEDIA
Suponemos que la posición del
objeto en el instante inicial (to)
viene determinada por el vector
, y en instante t, ocupa la
posición determinada por el
vector
, así tenemos que
la velocidad media es:
z
to
t
o
x
y
• El vector
tiene la misma dirección y
sentido que el vector desplazamiento
• En el S.I. el módulo de la velocidad media se
expresa en metros cada segundo (m/s)
• Si queremos describir el movimiento de un
objeto en cada instante, la velocidad media no
nos es útil, por ello debemos aprender a
calcular la velocidad instantánea.
VECTOR VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Para calcular la velocidad con la que se
mueve el objeto en cualquier instante,
podemos ir reduciendo el intervalo de
tiempo considerado en el cálculo de la
velocidad media hasta conseguir que sea
prácticamente nulo.
z
Así observamos que:
• A medida que se reduce el intervalo
de tiempo, el módulo del vector
desplazamiento se aproxima más y
más a la distancia recorrida
• El vector velocidad instantánea es
tangente a la trayectoria en cualquier
punto de esta. (Ver la siguiente
diapositiva)
y
x
Matemáticamente, el proceso anterior es el siguiente:
La velocidad instantánea es el
valor al que tiende la velocidad
media al ir aproximando a cero
el intervalo de tiempo
Este proceso es lo que se llama
cálculo de la derivada del vector
de posición respecto del tiempo
Si conocemos la ecuación de posición
podemos obtener
con facilidad la velocidad en cada instante derivando respecto del
tiempo:
Vector de posición
Derivamos respecto
del tiempo
Obtenemos la
Velocidad Instantánea
El Módulo de la
velocidad instantánea
o rapidez
RESUMEN DE LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA
• Es la derivada del vector de posición respecto al
tiempo.
• Es un vector tangente a
la trayectoria en el punto
donde se encuentra el
móvil
Algo básico para que puedas derivar
POPIEDADES DE LA DERIVADA
Derivada de la suma
de dos funciones
Derivada del producto
de dos funciones
FUNCIÓN

dt
dy

dt
d ( y ·z )

dy
dt
·z 
dt
dz
dt
dz
y
dt
DERIVADA DE LA FUNCIÓN
y  a
y  a·t
d ( y  z)
(cte )
n
dy

d (a )
dt
dt
dy
d ( a·t )
dt
0
n

dt
 n·a·t
n 1
ACELERACIÓN
La aceleración es la variación de la velocidad con el
tiempo. Como la velocidad es un magnitud vectorial
puede variar en módulo
(aumentando o
disminuyendo), sentido y en dirección.
Ejemplos de movimientos en los que hay aceleración
Caso 1: Velocidad cambia de sentido
Lanzamos una pelota horizontalmente con una velocidad de 10 m/s
sobre una pared. La pelota rebota con la misma velocidad
Caso 2: El módulo de la Velocidad aumenta
Un coche se mueve con una velocidad de 30 km/h acelera hasta alcanzar
una velocidad de 100 km/h
Vo=30 km/h
Vf=100 km/h
Caso 3: El módulo de la velocidad disminuye
Un coche que se mueve con una velocidad de 50 km/h frena ante un
obstáculo hasta pararse
Caso 4: La dirección de la velocidad cambia constantemente
Un coche toma una curva con
rapidez constante de 45 km/h
ACELERACIÓN MEDIA
La velocidad de un móvil no pueden pasar instantáneamente de
un valor a otro, siempre cambia gradualmente a lo largo del
tiempo. El intervalo de tiempo puede ser largo o corto, es decir
el cambio de la velocidad puede ser lento o brusco.
La aceleración informa cómo varía la velocidad con relación al
tiempo (cambio brusco o lento de la velocidad.
La aceleración media es:
En el S.I. el módulo de la aceleración media se expresa en
metros por segundo en cada segundo (m/s2).
Ejemplo:
• Si un coche lleva una aceleración de 2m/s2,
significa que en cada segundo la velocidad
aumenta 2m/s
• Si un objeto lanzado hacia arriba lleva una
aceleración de -9,8 m/s2, significa que en
cada segundo la velocidad disminuye 9,8
m/s
Como el incremento del tiempo
es un escalar siempre positivo, la
aceleración media es un vector que tiene la misma dirección y sentido que el
incremento de velocidad
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
Si el intervalo de tiempo se hace infinitamente pequeño,
hablamos de aceleración instantánea.


a  lim a m  lim
t  0
t  0

v
t
La expresión anterior se corresponde con la derivada del vector
velocidad con respecto del tiempo:

a 

dv
dt
En forma desarrollada:
 dv  dv y  dv 


x
z
a  axi  a y j  azk 
i 
j
k
dt
dt
dt
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN
La aceleración es la magnitud que mide la variación del
vector velocidad por unidad de tiempo, esta variación
puede ser debida a:
– Variación del módulo de la velocidad
– Variación de la dirección de la velocidad (en
movimientos curvilíneos).
Sabemos que la velocidad instantánea es tangente a la
trayectoria. Por tanto, en cada punto se conoce bien su
dirección. Pero ¿cuál es la dirección de la aceleración
instantánea? ¿Es tangente a la trayectoria?
Dirección de la
velocidad instantánea
Como el incremento del tiempo
es un escalar siempre positivo, la
aceleración media es un vector que tiene la misma dirección y sentido que el
incremento de velocidad
La variación de velocidad se obtiene gráficamente uniendo los extremos de
Las velocidades inicial y final
Si en lugar de utilizar las coordenada cartesianas, elegimos un
sistema de referencia ligado a la propia trayectoria podemos
facilitar el estudio del movimiento.
Este nuevo sistema de referencia lo llamamos “Sistema de
referencia intrínseco a la trayectoria” y está formado por un
punto de la trayectoria y dos vectores unitarios , uno con la
dirección tangente a la trayectoria y otro con la dirección
normal o perpendicular a la tangente en ese punto.

un
Sistema de referencia
intrínseco a la trayectoria

ut
Dirección tangente
Dirección perpendicular
Relación entre la aceleración total y las dos
componentes : aceleración tangencial y normal
Suponemos un móvil puntual
que se desplaza en un instante
determinado con una velocidad

v .
Este vector puede
expresarse como el producto de
su módulo
por un vector

unitario u t en la dirección y
sentido de la velocidad, (por
tanto, tangente a la trayectoria
y sentido del movimiento), al


que llamaremos v  v·u t

ut

v
Por tanto la aceleración instantánea será:



d ( v·u t )
dut
dv 
a 

ut  v
dt
dt
dt
El primer sumando representa la
variación de la rapidez o módulo de la
velocidad y es por tanto la componente
que llamamos aceleración tangencial
El segundo sumando representa la
variación de la dirección de la
velocidad y es la componente que
llamamos aceleración normal.
Así tenemos:
 

a  at  a n

an

at

a
La aceleración tangencial at , mide el cambios en el módulo
de la velocidad, es un vector con las siguientes características
Módulo :
at 
dv
dt
Dirección: tangente a la
trayectoria en todo punto,
coincide la dirección del
vector velocidad).

an

at

a
Sentido: el mismo que el del movimiento si el módulo de
la velocidad aumenta y contrario al movimiento si el
módulo de la velocidad disminuye.

dv 
at 
ut
dt
La aceleración normal o centrípeta, an , mide el cambio en
la dirección de la velocidad, aparece en movimientos
curvilíneos, las características del vector aceleración normal
son:
Módulo , depende del radio y de la
rapidez del movimiento
Dirección, radial (perpendicular
a la tangente a la trayectoria )
Sentido, siempre hacia el centro
de la curvatura
an 

an
v
2
R

at

a
Como las dos aceleraciones son perpendiculares
entre sí, su composición vectorial permite
obtener la aceleración total:
 

a  at  a n
El módulo de la aceleración será:
a 
a a
2
t
2
n
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TEMA 7