MÉTODOS AVANZADOS DE LA
QUÍMICA CUÁNTICA
Métodos de pares
acoplados
Ignacio Nebot-Gil
Universitat de València
Métodos de pares acoplados
Método IEPA: Ecuaciones
 Coupled Cluster Approximation
 Métodos CCD y CCSD
 Linealización de CCD
 Método CEPA
 Comparación de métodos

Recordatorio
CI truncados no size-consistent
 DCI NEcorr  N1/2 para N  
 [lim NEcorr /N]N  =0
 Se buscan métodos aproximados que lo sean,
aunque no sean variacionales

Independent Electron Pair
Approximation (IEPA)

Partiendo de:
E corr 
c
rs
ab
rs
ˆ
 0 H  ab
a  b r s


Podemos hacer:
E corr


rs
rs
   c ab  0 H  ab 

a  b r  s
e ab
Independent Electron Pair
Approximation (IEPA)

Y definir:
E corr 
 e 
ab
ab
Donde
e ab 
rs
ˆ  rs
c

H
 ab 0
ab
r s
Energía de correlación del par ab

rs
c
Es exacto siempre que los ab sean FCI

Aproximación

Definimos la función de onda correlacionada para el
par ab en normalización intermedia:
ab  0 
c
rs
ab

rs
ab
Moviliza solo el par ab
r s

Y definimos la energía de correlación del par ab:

E ab   0 Hˆ  ab 
  0 Hˆ  0 
rs
ˆ  rs 
c

H
 ab 0
ab
r s
 E 0  e ab
Ecuaciones IEPA

Partimos de:
Hˆ ab  E ab ab

Cerramos por la izquierda, sucesivamente,
con

0




rs
ab
Ecuaciones IEPA

Y se obtiene:
0 Hˆ ab  E ab 0 ab

Ecuaciones IEPA

Normalización intermedia:
 0 H  ab  E ab  0  ab
1

Ecuaciones IEPA

Desarrollando la función de pares:
 0 H  ab  E ab
0 H 0 
c
t u

tu
ab
0 H 
tu
ab
 E ab
Ecuaciones IEPA

Desarrollando la función de pares:
 0 H  ab  E ab
0 H 0 
c
t u

tu
ab
0 H 
tu
ab
 E ab
Ecuaciones IEPA

Aparece la energía de HF:
 0 H  ab  E ab
0 H 0 
 c ab  0 H  ab  E ab
tu
tu
t u
E0 
 c ab  0 H  ab  E ab
tu
t u
tu
Ecuaciones IEPA

Aparece la energía de HF:
 0 H  ab  E ab
0 H 0 
 c ab  0 H  ab  E ab
tu
tu
t u
E0 
 c ab  0 H  ab  E ab
tu
t u
tu
Ecuaciones IEPA

Pasando E0 al segundo miembro:
 0 H  ab  E ab
0 H 0 
c
tu
ab
0 H 
tu
ab
t u
E0 
 c ab  0 H  ab  E ab
tu
tu
t u
 c ab  0 H  ab  E ab  E 0
tu
t u
tu
 E ab
Ecuaciones IEPA

Pasando E0 al segundo miembro:
 0 H  ab  E ab
0 H 0   c
tu
ab
0 H 
tu
ab
 E ab
tu
E 0   c ab  0 H  ab  E ab
tu
tu
tu

tu
c ab  0 H  ab  E ab  E 0  e ab
tu
tu
Ecuaciones IEPA

Para las configuraciones diexcitadas:
 ab H  ab  E ab  ab  ab
rs

rs
Ecuaciones IEPA

Teniendo en cuenta que:
 ab H  ab  E ab  ab  ab
rs
rs
rs
c ab


Ecuaciones IEPA

Sustituyendo la función de pares
 ab H  ab  E ab c ab
rs
 ab H  0 
rs
rs
c
t u

tu
ab
 ab H  ab  E ab c ab
rs
tu
rs
Ecuaciones IEPA

Restamos a los dos miembros:
 ab H  ab  E ab  ab  ab
rs
 ab H  0 
rs
rs
c
tu
ab
 ab H  ab  E ab c ab
tu
ab
 ab H  ab  E 0 c ab  E ab c ab  E 0 c ab
rs
tu
rs
t u
 ab H  0 
rs
c
t u

rs
tu
rs
rs
rs
Ecuaciones IEPA

En el segundo miembro queda:
 ab H  ab  E ab  ab  ab
rs
 ab H  0 
rs
rs
c
tu
ab
 ab H  ab  E ab c ab
tu
ab
 ab H  ab  E 0 c ab  E ab c ab  E 0 c ab  e ab c ab
rs
tu
rs
t u
 ab H  0 
rs
c
t u

rs
tu
rs
rs
rs
rs
Ecuaciones IEPA

Jugando con las delta de Kronecker
 ab H  ab  E ab  ab  ab
rs
rs
 ab H  0 
rs
c
tu
ab
 ab H  ab  E ab c ab
tu
ab
 ab H  ab  E 0 c ab  E ab c ab  E 0 c ab  e ab c ab
rs
tu
rs
t u
 ab H  0 
rs
c
rs
tu
rs
rs
rs
rs
t u
E 0 c ab 
rs

t u

E 0 c ab  rt  su 
tu

t u
E 0 c ab  ab  ab 
tu
rs
tu
 c ab  ab E 0  ab
tu
t u
rs
tu
Ecuaciones IEPA

Jugando con las delta de Kronecker
 ab H  ab  E ab  ab  ab
rs
rs
 ab H  0 
rs
c
tu
ab
 ab H  ab  E ab c ab
tu
ab
 ab H  ab  E 0 c ab  E ab c ab  E 0 c ab  e ab c ab
rs
tu
rs
t u
 ab H  0 
rs
c
rs
tu
rs
rs
rs
rs
t u
E 0 c ab 
rs

t u

E 0 c ab  rt  su 
tu

t u
E 0 c ab  ab  ab 
tu
rs
tu
 c ab  ab E 0  ab
tu
t u
rs
tu
Ecuaciones IEPA

Al final nos queda:
 ab H  ab  E ab  ab  ab
rs
rs
 ab H  0 
rs
c
tu
ab
 ab H  ab  E ab c ab
tu
ab
 ab H  ab  E 0 c ab  E ab c ab  E 0 c ab  e ab c ab
rs
tu
rs
t u
 ab H  0 
rs
c
rs
tu
rs
rs
rs
rs
t u
E 0 c ab 
rs
E
c ab  rt  su 
tu
0
t u
 ab H  0 
rs
rs
c ab  ab  ab 
tu
0
rs
tu
t u
c
tu
ab
rs
tu
tu
rs
 c ab  ab H  E 0  ab  e ab c ab
t u
tu
ab
 ab E 0  ab
rs
tu
t u
t u
tu
c
 ab H  ab   c ab  ab E 0  ab  e ab c ab
t u
 ab H  0 
E
rs
tu
rs
tu
rs
Ecuaciones IEPA

Por fin,
tu
ˆ  tu  e
c

H
 ab 0
ab
ab
t u
rs
 ab Hˆ  0 
c
tu
ab
rs
tu
rs
 ab Hˆ  E 0  ab  e ab c ab
t u

Sistema de ecuaciones que hay que resolver para los
N(N-1)/2 pares de electrones
E corr IEPA
   e ab
ab
Características de IEPA
No hay términos de acoplamiento entre pares
 Es un cálculo CI de cada par por separado
 Es una aproximación a FCI distinta de DCI

Ejercicios

Relación de IEPA con MBPT
Partición Epstein-Nesbet
 Partición Möller-Plesset


Cálculo de Ecorr(IEPA):
H2: Exacto?
 2 x (H2): size-consistent


Variante frente a la rotación de orbitales
Rotación de orbitales

Un conjunto de spinorbitales degenerados puede
combinarse entre sí sin alterar el Determinante de
Slater.


Cuál de las posibles combinaciones de los spinorbitales
se use depende de factores arbitrarios (nº iteraciones
SCF, p. ej.)
Ejemplo 2 x H2 (base mínima, R ∞). 2
descripciones:


Localizada: 11; 21; 12; 22
Deslocalizada:
• a= 2-1/2(11 + 12); b= 2-1/2(11 - 12)
• r= 2-1/2(21 - 22); s= 2-1/2(21 + 22)
IEPA 2 x (H2):
Integrales
 0  aa bb
aa aa  ab ab  bb bb  aa bb 
rr rr  rs rs  ss ss  rr ss 
1
2
1
2
J11
J 22
ra ra  sb sa  rb rb  sb sb  ar bs 
1
2
J12
rr aa  ss bb  rr bb  ss aa  rs ab  rs ba 
 a   b  1
r  s  2
1
2
K 12
IEPA 2 x (H2):
Energías de correlación de pares
e aa
e ab
e aa
0
e ab
eab
eab
e bb
g
aa  0  c1 aa  c 2 aa
rr
ss
 0 H  a a  a a rr  aa rr 
1
2
K 12
 0 H  a a  a a ss  aa ss 
1
2
K 12
rr
ss
aa  2
**
1 / 2

rr
aa
 aa
ss

aa  0  c aa
**
0 H aa  2
**
1 / 2

0 H aa  0 H aa
rr
 aa H  a a  2  2  2  1   J 22 
**
**
ss
1
2

2
J11  4 J12
1 / 2
 12 K 12 
 2 K 12 
1
2
K 12   2
1 / 2
K 12
IEPA 2 x (H2):
Ecuaciones y solución
e  2  1 / 2 K c
aa
12

1 / 2
K 12  2 c  e aa c
2
2

K 12 
2
   

2


1/2
e aa
 e bb
e ab  e a b  0   0 H  a b  a b r s  ab rs  ab sr  0
rs
e a b  e a b  e aa  e b b
1 / 2 

2 

K
2
 4    12  

2  



2
E corr IEPA D   4 e aa
2
E corr IEPA D    0 .0275 a.u.
2
E corr IEPA L    0 .0411 a.u.
Coupled clusters: Introducción
Ampliación de IEPA para incluir el
acoplamiento entre pares de electrones
 Evitar el problema de la falta de invariancia
frente a las rotaciones
 Mantener la propiedad de size-extensivity

Aproximación “ingenua”

Tomemos una función que solamente incluya
excitaciones pares (0, D, Q, H…)
 0  0 
c
rs
ab
 ab 
rs
ab
r s

rstu
abcd
abcd 
rstu
a b c d
r  s t  u
Partimos de la ecuación general
H


c
 E 0   0  E corr  0
Cerramos sucesivamente por la izquierda con:

0 ,

rs
ab
,

rstu
abcd
,

Ecuaciones iniciales

 0 H  cd c cd  E corr
tu
tu
c d
tu
 ab H  0    ab H  E 0  cd c cd    ab H  abcd c abcd  E corr c ab
rs
rs
c d
tu
tu
tu
rs
rstu
c d
tu
• La siguiente ecuación implicaría las Q y las H,
y así sucesivamente.
• Hay que cortar en algún momento
rstu
rs
Aproximación CC a FCI
Hacer depender CQ de las CD



Por ejemplo, sea una Q:
abcdrstu
cuyo coeficiente es CQ
Podemos suponer que Q es la superposición de dos D:
D’ y D”:
abrs
cdtu
cuyos coeficientes son CD’ y CD”
Entonces CQ ≈ CD’CD”
No es tan simple…


¿No podrían ser otras dobles?
acrs
bdtu
SÍ
¿Cuántas combinaciones de dobles son posibles?
18
Parecía tan sencillo…

¿Y cuáles son?
c ab * c cd  c ab c cd  c ab * c cd 
rs
tu
c c
rs
ab
tu
cd
rs
c c
rs
ac
tu
tu
bd
rs
tu
c c
rs
ad
tu
bc
c c
rt
ab
su
cd
c c
rt
ac
su
bd
c c
rt
ad
su
bc

 c ab c cd  c ac c bd  c ad c bc  c ab c cd  c ac c bd  c ad c bc 
ru
st
ru
st
ru
st
tu
rs
tu
rs
tu
rs
c ab c cd  c ac c bd  c ad c bc  c ab c cd  c ac c bd  c ad c bc
su

rt
su
rt
su
rt
st
ru
st
ru
st
ru
Cada uno con su signo, de acuerdo con las
propiedades de antisimetría del Determinante de Slater
correspondiente
Poniendo cada cosa en su lugar

La segunda de las ecuaciones queda:
ab H 0 
rs

c d
t u
ab H  E 0 cd c cd 
rs
tu
tu

c d
t u
ab H abcd
rs
rstu
c ab * c cd   E corr c ab
rs
tu
rs
Tras un poco de álgebra…

Simplificando: <D’|HQ> = <0|H|D”>:
 ab H  0 
rs

 ab H  E 0  cd c cd 
rs
tu
tu
c d
t u
 ab H  0 
rs

c d
t u

 ab H  abcd
rs
rstu
c ab * c cd   E corr c ab
rs
tu
rs
c d
t u
 ab H  E 0  cd c cd 
rs
tu
tu

c d
t u
 0 H  cd
tu
c
rs
ab
* c cd   E corr c ab
tu
rs
… sencilla pero tediosa…

Desarrollando el producto de coeficientes
c ab * c cd  c ab c cd  c ab * c cd
rs
tu
rs
tu
 ab H  0 

rs
rs
tu
 ab H  E 0  cd c cd 
rs
tu
tu
c d
t u
   0 H  cd
tu
c d
t u


c ab c cd  c ab * c cd
rs
tu
rs
tu

 E corr c ab
rs
…

Desarrollando

 0 H  cd
tu
c
rs
ab
c cd  c ab * c cd
tu
rs
tu

c d
t u


 0 H  cd c ab c cd 
tu
rs
tu
c d
t u

c ab * c cd 
 0 H  cd
c ab * c cd
tu
rs
tu
rs
tu
c d
t u
 c ab   0 H  cd c cd 
rs
tu
tu

c d
t u
 c ab E corr 
rs
 0 H  cd
tu
c d
t u

c d
t u
 0 H  cd
tu
rs
tu
c ab * c cd

…

Desarrollando

 0 H  cd
tu
c
rs
ab
c cd  c ab * c cd
tu
rs
tu

c d
t u


 0 H  cd c ab c cd 
tu
rs
tu
c d
t u

c ab * c cd 
 0 H  cd
c ab * c cd
tu
rs
tu
rs
tu
c d
t u
 c ab   0 H  cd c cd 
rs
tu
tu

c d
t u
 c ab E corr 
rs
 0 H  cd
tu
c d
t u

c d
t u
 0 H  cd
tu
rs
tu
c ab * c cd

… llegamos a…

Sustituyendo:
 ab H  0 
rs

 ab H  E 0  cd c cd 
rs
tu
tu
c d
t u
 c ab E corr 
rs

c d
t u

 0 H  cd
tu
rs
tu
c ab * c cd
 E corr c ab
rs
… llegamos a…

Sustituyendo:
 ab H  0 
rs

 ab H  E 0  cd c cd 
rs
tu
tu
c d
t u
 c ab E corr 
rs

c d
t u

 0 H  cd
tu
rs
tu
c ab * c cd
 E corr c ab
rs
La ecuación final

Simplificando:
ab H 0 
rs

c d
t u

ab H  E 0 cd c cd 
rs
tu
tu

0 H cd
tu
c d
t u
Propiedades de esta ecuación:
• incógnitas: los coeficientes de las dobles
• no contiene explícitamente Ecorr
• es NO lineal
• contiene acoplamientos entre pares de e• es size-extensive
• NO es variacional
c ab * c cd  0
rs
tu
Ejemplo: N x (H2)
Formulación general CC

Aproximación a la función exacta:

Se escoge n, el orden de excitación máximo a considerar
• En CCSD: Dobles
• En CCSDT:Triples…


Determinantes de orden > n:
coeficientes ≈ productos de coeficientes de determinantes de orden
=< n
P. ej. CCSD


Incluye solo mono y diexcitaciones
Los CT, CQ, … se aproximan como productos de las CS y CD entre sí.
El truqui…
the exponential ansatz
ˆ 
 0  
0
0
Definimos:
Tˆ
ˆ
0  e


Tˆ  Tˆ1  Tˆ2  Tˆ3 
Ω0 Operador de ondas
El truqui…
the exponential ansatz
ˆ 
 0  
0
0
Ω0 Operador de ondas
Desarrollando en serie la exponencial
e 1
x
1
1!

x
1
2!
x 
2
1
x 
3
3!
1 ˆ 1 ˆ2 1 ˆ3
Tˆ
ˆ
0  e  1  T  T  T 
1!
2!
3!

El truqui…
the exponential ansatz
ˆ 
 0  
0
0
Ω0 Operador de ondas
Escojamos una forma para el operador T
CCSD  Tˆ  Tˆ1  Tˆ2







2
3
1 ˆ
1 ˆ
1 ˆ
Tˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0  e  1 
T1  T2 
T1  T2 
T1  T2 

1!
2!
3!
1 2
1 2 1 3 1 2
1
1 3
2
 1  Tˆ1  Tˆ2  Tˆ1  Tˆ1Tˆ2  Tˆ2  Tˆ1  Tˆ1 Tˆ2  Tˆ1Tˆ2  Tˆ2 
2
2
6
2
2
6

Aniquilando y creando electrones
Otro truqui: Los operadores de creación y aniquilación
• Operador de aniquilación: âa
• si hay un electrón en el spin-orbital a lo “aniquila”
• si no lo hay, da 0
• Operador de creación: âr+
• si el spin-orbital r está vacío, “crea” un electrón
• si está lleno, da 0
0   1  2
a

 aˆ r aˆ a  0   1  2
 N  aˆ a  0   1  2
r
0
 N  a
r
Tienen propiedades de conmutación y
anticonmutación “interesantes”

N
Pero…
¿qué son los operadores Ti?
Tˆ1 
t
r
a

aˆ r aˆ a
ar
1
ˆ
T2 
4



t ab aˆ r aˆ s aˆ b aˆ a
rs
abrs
Las t son las amplitudes del cluster
ˆ  
T
 1 0

r 
t a aˆ r aˆ a  0 
ar
1
ˆ
T2  0 
4

t a a
r
r
ar

abrs
 
t aˆ r aˆ s aˆ b aˆ a  0 
rs
ab
1
4
t
abrs
rs
ab
 ab
rs
Clusters conectados y no
conectados
CCSD: T = T1 + T2
ˆ  1  Tˆ  Tˆ  1 Tˆ 2  Tˆ Tˆ  1 Tˆ 2  1 Tˆ 3  1 Tˆ 2 Tˆ  1 Tˆ Tˆ 2  1 Tˆ 3 

0
1
2
1
1 2
2
1
1
2
1 2
2
2
2
6
2
2
6

Aparecen los siguientes términos:






S: T1 (Cluster conectado)
D: T2 (Cluster conectado) y T12 (Cluster no conectado)
T: T13 y T1T2 (Clusters no conectados)
Q: T14, T12T2 y T22 (Clusters no conectados)
Etc. hasta ∞
Las conf excitadas con n>2 aparecen como no conectadas
Clusters conectados y no
conectados
CCSD: T = T1 + T2
ˆ  1  Tˆ  Tˆ  1 Tˆ 2  Tˆ Tˆ  1 Tˆ 2  1 Tˆ 3  1 Tˆ 2 Tˆ  1 Tˆ Tˆ 2  1 Tˆ 3 

0
1
2
1
1 2
2
1
1
2
1 2
2
2
2
6
2
2
6
 Aparecen los siguientes términos:






S: T1 (Cluster conectado)
D: T2 (Cluster conectado) y T12 (Cluster no conectado)
T: T13 y T1T2 (Clusters no conectados)
Q: T14, T12T2 y T22 (Clusters no conectados)
Etc. hasta ∞
Las conf excitadas con n>2 aparecen como no conectadas
Clusters conectados y no
conectados
CCSD: T = T1 + T2
ˆ  1  Tˆ  Tˆ  1 Tˆ 2  Tˆ Tˆ  1 Tˆ 2  1 Tˆ 3  1 Tˆ 2 Tˆ  1 Tˆ Tˆ 2  1 Tˆ 3 

0
1
2
1
1 2
2
1
1
2
1 2
2
2
2
6
2
2
6
 Aparecen los siguientes términos:






S: T1 (Cluster conectado)
D: T2 (Cluster conectado) y T12 (Cluster no conectado)
T: T13 y T1T2 (Clusters no conectados)
Q: T14, T12T2 y T22 (Clusters no conectados)
Etc. hasta ∞
Las conf excitadas con n>2 aparecen como no conectadas
Clusters conectados y no
conectados
CCSD: T = T1 + T2
ˆ  1  Tˆ  Tˆ  1 Tˆ 2  Tˆ Tˆ  1 Tˆ 2  1 Tˆ 3  1 Tˆ 2 Tˆ  1 Tˆ Tˆ 2  1 Tˆ 3 

0
1
2
1
1 2
2
1
1
2
1 2
2
2
2
6
2
2
6
 Aparecen los siguientes términos:






S: T1 (Cluster conectado)
D: T2 (Cluster conectado) y T12 (Cluster no conectado)
T: T13 y T1T2 (Clusters no conectados)
Q: T14, T12T2 y T22 (Clusters no conectados)
Etc. hasta ∞
En CCSD, las configuraciones excitadas con n>2 aparecen
como no conectadas
Asegurando la size-consistency


2 sistemas A y B que no interactúan
Operadores de cluster:
  âa, âr+ operan los dos sobre A o B
ti=0  al menos algún âa, âr+ opera sobre sistemas
distintos
 ti≠0


Tˆ
Tˆ
A 
B 
A 
B 
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Ti  Ti  T i  T  T
T
 e e
A 
0  0
Tˆ
A

B
 Tˆ 
e
A
Tˆ 
e
B
Tˆ 
B 
0
 0  e 0  e
A
Tˆ 
e
B
Tˆ 
A 
0
B 
0
e
A
Tˆ 
A 
0
e
B
Tˆ 
B 
0


 


A 
 0
B 
0
Linealización de CC: L-CC

Partiendo de las ecuaciones CC

 0 H  cd c cd  E corr
tu
tu
c d
t u
 ab H  0 
rs

 ab H  E 0  cd c cd 
rs
tu
tu

c d
t u
tu
c ab * c cd  0
c d
t u
rs
Hacemos
0
tu
c ab * c cd


 0 H  cd
y queda:
 0 H  cd c cd  E corr
tu
tu
c d
t u

 ab H  0 
rs

c d
t u
Es size-consistent
 ab H  E 0  cd c cd  0
rs
tu
tu
rs
tu
CEPA: Coupled electron pair
approximation
rs
Se hace c = a y d = b en
c *c
c c
 Queda:

rs
ab

rs
ab
H 0 

rs
ab
rs
ab
H  E0 
tu
cd
tu
ab


tu
tu
tu
rs

c cd    0 H  ab c ab c ab  0
t  u
c d
t u

 ab H  0 
rs

c d
t u
E corr 

tu
ab
e
ab
ab

 ab H  E 0  cd c cd  e ab c ab
rs
tu
tu
c ab * c cd
tu
rs
CEPA: Características
Incluye el acoplamiento entre pares de
electrones
 Es size-consistent
 No es invariante frente a las rotaciones de los
orbitales, aunque es mejor que IEPA
 2 x (H2) en base mínima:

1 / 2 

2 

K
2
2
E corr CEPA D   4     12     0.0414 a.u.


2




2

E corr FCI   2     K
2
2
12

1/ 2
  0.0411 a.u.
Comparación de métodos

DCI:
ab H 0 
rs

CEPA:
rs
IEPA:
ab H 0 
rs

rs
tu
tu
rs

 ab H  E 0  cd c cd  e ab c ab
rs
tu
tu
rs
c d
t u


ab H  E 0 cd c cd  E corr c ab
c d
t u
 ab H  0 



t u
ab H  E 0 ab c ab  e ab c ab
rs
tu
tu
rs
Comparación de métodos

DCI:
ab H 0 
rs

CEPA:
rs
IEPA:
ab H 0 
rs

rs
tu
tu
rs

 ab H  E 0  cd c cd  e ab c ab
rs
tu
tu
rs
c d
t u


ab H  E 0 cd c cd  E corr c ab
c d
t u
 ab H  0 



t u
ab H  E 0 ab c ab  e ab c ab
rs
tu
tu
rs
Comparación de métodos

DCI:
ab H 0 
rs

CEPA:
rs
IEPA:
ab H 0 
rs

rs
tu
tu
rs

 ab H  E 0  cd c cd  e ab c ab
rs
tu
tu
rs
c d
t u


ab H  E 0 cd c cd  E corr c ab
c d
t u
 ab H  0 



t u
ab H  E 0 ab c ab  e ab c ab
rs
tu
tu
rs
Comparación de métodos
Método
Variacional
Sizeconsistent
Invariante
DCI
Sí
No
Sí
CCD
No
Sí
Sí
L-CC
No
Sí
Sí
CEPA
No
Sí
No
IEPA
No
Sí
No
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