Unidad didáctica:
El recurso de Internet
para las semejanzas en el
plano.
Autores:
Ceballos González, Manuel
Clavijo Ruiz, Fidel
El recurso de
Internet para
las
semejanzas
en el plano.
Objetivos
• Reconocer figuras semejantes.
• Construir figuras semejantes a una dada.
• Utilizar el teorema de Thales para resolver
problemas de semejanzas.
• Usar los distintos criterios de semejanza de
triángulos para resolver problemas geométricos.
Conceptos
• Figuras semejantes. Definición. Razón de
semejanza.
• Triángulos semejantes. Razón de áreas.
• Teorema de Thales. Triángulos en posición de
Thales.
• Criterios de semejanza de triángulos.
• Movimientos en el plano: Simetrías, traslaciones
y giros.
• Semejanzas en el plano.
Procedimientos
• Comprobación de la semejanza entre figuras.
• Cálculo de la razón de semejanza de figuras
semejantes.
• Cálculo de la razón de áreas entre figuras
semejantes.
• Determinación de la amplitud de los ángulos y
de la longitud de los lados de una figura
semejante a otra, de la que se conocen ángulos y
lados, utilizando la razón de semejanza.
• Utilización del teorema de Thales en la división
de segmentos de partes iguales o proporcionales
y en el cálculo de longitudes y distancias.
• Comprobación de la semejanza cuando
utilizamos triángulos en posición de Thales.
• Utilización de los criterios de semejanza de
triángulos para detectar situaciones de
semejanza en triángulos, o resolver problemas
geométricos y de situaciones reales.
• Aplicación de movimientos a figuras en el plano.
• Construcción de figuras homotéticas.
Actitudes
• Interés por enfrentarse a situaciones geométricas
nuevas.
• Potenciación de la iniciativa personal para
plantearse investigaciones sobre formas
geométricas planas.
• Reconocimiento de la semejanza, puesto que
nos proporciona nuevos métodos de resolución
de problemas geométricos.
• Valoración de las aplicaciones de la semejanza
en el cálculo de distancias.
• Tenacidad en la búsqueda de soluciones a
problemas geométricos o situaciones reales.
Semejanzas en el plano
• Conceptos vinculados a la
semejanza (por niveles):
• 1º E.S.O.
(1) Proporcionalidad. Razón de proporción.
Proporcionalidad directa e inversa.
• 2º E.S.O.
(1) Teorema de Thales.
Semejanzas en el plano
• 3º E.S.O.
(1) Teorema de Thales.
(2) Traslación.
(3) Simetría.
(4) Semejanza de triángulos.
• 4º E.S.O.
(1) Giro.
(2) Homotecia.
(3) Semejanza.
Índice:
(1) Referencias Históricas
(2) Proporcionalidad
(3) Teorema de Thales
(4) Traslaciones
(5) Simetrías
(6) Semejanza de triángulos
(7) Giros
(8) Homotecias
(9) Semejanzas
(10) Webgrafía
REFERENCIAS
HISTÓRICAS
Referencias Históricas
(1) Referencias Históricas:
(1.1)http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/geometria.html
Esta web versa sobre el origen de las matemáticas en general y
de la geometría en particular. Se hace un breve resumen de los
descubrimientos matemáticos vinculados a la geometría que
fueron sucediendo desde la época de los egipcios hasta finales
del siglo XIX. En este recorrido se analiza el progreso de las
matemáticas en las distintas culturas y civilizaciones. También
se nombran a matemáticos ilustres, protagonistas de los
avances que caracterizan cada etapa de este desarrollo. Por
último se describen algunas disciplinas específicas de la
geometría como son la geometría diferencial, la geometría
analítica, la descriptiva y la proyectiva.
Referencias Históricas
(1.2) http://www.mat.usach.cl/histmat/html/thal.html
Esta web es una biografía de Thales de Mileto. Se describen
las aportaciones que Thales ofreció como comerciante,
geómetra y astrónomo.
Otra web de contenido semejante a las anteriores es:
(1.3)http://enebro.cnice.mecd.es/~jhep0004/Paginas/Lydia/histor
ia.htm
(1.4)http://www.portalplanetasedna.com.ar/divina_proporcion.ht
m
Esta web es una referencia histórica sobre las proporciones.
En primer lugar narra el estudio de las proporciones del
hombre de Vitruvio, cuadro de Leonardo da Vinci que realiza
una visión del hombre como centro del Universo.
Referencias Históricas
A continuación encontramos un texto sobre la divina
proporción o proporción áurea. Se resalta el hecho de cómo
ha ido usándose este concepto en todas las disciplinas.
Por último, la sucesión de Fibonacci donde el cociente entre
dos números consecutivos se va aproximando a la sección
áurea.
(1.5)http://www.portalplanetasedna.com.ar/anecdotas_matema
ticas.htm#LA%20LEYENDA%20DEL%20AJEDREZ
Esta web trata varias anécdotas y curiosidades matemáticas que
pueden resultar de interés para los alumnos.
Entre ellas encontramos títulos como:
• La leyenda del ajedrez
• Razón Áurea
Para más información:
http://www.geocities.com/ResearchTriangle/Thinktank/4492/noticias/la_propor
cion_aurea.htm
Referencias Históricas
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•
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•
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•
•
Cálculo ultrarrápido
Fibonacci
Eratóstenes
Pierre de Fermat
Gottingen
Número ∏
Números perfectos
Recta de Euler
Herón de Alejandría
Problemas griegos
Siglo XXI
Ramanujan
Índice:
(1) Referencias Históricas
(2) Proporcionalidad
(3) Teorema de Thales
(4) Traslaciones
(5) Simetrías
(6) Semejanza de triángulos
(7) Giros
(8) Homotecias
(9) Semejanzas
(10) Webgrafía
PROPORCIONALIDAD
Proporcionalidad
(2) Proporcionalidad:
(2.1)http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Funciones_funcion_
de_proporcionalidad/Proporcion.htm
•
•
•
•
•
Conceptos:
Proporcionalidad directa.
Concepto de proporción. Propiedad fundamental de las
proporciones.
Regla de tres directa.
Proporcionalidad inversa.
Regla de tres inversa.
Proporcionalidad
En esta web se introduce el concepto de la proporcionalidad.
Para definir los conceptos se parte de un ejemplo aplicado a la
vida real, se resuelve y posteriormente se formaliza.
En cada ejemplo se muestra una aplicación interactiva con los
ejes coordenados donde se van dibujando las coordenadas
correspondientes a las magnitudes objeto de estudio. El alumno
podrá comprobar que todos los puntos se sitúan sobre una recta
que pasa por el origen, en el caso de la proporción directa o
sobre una curva cuyas asíntotas son los propios ejes, en caso de
proporción inversa.
Se propone a los alumnos que dibujen tablas en su cuaderno
para que comprueben los resultados.
Proporcionalidad
A partir de tablas, se define el concepto de proporción, la razón
de proporción y la propiedad fundamental de las proporciones.
A continuación, se muestran ejemplos de reglas de tres directa.
Sobre un cuadro interactivo los alumnos pueden ir cambiando
los valores de las magnitudes para resolver todos los ejemplos.
Por último, se define la proporcionalidad inversa con ayuda de
un ejemplo de la vida real y se plantean problemas de regla de
tres inversa.
Se usan aplicaciones interactivas semejantes a las consideradas
anteriormente.
Proporcionalidad
(2.2)http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Semejanza/Semejan1.h
tm
Esta web trata la proporcionalidad geométrica.
En primer lugar se define la razón de proporción entre
segmentos. Para la comprensión de este concepto se usa una
aplicación interactiva y se proponen dos ejercicios. Esta
aplicación recibe como dato de entrada cuatro valores
numéricos correspondientes a las longitudes de cuatro
segmentos y devuelve como resultado el cociente de los dos
primeros y de los dos restantes.
En los dos primeros ejercicios se fijan tres valores: a, b, c y se
pide hallar la razón de proporcionalidad y la medida del cuarto
segmento.
Proporcionalidad
A continuación, se define el concepto de medio proporcional y
como aplicación se propone un ejercicio para calcular el medio
proporcional asociado a los valores 2 y 8.
Para resolver esta cuestión, el alumno deberá ir variando los
valores de los términos centrales conservando la razón de
proporción hasta que coincidan.
En este mismo ejercicio se pide al alumno que dé otra forma de
calcular ese valor.
Proporcionalidad
(2.3) http://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad
Conceptos:
• Proporcionalidad directa con varios factores.
• Concepto de proporción. Términos de una proporción.
Propiedades.
• Proporcionalidad inversa.
Esta web al contrario que las anteriores no contiene aplicaciones
interactivas.
En cuanto a contenidos teóricos, se definen los conceptos de
proporción, proporción múltiple y términos de la proporción; se
demuestra que “ser proporcional a” es relación de equivalencia y
se enuncia la propiedad fundamental de las proporciones.
Además, contiene ejemplos extraídos de la vida real:
Proporcionalidad
•
•
El primer ejemplo es un problema de proporción con razones
iguales y con magnitudes directamente proporcionales. Tras
resolverlo, se hace hincapié en la representación gráfica
mediante una función lineal.
El segundo ejemplo es de proporcionalidad múltiple con
influencia de más de un factor. Este ejemplo se resuelve de dos
formas distintas.
– La primera forma consiste en fijar cada uno de los factores y
operar de forma habitual.
– La segunda forma da un método más rápido multiplicando
por los coeficientes correspondientes a cada factor.
Esta web es de un nivel superior a las anteriores, aún así puede
resultar útil como orientación.
Índice:
(1) Referencias Históricas
(2) Proporcionalidad
(3) Teorema de Thales
(4) Traslaciones
(5) Simetrías
(6) Semejanza de triángulos
(7) Giros
(8) Homotecias
(9) Semejanzas
(10) Webgrafía
TEOREMA DE
THALES
(3) Teorema de Thales:
Teorema de Thales
(3.1) http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Semejanza/Semejan1.htm
•
Conceptos:
Teorema de Thales. Aplicación en un triángulo.
En esta web se trata el Teorema de Thales. Se adjunta una
aplicación interactiva. En la ventana de la aplicación aparecen
tres rectas paralelas cortando a dos transversales. Se trata de que
el alumno compruebe el Teorema de Thales haciendo variar
elementos del dibujo. Para ello se proponen cuatro ejercicios:
Teorema de Thales
En el primer ejercicio el alumno debe mover los extremos
de los segmentos determinados por los cortes y comprobar
que las razones se conservan.
En el segundo se debe hacer la misma comprobación
moviendo la recta intermedia paralela.
El tercer ejercicio pide realizar las comprobaciones
anteriores pero en el cuaderno, sin usar ordenador.
Para el cuarto y último ejercicio, al alumno debe mover la
recta paralela intermedia hasta que los cortes sobre ella
equidisten de los extremos correspondientes. Después debe
variar los extremos de los segmentos para comprobar que la
longitud se conserva.
Teorema de Thales
Actividades interactivas similares se pueden encontrar en las
páginas:
(3.2)http://descartes.cnice.mecd.es/4a_eso/Semejanza/teorema_de
_thales.htm
(3.3)http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/I
IICiclo/NivelIX/TeoremadeThales/TeoremadeThales.htm
(3.4)http://enebro.cnice.mecd.es/~jhep0004/Paginas/Lydia/teorem
a.htm
Teorema de Thales
La última sección constituye una aplicación del Teorema de
Thales sobre triángulos. Con una aplicación interactiva, el alumno
puede comprobar que se sigue verificando el Teorema de Thales
sobre un triángulo en el que se ha trazado una paralela a uno de
los lados. Esta aplicación del teorema de Thales también puede
verse en:
(3.5)http://www.divulgamat.net/weborriak/recursosinternet/Recaula
/Geometria/tales.htm
Teorema de Thales
Las páginas web siguientes contienen las mismas actividades
interactivas que la referencia del principio:
(3.6)http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/cabriweb/0inicio/ThThal
es.htm
(3.7)http://enebro.cnice.mecd.es/~jhep0004/Paginas/Lydia/aplic
aciones.htm
(3.8)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Teorem
a_de_thales/Semejanzas_thales.htm
Teorema de Thales
(3.9)http://mimosa.cnice.mecd.es/clobo/geoweb/semej2.htm
Conceptos:
Teorema de Thales.
•
–
División de un segmento en partes iguales.
–
División de un segmento en partes proporcionales a segmentos dados.
Esta web trata del Teorema de Thales y dos aplicaciones del
mismo. Se comienza enunciando el teorema y se adjunta una
actividad interactiva que permite al alumno reproducir paso a
paso la construcción de los elementos geométricos que se
usan y modificarlos a su gusto. Hay una errata: en la parte
inferior de la actividad aparece A’B’=B’C’ en vez de
A’B’/B’C’.
Teorema de Thales
A continuación se presentan dos aplicaciones del Teorema de
Thales muy útiles para dibujo y geometría.
La primera es la división de un segmento en partes iguales.
Esta construcción se puede hacer con regla y compás. Se
adjunta una aplicación interactiva que permite visualizar la
construcción paso a paso.
La otra aplicación es la división de un segmento en partes
proporcionales a segmentos o números dados. También se
muestra una aplicación análogas a las anteriormente
mencionadas.
Teorema de Thales
(3.10)http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/Hist
oria/Thales%20de%20Mileto.htm
Conceptos:
• Introducción histórica, periodo Helénico.
• Thales de Mileto.
• Cinco Teoremas atribuidos a Thales.
En esta web nos encontramos con una pequeña introducción
histórica al periodo Helénico y a Thales de Mileto como padre
de la geometría deductiva. En ella se hace referencia a sus
estudios en Egipto y Grecia. A continuación, se enuncian
cinco teoremas que la tradición atribuye a Thales. Cada
teorema aparece ilustrado con una imagen interactiva que los
alumnos pueden modificar. Estos teoremas son:
Teorema de Thales
• Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por su
diámetro.
• Los ángulos de la base en un triángulo isósceles son iguales.
• Los ángulos opuestos por el vértice intersección de dos rectas
son iguales.
• Congruencia de triángulos.
• El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
(3.11)http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informat
icos/andared02/geometria2/Trabajo/tema6/thales.htm
En esta web se enuncia el Teorema de Thales ilustrándolo
con un dibujo.
Teorema de Thales
(3.12)http://www.rena.edu.ve/terceraEtapa/matematica/TEMA3
0/SemejanzaTriangulos.html
En la siguiente web se enuncia el Teorema de Thales y se usa
una aplicación para justificar el origen del teorema. Thales
utilizó el teorema para calcular la altura de una de las grandes
pirámides de Egipto. Aparecen imágenes ilustrativas explicando
los razonamientos de este matemático.
Por último, hay un enlace a una actividad interactiva que trata de
averiguar la anchura de un río con ayuda de un árbol a cada lado
del río. El alumno puede comprobar si su solución es correcta
seleccionando “Evaluar”.
Ahora vamos a desarrollar el contenido de páginas que no
disponen de actividades interactivas.
Teorema de Thales
(3.13) http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales
En esta web se enuncian dos teoremas que reciben el nombre
de Teorema de Thales.
• El primero de los teoremas afirma que dadas dos rectas
“r” y “s”, concurrentes en un punto “ O ”, dos puntos de
“r” A y A’, dos puntos de “s” B y B’, se verifica:
OA '
OA

OB '
 ( AB ) || ( A ' B ' )
OB
Este enunciado establece una equivalencia con el
paralelismo de las correspondientes rectas que cortan a
las transversales.
Teorema de Thales
Como aplicación se propone un problema en el que se
conoce la sombra de un árbol, la longitud de un lápiz y la
sombra del mismo. Se pide calcular la altura del árbol.
•
El segundo de los teoremas afirma que todo ángulo inscrito
en una semicircunferencia es recto. Y viene acompañado de
una demostración.
Índice:
(1) Referencias Históricas
(2) Proporcionalidad
(3) Teorema de Thales
(4) Traslaciones
(5) Simetrías
(6) Semejanza de triángulos
(7) Giros
(8) Homotecias
(9) Semejanzas
(10) Webgrafía
TRASLACIONES
Traslaciones
(4) Traslaciones:
(4.1)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Movimi
entos_plano_vectores/josepmnavarro_UD3.htm
Conceptos:
Traslaciones en el plano.
•
–
–
–
Concepto de traslación.
Composición de traslaciones.
Propiedades de las traslaciones.
El primer apartado de esta web trata el concepto de traslación
en el plano. Se muestra un ejemplo de traslación dado por un
vector director aplicado a un triángulo.
Traslaciones
El ejemplo viene ilustrado con una imagen interactiva donde el
alumno podrá variar la longitud y la dirección del vector en
cuestión.
A continuación un segundo ejercicio para estudiar la relación
entre las coordenadas de los elementos del ejemplo anterior. En
este caso también se puede variar el origen y extremo del vector
dirección sobre la imagen interactiva.
En el segundo apartado se estudia la composición de dos
traslaciones con sus vectores directores correspondientes. Para
ello también contamos con una actividad interactiva de
características semejantes. Además se proponen ejercicios para
que el alumno formalice y generalice lo que observa.
Traslaciones
Por último, sobre una pizarra interactiva se pide comprobar las
propiedades que caracterizan al grupo abeliano de las
traslaciones con la operación composición.
(4.2)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Movimi
entos_en_el_plano/Ricardo_Alonso_UD.htm
En esta web se estudia el concepto de traslación. Primeramente
se define formalmente y después se ilustra interactivamente con
un ejemplo en la traslación de un segmento. También se hacen
preguntas para que el alumno razone sobre las propiedades de
las traslaciones.
Traslaciones
(4.3)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Movimi
entos_plano_puntos_segmento/Traslacion.htm
Conceptos:
• Traslación en el plano.
–
–
–
–
Traslación de puntos.
Traslación de segmentos.
Traslación de rectas.
Traslación de ángulos.
Esta web versa sobre traslaciones en le plano. Se comienza
dando un ejemplo ilustrado por un dibujo para dar una idea
intuitiva del concepto.
Traslaciones
A continuación, tenemos cuatro apartados para estudiar la traslación
sobre puntos, segmentos, rectas y ángulos.
Cada caso se ilustra con una aplicación interactiva manipulable por
parte del alumno. Además se proponen ejercicios para que le alumno
perciba las propiedades de las traslaciones.
Traslaciones
(4.4)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Vectore
s_y_traslaciones/Vectores_y_traslaciones.htm
Conceptos:
• Vectores.
– Vector de posición.
– Vector fijo y vector libre.
• Traslación.
– Traslación de un punto.
– Traslación de una figura.
– Suma de vectores y traslaciones.
Traslaciones
Esta web trata sobre vectores y traslaciones. En la primera parte
se definen conceptos como vector de posición , vector fijo y
vector libre. Todos ellos vienen ilustrados con imágenes
interactivas. En ellas el alumno puede modificar el extremo y
origen de los vectores (salvo en el de posición) y ver como varían
las coordenadas. A su vez se definen las características de un
vector: módulo, dirección y sentido.
En la segunda parte se estudia la traslación en el plano.
Primeramente, se explica el proceso de traslación de un punto y
después la traslación de una figura. Al igual que antes, el alumno
dispone de aplicaciones interactivas para visualizar el
procedimiento.
Por último, se explica la suma de vectores para poder definir la
composición de traslaciones. Son importantes los dos ejercicios
finales pues en ellos se concentran las propiedades de las
traslaciones.
Índice:
(1) Referencias Históricas
(2) Proporcionalidad
(3) Teorema de Thales
(4) Traslaciones
(5) Simetrías
(6) Semejanza de triángulos
(7) Giros
(8) Homotecias
(9) Semejanzas
(10) Webgrafía
SIMETRIAS
Simetrías
(5) Simetrías:
(5.1) http://www.cienciateca.com/simclases.html
Esta web estudia las diferentes clases de simetrías. La simetría es
una noción más fácil de intuir que de describir. Por ello en esta
web se explica mediante dibujos con manos. Así los alumnos
pueden reproducir las imágenes y comprender el concepto de
simetría. Se hace hincapié en el origen histórico de la
clasificación de las simetrías y en las redes y mosaicos regulares
como aplicación de las mismas.
Simetrías
(5.2)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Movimi
entos_plano_puntos_segmento/Simetria.htm
Esta web trata los dos tipos de simetrías: simetría central (o
simetría respecto a un punto) y simetría axial (o simetría
respecto a un eje). Primeramente se describe la simetría central
con ayuda de un dibujo. Se enuncian las propiedades que
relacionan la figura inicial y la transformada. Por último se
estudia la simetría axial de forma análoga.
Simetrías
(5.3)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Movimi
entos_en_el_plano/Ricardo_Alonso_UD.htm
En el tercer apartado de esta web encontramos una explicación
del concepto de simetría axial. Además nos encontramos con
una aplicación interactiva para facilitar la comprensión del
mismo. En esta aplicación el alumno puede modificar el eje de
simetría, que es una recta “y=mx+n”, variando los parámetros
“m” y “n”.
Por último, se proponen cuatro ejercicios para practicar la
simetría axial sobre un hexágono y una circunferencia. Cabe
resaltar la importancia de ésta última para que el alumno
entienda el concepto de punto y recta doble.
Simetrías
(5.4)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Movimi
entos_plano_vectores/josepmnavarro_UD4.htm
Conceptos:
• Simetría axial
–
–
–
–
Concepto de simetría.
Simetría respecto a los ejes coordenados.
Composición de simetrías axiales.
Propiedades de las simetrías axiales.
El primer apartado de esta web trata el concepto de simetría
axial. Para ello se muestra una aplicación interactiva con la
simetría axial aplicada a un triángulo ABC. Además se proponen
tres ejercicios para que el alumno modifique los vértices del
triángulo original y compruebe las propiedades de este tipo de
simetría.
Simetrías
En el siguiente apartado se estudia el caso particular en el que el
eje de simetría corresponde a un eje coordenado. En una ventana
interactiva el alumno puede ver las coordenadas de los puntos
transformados. También se proponen dos ejercicios para que se
modifique el punto original y se comprueben las propiedades.
En el tercer apartado estudiamos la composición de dos simetrías
axiales consecutivas con ejes “e1” y “e2”. Además se analiza el
caso particular en que los ejes de simetría son incidentes en un
punto común. Así se generaliza el análisis que se realizó en el
apartado anterior y se muestra la simetría central como caso
particular de composición de simetrías axiales.
Por último, sobre una pizarra interactiva se pide comprobar las
propiedades que caracterizan a la composición de simetrías
axiales.
Índice:
(1) Referencias Históricas
(2) Proporcionalidad
(3) Teorema de Thales
(4) Traslaciones
(5) Simetrías
(6) Semejanza de triángulos
(7) Giros
(8) Homotecias
(9) Semejanzas
(10) Webgrafía
SEMEJANZA DE
TRIANGULOS
Semejanza de triángulos
(6) Semejanza de triángulos:
(6.1)http://mimosa.cnice.mecd.es/clobo/geoweb/semej4.htm
En esta web se trata la semejanza de triángulos. Se definen los
conceptos de semejanza entre dos triángulos y la razón de
semejanza correspondiente. También se muestra un dibujo
con dos triángulos semejantes en los que se han medido sus
lados y su razón.
Aparecen tres enlaces en la columna de la derecha que
contiene cada uno de ellos un criterio de semejanza de
triángulos y una aplicación interactiva.
Semejanza de triángulos
(6.2)http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Semejanza/Semejan2.h
tm
Conceptos:
• Semejanza de triángulos.
• Semejanza de polígonos.
En esta web se estudia la semejanza de triángulos y polígonos
como figuras de ángulos iguales y lados proporcionales.
Aparecen dos ventanas interactivas que permiten modificar la
figura inicial y visualizar cómo cambia la figura semejante.
Además se proponen varios ejercicios para que el alumno
compruebe propiedades de la semejanza.
Semejanza de triángulos
(6.3)http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/III
Ciclo/NivelIX/ConceptodeSemejanza/SemejanzadeTriangulos.htm
Conceptos:
• Semejanza en matemáticas y en la vida cotidiana.
• Semejanza de triángulos.
En esta web se estudia el concepto de semejanza y el de semejanza
de triángulos. Primeramente se recuerda la noción de
proporcionalidad y razón.
A continuación, se estudia el término de semejanza en el lenguaje
cotidiano con ayuda de algunos ejemplos. Después se analiza el
concepto de semejanza en matemáticas con situaciones de la vida
real.
Semejanza de triángulos
Por último, se aplican las definiciones anteriores para establecer el
concepto de semejanza de triángulos. Para facilitar su comprensión se
adjunta una aplicación interactiva con dos triángulos semejantes donde
se han medido sus ángulos, sus lados y su razón. El alumno puede
modificar los vértices del triángulo original y comprobar la semejanza.
(6.4)http://mimosa.cnice.mecd.es/clobo/geoweb/semej4.htm
Conceptos:
• Aplicaciones de la semejanza de triángulos.
En esta web se estudian dos aplicaciones de la semejanza de
triángulos. La primera de ellas es el cálculo de alturas a partir de la
sombra de dos objetos conociendo la altura del más pequeño. Se
adjunta una aplicación interactiva que permite visualizar la resolución
del problema paso a paso.
Semejanza de triángulos
La segunda de las aplicaciones consiste en calcular la altura de un
objeto sin necesidad de medir la sombra. Para ello tendremos que
alinear los extremos de ambos objetos y así construir dos triángulos
rectángulos con un vértice común. También se muestra una
aplicación interactiva de características semejantes a la anterior.
A partir de ahora veremos algunas páginas que no disponen de
actividades interactivas como son las siguientes:
(6.5)http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matem%C3%A1tica/
Geometr%C3%ADa/ejerci-semej-graf.pdf
Esta web contiene once ejercicios sobre semejanza de triángulos. En
ellos se pide reconocer si dos triángulos son semejantes y también
calcular la relación entre ángulos o lados de dos triángulos sabiendo
que son semejantes. Para ello se aplican tres teoremas que
caracterizan a dos triángulos semejantes.
Semejanza de triángulos
(6.6)http://www.rena.edu.ve/terceraEtapa/matematica/TEMA30/Se
mejanzaTriangulos.html
En esta web se enuncian dos de los tres criterios para determinar si
dos triángulos son semejantes. El primer criterio es el de
congruencia de dos ángulos internos. Primeramente, se toman dos
triángulos con sus tres ángulos iguales y se explica intuitivamente
porqué son semejantes. Ahora se razona, que al ser la suma de los
tres ángulos de un triángulo igual a 180º, conociendo dos de ellos, el
tercero queda determinado. Como caso particular, se muestra que
para que dos triángulos rectángulos sean iguales basta que tengan un
ángulo agudo igual.
El segundo criterio es el de la proporcionalidad de sus lados.
Como aplicación se explica como Thales empleó su conocimiento
de los triángulos semejantes para calcular la altura de una pirámide
egipcia.
Semejanza de triángulos
(6.7)http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informatic
os/andared02/geometria2/Trabajo/tema6/indice.htm
En esta web se muestran los tres criterios de semejanza de
triángulos. A los dos criterios que enunciamos en la referencia
anterior, se añade un tercero: Dos triángulos son semejantes
cuando tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son
proporcionales.
Nota: Hay una errata en la web. En el tercer criterio aparece
escrito “lado” en lugar de “ángulo”.
(6.8) http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulos_semejantes
Esta web estudia la semejanza de triángulos con un nivel bastante
superior a las anteriores.
Semejanza de triángulos
Primeramente, se define la semejanza formalmente como
composición de una isometría y una homotecia y después se
particulariza al caso de un triángulo.
Después se enuncian los criterios de semejanza de triángulos y se
demuestra que “ser semejante a” es relación de equivalencia.
A continuación se enuncia un teorema fundamental de semejanza
de triángulos que afirma que una paralela a un lado de un triángulo
determina otro triángulo semejante al inicial. Se muestra una
demostración de este teorema usando el Teorema de Thales.
Por último, una pequeña referencia a las geometrías no euclídeas.
Índice:
(1) Referencias Históricas
(2) Proporcionalidad
(3) Teorema de Thales
(4) Traslaciones
(5) Simetrías
(6) Semejanza de triángulos
(7) Giros
(8) Homotecias
(9) Semejanzas
(10) Webgrafía
GIROS
Giros
(7) Giros:
(7.1)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Movimi
entos_en_el_plano/Ricardo_Alonso_UD.htm
Conceptos:
• Giros en el plano.
En esta web se estudian los giros. Primeramente se da la
definición formal de giro de centro “O” y ángulo “b”. Como
caso particular, se nombra la simetría central que corresponde a
un giro de 180º. Se adjunta una ventana interactiva con un
triángulo y su transformado. El alumno puede modificar el
ángulo de giro y ver como cambia la figura.
Giros
A continuación, se proponen varios ejercicios. Por último se
resuelve un ejemplo en el que se da la figura original y su
transformada, pero no se conoce el centro ni la amplitud del giro.
(7.2)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Movimien
tos_plano_puntos_segmento/Giro.htm
Conceptos:
• Giros.
– Giro de segmentos.
– Giro de rectas.
– Giro de ángulos.
Esta web trata los giros en el plano. Comienza definiendo el
concepto de giro de centro “O” y ángulo “a” con ayuda de un
dibujo como ejemplo.
Giros
También se adjunta una actividad interactiva con cuatro puntos y
sus transformados mediante un giro de centro el origen y ángulo
“a”. En ella, se puede modificar el ángulo y ver cómo va
variando la posición de los puntos. Se proponen tres ejercicios
sobre esta actividad.
A continuación se estudia el giro de segmentos, de rectas y de
ángulos a partir de la transformación de puntos que se vio en el
apartado anterior. También se adjuntan ventanas interactivas para
que el alumno cambie el ángulo de giro, la recta o el segmento y
se proponen los ejercicios sobre ello.
Giros
(7.3)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Movimien
tos_plano_vectores/josepmnavarro_UD5.htm
Conceptos:
• Giros y simetrías centrales.
– Giro.
– Simetrías centrales.
– Composición de giros.
Esta web está dividida en tres apartados. En el primero se estudia
el giro de centro “O” y ángulo “a”. Se muestra un ejemplo sobre
una escena interactiva donde el alumno puede modificar el ángulo
y el centro de giro. Se proponen ejercicios al respecto.
Giros
El segundo apartado está dedicado a las simetrías centrales, como
caso particular de un giro de 180º. Se adjunta una ventana de
características similares a la anterior y se plantean dos ejercicios.
En el último apartado se estudia la composición de giros. Se exhibe
una escena interactiva con la composición de dos giros de centros
distintos y se proponen tres ejercicios para reconocer que
movimiento resulta en cada caso.
Índice:
(1) Referencias Históricas
(2) Proporcionalidad
(3) Teorema de Thales
(4) Traslaciones
(5) Simetrías
(6) Semejanza de triángulos
(7) Giros
(8) Homotecias
(9) Semejanzas
(10) Webgrafía
HOMOTECIAS
Homotecias
(8) Homotecias:
(8.1) http://es.wikipedia.org/wiki/Homotecia
Conceptos:
• Homotecia.
– Homotecias en el plano.
– Ejes de homotecia.
En esta web se estudian las homotecias. Primeramente se da la
definición formal de este concepto como transformación que a
partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un
mismo factor. Se muestra un ejemplo.
Homotecias
A continuación se enuncian las nociones geométricas que se
conservan por homotecias. Esto es debido a ser una
transformación lineal.
En el siguiente apartado tenemos las homotecias en el plano
caracterizadas por el paralelismo de las rectas homólogas. Se
caracteriza la razón de homotecia como razón de homotecia
positiva o negativa y se define cuándo dos figuras son
homólogas.
Por último, un breve comentario a los ejes de homotecia. Se
muestra un ejemplo en el que dadas tres circunferencias se han
calculado los seis centros de homotecia.
Homotecias
(8.2)http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matemati
cas/materiales/4eso/geometria/homoteciasysemejanzas/homot
eciasysemejanzas.htm
Conceptos:
• Homotecias.
–
–
–
–
Resultados previos.
Homotecia.
Relación entre áreas de figuras homotéticas.
Aplicaciones de las homotecias.
En esta web se estudia el concepto de homotecia. En el primer
apartado encontramos dos problemas previos basados en
proporcionalidad de magnitudes. El primer problema cuenta
cómo estimó Eratóstenes el radio terrestre y el segundo
problema es un razonamiento con el que Aristarco obtuvo las
dimensiones lunares a partir del eclipse de Luna.
Homotecias
En el siguiente apartado se estudia la noción de homotecia. Se
comienza dando la definición y se propone al alumno que realice
ejercicios en su cuaderno para la comprensión del concepto. A
continuación damos la definición de puntos homotéticos y
figuras homotéticas.
El tercer apartado supone un análisis de la relación entre áreas
de figuras homotéticas. Se adjunta un ejemplo en el que se
k
toman dos triángulos homotéticos de razón
“ ”. El cociente de
2
k
sus áreas es “ ”. Se propone al alumno que haga lo mismo con
el perímetro.
En el último apartado de ésta web se enuncian tres aplicaciones
fundamentales de las homotecias en la vida real. Encontramos
aplicaciones a la astronomía para calcular diámetros y distancias
o en ingeniería para conocer profundidades o dimensiones.
Homotecias
(8.3)http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Semejanza_y_homote
cia/Homote1.htm
Conceptos:
• Homotecias.
– Definición.
– Homotecia de centro el origen de coordenadas.
– Composición de homotecias del mismo centro.
En esta web se estudia el concepto de homotecia. La primera
parte está dedicada a la definición de homotecia de centro “O” y
razón “k”. Se distingue también entre homotecia directa e
inversa. Además se adjunta una actividad interactiva en la que
hay dos triángulos homotéticos y el alumno puede modificar la
razón de homotecia.
Homotecias
En el segundo apartado se estudia el caso particular en el que
el centro de la homotecia es el origen de coordenadas. Se
muestra una ventana con características similares a la anterior
mostrando además, las coordenadas.
Por último, se analiza la composición de homotecias del
mismo centro. Se adjuntan dos escenas interactivas para
comprobar que la composición de dos homotecias sigue
siendo una homotecia.
(8.4) http://rt0028g4.eresmas.net/PROBHOMOTECIAS.htm
Conceptos:
• Problemas de homotecias.
En esta web se pueden ver tres problemas resueltos de
homotecias. Estos problemas tratan circunferencias homotéticas
Homotecias
y se pide hallar centros de homotecia, cuerdas determinadas
en las circunferencia o construir nuevas circunferencias.
Son fundamentales los conceptos de proporción, mediatriz y
bisectriz.
Índice:
(1) Referencias Históricas
(2) Proporcionalidad
(3) Teorema de Thales
(4) Traslaciones
(5) Simetrías
(6) Semejanza de triángulos
(7) Giros
(8) Homotecias
(9) Semejanzas
(10) Webgrafía
SEMEJANZAS
Semejanzas
(9) Semejanzas:
(9.1)http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas
/materiales/4eso/geometria/homoteciasysemejanzas/homoteciasy
semejanzas.htm
Conceptos:
• Semejanza.
– Definición y propiedades.
– Figuras semejantes.
– Aplicaciones.
En esta web se estudia la noción de semejanza en el plano. En la
primera parte se analiza un ejemplo en el que se toma un triángulo
al que se le aplica una homotecia, después una traslación, una
simetría y por último un giro. A partir de este ejemplo se da la
definición
Semejanzas
formal de semejanza. Además se adjunta una reproducción
interactiva en la que se puede ver paso a paso la construcción de un
triángulo semejante a uno inicial. A continuación se enuncian las
propiedades que verifican triángulos semejantes.
En el siguiente apartado se enuncia una definición intuitiva del
concepto de semejanza con ayuda de un dibujo.
Por último, se analizan dos aplicaciones fundamentales de las
semejanzas. La primera, al cálculo de distancias y la segunda a las
escalas.
Semejanzas
(9.2)http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/semejanza_plano/UD
_Figuras_semejantes_1.htm
Conceptos:
• Semejanzas en el plano.
– Figuras semejantes.
– Razón de semejanza.
– Perímetros y áreas de figuras semejantes.
Esta web trata las semejanzas en el plano. En el primer apartado se
enuncia la noción intuitiva de semejanza y se caracterizan las figuras
semejantes. A continuación se muestra una ventana interactiva con
dos figuras semejantes de cuatro lados. En ella, el alumno puede
modificar las longitudes de los lados y arrastrar las figuras para
superponerlas. Se proponen tres ejercicios al respecto.
Semejanzas
En el siguiente apartado se define la razón de semejanza y se
adjunta una pantalla interactiva análoga a la anterior con la
diferencia de que aparece el cálculo explícito de la razón. También
se proponen ejercicios para modificar las figuras.
El último apartado analiza la relación de perímetro y área entre
figuras semejantes. Se concluye con una actividad interactiva de
características similares a las anteriores.
(9.3)http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/Semejanzas_en_el_pla
no/semejanzas.htm
Conceptos:
• Semejanzas en el plano.
– Figuras de lados paralelos.
– Figuras de lados no paralelos e igual orientación.
– Figuras con distinta orientación.
Semejanzas
Esta web versa sobre semejanzas en el plano. La página consta de
tres apartados. En el primero se estudia el caso dos triángulos
semejantes de lados paralelos.
En el segundo, se analizan dos triángulos semejantes no paralelos
como resultado de una homotecia y un giro. En cada apartado se
adjunta una práctica con una ventana interactiva para que el alumno
pueda variar la razón de semejanza o las variables de los
movimientos a aplicar.
En el último apartado, se estudian dos triángulos semejantes con
distinta orientación, debido a que se va a aplicar una simetría axial,
un giro y una homotecia. Se añade una actividad interactiva
semejante a las anteriores.
Índice:
(1) Referencias Históricas
(2) Proporcionalidad
(3) Teorema de Thales
(4) Traslaciones
(5) Simetrías
(6) Semejanza de triángulos
(7) Giros
(8) Homotecias
(9) Semejanzas
(10) Webgrafía
WEBGRAFIA
Webgrafía
(10) Webgrafía:
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http://descartes.cnice.mec.es
http://es.wikipedia.org
http://roble.cnice.mecd.es
http://mimosa.cnice.mecd.es
http://www.divulgamat.net
http://www.cidse.itcr.ac.cr
http://enebro.cnice.mecd.es
http://www.juntadeandalucia.es
http://www.rena.edu.ve
http://www.cienciateca.com
http://www.matebrunca.com
http://almez.pntic.mec.es
http://www.mat.usach.cl
http://www.portalplanetasedna.com.ar
http://rt0028g4.eresmas.net
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Internet como Recurso –Semejanzas en el Plano