1.Las cuatro operaciones fundamentales
2.Productos notables y factorización
3.Fracciones
4.Ecuaciones de primer grado
5.Funciones y gráficas
6.Ecuaciones simultaneas de primer grado
7.Exponentes radicales
8.Ecuaciones de segundo grado
9.Razones, proporciones y variaciones
10.Logaritmos
2.1 El producto de dos binomios
2.2 El cuadrado de un multinomio
2.3 El proceso de factorización
2.4 Factores de binomios del tipo an+bn
2.5 Factorización por agrupación
2.6 Trinomios que son reductibles a la
diferencia de dos cuadrados
1.Una suma por una diferencia.
2. Binomio al cuadrado.
3. El producto de dos binomios con un término
en común.
4. El cuadrado de un multinomio.
a  ba  b
a  ba  b  a
2
b
2
 s  5 s  5
s5

s_____
5
2
s  5s
 5 s  25
__________
2
s  0  25
 s  5 s  5 
s  25
2
 3a  2b   3a  2b 
 3a  2b   3a  2b 
  3a    2b   9 a  4b
2
2
2
 3a  2b   3a  2b   9 a
2
2
 4b
2
 2h
3
 7k
2
 2 h
3
 7k
2

 2h
3
 7k
  2h
3

2
2
 2 h
 7k
 4h  49k
6
 2h
3
 7k
2
2
3
 7k

2
3
 7k
2

2
  4h

4
 2 h
6
 49k
4
a  b
2
a  b
2
 a  2 ab  b
2
2
 4r  2s 
2
 4r  2s 
2

  4r   2  4r   2s    2s  
2
2
 16 r  1 6 r s  4 s
2
 4r  2s 
2
2
 16 r  16 r s  4 s
2
2
 h  3k 
2

 h  2 h  3k    3k  
2
2
 h  6hk  9k
2
 h  3k 
2
2
 h  6hk  9k
2
2
a  b
2
a  b
2
 a  2 ab  b
2
2
 5 a b  3 cd 
3
2
2

  5 a b   2  5 a b  3 cd
3
2
3
2
   3 cd 
 25 a b  3 0 a bcd  9 c d
6
2
3
 5 a b  3 cd 
3
2
2
2
2
2

2
 25 a b  30 a bcd  9 c d
6
2
3
2
2
2
 x  a x  b
 x  a x  b 
x   a  b  x  ab
2
 7 i  1  7 i  2  
  7 i     1  2   7 i     1   2  
2
 49 i   3   7 i   2 
2
 49 i  21i  2
2
 7 i  1  7 i  2  
49 i  21i  2
2


2q  2 p

 2q
2

2q  2r

    2 p  2 r   2 q     2 p  2 r  
  2 2 p q  2 2r q   4 p r 
2
2
2q
2
3
3
2
2
3
2
 2q  2 2 p q  2 2r q  4 p r
2
2
3
2
3
3
3
 m 1  m 1 
 
 

2  3
6
 3
2
m
 1 1  m   1  1 
              
 3 
 2 6  3   2  6 
1
m
1
 3  1   m 
 2   m 





  
  
9
9
 6   3  12
 6   3  12

m
2
m
2
9
2

2m
18

1
12

m
9
2

m
9

1
12
E l cuadrado de un m ultinom io es
igual a la sum a de los cuadrados
de cada térm ino, m ás la sum a
algebraica del doble producto de
cada térm ino por cada uno de los
que le suceden.
E l cuadrado de un m ultinom io es igual a la sum a de los cuadrados
de cada térm ino, m ás la sum a algebraica del doble producto de
cada térm ino por cada uno de los que le suceden.
a  b  c
2

 a  b  c  2 ab  2 ac  2 bc
2
2
2
E l cuadrado de un m ultinom io es igual a la sum a de los cuadrados
de cada térm ino, m ás la sum a algebraica del doble producto de
cada térm ino por cada uno de los que le suceden.
a  b  c  d 
2

a b c d 
2
2
2
2
 2 ab  2 ac  2 ad  2 bc  2 bd  2 cd
x  2y
2
 z  3w 
1 3
2
2
 r  3s  t 
4 
3
 2a
2
 a  1
2
2
2
1.Las cuatro operaciones fundamentales
2.Productos notables y factorización
3.Fracciones
4.Ecuaciones de primer grado
5.Funciones y gráficas
6.Ecuaciones simultaneas de primer grado
7.Exponentes radicales
8.Ecuaciones de segundo grado
9.Razones, proporciones y variaciones
10.Logaritmos
2.1 El producto de dos binomios
2.2 El cuadrado de un multinomio
2.3 El proceso de factorización
2.4 Factores de binomios del tipo an+bn
2.5 Factorización por agrupación
2.6 Trinomios que son reductibles a la
diferencia de dos cuadrados
P ara factorizar un m ultinom io es
necesario encontrar prim ero dos
o m ás m ultinom ios o un m onom io
y uno o m ás m ultinom ios, cuyo
producto sea el m ultinom io dado.
1. M ultinom ios que tienen un factor com ú n.
2. La diferencia de dos cuadrados.
3. T rinom ios que son cuadrados perfectos .
4. T rinom ios factorizables que no son
cuadrados perfectos.
S i cada térm ino de un m ultinom io
es divisible por un m ism o m onom io,
el m ultinom io se puede factorizar
dividiéndolo por el m onom io de
acuerdo con el m étodo visto en el
capítulo 1.
S i cada térm ino de un m ultinom io es divisible por un m ism o m onom io,
el m ultinom io se puede factorizar dividiéndolo por el m onom io de
acuerdo con el m étodo visto en el capítu lo 1.
2 ax  7 ay  5 az
S i cada térm ino de un m ultinom io es divisible por un m ism o m onom io,
el m ultinom io se puede factorizar dividiéndolo por el m onom io de
acuerdo con el m étodo visto en el capítu lo 1.
2 ax  7 ay  5 az  1  2 ax  7 ay  5 az  
 2 ax  7 ay  5 az 
  2 ax  7 ay  5 az   a 

a
a


a
 2 ax 7 ay 5 az 


 a
  a 2x  7 y  5z
a 
a
 a
S i cada térm ino de un m ultinom io es divisible por un m ism o m onom io,
el m ultinom io se puede factorizar dividiéndolo por el m onom io de
acuerdo con el m étodo visto en el capítu lo 1.
2ax  7 ay  5az  a  2 x  7 y  5 z 
S i cada térm ino de un m ultinom io es divisible por un m ism o m onom io,
el m ultinom io se puede factorizar dividiéndolo por el m onom io de
acuerdo con el m étodo visto en el capítu lo 1.
t s  11t s  2 t s
3
2
2
3
2
S i cada térm ino de un m ultinom io es divisible por un m ism o m onom io,
el m ultinom io se puede factorizar dividiéndolo por el m onom io de
acuerdo con el m étodo visto en el capítu lo 1.
t s  11t s  2 t s 
3
2
2
3
2
t s  ts  11s  2 
2
2
3r  2 m  n   4 s  2 m  n    4t  s   2 m  n 
3r  2 m  n   4 s  2 m  n    4t  s   2 m  n 
 2 m  n   3r  4 s  4t  s 
 2 m  n   3r  5 s  4t 
xz  xy  x
3
2 z(x  y)  4 z (x  y)
2
3r  2 m  n   4 s  2 m  n    4t  s   2 m  n 
a b
2
2
Los factores de la diferencia de los
cuadrados de dos núm eros son,
respectivam ente, la sum a y la
diferencia de los dos núm eros.
a  b   a  b  a  b 
2
2
25a  b 
4
 5a
8
2
  5a


2
2
 b

2

   b     5 a    b   
4
 5a  b
2
25a  b
4
4
8
2
 5 a
 5a
4
2
2
b
b
4
4

 5 a
4
2
b
4

81
x
16
49

25
y 
8
36
2
2
9 8
5 4
 x   y  
7

6

 9 8   5 4    9 8   5 4  
  x    y    x    y   
 6
   7
 6

 7
 9 8 5 4  9 8 5 4 
  x  y  x  y 
6
6
7
 7

81
49
x
16
 9 8 5 4  9 8 5 4 

y   x  y  x  y 
36
6
6
7
 7

25
8
 5 a  3b 
2
  3m  4 n  
2
   5 a  3 b    3 m  4 n     5 a  3 b    3 m  4 n   
  5 a  3b  3 m  4 n   5 a  3b  3 m  4 n 
 5 a  3b 
2
  3m  4 n  
2
  5 a  3b  3 m  4 n   5 a  3b  3 m  4 n 
Los trinom ios
a  b
2
 a  2 ab  b
2
a  b
2
 a  2 ab  b
2
2
2
son cuadrados perfectos y en cada caso s e
observa que dos de los térm inos son
cuadrados perfectos y positivos y que el
tercer térm ino es el doble producto de la
ra íz cuadrada de los otros dos.
 a  b   a  2 ab  b
2
a  b
2
2
2
2
 a  2 ab  b
2
A dem ás, que si el térm ino del doble prod ucto
es positivo, el trinom io es el cuadrado de la
sum a de las dos raices cuadradas, y que si el
térm ino del doble producto es negativo, el
trinom io es el cuadrado de la diferencia de
las dos raíces cuadradas.
 a  b   a  2 ab  b
2
a  b
2
2
2
2
 a  2 ab  b
2
4 s  12 s  9
2
a  b
2
 a  2 ab  b
2
a  b
2
 a  2 ab  b
2
2
2
4 s  12 s  9   2 s  3 
2
2
4k  4k  1 
2
  2 k   2  2 k  1   1  
2
2
   2 k   1    2 k  1 
2
4 k  4 k  1   2 k  1
2
2
2
c
2

16
1

2
1
c
2

2
2
c
 c  1   1 
    2      
4
 4  c   c 
2
 c   1  
c 1
          
4 c
 4   c  
c
2
16

1
2

1
c
2
c 1
  
4 c
2
2
 x  a x  b 
x   a  b  x  ab
2
4 x ²  4 xy  3 y ²
4 x ²  4 xy  3 y ²
2x  3y2x  y
s ²  4 s  21
s ²  4 s  21
 s  7   s  3
3 p ² 
4
3
pq 
4
9
q²
3 p ² 
4
3
4
9
q² 
4
pq 
4
q²
9
pq  3 p ²
3
2
 2

 q  3 p  q  p 
3
 3

P ara entender este caso, hagam os
prim eram ente la m ultiplicación
de dos binom ios:
 ax  by   cx  dy 
 a x  b y   cx  d y 
ax  by

cx
 dy
_________
acx  bcxy
2
 adxy  bdy
________________
2
acx   ad  b c  xy  bdy
2
2

 ax  by   cx  dy   acx   ad  bc  xy  bd y
2
2
 ax  by   cx  dy   acx   ad  bc  xy  bdy
2
C onsiderem os un trinom io del tipo
px  qxy  ry .
2
2
S i px  qxy  ry   ax  by   cx  dy 
2
2
entonces
p  ac , q   ad  bc  , r  bd
2
E sto es, si px  qxy  ry se expresa
2
2
com o el doble producto de dos binom ios,
los prim eros térm inos de los binom ios de ben
2
ser factores de px , los dos segundos térm inos
2
deben ser factores de ry y la sum a de los
productos del prim er térm ino de cada bin om io
por el segundo térm ino de cada binom io p or el
segundo térm ino del otro debe ser qxy .
C o n sid erem o s u n trin o m io d el tip o p x  q xy  ry .
2
S i p x  q xy  ry   a x  b y   cx  d y  en to n ces
2
p  ac,
2
q   ad  bc  ,
r  bd
A los dos últim os productos
qxy
los denom inarem os los productos cruzados .
2
14 x  13 xy  12 y
2
2
14 x  13 xy  12 y
2
2
14  1  14, 2  7
12  1  12, 2  6, 3  4
2x  3y 7x  4 y 
24 c  26 cd  15 d
2
2
24 c  26 cd  15 d
2
2
24  1  24, 2  12, 3  8, 4  6
15= 1  15, 3  5
 2 c  3 d  12 c  5 d 
18 x  6 x  24 x
5
4
3
18 x  6 x  24 x
5
4
3
x
3
1 8 x
x
3
 9 x  12   2 x  2 
2
 6 x  24 
2.1 El producto de dos binomios
2.2 El cuadrado de un multinomio
2.3 El proceso de factorización
2.4 Factores de binomios del tipo an+bn
2.5 Factorización por agrupación
2.6 Trinomios que son reductibles a la
diferencia de dos cuadrados
Ahora nos ocuparem os de aquellos
factores cuyos coeficientes son
núm eros racionales y cuyos
exponentes son enteros.
A hora nos ocuparem os de aquellos factore s
cuyos coeficientes son núm eros racionale s
y cuyos exponentes son enteros.
A quellas expresiones cuyos factores
no llenan estos requisitos se deonim an
irreductibles .
C orrientem ente la sum a de dos cuadrados
cs irreductible, aunque expresiones com o
x  y y x
6
6
12
 y , que son la sum a de
12
dos cubos, pueden ser factorizados por
los m étodos que aquí se indican.
L o s b in o m io s d el tip o x  y
n
n
se p u ed en d ivid ir
en las cu atro s clases sig u ien tes:
1 . L a su m a o la d iferen cia d e d o s cu b o s
2 . B in o m io s d el tip o x  y
n
n
p ara n m ayo r q u e 3
n
p ara n m ayo r q u e 3
n
p ara n m ayo r q u e 3
y d ivisib le p o r 2 .
3 . B in o m io s d el tip o x  y
n
y d ivisib le p o r 3 .
4 . B in o m io s d el tip o x  y
n
y n o d ivisib le p o r 3 n i p o r 2 .
x  y
3
x y
3
x y x  y
3
3
x
2
x y x  y
3
3
x y x
3
x x y
3
2
x
2
 y
3
x y x
3
x
2
 y
3

x

x
y


_____________
3
2
0x y y
2
3
x  xy
2
x y x
 y
3
3
x x y
_____________
3
2
0x y y
2
3
x  xy
2
x y x
 y
3
3
x x y
_____________
3
2
0x y
 y
2
   x y  xy
2
2

3
x  xy
2
x y x
 y
3
3
x x y
_____________
3
2
0x y
 y
2
3
  x y  xy 
_______________
2
2
0  xy  y
2
3
x  xy  y
2
 y
3
2
x y x
3
x x y
_____________
3
2
0x y
 y
2
3
  x y  xy 
_______________
2
2
0  xy  y
2
3
x  xy  y
2
 y
3
2
x y x
3
x x y
_____________
3
2
0x y
 y
2
3
  x y  xy 
_______________
2
2
0  xy  y
2
3
 xy  y
_________
2
3
0
x  y   x  y   x  xy  y
3
3
2
2

E l p rim er facto r d e la su m a d e lo s cu b o s
d e lo s n ú m ero s es la su m a d e lo s d o s n ú m ero s.
E l seg u n d o facto r es el cu ad rad o d el p rim er
n ú m ero m en o s el p ro d u cto d el p rim er
n ú m ero p o r el seg u n d o m ás el cu ad rad o
d el seg u n d o n ú m ero .
27 s  t
6
i
3
3
 64 j
9
8
125m  8n
3
12
x  y
3
x y
3
x  y
3
x y
3
 x  xy  y
2
2
x  y   x  y   x  xy  y
3
3
2
2

E l prim er factor de la diferencia de los cubos
de los núm eros es la diferencia de los d os
núm eros.
E l segundo factor es el cuadrado del pri m er
núm ero m ás el producto del prim er
núm ero por el segundo m ás el cuadrado del
segundo núm ero.
a b
3
3
125 x 
6
y
3
27
k
15
 1000l
9
Binomios del tipo x  y para n mayor que 3 y divisible por 2.
n
n
E n este caso se ex p resa x  y
n
x 
n/2
2

y 
n/2
n
en la fo rm a
2
E n esta fo rm a el b in o m io es la d iferen ci a d e
d o s cu ad rad o s y se p u ed e facto rizar
m ed ian te el em p leo d e
x  y =  x  y x  y 
2
2
S i n / 2 es d ivisib le p o r 2 , se ap lica n u evam en te
el p ro ced im ien to an terio r y se co n tin ú a así
h asta d o n d e sea p o sib le.
Binomios del tipo x  y para n mayor que 3 y d ivisible por 3.
n
n
E n este caso x  y
n
x 
n /3
3
 y
n /3

n
se p u ed e ex p resar co m o
3
.
P o r tan to , lo s b in o m io s d e este tip o se
co n sid eran co m o la su m a o la d iferen cia
d e d o s cu b o s y p u ed en ap licarse las fó rm u las
x  y   x  y  x
3
3
2
xy  y
2
.
Binomios del tipo x  y para n mayor que 3 y no divisible por 3 ni por 2.
n
n
S i n es divisible por 2 o por 3, la expre sión
se factoriza por los anteriores m étodos.
S in em bargo, si n no es m últiplo de 2 ni de 3,
la expresión se puede factorizar por m ed io
de las siguientes fórm ulas . E stas se dan sin
dem ostración, pero se pueden com probar,
m ediante divisiones laboriosas, para cua lquier
valor entero positivo de n .
Binomios del tipo x  y para n mayor que 3 y no divisible por 3 ni por 2.
n
n
S i n no es divisible ni por 2 ni por 3,
x  y 
n
n
  x  y x
n 1
x
n2
yx
n3
y  ...  x y
2
2
n3
 xy
n2
 y
n 1

Binomios del tipo x  y para n mayor que 3 y no divisible por 3 ni por 2.
n
n
P ara cualquier entero n no divisible ni p or 2 ni por 3,
x  y 
n
n
  x  y x
n 1
x
n2
yx
n3
y  ...  x y
2
2
n3
 xy
n2
 y
n 1

x  y   x  y  x  y 
2
2
x  y   x  y   x  xy  y
2
x  y   x  y   x  xy  y
2
3
3
3
3
x  y   x  y  x
n
n
2
2
n 1
x
n2


yx
n3
y  ...  x y
n3
y  ...  x y
n3
2
2
 xy
n2
 xy
n2
 y
n 1
 y
n 1

n no divisible ni entre 2 ni entre 3
x  y   x  y x
n
n
n 1
x
n2
yx
n3
2
2
n no divisible ni entr e 2 ni entre 3
x  y con n par y no divisible entre 3, es irreductible
n
n

m s
6
6
m s 
6
 m
6
3
  m


3
2
 s


   s     m    s   
 m  s
3
3
2
3
3
 m
3
3
s
3

3
m s 
6
 m
6
3
  m


3
2
 s

2

   s     m    s   
3
 m  s
3
 m  s
3
3
3
3
3
3
 m  s  
m  sm  ms  s 
3
3
2
2
a
16
b
16
a
16
b
 a
8
  a


8
16
 b
8
  b
8
2
 a  b
8

8

2



  a
 a
8
b
8
8

  b
8

 
a b 
8
 a
8
4
  a


4
2
 b

2

   b     a    b   
 a  b
4
4
4
4
 a
4
4
b
4

4
a
16
b
 a
8
  a


8
16
 b
8
  b
8
2
 a  b
8

8

2



  a
 a
4
b
8
4
  b
 a
4
8

 
b
4

a b 
4
 a
4
2
  a


2
2
 b


   b     a    b   
 a  b
2
2
2
2
2
 a
2
2
b
2

2
a
16
b
 a
8
  a

16
  b 
2
8
8
2

   b     a    b   
 a  b
8

8
8
 a
8
4
b
4
 a
8
2
b
2
 a
2
b
2

a  b  a  ba  b
2
2
a b 
16
 a
16
8
  a

  b 
2
8

   b     a    b   
 a  b
8
8
2
8
8
 a
8
4
b
4
 a
8
2
b
2
  a  b  a  b 
b
15
c
15
b
15
c
 b
5
  b


5
15
 c
5
  c
5
3
 b  c
5

5

 b
3

 b

   
10
5

2
 b
b c c
5
5
5
10
 c

5
  c
5

2


b c
15
 b
3
15
5
  b

  c 
5
5
3

 b


c
     
 b  c
5

5
5
 b
10
5

2
 b
b c c
5
5
5
10
 c
5
  c
3
2
2

2



  b  c   b  b c  b c  bc  c
4
5
3
4
 b
10
b c c
5
5
10

b b c c 
10
5 5
10
  b  bc  c
2
2
 b
8
 b c  b c  b c  b c  bc  c
7
5 3
4
4
3 5
7
8

x  y
7
7
x y 
7
7
  x  y   x  x y  x y  x y  x y  xy  y
6
5
4
2
3
3
2
4
5
6

125   x  y 
3
125   x  y  
3
 5   x  y  
3
3
   5    x  y     5   5  x  y    x  y   


2
2
  5  x  y   25  5  x  y    x  y   


2
  5  x  y   25  5 x  5 y  x  y  2 xy 
2
2
  x  y  5   x  y  2 xy  5 x  5 y  25 
2
2
x   m  1
9
3
3
x   m  1 
9
 x
3
3
3

3
  m  1 
3
3
2
2
3
3
3
3

   x    m  1    x    x  m  1    m  1   

 

3
3
  x  m  1  x  x m  x  m  2 m  1 
3
3
6
3
3
3
6
3
2.1 El producto de dos binomios
2.2 El cuadrado de un multinomio
2.3 El proceso de factorización
2.4 Factores de binomios del tipo an+bn
2.5 Factorización por agrupación
2.6 Trinomios que son reductibles a la
diferencia de dos cuadrados
Frecuentem ente un m ultinom io que
contiene cuatro o m ás térm inos se
puede reducir a una form a factorizable
m ediante una adecuada agrupación de
sus térm inos y posterior factorización
de los grupos.
S i esto es posible, el m ultinom io se
puede factorizar por m edio de alguno
de los m étodos anteriores.
mn  m  n  1
mn  m  n  1 
  m n  m    n  1 
 m  n  1   n  1 
  n  1  m  1
ab  3a  b  3
ab  3 a  b  3 
  ab  b    3 a  3  
 b  a  1  3  a  1 
  a  1  b  3 
uv  5v  2u  10
uv  5 v  2 u  10 
  uv  2 u    5 v  10  
 u v  2  5v  2 
 v  2u  5
rs  6 s  r  6
rs  6 s  r  6 
  rs  6 s     r  6  
 sr  6  r  6 
  r  6   s  1
25 r  10 rs  s  t  4 tu  4 u
2
2
2
2
25 r  10 rs  s  t  4 tu  4 u 
2
2
2
2
  5r  s    t  2u  
2
2
   5 r  s    t  2 u     5 r  s    t  2 u   
  5r  s  t  2u   5r  s  t  2u 
9 a  6 ab  b  c  4 cd  4 d
2
2
2
2
9 a  6 ab  b  c  4 cd  4 d 
2
2
2
2
  3a  b    c  2 d  
2
2
   3 a  b    c  2 d     3 a  b    c  2 d   
  3a  b  c  2 d   3a  b  c  2 d 
6 m s  6 m  13 m n  4 sn  6 n
2
2
6 m s  6 m  1 3 m n  4 sn  6 n
2
2
 6 m  13m n  6 n  6 m s  4 ns
2
 2m
 3m
2
 3n   3m  2 n   2 s  3m  2 n 
 2 n    2 m  3n  2 s 
25 jk  15 j  13 jh  5 hk  2 h
2
2
25 jk  15 j  13 jh  5 hk  2 h
2
25 jk  5 hk  15 j  13 jh  2 h
2
2
2
5k 5 j  h   5 j  h  3 j  2h 
 5 j  h   5k
 3 j  2h 
25 r  10 rs  s  t  4 tu  4 u
2
9 a  6 ab  b  c  4 cd  4 d
2
2
2
2
2
2
2
6 m s  6 m  13 m n  4 sn  6 n
2
2
25 jk  15 j  13 jh  5 hk  2 h
2
2
2.1 El producto de dos binomios
2.2 El cuadrado de un multinomio
2.3 El proceso de factorización
2.4 Factores de binomios del tipo an+bn
2.5 Factorización por agrupación
2.6 Trinomios que son reductibles a la
diferencia de dos cuadrados
S i se puede convertir un trinom io
en un cuadrado perfecto,
m ediante la adición de un térm ino
que sea cuadrado perfecto,
entonces se puede expresar el trinom io
com o una diferencia de cuadrados.
4x  8x y  9 y
4
2
2
4
4x  8x y  9 y 
4
2
2
4
 4x  8x y  9 y  4x y  4x y 
4
2
2
4
2
2
2
2
 4x  8x y  4x y  9 y  4x y 
4
2
2
2
2
4
2
2
 4 x  12 x y  9 y  4 x y 
4
2
 2x  3y
2
2
2

2
4
2
2
 4x y 
2
2
2
2
2
2
   2 x  3 y   2 xy    2 x  3 y   2 xy 



  2 x  2 xy  3 y
2
2
 2 x  2 xy  3 y
2
2

D ebe observarse que este m étodo
se aplica únicam ente si al agregar
un cuadrado perfecto al trinom io
éste se convierte en cuadrado perfecto.
P or ejem plo,
x  x y  y
4
2
2
4
se convierte en cuadrado perfecto cuando
2
2
se le sustrae x y .
S in em bargo, se tiene
x  x y  y 
4
2
2
4
 x  x y  y  x y  x y 
4
2
2
4
2
2
2
2
 x  2x y  y  x y  x  y
4
2
2
4
2
2
2
2

2
 x y
2
2
que por ser sum a de dos cuadrados no es factorizable.
a  2 a b  9b
4
2
2
4
a  2 a b  9b
4
2
2
4
a  2 a b  9b  4 a b  4 a b
4
2
2
4
2
a  6 a b  9b  4 a b
4
a
2
2
 3b
2
2

4
2
2
 4a b
2
2
2
2
2
2
  a 2  3b 2   2 a b    a 2  3b 2   2 a b 



 a 2  2 a b  3b 2   a 2  2 a b  3b 2 



a
2
 2 a b  3b
2
a
2
 2 a b  3b
2

4 x  41 x y  64 y
4
2
4
8
4 x  41 x y  64 y
4
2
4
8
4 x  41 x y  64 y  9 x y  9 x y
4
2
4
8
2
4 x  32 x y  64 y  9 x y
4
2x
2
2
 8y
4
4

2
8
 9x y
2
2
4
2
4
4
4
  2 x 2  8 y 4   3 xy 2    2 x 2  8 y 4   3 xy 2 



2x
2
 8 y  3 xy
4
2
 2 x
2
 8 y  3 xy
4
2

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Capítulo 2. Productos notables y factorización