Mosaicos de Penrose 2
“Mosaico de
Penrose”,
Sala de
Matemáticas,
Universum.
Juan Sandoval,
Escultor
Javier Bracho,
Matemático.
Los Mosaicos de Penrose
se construyen dos piezas:
papalote
daga
con reglas de pegado
dadas por los colores de
los vértices.
¿Realmente se puede
¿Se
puede
llenar
el plano?
llenar
todo
el todo
plano?
Infle
y
Desinfle:
“Penrose”
Desinfle:
D(p) “ =’’ 2 p’ + 2( d’/2 )
D(d) “ =’’ p’ + 2( d’/2 )
Donde: p’ = f-1  p ,
d’ = f-1  d .
El desinfle de un mosaico M:
D(M):
• Desinflar todas sus piezas
• Fundir las medias dagas
D(M) tiene tamaño una
escala aúrea menor.
f-1
1
f
1
Ejemplos
Desinfle cuarto del Sol
Queda claro que podemos hacer mosaicos
tan grandes como queramos.
Pero esto no es lo mismo que llenar el
plano.
A menos que aprendamos a
crecer, es decir, a anidar
unos en otros.
Sol
D( Sol )
D2( Sol )
D3( Sol )
Sol  f4 D4( Sol )
Por lo tanto, sabemos como crecer
hasta cubrir todo el plano...
… “Sol Infinito”
Una variación de esta idea, nos
da una infinidad no numerable de
Mosaicos de Penrose.
(series infinitas de 0 y 1 )
•El Sol Infinito tiene simetría
caleidoscópica de orden 5.
•Insistamos entonces que un
mosaico es periódico si tiene
traslaciones en su grupo de
simetrías.
•Y entonces podemos demostrar
que el conjunto de piezas básicas
de Penrose es aperiódico:
El proceso de desinfle tiene un inverso.
El Infle:
•Partir en dos todas las dagas.
•Borrar aristas chicas bicromáticas.
•Juntar nuevas aristas chicas con grandes.
Teorema.
Los mosaicos de Penrose no tienen
traslaciones como simetrías.
Al inflar
las piezas se hacen
más y más grandes,
y entonces
rebazan a cualquier translación
Teorema.
En un mosaicos de Penrose, la razón entre
#(papalotes) y #(dagas) es aúrea.
Como
D(p) = 2 p + d
Entonces
D(d) = p + d
Dn(p) = F2n+1 p + F2n d
donde …. Fn … es la sucesión de Fibonachi:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...
y
Fn+1
Fn
f
Entre otras muchas preguntas,
queda abierta:
¿Existirá una sola
pieza Aperiódica?
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