1. Conceptos Fundamentales de Ecuaciones
diferenciales. Clasificación y concepto de solución.
2. Ecuaciones de segundo orden homogéneas:
Coeficientes constantes, Cauchy- Euler.
3. Ecuaciones de Segundo orden No Homogéneas:
Método de Variación de parámetros, Coeficientes
Indeterminados
4. Método de Series de Potencias: Ecuación
diferencial de Bessel, Hermite, Legendre,
Laguerre.
5. Función Gamma y Función error.
26
27
28
29
30
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
17
18
19
20
21
24
25
26
27
28
Viernes 28 de octubre
De 9:00 a 12:00 horas, en el salón donde fue
el PROPE
Ecuación diferencial lineal
no homogénea
Resolver la ecuación
homogénea asociada
Encontrar una solución
particular
Ecuación diferencial lineal homogénea
Coeficientes
constantes
Ecuación
característica
Coeficientes
variables
Reducción del orden por la
forma
Ecuación del tipo Euler
Inspiración
Reducción del orden por conocer
una solución
Solución mediante series de
potencias
Encontrar una solución particular de la ecuación no
homogénea
Coeficientes constantes
Coeficientes
indeterminados
Variación de
parámetros
Coeficientes variables
Variación de
parámetros
U na serie de potencias es una
serie infinita de la form a

 a x  x 
n
0
n
 a 0  a1  x  x 0   a 2  x  x 0  
n0
donde a 0 , a1 , a 2 , ... son constantes y
x 0 es un núm ero fijo.
2
U na serie de potencias

 a x  x 
n
0
n
 a 0  a1  x  x 0   a 2  x  x 0  
2
n0
es convergente en x si el lím ite
N
lim
N
 a x  x 
n
0
n0
existe y es finito.
n

U na serie de potencias
 a x  x 
n
n
0
 a 0  a1  x  x 0   a 2  x  x 0  
2
n0
N
es convergente en x si el lím ite lim
N

a n  x  x0 
n
ex iste y es finito.
n0
E n cualquier otro caso se dice
que la serie de potencias es
divergente.

U na serie de potencias
 a x  x 
n
n
0
 a 0  a1  x  x 0   a 2  x  x 0  
2
n0
N
es convergente en x si el lím ite lim
N

a n  x  x0 
n
ex iste y es finito.
n0
E n cualquier otro caso se dice que la se rie de potencias es divergente.
U na serie puede converger para ciertos
valores de x y diverger para otros.
S i la serie de potencias

 a x  x 
n
0
n
 a 0  a1  x  x 0   a 2  x  x 0  
2
n0
es convergente para toda x en el intervalo
x  x0  r
y es divergente siem pre que x  x 0  r ,
donde 0  r   , entonces r es llam ado el radio
de convergencia d e la serie de potencias.
L a serie d e p o ten cias

 a x  x 
n
n
0
n0
co n verg e ab so lu tam en te en el p u n to x ,
si la serie


a n  x  x0 
n0
co n verg e.
n



n0
an
x 
x0 
n

La serie de potencias
 a x  x 
n
0
n
converge
n0
absolutam ente en el punto x , si la serie


a n  x  x0 
n0
n



an
x 
x0 
n
n0
converge.
S i la serie converge absolutam ente, ento nces
la serie tam bién converge.
E l inverso no es necesariam ente cierto.
U na de las pruebas m ás útiles para la
convergencia absoluta de una serie de
potencias es la prueba de el cociente.
S i a n  0, y si, p ara u n valo r fijo d e x ,
lim
n 
a n 1  x  x0 
a n  x  x0 
n 1
n
 x  x 0 lim
n 
a n 1
an
 x  x0 L ,
en to n ces la serie d e p o ten cias co n verg e
ab so lu tam en te p ara aq u ello s valo res d e x tales
q u e x  x 0 L  1 y d iverg e si x  x 0 L  1 .
S i x  x 0 L  1, la p ru eb a n o n o s d a n in g u n a
co n clu sió n .
U n a fu n ció n f
 x  , d efin id a en
u n in tervalo I
q u e co n tien e a x 0 , es an alítica en el p u n to x 0
si f
x
p u ed e ser ex p resad a co m o u n a serie
d e p o ten cias (su serie d e T aylo r)

f
 x    an  x 
x0 
n
n0
q u e tien e u n rad io d e c o n verg en cia m ayo r
q u e cero .
•Los polinomios, el seno, el coseno y la
exponencial son analíticas en todos lados
•Sumas diferencias y productos de los
polinomios, el seno, el coseno y la
exponencial también son analíticas en todos
lados
•Cocientes de dos de estas funciones son
analíticas en todos los puntos en los cuales
el denominador no se hace cero
2
d y
dx
2
 P x
dy
dx
 Q x y   x
2
d y
dx
2
 P x
dy
dx
 Q x y   x
U n punto x 0 es llam ado un punto ordinario
de la ecuación diferencial si los coefic ientes
P  x  y Q  x  , así com o   x  son funciones
analíticas en x 0 .
2
d y
dx
2
 P x
dy
dx
 Q x y   x
U n punto x 0 es llam ado un punto ordinario de la ecuación diferencial si los
coeficientes P  x  y Q  x  , así com o   x  son funcione s analíticas en x 0 .
E s decir,
P x 

 P x  x 
n
n
0
n0
Q x 

 Q x  x 
n
n
0
n0
y
 x 

 x  x 
n
n
0
n0
son convergentes para x  x 0  r con r  0.
2
d y
dx
2
 P x
dy
dx
 Q x y   x
U n punto x 0 es llam ado un punto ordinario de la ecuación diferencial si los
coeficientes P  x  y Q  x  , así com o   x  son funcione s analíticas en x 0 .
S i un punto no es un punto ordinario,
se le llam a punto singular.
y   P  x  y   Q  x  y  0
E l punto x 0 es un punto sing ula r
de la ecuación diferencial si
P x o Q x
no son a nalíticas e n x 0 .
2
d y
dx
2
 P x
dy
dx
 Q x y   x
U n punto x 0 es llam ado un punto ordinario
de la ecuación diferencial si los coefic ientes
P  x  y Q  x  , así com o   x  son funciones
analíticas en x 0 .
S i x 0 es un punto ordinario de la
ecuación diferencial lineal de segundo o rden
2
d y
dx
2
dy
 P x
 Q  x y    x,
dx
entonces todas las soluciones pueden ser desarrolladas
en una única form a com o una serie de potencias
yx 

 a x  x 
n
0
n
,
x  x0  R
n0
donde el radio de convergencia R  r .
dy
 y
dx
alred ed o r d e
x0  0
dy
dx
 y alrededor de x 0  0
E s claro, que todos los puntos
del plano com plejo C son
puntos ordinarios de esta
ecuación.
dy
 y alrededor de 0
dx
y x 


an x

n
dy


dx
n0

na n x
n 1


n0

na n x
n 1
n 1
S ustituyendo en la ecuación

 na
n 1
n
x
n 1


a
n0

x 0
n
n

  n  1 a
n0

x 
n
n 1
a
n0
x 0
n
n
dy
 y alrededor de 0
dx
yx 


an x
n

dy



dx
n0
na n x
n 1
n0



na n x
n 1
n 1
S ustituyendo en la ecuación


na n x
n 1
n 1



an x  0
n

n0




n0

 n  1 a n 1 x 
n
n0
  n  1  a n  1  a n  x  0
n


an x  0
n
n0

 n  1 a n 1  a n
0
dy
 y alrededor de 0
dx
yx 



an x
n
n0
a n 1 


n0
an
n 1
  n  1  a n  1  a n  x  0 
n
 n  1 a n 1  a n
0
dy
 y alrededor de 0
dx
yx 



an x

n
n0
a n 1 

n0
an
n 1
a0
a1 
a0
a2 
a1
2
2 1
a3 
a2
a0
1
3
 a0


a0
3 2 1
  n  1  a n  1  a n  x  0 
n
 n  1 a n 1  a n
0
dy
 y alrededor de 0
dx
yx 



an x

n
n0
a n 1 

n0
 n  1 a n 1  a n
0
n 1
a4 
a1 
a0
a2 
a1
2
2 1
a3 
a2
a0
3
n
an
a0
1
  n  1  a n  1  a n  x  0 
 a0


a3

4
a0
4  3 2 1
a0
3 2 1
a n 1 
an
n 1

a0
 n  1!
dy
 y alrededor de 0
dx
y x 



an x
n

n0
 n  1  a n 1  a n

n0
0

  n  1  a n  1  a n  x  0

n
a n 1 
an

n 1

y  x   a0 
n0
x
n
n!
an 
1
n!
a0
dy
 y alrededor de 0
dx
y x 



an x
n

n0
 n  1  a n 1  a n

n0
0

  n  1  a n  1  a n  x  0

n
a n 1 

y  x   a0 
n0
x
an
n 1

an 
n
n!
 a0 e
x
1
n!
a0
S i a n  0, y si, p ara u n valo r fijo d e x ,
lim
n 
a n 1  x  x0 
a n  x  x0 
n 1
n
 x  x 0 lim
n 
a n 1
an
 x  x0 L ,
en to n ces la serie d e p o ten cias co n verg e
ab so lu tam en te p ara aq u ello s valo res d e x tales
q u e x  x 0 L  1 y d iverg e si x  x 0 L  1 .
S i x  x 0 L  1, la p ru eb a n o n o s d a n in g u n a
co n clu sió n .
dy

y  x   a0 
 y alrededor de 0 ;
dx
n0
an 
a n 1
n 
n
n!
 a0e
a0
n!

an
lim
x
n!
 n  1!
a n 1
an
 lim
n 

1
n 1
1
n 1
0
¡L a serie co n verg e p ara to d o x  R !
x
2
d y
dx
2
 y  0
alred ed o r d e
x0  0
2
d y
dx
2
 y  0 alrededor de x 0  0
E s claro, que todos los puntos
del plano com plejo C son
puntos ordinarios de esta
ecuación.
yx 
2
d y
dx
2

 y  0

an x
n
n0
dy


alred ed o r d e
dx
x0  0
d y





n0

2
dx
na n x
n 1
2



na n x
n 1
n 1
n  n  1 a n x
n2
n0
n  n  1 a n x



n  n  1 a n x
n2
n2
n2



an x  0
n
n0


n
n
n

2
n

1
a
x

a
x





 n
n2
n0


n0
n2
0
n0
  n  2   n  1  a n  2  a n  x  0
 n  2   n  1 a n  2
n
 an  0  an 2  
an
 n  2   n  1
2
d y
dx
2
 y  0
alred ed o r d e
x0  0
an 2  
an
 n  2   n  1
a0
a 0 , a1 , a 2  
a4  
a2
43
2 1

a0
4!
, a3  
, a5  
...
a 2 n    1
a0
n
a 2 n 1    1
 2 n !
n
a1
 2 n  1!
a1
3 2 1
a3
5 4

,
a1
5!
2
d y
dx
2
 y 0
alrededor de

y1  x   a 0    1 
n
y 2  x   a1    1 
n0
2n
 2 n !
n0

x
n
x0  0
x
 a 0 cos x
2 n 1
 2 n  1!
y  x   a 0 cos x  a1 sin x
 a1 sin x
2
d y
dx
2
 x
dy
 2y  0
dx
alred ed o r d e
x0  0
2
d y
dx
2
 x
dy
dx
 2 y  0 alrededor de x 0  0
E s claro, que todos los puntos
del plano com plejo C son
puntos ordinarios de esta
ecuación.
2
d y
dx
dy
 x
2
 2 y  0 alrededor de x 0  0
dx

yx 
a
n
x
n
n0
dy


dx
 na

2


n2
x
n0
d y
dx
n
n 1
2

 n  n  1 a
n
x
n2
n0
n  n  1 a n x
n2

 x  nan x
n 1
n 1

 2 an x  0
n
n0


n  n  1 a n x
n2
n2
 x  na n x
n 1
n 1

 n  n  1 a

n
x
n2


n2
 na
n 1

  n  2   n  1 a

 2 an x  0
n
n0

x  2 an x  0
n
n
n
n0

x 
n
n2
n0
 n  2a
n0

  n  2    n  1  a
n0
 a n  x  0
n
n2
x 0
n
n
2
d y
dx
2
 x
dy
dx
 2 y  0 alrededor de x 0  0

  n  2    n  1  a
 a n  x  0
n
n2
n0
an  2  
an
n 1

  n  2    n  1  a
n2
n0
a2  
a0
a4  
a2
a6  
a4
 a n  x  0  a n  2  
n 1
;
1

3
a0
31
 
5
an
n
;
a0
5  31
;
a3  
a1
a5  
a3
a7  
a5
;
2

4
a1
42
 
6
;
a1
642

a 2 n    1
n
a0
 2 n  1  !!
n  1, 2, 3, ... ;
;
a 2 n 1    1
n  1, 2, 3
n
a1
 2 n  !!
2
d y
dx
a 2 n    1
n
2
a0
 x
 2 n  1  !!
dy
dx
 2 y  0 alrededor de x 0  0
; n  1, 2, 3,...
y1  x   1 

a 2 n 1    1 
  1
n
a1
 2 n  !!
n
  2 n  1  !! x
2n
n 1
y2  x  
  1 2 n 1
x
x
n  1  2 n  !!

n
; n  1, 2, 3
2
d y
dx
2
 x
dy
dx
 2 y  0 alrededor de x 0  0
y1  x   1 

  1
n
  2 n  1  !! x
2n
n 1
y2  x  
  1 2 n 1
x
x
n  1  2 n  !!

n
y1  x   1 

  1
n
  2 n  1  !! x
2n
n 1
an 
  1
lim
n 
 lim
n 
;
an 
  1
n 1
 2 n  1  !!
n
  1
 2 n  1  !!
1
1  2n
  1
 2 n  !!
n
n
 2 n  1  !!
  1
  1 2 n 1
y2  x   x  
x
n  1  2 n  !!
n

 lim
n 
 2 n  1  !!
(2 n  1)!!
0
lim
n 
n 1
 2 n  2  !!
n

1
 
 2 n  !!
 lim
n 
1
2  n  1
 lim
n 
 2 n  !!
( 2 n  2 )!!
0


el radio de convergencia es infinito.
el rad io d e co n verg en cia es in fin ito.
2
d y
dx
y2  x  
2
 x
dy
 2 y  0 alrededor de x 0  0
dx
  1 2 n 1
x
x
n  1  2 n  !!
n

  1 2 n 1
  2 n  !! x
n0


  1 2 n
x
x
n  0  2 n  !!

  1
n

n

p ero
 2 n  !!  2 n !
n
así q u e
y2  x  
  1 2 n
x
x
n  0  2 n  !!

 x2 
 x ex p  

 2 
n

 x
n0
  1
n!
n
x
2n
2
n
 x
n0
n!
n
 x 


2


2
n
2
d y
dx
2
 x
dy
 2 y  0 alrededor de x 0  0
dx
y1  x   1 

  1
n
  2 n  1  !! x
2n
n 1
y2  x  
  1 2 n 1
x
x
n  1  2 n  !!

n
 x 
 x ex p  

 2 
2
y1  x   1 

  1
n
  2 n  1  !! x
2n
n 1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
4
6
y2  x  
  1 2 n 1
x
x
n  1  2 n  !!

n
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
0.4
0.6
4
6
 x2 
y 2  x   x exp  

2


0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
0.4
0.6
4
6
y2  x  
  1 2 n 1
x
x
n  1  2 n  !!

n
0.6
 x2 
y 2  x   x exp  

2


0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
0.4
0.6
4
6
2
d y
dx
2
dy
 bx
 c  x  y  0 dada la solución y1  x 
dx
x
y  x   y1  x  
x0



1
exp    b    d  d 
2
y1   
  0

x
y  x   y1  x  
x0
2
d y
dx



1
exp    b    d   d 
2
y1   
  0

dy
 x
 2 y  0 alrededor de x 0  0
dx
2
2
y 2  x   xe
y 2  x   xe
2
x x

2
e

x0
2
 xe

x
2
x

x0
e

1

2

2
2
d
2
2
x

2
2
x
 


exp     d   d   xe 2
  0

x
e


x0
2
2
 1 2
exp   d 
 2 

e
1

2



2
d 1
d  
 e
d   
2
e
1

2
2

e
1

2

1 d 

e

 d 
2
 e
1

2
2
d
1

2
2
1

2
2
d 
1

2

e
 d   

2

 e

1

2
2
d
x
y  x   y1  x  
x0
2
d y
dx
 x
2
 

exp    b    d   d 
2
y1   
  0

1
dy
 2 y  0 alrededor de x 0  0
dx
2
y 2  x   xe
2
y1  x   xe
x

2
x

x0

e
1

2

2
2
d  
e
e
1

2

1

2

2

x
2
2
d
2

e
1

2
2
d

2
y1  x   xe
x

2
1 2
x

2
 e

x


e
1

2
2
2

x


d    1  xe 2


x
e
0
1

2
2
d
2
d y
dx
2
 x
y1  x   1 
dy
dx

 2 y  0 alrededor de x 0  0
  1
n
  2 n  1  !!
x
2n
  1  xe

x
2
2
n 1
y2  x   x 

  1
n
  2 n  !! x
n 1
1
2
e

0
 x 
 x exp  

 2 
2
2 n 1
x

2
d
x
y  x   y1  x 

x0
2
d y
dx
2
 x


1
ex p    b    d 
2
y1   
  0

d 

dy
 2 y  0 alred ed o r d e x 0  0
dx
2
y1  x    1  xe

x
2
x
e
1

2
2
2
d ;
y 2  x   xe

x
2
0

2
x
e
1
 
2
1

2
2
 2 d   d

d 
2
2
d 
2d
x
2
2
d 
0
2

e

2
d
0
2
y2  x   1 
2 xe
x

2
x
2

0
e

2
d  1 
 x 
2 x D aw son 

 2 
x
y  x   y1  x 

x0
2
d y
dx
 x
2
y1  x    1 


1
ex p    b    d 
2
y1   
  0
dy
 2 y  0 alred ed o r d e x 0  0
dx
 x 
2 x D aw so n 
 ;
 2 
2
y  x   c1 xe
x

2

d 

 c2 
2
y 2  x   xe

x
2
 x 
2 c 2 x D aw son 

 2
F ( x )  exp   x
2

x
0
exp  y
2
 dy
1 
 x 
2 x D aw son 

2


1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
4
6

1
  1
n
  2 n  1  !!
x
1 
2n
n 1
1.0
 x 
2 x D aw son 

 2
0.8
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
4
6
2
x
d y
dx
2

dy
 xy  0
dx
alred ed o r d e
x0  1
2
d y
dx
2

1 dy
x dx
 y  0 alrededor de x 0  1
E s claro, que el punto x  0
N O es un punto ordinario de la
ecuación. S in em bargo, todos
los dem ás puntos si son puntos
ordinarios, en particular, x  1 es
un punto ordinario de esta ecuación.
2
x
d y
dx
2

dy
dx

yx 
 a  x  1
 xy  0 alrededor de x 0  1
n
n
n0

dy

dx
 na  x  1 
n
n0

2
d y
dx
n 1
2


 n  n  1 a  x  1
n
n0
x  n  n  1 a n  x  1
n0
n2
n2


 na  x  1 
n
n0
n 1

 x  a n  x  1  0
n0
n

x  n  n  1 a n  x  1
n2


n0
1 

n0

x  1  n  n  1 a n  x  1
n2

n  n  1 a n  x  1

n2
n0
 n a  x  1
n 1
n
n0
n
 1  x  1   a n  x  1   0
  x  1  n  n  1 a n  x  1
n2



n a n  x  1
n0
  a n  x  1   x  1  a n  x  1  0
n
n0


n  n  1 a n  x  1
n2




n  n  1 a n  x  1
n2
  a n  x  1 
n0
n
n0
n2
n

 a  x  1
n
n0
n 1



n 1
n 1
 0
n
n0


 x  a n  x  1  0

n0


n0

n0

na n  x  1 
n 1
n a n  x  1
n 1
n 1

 n  n  1 a  x  1
n2
n


n2

 na  x  1 
n 1
n

n2
 a  x  1
 x  1
   n  1 a n 1  x  1 
n
n0
n

 a  x  1
n 1
n
0
n0
  n  1  na  x  1 
n
n 1
 a  x  1
n
  n  2   n  1 a
n
n


n0
n2
 x  1
n 1
n 1




n 1

n 1

  n  1 a  x  1
n
n
n0


n2
n0

2a2 
n

n 1
  n  2   n  1 a
 n  n  1 a  x  1
n 1
n 1
0
n 1


  n  1  na  x  1 
n 1
n
 a1 
n 1

 a0 
n
 a  x  1
n
 a  x  1
n
n 1
n


 a  x  1
n 1
n 1
n
0

2a2 
  n  2   n  1 a  x  1
n2
n 1

  n  1 a  x  1
n 1
n 1
n

 a0 
n


  n  1  na  x  1 
n 1
n 1
 a1 
n 1
 a  x  1
n
n
n


 a  x  1
n 1
n
0
n 1
a 0  a1  2 a 2 

   n  2  n  1  a
n 1
  n  1  na n  1   n  1  a n  1  a n  a n  1   x  1   0
n
n2
a 0  a1  2 a 2 

   n  2   n  1  a
n 1
a2  
  n  1  na n  1   n  1  a n  1  a n  a n  1   x  1   0
n
n2
a 0  a1
2
 n  2   n  1  a n  2   n  1  na n  1   n  1  a n  1  a n  a n  1  0
 n  2   n  1 a n  2   n  1
an  2  
n 1
n2
a n 1 
2
a n 1  a n  a n 1  0
a n  a n 1
 n  1  n  2 
a2  
a3  
2
a4  
3
a5 
4
a0
an 2  
2
a1  a 0
a2 
a3 

12
a6  
a7 
3
a 0  a1
210
a 2  a1
a0
12
60
180
13a0
3


a1
8
2 7 1 a1
2520
 
12
a n 1 
n2
a2 
6
9 a1
13a0
 
2
n 1

a2
a1
6
3
a n  a n 1
 n  1  n  2 
 
a2
3

a 0  a1
6
2
x
d y
dx
a2  
y1  x   1 

2
dx
a 0  a1
2

( x  1)
2
 xy  0 alred ed o r d e x 0  1
3

( x  1)
6
( x  1)
2
2

n 1
an  2  
;
2
( x  1)
y2  x   x  1 
dy

( x  1)
12
( x  1)
6
3

a n 1 
n2
4
5

6
4

 n  1  n  2 
13( x  1)
12
( x  1)
a n  a n 1
6

13( x  1)
180
9( x  1)
60
5

5

210
( x  1)
8
6

271( x  1)
2520
5

2
x
d y
dx
y1  x   1 
( x  1)
y2  x   x  1 
2

2

dy
dx
( x  1)
2
 x y  0 alrededor de x 0  1
3

( x  1)
6
( x  1)
2
2

4

( x  1)
12
( x  1)
6
3

5

13( x  1)
12
( x  1)
6
4

6

13( x  1)
180
9( x  1)
60
5

( x  1)
8
y1  x   J 0  x 
y 2  x   Y0  x 
5

210
6

271( x  1)
2520
5

1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.9
0.2
1.0
1.1
1.2
1  x 
2
2
d y
dx
2
 2x
dy
dx
 l  l  1 y  0
1  x 
2
2
d y
dx
2
d y
dx
2

2
 2x
dy
dx
2x
dy
1  x dx
2

 l  l  1 y  0
l  l  1
1 x
2
y0
1  x 
2
2
d y
dx
2
d y
dx
2 x
l  l  1

2
2

n
2
1 x

 2 x
2
2 n 1
y0
para x  1
n0

1
l  l  1

2
n0
1 x
dy
1  x dx
 2 x  x
 l  l  1 y  0
dx
2x

1
1 x
2
 2x
2
dy
 l  l  1   x
n0
2

n

 l  l  1  x
P or lo tanto, x  0 es un punto ordinario
n0
2n
para x  1
2
d y
dx
2

2x
1 x
2
l  l  1
dy

y  0
2
dx
1 x
Los únicos puntos singulares son x   1.
P or lo tanto, podem os resolver
la ecuación con series alrededor
de x  0, ya que x  0 es un punto
ordinario.
1  x 
2
2
d y
dx
dy
 2x
2
dx
 l  l  1 y  0
P or tanto, existe una única solución que se puede escribir com o

y(x) 

n
an x .
n0
T enem os
dy


dx


2
na n x
n 1
y
d y
n0
dx
2


n  n  1 a n x
n2
n0
y sustituyendo en la ecuación diferencia l ,
1  x

2

n0
n  n  1 a n x
n2

 2 x  na n x
n0
n 1

 l  l  1  a n x  0
n
n0
1  x 
2
1  x

2


n0
n  n  1 a n x
dx
n  n  1 a n x
n0

2
d y
n2
2
n2
 2x
dy
dx
 l  l  1 y  0

 2 x  na n x
n0



n0
n 1

 l  l  1  a n x  0
n
n0


n  n  1  a n x  2  na n x  l  l  1   a n x  0
n
n
n0
n
n0
1  x 
2
2
d y
dx

1  x   n  n  1  a
2
x
n

n  n  1 a n x
n2
n0



n0
 2x
 l  l  1 y  0
dx
n2
n0

2
dy

 2 x  na n x
n 1
n0

 l  l  1  a n x  0
n
n0


n  n  1  a n x  2  na n x  l  l  1   a n x  0
n
n
n
n0
n0
A hora


n  n  1 a n x
n2
n2m

   

n0

( m  2)  m  1  a m  2 x
m
m0
R egresando a la variable original


n  n  1 a n x
n2



n0

( n  2)  n  1  a n  2 x
n
n0
y ahora


n0
( n  2 )  n  1 a n  2 x 
n


n0


n  n  1  a n x  2  na n x  l  l  1   a n x  0
n
n
n0
n
n0
1  x 
2


( n  2)  n  1  a n  2 x 
n
n0


n0
2
d y
dx


n0
2
 2x
dy
dx
 l  l  1 y  0


n  n  1  a n x  2  na n x  l  l  1   a n x  0
n
n
n0
n
n0
  n  2   n  1  a n  2  n  n  1  a n  2 n a n  l  l  1  a n  x  0
n
P o r lo tan to ,
 n  2   n  1 a n  2
 n  n  1 a n  2 n a n  l  l  1 a n  0
ó b ien
an 2 
n  n  1  2 n  l  l  1
 n  2   n  1
an 
n  n  1  l  l  1
 n  2   n  1
an
an  2 
n  n  1  l  l  1
 n  2   n  1
an
Los prim eros coeficientes, a 0 y a1 , son arbitrarios.
Los siguientes
a2  
a3 
a4 
...
l  l  1
2!
a0
2  l  l  1
3!
a1  
2  2  1  l  l  1
 2  2   2  1
 l  1  l  2 
3!
a1
6  l  l  1  l  l  1  l  l  1  l  2   l  3 
a2 
a0  

43
2!
4!


an  2 
n  n  1  l  l  1
 n  2   n  1
an
E n general, para k  1, 2, 3,... tenem os
a 2 k    1
k
( l  2 k  1)( l  2 k  3)...( l  1) l ( l  2)...( l  2 k  2)
 2 k !
a0
y
a 2 k  1  (  1)
k
( l  2 k )( l  2 k  2)...( l  2)( l  1)( l  3)...( l  2 k  1)
 2k
 1!
a1
1  x 
2
2
d y
dx
2
 2x
dy
dx
 l  l  1 y  0
T enem os ento nces dos soluciones
u (x)  1 
l  l  1
x 
2
 l  2  l  l  1  l  3 
2!

1
   1
k
k 1
x 
4
 l  4   l  2  l  l  1  l  3   l  5 
4!
x  . .. 
6
6!
 l  2 k  1  l  2 k  3   l  1 l  l  2   l  2 k  2  2 k
x
2
k
!
 
y
v( x)  x 
 l  1  l  2 
3!

 x
   1
k 1
k
x 
3
 l  3   l  1  l  2   l  4 
x 
5
 l  5   l  3   l  1  l  2   l  4   l  6 
5!
 l  2 k   l  2 k  2   l  2   l  1  l  3   l  2 k  1 2 k 1
x
 2 k  1!
7!
x  ... 
7
1  x 
2

u ( x)  1 
   1
k
l  2k
2
d y
dx
2
 2x
dx
v( x)  x 
   1
k 1
k
 l  l  1 y  0
 1  l  2 k  3 
k 1

dy
l  2k  l  2k
 2
 l  1 l  l  2   l  2 k
 2 k !
 l  2   l  1  l  3   l  2 k
 2 k  1!
 2
 1
x
2k
x
2 k 1
1. S i l no es un entero positivo, tenem os dos
series infinitas que convergen para x  1.
2. S i l es un entero positivo, una de las dos series
infinitas term ina para dar un sim ple polinóm io.
1  x

u ( x)  1 
   1
k
2
l  2k

2
d y
dx
2
 2x
dx
v( x)  x 
   1
k
 l  l  1 y  0
 1  l  2 k  3 
k 1

dy
l  2k  l  2k
 2
k 1
 l  1 l  l  2   l  2 k
 2 k !
 l  2   l  1  l  3   l  2 k
 2 k  1!
 2
 1
x
2k
x
2 k 1
E scribiendo la solución y  x   A Pn  x   B Q n  x 
se tiene que Pn  x  
y Pn  x  
vn  x 
v n 1 
un  x 
u n 1 
para n par,
para n im par.
Q n  x  es una serie infinita que
converge para x  1.
L os polinom ios Pn  x  son los
polinom ios de L egendre
y puede ser escritos com o
n
]
2
 2 n  2 r ! x
Pn  x      1  n
2 r ! n  r  ! n  2 r  !
r0
[
n2r
r
y   P  x  y   Q  x  y    x 
E l punto x 0 es un punto ordinario
de la ecuación diferencial si tanto
P  x  com o Q  x  son analíticas en x 0 .
y   P  x  y   Q  x  y    x 
S i cualquiera de las dos funciones,
P  x  y Q  x  , no son analíticas,
entonces el punto x 0 es singular.
S i x  0 es un punto ordinario de la ecuació n
y   P  x  y   Q  x  y  0
entonces la solución general en un intervalo
conteniendo al cero, tiene la form a
yx 

a
x  c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
n
n
n0
donde c1 y c 2 son constantes arbitrarias y y1  x  y
y 2  x  son funciones linealm ente independiente s
y analíticas en x  0
y   P  x  y   Q  x  y  0
La solución general tiene la form a
yx 

a
n
x
n
n0
¿C óm o determ inam os los coeficientes a n ?
P aso 1 :
S u stitu im o s la p ro p u esta so lu ció n
yx 

a
n
x
n
n0
en la ecu ació n d iferen cial o rig in al
y   P  x  y   Q  x  y  0
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n
n0
dy  x 
dx

d


dx
n0
?
n

an x  
n0
d  an x
dx
n




n0
an
d x
dx
n




n0
nan x
n 1
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n
n0
d yx
2
dx

2
 na
n0
d
na

dx
n
x
?
n 1
n0




d x
n
n 1
dx




d nan x
dx
n0


 n  n  1 a
n0
n 1
n
x
n2


y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n
n0
P aso 1:

 n  n  1 a
n0
n
x
n2

 P  x   na n x
n0
n 1

 Q  x   an x  0
n
n0
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n
n0
P aso 2:
A grupam os las potencias de x e igualam os a
cero los coeficientes (D ado que las pote ncias
de x son linealm ente independientes)
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n0
P aso 3
S e resuelven las form ulas de recurrencias que
se obtiene al igualar las potencias de x a cero.
S e determ inan a j  j  2, 3, 4,...  en térm inos
de a 0 y a1
n
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n0
P aso 4
Los coeficientes a j  j  0,1, 2, 3, 4,... 
se sustituyen en la serie y se trata de
determ inar una form a analítica.
n
Descargar

Ecuación diferencial lineal homogénea