Gestión de Investigación de Operaciones
Contenidos
I. Introducción a la Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
Programación Entera
Programación No- lineal
III. Modelos Probabilísticos
Procesos Estocásticos y Cadenas de Markov
Sistemas de Espera
Gestión de Investigación de Operaciones
I. Introducción a la Investigación de
Operaciones
I.1. Introducción.
El principal objetivo de esta área de conocimientos
consiste en formular y resolver diversos problemas
orientados a la toma de decisiones.
La naturaleza de los problemas abordados puede
ser determinística, como en los Modelos de
Programación Matemática, donde la teoría de
probabilidades no es necesaria, o bien de
problemas donde la presencia de incertidumbre
tiene un rol preponderante, como en los Modelos
Probabilísticos.
Gestión de Investigación de Operaciones
I. Introducción a la Investigación de
Operaciones
Hoy en día, la toma de decisiones abarca una gran
cantidad de problemas reales cada más complejos
y especializados, que necesariamente requieren
del uso de metodologías para la formulación
matemática de estos problemas y, conjuntamente,
de métodos y herramientas de resolución, como los
que provee la Investigación de Operaciones.
Gestión de Investigación de Operaciones
I. Introducción a la Investigación de
Operaciones
I.2 Elementos de un modelo de optimización.
Supongamos que se dispone de determinadas
piezas para la elaboración de dos productos finales.
Se dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6 “piezas
grandes”, que son utilizadas para elaborar sillas
(usando 2 piezas pequeñas y 1 pieza grande) y
mesas (usando 2 piezas de cada tipo).
Interesa decidir cuántas sillas y mesas fabricar de
modo de obtener la máxima utilidad, dado un
beneficio neto de U$ 15 por cada silla y de U$20
por cada mesa fabricada.
Gestión de Investigación de Operaciones
I. Introducción a la Investigación de
Operaciones
Posibles soluciones factibles a considerar, esto es
soluciones que respetan las restricciones del
número de piezas disponibles, son por ejemplo,
fabricar:
•
•
•
•
•
•
4 sillas, que reportan una utilidad de U$60
1 sillas y 2 mesas , utilidad de U$55
3 mesas, utilidad de U$60
1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65
2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70
etc.
Gestión de Investigación de Operaciones
I. Introducción a la Investigación de
Operaciones
Un modelo matemático para hallar la mejor
solución factible a este problema tiene tres
componentes básicas:
i) Las variables de decisión, que consiste en
definir cuáles son las decisiones que se debe
tomar. En el ejemplo,
x: número de sillas elaboradas.
y: número de mesas elaboradas.
Gestión de Investigación de Operaciones
I. Introducción a la Investigación de
Operaciones
ii) La función objetivo del problema, que permita
tener un criterio para decidir entre todas las
soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la
utilidad dada por:
z = f(x,y) = 15x + 20y
Gestión de Investigación de Operaciones
I. Introducción a la Investigación de
Operaciones
iii) Restricciones del problema, que consiste en
definir un conjunto de ecuaciones e inecuaciones
que restringen los valores de las variables de
decisión a aquellos considerados como factibles.
En el ejemplo, respetar la disponibilidad de piezas
para la fabricación de sillas y mesas:
Piezas pequeñas:
Piezas grandes :
También se
negatividad:
2x + 2y  8
x + 2y  6
impone
restricciones
x,y  0
de
no –
Gestión de Investigación de Operaciones
I. Introducción a la Investigación de
Operaciones
En resumen:
Max
sa:
15x + 20y
2x + 2y  8
x + 2y  6
x,y  0
El ejemplo corresponde a un modelo de
Programación Lineal. Si además restringimos los
valores de x e y a números enteros, tendríamos un
modelo de Programación Entera. Por otra parte, si
hubiese retornos crecientes a escala, deberíamos
emplear una función objetivo no lineal como f(x,y) =
cxa + dyb con a,b >1, y tendríamos un modelo de
Programación No Lineal.
Gestión de Investigación de Operaciones
I. Introducción a la Investigación de
Operaciones
BIBLIOGRÁFIA EN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
1. Introducción a la Investigación de Operaciones, F.S.
Hillier y G.J. Lieberman, McGraw Hill, Sexta Edición, 1997.
2. Investigación de Operaciones, una introducción, H.A.
Taha, Prentice Hall, México, Sexta Edición, 1998.
3. Introduction to Management Science, F. Hillier, M. Hillier
and G.J. Lieberman. Irwin McGraw-Hill, 1999.
4. Model Operations Research: A practical Introduction.
M.W. Carter and C.C.Price. CRC Press, 2000.
5. Practical Management Science: Spreadsheet Modeling
and Applications, Winston, W.L., Albright S.C. y Broadie M.,
International Thomson Publishing Company, 1997.
Gestión de Investigación de Operaciones
Contenidos
I. Introducción a la Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
Programación Entera
Programación No- lineal
III. Modelos Probabilísticos
Procesos Estocásticos y Cadenas de Markov
Sistemas de Espera
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
Temario:
II.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
II.2. Resolución gráfica de problemas.
II.3. Análisis de Sensibilidad.
II.4. El Método Simplex.
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
i) Problema de Transporte. El problema consiste
en decidir cuántas unidades trasladar desde ciertos
puntos de origen (plantas, ciudades, etc.) a ciertos
puntos de destino (centros de distribución,
ciudades, etc..) de modo de minimizar los costos de
transporte, dada la oferta y demanda en dichos
puntos.
Se suponen conocidos los costos unitarios de
transporte, los requerimientos de demanda y la
oferta disponible.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Por ejemplo, suponga que una empresa posee dos
plantas que elaboran un determinado producto en
cantidades de 250 y 450 unidades diarias,
respectivamente. Dichas unidades deben ser
trasladadas a tres centros de distribución con
demandas diarias de 200, 200 y 250 unidades,
respectivamente. Los costos de transporte (en
$/unidad) son:
C.Dist. 1 C.Dist.2 C.Dist.3
Planta 1
21
25
15
Planta 2
28
13
19
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Diagrama:
C.D.1
X11
Planta 1
X12
X21
X22
C.D.2
Planta 2
X13
X23
C.D.3
Orígenes
Destinos
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisión:
xij = Unidades transportadas desde la planta i
(i=1,2), hasta el centro de distribución j (j=1,2,3)
Función Objetivo:
Minimizar el costo total de transporte dado por la
función:
21x11+25x12+15x13+28x21+13x22+19x23
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Restricciones del problema:
1) No Negatividad: xij  0
2) Demanda:
CD1 : x11
+x21
CD2 :
x12
+x22
CD3 :
x13
+ x23
= 200
= 200
= 250
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
3) Oferta :
P1
: x11 + x12 + x13
P2
:
x21 + x22 + x23
 250
 450
Las variables de decisión deben aceptar soluciones
como números reales para tener un modelo de P.L.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
ii) Problema de la dieta: este consiste en
determinar una dieta de manera eficiente, a partir
de un conjunto dado de alimentos, de modo de
satisfacer ciertos requerimientos nutricionales.
Supongamos que se tiene la siguiente información:
Leche Legumbre Naranjas Requerimientos
(galon) (1 porción) (unidad)
Nutricionales
Niacina
3,2
4,9
0,8
13
Tianina
1,12
1,3
0,19
15
Vitamina C
32
0
93
45
Costo
2
0,2
0,25
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisión:
x1 : galones de leche utilizados en la dieta.
x2 : porciones de legumbre utilizadas en la dieta.
x3 : unidades de naranja utilizadas en la dieta.
Función Objetivo:
Minimizar el costo total de la dieta, dado por:
2 x1 + 0.2 x2 + 0.25 x3
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Restricciones del problema:
Requerimientos
considerados:
mínimos
de
los
3.2 x1 + 4.9 x2 + 0.8 x3  13
1.12 x1+ 1.3 x2 + 0.19 x3  15
32 x1+
+
9 x3  45
x1  0 ; x2  0 ; x3  0
nutrientes
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
iii) Problema de dimensionamiento de lotes: este
consiste en hallar una política óptima de producción
para satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo,
de modo de minimizar costos de producción e
inventario, considerando la disponibilidad de
diversos recursos escasos.
Supongamos que una fabrica puede elaborar hasta
150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que
se ha subdividido el horizonte de planificación y se
tiene adicionalmente la siguiente información:
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Periodos Demandas Costo Prod. Costo de Inventario
(unidades) (US$/unidad)
(US$/unidad)
1
130
6
2
2
80
4
1
3
125
8
2.5
4
195
9
3
Supuestos adicionales:
1) Existe un inventario inicial de 15 unidades.
2) No se acepta demanda pendiente o faltante (es
decir, se debe satisfacer toda la demanda del
periodo).
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisión:
xt : número de unidades elaboradas en el periodo t.
It : número de unidades de inventario al final del
periodo t.
Función objetivo:
Consiste en minimizar los costos de producción y el
costo de mantenimiento de inventario.
6x1+ 4x2 + 8x3 + 9x4 + 2I1 + I2 + 2.5I3 + 3I4
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Notar que en el óptimo I4 va a ser 0, así que incluso
podríamos no incluirla, pero de todos modos la
consideramos.
Restricciones del problema:
1) Restricciones de cotas, que reflejan la capacidad
de producción.
xt 150
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
2) Restricciones de no negatividad
xt  0
3) Restricciones de demanda
x1 + I0 – I1 = 130
Periodo 1
x2 + I1 – I2 = 80
Periodo 2
x3 + I2 – I3 = 125
Periodo 3
x4 + I3 – I4 = 195
Periodo 4
I0=15
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
iv) Problema de planificación financiera:
Supongamos que un banco dispone de $250
millones para destinar a 4 tipo de créditos ofrecidos,
los cuales tienen las siguientes, tasas de crédito:
•
Primer crédito corriente
•
Segundo crédito corriente :16%
•
Crédito para el hogar
:16%
•
Crédito personal
:10%
:12%
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
La asignación de estos créditos, debe satisfacer la
siguiente política utilizada por la institución:
El monto asignado a los PCC, debe ser al menos,
el 55% del monto asignado a los créditos
corrientes, y al menos un 25% del total del dinero
prestado.
El SCC, no puede exceder el 30% del total del
dinero prestado, por políticas tributarias el interés
recibido por el banco no debe exceder a un retorno
del 14% sobre el capital prestado.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
¿Cuánto asignar a cada tipo de crédito, de la
manera más eficiente, respetando la política del
banco?
Variables de decisión:
x1 :Monto asignado al PCC.
x2 : Monto asignado SCC.
x3 : Monto asignado al crédito para el hogar.
x4 : Monto asignado al crédito personal.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Función Objetivo:
Se propone maximizar los retornos recibidos en la
asignación, dados por:
0.12 x1 + 0.16 x2 + 0.16 x3 + 0.10 x4
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Restricciones del problema:
x1  0.55 ( x1 + x2 )
x1  0.25 ( x1 + x2 +x3 + x4 )
x2  0.30 ( x1 + x2 +x3 + x4 )
(0.12x1+0.16x2+0.16x3+0.10x4 )  0.14 ( x1+ x2 +x3 +x4 )
Adicionalmente:
x1 + x2 +x3 + x4  250
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
v) Problema de mezcla de productos: en este
problema una refinería produce 4 tipos de gasolina
(gas 1, gas 2, gas 3 y gas 4). Dos características
importantes de cada gasolina son su número de
performance (NP) y su presión de vapor (RVP), que
están dados por:
NP
RVP
Barriles diarios
gas 1
107
5
3814
gas 2
93
8
2666
gas 3
87
4
4016
gas 4
108
21
1300
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Estas gasolinas pueden ser vendidas directamente
a un precio de $2483 por barril o bien mezcladas
para obtener gasolinas de aviación (avgas A y
avgas B). La calidad de estas dos últimas junto con
sus precios de venta son:
NP
RV
Precio por barril (US$)
avgas A Al menos 100 A lo más 7
26,45
Avgas B
25,91
Al menos 91
A lo más 6
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
El NP y RVP de cada mezcla es un promedio de los
respectivos NP y RVP de las gasolinas empleadas.
Se desea obtener un plan de venta de las distintas
gasolinas que maximice los retornos.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisión:
xj : cantidad de barriles del gas j que son vendidos
sin mezclar, con j = 1, 2, 3, 4.
xA : cantidad de barriles de avgas A.
xB : cantidad de barriles de avgas B.
xjA: cantidad de gas j usado en avgas A.
xjB: cantidad de gas j usado en avgas B.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Función objetivo:
Max 24,83 (x1 + x2 + x3 + x4) + 26,45xA + 25,91xB
Restricciones:
x1 + x1A + x1B = 3814
x2 + x2A + x2B = 2666
x3 + x3A + x3B = 4016
x4 + x4A + x4B = 1300
x1A + x2A + x3A + x4A = xA
x1B + x2B + x3B + x4B = xB
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
NP, avgas A: 107 x 1 A  93 x 2 A  87 x 3 A  108 x 4 A  100
xA
NP, avgas B:
107 x 1B  93 x 2 B  87 x 3 B  108 x 4 B
xB
RVP, avgas A:
5 x 1 A  8 x 2 A  4 x 3 A  21 x 4 A
xA
RVP, avgas B:
5 x 1B  8 x 2 B  4 x 3 B  21 x 4 B
xB
7
 7
 91
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
vi) Problema de expansión de la capacidad de
un Sistema de Potencia Eléctrica:
En este problema se
desea
planificar
la
expansión de la capacidad de un sistema
eléctrico para los siguientes T años. La demanda
(estimada) para el año t corresponde a dt MW para
t = 1, 2, ..., T. La capacidad existente del sistema
corresponde a ct MW para el año t = 1, 2, ..., T.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Existen 2 alternativas para la expansión de la
capacidad del sistema:
• Usar plantas térmicas a petróleo.
• Usar plantas térmicas a gas.
Se requiere una inversión pt por MW instalado de
una planta a petróleo que esté operativa al
comienzo del año t, y el correspondiente costo para
una planta a gas es gt.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Por razones políticas y de seguridad, se ha
decidido que no más del 30% de la capacidad
instalada, corresponda a plantas a gas (nuevas).
Cada planta a petróleo tiene una vida de 20 años y
una planta a gas una vida de 15 años.
Se desea proponer un plan de expansión al mínimo
costo posible.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisión:
xt : cantidad de MW expandidos en planta a
petróleo al inicio del año t, con t = 1, 2, ..., T.
yt : cantidad de MW expandidos en planta a gas al
inicio del año t, con t = 1, 2, ..., T.
zt : cantidad total de MW disponible en plantas
nuevas a petróleo al inicio del año t.
wt : cantidad total de MW disponible en plantas
nuevas a gas al inicio del año t.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
Función Objetivo:
T
Min
 p t x t
 gtyt 
t 1
Restricciones:
ct  zt  w t  dt
zt 
t

xk
t  20
k 1
zt 
t

xk
k  t  19
t  20
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
wt 
t

yk
t  15
k 1
wt 
t

yk
t  15
k  t  14
wt
ct  zt  w t
 0 ,30
xt,yt,zt,w t  0
t  1 ... T
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
Temario:
II.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
II.2. Resolución gráfica de problemas.
II.3. Análisis de Sensibilidad.
II.4. El Método Simplex.
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.2. Resolución gráfica de problemas.
Consideremos el siguiente problema a resolver
gráficamente:
Max
sa:
z = 3x1 + 5x2
x1  4
2x2  12
3x1 + 2x2  18
x1,x2  0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.2. Resolución gráfica de problemas.
Región de puntos factibles
x2
Curvas de Nivel
9
x*
6
Solución Optima
x*
4
2
4
6
x1
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.2. Resolución gráfica de problemas.
En primer lugar, se debe obtener la región de
puntos factibles en el plano, obtenida por medio de
la intersección de todos los semi - espacios que
determinan cada una de las inecuaciones
presentes en las restricciones del problema.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.2. Resolución gráfica de problemas.
Enseguida, con el desplazamiento de las curvas de
nivel de la función objetivo en la dirección de
crecimiento de la función (que corresponde a la
dirección del vector gradiente de la función,
z(x1,x2) = (3,5)T), se obtiene la solución óptima del
problema en la intersección de las rectas: 2x2 = 12
y 3x1+2x2 = 18 (restricciones activas). Esto es:
x1* = 2
x2* = 6
z* = 3 x1* + 5 x2* = 36
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.2. Resolución gráfica de problemas.
Notar que se pueden dar otras situaciones en la
búsqueda de una solución óptima para esta clase
de problemas:
1) La solución óptima exista pero haya más
de una. En el ejemplo, considere la nueva
función objetivo: z = 6x1+4x2.
2) El problema no tenga solución, dada una región
de puntos factibles no - acotada. En el ejemplo,
reemplace cada desigualdad  por una .
3) El problema no tenga solución, porque no
existen puntos factibles. En el ejemplo, suponga
que agregamos la restricción: x1  5.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
Temario:
II.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
II.2. Resolución gráfica de problemas.
II.3. Análisis de Sensibilidad.
II.4. El Método Simplex.
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.3. Análisis de sensibilidad.
Max
sa :
15 x  20 y
2x  2y  8
x  2y  8
x, y  0
4
3
4
6
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.3. Análisis de sensibilidad.
A partir de la resolución gráfica del problema se
tiene:
Solución óptima : x1*= 2 ; x2*= 2
Valor óptimo :
z = z(2,2) = 70
El análisis de sensibilidad permite responder, entre
otras, las siguientes preguntas:
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.3. Análisis de sensibilidad.
1) ¿Cuál es el intervalo de variación de algún
coeficiente de la función objetivo, de modo que la
actual solución siga siendo la óptima?
Sea
z = c1x1+c2x2
La solución óptima de la nueva función, seguirá
siendo: x1*= 2 ; x2*= 2 ssi:
1
 c1
c2
 
1
2
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.3. Análisis de sensibilidad.
También podemos estudiar el intervalo de un sólo
coeficiente, dejando el resto de los parámetros fijos:
Para C1:
 1
 c1
20
 
1
2
Para C2:  1   15   1
c2
2

10  c 1  20

15  c 2  30
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.3. Análisis de sensibilidad.
2) ¿ Cuál es la variación del actual valor óptimo de
la función objetivo, si cambamos en una unidad
algún coeficiente del lado derecho de las
restricciones ?
Estudiaremos por separado las variaciones de cada
uno de los coeficientes del lado derecho de las
restricciones, de modo preservar la geometría del
problema, esto es, que se conserven las mismas
restricciones activas de la solución óptima inicial.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.3. Análisis de sensibilidad.
Primera restricción.
La mayor variación del coeficiente del lado derecho
se alcanza en x1 = 0 y x2 = 4, de donde se obtiene:
z(0,4) = 15 x 0 + 20 x 4 = 80 y b1* = 0 + 2 x 4 = 8
La menor variación del coeficiente del lado derecho
se alcanza en: x1 = 4 ; x2 = 0, de donde se obtiene:
z(4,0) = 15 x 4 + 20 x 0 = 60 y b1 = 4 + 2 x 0 = 4
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.3. Análisis de sensibilidad.
De aquí, se calcula el precio sombra P1, que
indica la razón o tasa de cambio de la función
objetivo con respecto al cambio en una unidad del
lado derecho:
P1 
z ( 0 , 4 )  z ( 4 ,0 )
b1  b1
*

80  60
84
5
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.3. Análisis de sensibilidad.
Segunda restricción.
La mayor variación del coeficiente del lado derecho
se alcanza en x1 = 6 y x2 = 0, de donde se obtiene:
z(0,4) = 15 x 6 + 20 x 0 = 90 y b1*= 2 x 6 + 2x0 = 12
La menor variación del coeficiente del lado derecho
se alcanza en: x1= 0 ; x2= 3, de donde se obtiene:
z(4,0) = 15 x 0 + 20 x 3 = 60 y b1= 2 x 0 + 2 x 3 = 6
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.3. Análisis de sensibilidad.
De aquí, se calcula el precio sombra P2, que
indica la razón o tasa de cambio de la función
objetivo con respecto al cambio en una unidad del
lado derecho:
P2 
z ( 6 ,0 )  z ( 0 ,3 )
b2  b2
*

90  60
12  6
5
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
Temario:
II.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
II.2. Resolución gráfica de problemas.
II.3. Análisis de Sensibilidad.
II.4. El Método Simplex.
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
En lo que sigue consideremos el siguiente
problema de programación lineal en su forma
estándar.
Min
sa
c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...
...
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
xi  0, i = 1, 2, ..., n
y
mn
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Matricialmente escrito como:
Min
sa
cTx
Ax = b
x0
No existe pérdida de la generalidad al suponer que
un problema viene dado en la forma estándar. En
efecto, si tuviésemos el siguiente problema:
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
P)
Max
sa
9u + 2v + 5z
4u + 3v + 6z  50
u + 2v + 3z  8
2u – 4v + z = 5
u,v  0
z  IR
Es posible reformular de manera equivalente el
problema anterior usando que:
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
1) Siempre es posible llevar un problema de
maximización a uno de minimización. Si f(x) es la
función objetivo a maximizar y x* es la solución
óptima:
f(x*)  f(x) , " x factible
- f(x*)  - f(x) ,
" x factible
\ x* es también mínimo de - f(x)
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
2) Cada restricción del tipo  puede ser llevada a
una ecuación de igualdad usando una (nueva)
variable de holgura no negativa, con un coeficiente
nulo en la función objetivo.
3) De igual modo, cada restricción del tipo  puede
ser llevada a una ecuación de igualdad usando una
variable de exceso no negativa.
4) Siempre es posible escribir una variable libre de
signo como la diferencia de dos variables no
negativas.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
En resumen el problema P) puede ser escrito de
manera equivalente como:
Min
sa:
- 9x1 - 2x2 - 5x3 + 5x4 + 0x5 + 0x6
4x1 + 3x2 + 6x3 - 6x4 + x5
=50
x1 + 2x2 - 3x3 + 3x4
- x6 = 8
2x1 - 4x2 + x3 - x4
= 5
xi  0,
i=1,2,3,4,5,6.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Con
u = x1
v = x2
z = x3 - x4
s1 = x5 (HOLGURA)
s2 = x6 (EXCESO)
La búsqueda de la solución óptima se restringe a
encontrar un vértice óptimo y cada vértice del
conjunto de las restricciones del problema, llamado
región de puntos factibles, corresponde a una
solución básica factible del sistema Ax = b.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Esta solución básica factible, corresponde a su vez
a aquellas soluciones que resultan de resolver el
sistema para exactamente m variables, fijando las
restantes n-m en cero, llamadas respectivamente
variables básicas y no-básicas, que además deben
satisfacer condiciones de no-negatividad.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Teorema Fundamental de la Programación Lineal:
Si un problema tiene solución óptima, tiene una
solución básica factible óptima.
Dada una matriz B de m x m invertible, esta induce
una partición de las variables y parámetros del
modelo como lo muestra la siguiente diapositiva.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
n
B
D
A=
m
 x1  xB 
   
x2

   
x 
   
   
xn  xD 
m
nm
c B 
 
c   
 
 
c D 
xB :variables básicas.
xD :variables no básicas.
m
n-m
B : es llamada una matriz de base
cB :costos básicos.
cD :costos no básicos.
m
nm
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Criterio de Optimalidad:
T
T
D
c x  cB xB  cD xD
T

 cB B
T
 cBB
1
1
bB

1
T

T
b  cD  cDB
valor actual
de la
función obj.
T
D xB  cD xD
1

D xB xD
vector de
costos
reducidos.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
La ecuación que define cada uno de los costos
reducidos es:
T
rj  c j  c B B
1
Aj
Donde j es el índice de variable no-básica y Aj la
respectiva columna en A de esa variable.
La actual solución básica factible es óptima ssi
rj  "j, existe una variable no básica xp con costo
reducido negativo, que entra a la nueva base.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Para decidir quién deja la base, es necesario
calcular el mayor valor que puede tomar la variable
entrante que garantiza la factibilidad de la nueva
solución básica, con:
 y1 0 


x
2
0
1

B b  




x
 m 0
 y1 p 


y
2
p
1

B Aj  




y
 mp
y se debe calcular:
yk0
y kp
 y i0

 Min 
/ y ip  0   x k deja la base
 y ip

Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Ejemplo.
Resolver el siguiente problema de P.L.
Max
sa:
40x + 60y
2x + y  70
x + y  40
x + 3y  90
x,y  0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Se deben agregar 3 variables de holgura ( x1 , x2 ,
x3 var.básicas), y llevar a forma estándar (x4 = x y
x5 = y).
-40x4 – 60x5
Min
sa:
x1
+ 2x4 + x5 = 70
x2
+ x4 + x5 = 40
x3 + x4 + 3x5 = 90
xi  0,
i = 1, 2, 3, 4, 5
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Tabla inicial:
x1
x2
x3 x4
x5
1
0
0
2
1
70
0
1
0
1
1
40
0
0
1
1
3
90
0
0
0
-40 -60
0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Usamos como variable entrante a la base x5 (pues
r5<0).
x1 x2 x3 x4 x5
1
0
0
2
1
70
0
1
0
1
1
40
0
0
1
1
3
90
0
0
0
-40 -60
0
Se calcula Min { 70/1, 40/1, 90/3 } = 30, por lo tanto
sale x3.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Actualizando, queda la siguiente tabla (no óptima),
donde la variable entrante a la base es x4 (pues
r4<0).
x1 x2 x3 x4 x5
1
0
-1/3 5/3
0
40
0
1
-1/3 2/3
0
10
0
0
1/3 1/3
1
30
0
0
20
0
1800
-20
Se calcula Min { 40/(5/3), 10/(2/3), 30/(1/3) } = 15,
por lo tanto x2 deja la base actual.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Actualizando, queda la siguiente tabla final:
x1 x2 x3 x4 x5
1
-5/2
0
½
0
0
15
-1/3 -1/2
1
0
15
0
1/3
½
0
1
25
0
20
10
0
0
2100
Como todos los costos reducidos son mayores o
iguales que cero nos encontramos en la solución
óptima.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
xB
 x 1   15 
  

 x 4  15
  

 x 5   25 
xD
 x 2  0 
     
 x 3  0 
z* = - 40 x 15 - 60 x 25 = - 2100
En la formulación inicial, tenemos como solución
óptima x*=15, y *=25, con valor óptimo 2.100.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Resumen del Método Simplex:
Paso 0 : Escribir el problema de programación
lineal en su forma estándar.
Paso 1 : Escoger una solución básica factible
inicial.
Paso 2 : Escoger una variable no - básica con
costo reducido negativo que determina la variable
entrante y seguir al paso tres. Sin embargo, si todos
los costos reducidos son mayores que cero , parar,
ya que la actual solución es la óptima.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Paso 3 : Calcular el criterio de factibilidad que
determina que variable deja la base. Si todos los
cuocientes son negativos: problema no - acotado,
parar.
Paso 4 :Actualizar la tabla de modo de despejar el
valor de las nuevas variables básicas, los costos
reducidos y el valor de la función objetivo. Volver al
Paso 2.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
No siempre es fácil obtener una solución básica
factible inicial, en las variables originales del
modelo. Para conseguir esto existen varios
procedimientos como son:
•
•
Método Simplex de dos fases.
Método de la M – grande.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Método Simplex de dos Fases.
Fase 1: Se considera un problema auxiliar que
resulta de agregar tantas variables auxiliares a las
restricciones del problema, de modo de obtener una
solución básica factible. Resolver por Simplex un
nuevo problema que considera como función
objetivo la suma de las variables auxiliares. Si el
valor óptimo es cero ir a la Fase 2. En caso
contrario, no existe solución factible.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Método Simplex de dos Fases.
Fase 2: Resolver por Simplex el problema original a
partir de la solución básica factible hallada en la
Fase1.
Ejemplo:
Max
sa:
2x1 + x2
10x1 + 10x2  9
10x1 + 5x2  1
x1,x2  0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Método Simplex de dos Fases.
Se debe agregar una variable de holgura (x3) y una
variable de exceso (x4), y llevarlo a su forma
estándar.
Min -2x1 - x2
sa:
10x1 + 10x2 +x3
=9
10x1 + 5x2
- x4 = 1
x1,x2, x3, x4  0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Método Simplex de dos Fases.
Aplicamos Simplex de dos Fases :
Fase 1:
Min
sa:
x5
10x1 + 10x2 +x3
=9
10x1 + 5x2
- x4 + x5 = 1
x1,x2, x3, x4, x5 0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Método Simplex de dos Fases.
Quedando la siguiente tabla:
x1 x2 x3 x4 x5
donde:
xB
10
10
1
0
0
9
10
5
0
-1
1
1
0
0
0
0
1
0
 x 3  9 
     
 x 5   1
xD
 x 1  0 
   
 x2  0
   
 x 4   0 
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Método Simplex de dos Fases.
Luego se hace cero el costo reducido de la variable
x5 de la tabla anterior, y queda la siguiente tabla
inicial.
x1 x2 x3 x4 x5
10
10
1
0
0
9
10
5
0
-1
1
1
-10
-5
0
1
0
-1
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Método Simplex de dos Fases.
La variable entrante a la base es x1 ( pues r1 < 0).
x1
x2
x3 x4
x5
10
10
1
0
0
9
10
5
0
-1
1
1
-10
-5
0
1
0
-1
Calculamos Min { 9/10, 1/10}= 1/10, por lo tanto
sale x5.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Método Simplex de dos Fases.
Obteniéndose la siguiente tabla final:
xB
x1
x2
x3
x4
x5
0
5
1
1
-1
1
½
0
0
0
0
 x 1   1 / 10 
    

x
8

 3 
8
-1/10 1/10 1/10
0
xD
1
0
 x 2  0 
   
 x4  0
   
 x 5   0 
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Método Simplex de dos Fases.
Donde, al anterior, corresponde a la solución
óptima del problema en la Fase 1, con valor óptimo
0. De aquí entonces tomamos x1 y x3 como
variables básicas.
Fase 2:
x1
x2
x3
x4
0
5
1
1
1
½
0
-2
-1
0
8
-1/10 1/10
0
0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Método Simplex de dos Fases.
En la tabla hacemos 0 los costos reducidos de
variables básicas
x1 x2 x3 x4
0
5
1
1
8
1
½
0
-1/10 1/10
0
0
0
-1/5
1/5
Luego la variable entrante a la base es x4 (pues
r4<0). Y calculando Min { 8/1, (-1/10)/(1/10) } = 8, se
tiene que sale x3.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Método Simplex de dos Fases.
Quedando:
x1
x2
x3
x4
0
5
1
1
8
1
1
0
1/10
9/10
0
1
1/5
0
9/5
donde la solución óptima del problema resulta ser:
xB
 x 1   9 / 10 
    

x
8

 4 
xD
 x 2  0 
     
 x 3  0 
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Método Simplex de dos Fases.
Algunos casos especiales
1) Problema Infactible. Esta situación se detecta
cuando el valor óptimo del problema de la Fase 1
da mayor que cero.
2) Múltiples soluciones óptimas. Esta situación
se detecta cuando existen costos reducidos iguales
a cero en una o más de las variables básicas
óptimas.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.4. El Método Simplex.
Método Simplex de dos Fases.
3) Problema no acotado. Esta situación se detecta
cuando al realizar el cálculo de la variable que deja
la base, todos los elementos ykj de la columna j en
la tabla, son negativos para j el índice de una
variable no básica con costo reducido negativo.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
Temario:
II.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
II.2. Resolución gráfica de problemas.
II.3. Análisis de Sensibilidad.
II.4. El Método Simplex.
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Consideremos un ejemplo de producción de 2
productos finales que hacen uso de tres recursos
escasos (máquinas), cuyas disponibilidades en
horas corresponden a los lados derechos de las
restricciones.
P)
Max 40x1 + 60x2
sa:
2x1+2x2  70
x1 + x2  40
x1 + 3x2  90
x1, x2  0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
La solución óptima y el valor óptimo del problema
P) esta dada por:
x1* = 5
x2* = 25
z = v(p) = 2100
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
En lo que sigue, combinaremos las distintas
restricciones del problema, ponderando por los
valores 1, 2 y 3 cada una, respectivamente, de
modo de obtener la mejor cota superior del valor
óptimo del problema P). Vale decir:
1(2x1+2x2) + 2(x1+x2) + 3(x1+3x2)  70 1 +
40 2 + 90 3
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Para garantizar que el lado derecho de esta última
desigualdad sea una cota superior de la función
objetivo se debe cumplir que :
2 1 + 2 + 3  40
21 + 2 + 3 3  60
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
La mejor elección de esta cota se obtendría al
resolver:
D)
Min
sa:
70 1 + 40 2 + 90 3
2 1 + 2 + 3  40
21 + 2 + 3 3  60
1, 2, 3  0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Este problema se conoce como el problema “ Dual”
D) asociado al problema “Primal” P).
También resulta que al formular el problema dual de
D) se obtiene el problema primal (o uno
equivalente).
Cualquiera de los dos entrega la misma información
y el valor óptimo alcanzado es el mismo.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Más generalmente, si el problema primal es:
n
P) Max
 c jx j
j 1
n
sa :
 a ij x j
 bi
i  1,2 ,..., n
j 1
xj  0
j  1,2 ,..., m
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
su dual resulta el problema:
m
D) Min
 b i i
i1
m
sa :
 a ij  i
 cj
j  1,2 ,..., n
i1
i  0
i  1,2 ,..., m
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Lo que se puede expresar en forma matricial como:
P)
Max
sa:
cTx
Ax  b
x0
D)
Min
sa:
bT 
AT   c
0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Si el problema primal corresponde a:
P)
Max -cTx
sa:
Ax  b
x0
Su dual resulta ser:
D)
Min -bT 
sa:
AT   c
0
Es decir, el dual del dual es el problema primal
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Teorema de dualidad débil:
Si x  IRn, es una solución factible del problema
primal P) y   IRm, una solución factible del
problema dual D), entonces:
c x 
T
n

j 1
c jx j 
m
 b i i  b 
T
i1
En particular, si ambas soluciones son los óptimos
de sus respectivos problemas, sus valores óptimos
cumplen que :
v(P)  v(D)
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Teorema de dualidad fuerte:
Si x* = (x1*, x2*, ..., xn*)T, es una solución óptima
problema primal P), entonces el problema dual D)
tiene solución óptima * = (1*, 2*, ..., m*)T que
satisface:
T
n
m
j 1
i1
T
v (P )  c x *   c j x j *   b i  i *  b   v (D )
Además:
i)Si P) es no-acotado entonces D) es infactible.
ii)Si D) es no-acotado entonces P) es infactible.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Ejemplo:
P)
Min
sa:
3x1 + 4x2 + 5x3
x1+ 2x2 + 3x3  5
2x1 + 2x2 + x3  6
x1, x2, x3  0
D)
Max
sa:
5 1 + 6 2
1 + 22  3
21 + 22  4
31 + 2  5
1, 2  0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Resolvemos D) por Simplex, en su forma estándar:
1 2 3 4 5
1
2
1
0
0
3
2
2
0
1
0
4
3
1
0
0
1
5
-5
-6
0
0
0
0
xB
3  3 
   
 4  4
   
  5   5 
xD
  1  0 
     
  2  0 
Luego la variable entrante a la base es 2 (pues
r2<0). Y calculando Min { 3/2, 4/2, 5/1 } = 3/2, se
tiene que sale 3
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
1 2 3 4 5
½
1
½
0
0
3/2
1
0
-1
1
0
1
5/2
0
-1/2
0
1
7/2
-2
0
3
0
0
9
xB
  2  3 / 2 
  

 4 
1
  

  5   7 / 2 
xD
  1  0 
     
  3  0 
Luego la variable entrante a la base es 1 (pues
r2<0). Y calculando Min { (3/2)/(1/2), 1/1, (7/2)/(5/2)}
= 1, se tiene que sale 4
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
1 2 3 4 5
0
1
1
-1/2
0
1
1
0
-1
1
0
1
0
0
2
-5/2
1
1
0
0
1
2
0
11
xB
  1   1
   
 2  1
   
  5   1
xD
  3  0 
     
  4  0 
Sol. óptima de D):
1* = 1; 2* = 1;
v(D) = 11
Sol. óptima de P):
x1* = 1; x2* = 2; x3* = 0;
v(P) = 11
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Método Simplex Dual:
La idea de este método consiste en resolver de
alguna manera el problema dual asociado a P) en
la tabla y variables del problema primal P), según
veremos en su aplicación a un problema primal
(ejercicio anterior).
Min 3x1 + 4x2 + 5x3
sa:
x1+ 2x2 + 3x3  5
2x1 + 2x2 + x3  6
x1, x2, x3  0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Método Simplex Dual:
Min
sa:
3x1 + 4x2 + 5x3 + 0x4 + 0x5
x1 + 2x2 + 3x3 - x4
5
2x1 + 2x2 + x3
- x5  6
x1, x2, x3, x4, x5  0
x1
x2
x3
x4
x5
-1
-2
-3
1
0
-5
-2
-2
-1
0
1
-6
3
4
5
0
0
0
x(-1)
x(-1)
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Método Simplex Dual:
En la tabla anterior se toman dos variables de
exceso x4 y x5 , y se multiplica por un número
negativo con la finalidad de encontrar la matriz
identidad IRn, además es necesaria la condición de
que los costos reducidos de la tabla sean mayores
que cero ( lo que en este caso se cumple).
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Método Simplex Dual:
En la tabla anterior se escoge, usando el lado
derecho, alguna variable con valor negativo.
Escogemos x5 , variable que dejará la base.
Enseguida , se obtiene la variable entrante
calculando:
Min { (-3/-2) , (-4/-2),(-5/-1)} = 3/2.
De donde resulta que x1 entra a la base.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Método Simplex Dual:
x1
x2
x3
x4
x5
0
-1
-5/2
1
-1/2
-2
1
1
1/2
0
-1/2
3
0
1
7/2
0
3/2
-9
La tabla posee aún un lado derecho negativo
(costos reducidos negativos del problema dual), por
lo cual no es factible en P).
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Método Simplex Dual:
x4 (=-2) deja la base, luego calculamos :
Min {(-1/-1),((-7/2)/(-5/2)),((-3/2)/(-1/2))} = 1, por lo
que x2 entra a la base.
x1
x2
x3 x4 x5
0
1
5/2 -1
½
2
1
0
-2
1
-1
1
0
0
1
1
1
-11
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Método Simplex Dual:
La tabla posee lados derechos no-negativos (costos
reducidos positivos del problema dual) y también
los costos reducidos de las variables no básicas x3,
x4 y x5 son no-negativos , por lo que tenemos una
solución factible en P) que es la solución óptima del
problema.
 x 1   1
   
x  x2  2
   
 x 3   0 
v (P )  11
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
Temario:
II.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
II.2. Resolución gráfica de problemas.
II.3. Análisis de Sensibilidad.
II.4. El Método Simplex.
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
1) ¿Qué ocurre con las actuales variables básicas
si se cambia algún coeficiente del lado derecho (b)?
Si calculamos: x B  B  1 b y se cumple: x  0
Las mismas variables básicas lo son también de la
nueva solución óptima, calculada con el nuevo b .
Si lo anterior no se cumple, se puede aplicar el
Método Simplex Dual.
B
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
2) ¿ Qué ocurre con la actual solución óptima si se
agrega una nueva variable al problema ?
Para decidir si la actual solución básica es óptima
para el nuevo problema, calculamos el costo
reducido de la nueva variable mediante la formula:
T
rk  c k  c B B
1
Ak
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
donde k es el índice de la nueva variable y Ak su
respectiva columna en la matriz de coeficientes. Si
se cumple que rk0 se conserva la actual solución
óptima. En caso contrario, se sigue con el Simplex.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
3) ¿ Que ocurre con la actual solución óptima del
problema P) si se cambian los coeficientes que
definen la función objetivo ?
Supongamos que el vector de coeficientes en la
función objetivo cambia a un vector c  IR n
La actual solución óptima también lo es para P
con:
P ) Min c x
T
sa : Ax  b
x  0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Siempre que los nuevos costos reducidos sean
mayores o iguales a cero (notar que también
cambia el valor de la función objetivo en la actual
solución óptima). Es decir se debe cumplir que:
T
rD  c D  c B B
rj  c j 
1
D  0
T
1
c BB A j
 0
o equivalent
emente
" j
En caso contrario, se aplica el Simplex a partir de la
tabla final de P) con los nuevos costos reducidos y
nuevo valor de la actual solución básica.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Veamos los cambios que tienen lugar cuando sólo
varía un coeficiente del vector c de la función obj.
a) Cambio de un coeficiente asociado a una
variable no-básica xJ:
Se conserva la misma solución óptima del problema
P) ssi. para esa variable xJ:
T
r j  c j  c BB
1
Aj  0
" j
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Consideremos :
c j  c j  j
Por lo tanto se conserva la misma solución ssi:
 j  rj

c j  c j  rj
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
b) Cambio en un coeficiente de la función objetivo
asociado a una variable básica:
En este caso para tener la misma solución óptima,
se debe cumplir que el costo reducido de todas las
variables.a cero.
T
r j  c j  c BB
ci  ci  i
cB
1
Aj  0
0
 c B   i  1   c B   ie i
 
 0 
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Si el incremento es cualquiera en el siguiente
intervalo, se conserva la misma solución óptima:
 rj

 rj

Max 
/ y ij  0    i  Min 
/ y ij  0 
 y ij

 y ij

donde rj es el costo reducido de la respectiva
variable no básica en la actual solución óptima y los
coeficientes yij denotan las entradas en la tabla final
del Simplex asociadas a la variable básica xi (cuyo
costo cambia) y la respectiva variable no básica xj
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Ejemplo:
La siguiente tabla, es la tabla final de un problema
de programación lineal.
1,00
2,33
1,67
0,00
0,27
-0,07
1333,33
0,00 -0,03
0,03
1,00
-0,01
0,03
66,67
0,00
3,33
0,00
2,93
0,27
18666,67
6,67
Con esta tabla realizaremos
sensibilidad:
un análisis de
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
a) Variar los recursos ( lado derecho):
Las xB del problema primal no cambian como base
óptima, si los valores asociados a estas variables.
xB  B
1
b
y se cumple
xB  0
Para calcular estos intervalos de recursos, se
necesita la matriz inversa asociada a las variables
básicas del tabla final.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
4
B  
1
10 

40 
B
1
 4 / 15
 
  1 / 150
 1 / 15 

2 / 75 
Intervalo recurso 1:
 4 / 15

  1 / 150
20000
15

 1 / 15 
x
2 / 75 
4b1
15
0
 b 1   5000


 6000   b 1 

 0
4000


10000
150

b1
150
 b 1  10000
0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
 5000   b 1  10000
1000  b 1  16000
Intervalo recurso 2:
 4 / 15

  1 / 150
6000
 1 / 15  

  0
x
2 / 75   4000   b 2 
 2500   b 2  20000
1500  b 2  24000
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Variable x1:
Max {0}  C1  Min {((20/3)/(7/3)),((10/3)/(5/3))}
0  D1  2
10  C1* 12
Variable x4:
Máx {((20/3)/(-1/30))}  D4  Min {((10/3)/(1/30))}
-200  D4  100
-60  C4* 240
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal
Variable x2:
C2* = C2 + 2
2 - r2
C2 = -20
C2*  - 20 - ( 20/3)
C2*  - 80/3
Variable x3:
C3* = C3 + 3
3 - r3
C3 = -18
C3*  - 18 - ( 10/3)
C3*  - 64/3
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
BIBLIOGRÁFIA EN PROGRAMACIÓN LINEAL
1. Linear Programming and Network Flow, M.Bazaraa,
J.Jarvis and H.Sherali. John Wiley & Sons, Inc., New York,
Second Edition 1990.
2. Introduction to Linear Optimization, D.Bertsekas and
J.Tsitsiklis. Athena Scientific USA, 1997.
3. Linear Programming, V.Chvátal. W.H. Freeman and
Company, New York, 1983.
4. Linear Programming and Extensions, G. Dantzig.
Princeton University Press, New Jersey, tenth printing, 1993.
5. Introducción a la Programación Lineal y No Lineal,
D.Luenberger. Adisson Wesley Iberoamericana, 1989.
6. Linear and Combinatorial Programming, K. Murty. John
Wiley & Sons, Inc., New York, Second Edition 1976.
7. Model Building in Mathematical Programming, H.P.
Williams. John Wiley & Sons, Inc., New York, 4rd Edition 1999.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
DIRECCIONES ELECTRÓNICAS EN PROGRAMACIÓN LINEAL
•Preguntas de consulta frecuente en Programación Lineal:
http://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.html
•Servidor NEOS, guía de software de Programación Lineal:
http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.html
•Servidor NEOS, ejemplo problema de la dieta:
http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.html
•Guía de software de Programación Lineal en revista OR&MS Today
(INFORMS Magazine):
http://lionhrtpub.com/software-surveys.shtml
Gestión de Investigación de Operaciones
Contenidos
I. Introducción a la Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
Programación Entera
Programación No- lineal
III. Modelos Probabilísticos
Procesos Estocásticos y Cadenas de Markov
Sistemas de Espera
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
Temario:
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
III.2. Resolución de problemas de P. E.
III.3. Método de Branch and Bound.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
a) Problema de la mochila.
Una empresa está pensando invertir en cuatro
proyectos diferentes, cada proyecto se finaliza a lo
más en 3 años. Los flujos de caja requeridos en
cada año junto con el Valor Presente Neto de cada
proyecto, concluídos los años de ejecución, y las
disponibilidades de recursos financieros se
resumen en la siguiente tabla:
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Proy 1 Proy 2 Proy 3 Proy 4 Disp. Recursos
Año 1
10
8
6
12
30
Año 2
8
15
4
0
15
Año 3
18
0
16
0
12
V.P.N.
35
18
24
16
Interesa determinar en cuáles proyectos invertir de
modo de conseguir el mayor V.P.N. de la inversión.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisión:
 1,
xi  
0,
si se invierte
en el proyecto
i
sin o
Función objetivo:
Max 35x1 + 18x2 + 24x3 + 16x4
con i  1,2 ,3 , 4
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Restricciones (tres alternativas):
1) Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un
período:
Año1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 + s1
Año2: 8x1 + 15x2 + 4x3
Año3: 18x1
xi  {0,1}
+ 16x3
i = 1,2,3,4
= 30
+ s2 = 15 + s1
 12 + s2
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
2) Sin invertir el dinero no utilizado en un período,
pero utilizando el retorno de los proyectos
concluídos:
Año1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4
 30
Año2: 8x1 + 15x2 + 4x3
 15 + 16x4
Año3: 18x1
 12 + 18x2
xi  {0,1}
+ 16x3
i = 1,2,3,4
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
3) Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un período
y, también el retorno de proyectos concluídos:
Año1: 10x1+ 8x2+ 6x3+ 12x4+ s1 = 30
Año2: 8x1+ 15x2+ 4x3
Año3: 18x1
xi  {0,1}
+ 16x3
i = 1,2,3,4
+ s2 = 15 + s1 + 16x4
 12 + s2 + 18x2
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Notar que el conjunto de las soluciones factibles es
finito. Esto ocurrirá generalmente con los
problemas de Programación Entera (puros). En el
ejemplo, el número de soluciones factibles no
supera el número de las soluciones binarias del
problema (variables restringidas sólo a valores 0 o
1) que son 24 = 16, dado el número de variables
utilizadas, de hecho las soluciones factibles son
menos de 16 pues en particular xi=1 para i=1,2,3,4
no satisface las disponibilidades de capital en
cualquiera de las tres alternativas.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Supongamos que adicionalmente la inversión
efectuada requiera nuevas restricciones.
i) Se debe invertir en al menos 1 de los 3 primeros
proyectos:
x1 + x2 + x3  1
i) El proyecto 2 no puede ser tomado a menos que
el proyecto 3 si sea tomado:
x2  x3
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
iii) Se puede tomar el proyecto 3 o 4 pero no
ambos:
x3 + x4  1
iv) No se puede invertir en más de dos proyectos:
x1 + x2 + x3 + x4  2
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
b) Cumplimiento de un subconjunto de las
restricciones de un problema.
Consideremos un problema
siguientes restricciones:
12x1 + 24x2 + 18x3  2400
15x1 + 32x2 + 12x3  1800
20x1 + 15x2 + 20x3  2000
que
posee
las
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Supongamos además, que nos basta con obtener
alguna solucion óptima que verifique el
cumplimiento de al menos 2 de las 3 restricciones
anteriores.
Variables de decisión:
 1,
yj  
0,
si la restricció n j se satisface
sin o
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Cada inecuación anterior la reemplazamos por:
12x1 + 24x2 + 18x3  2400 + M1 (1- y1)
15x1 + 32x2 + 12x3  1800 + M2 (1- y2)
20x1 + 15x2 + 20x3  2000 + M3 (1- y3)
Además, debemos agregar la restricción que
permita que a lo más una de las restricciones no se
cumpla:
y1 + y2 + y3  2
Mi = constante lo suf. grande
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
c) Inclusión de costos fijos.
Supongamos que se desea tener lotes de compra
de un producto dado, para satisfacer demandas
que fluctúan en el tiempo sobre un horizonte de
planificación dividido en T períodos.
Asumimos conocidos: una estimación de la
demanda dt, con t = 1, 2, ..., T, los costos fijos
asociados a la compra de una unidad pt,
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
los costos asociados al mantenimiento de una
unidad en inventario de cada período ht y los
costos fijos asociados a la gestión de compra en el
período t, st.
Observación: no se permite unidades de faltante.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisión
xt:
número de unidades compradas en t.
It :
nivel de inventario al final del período t.
 1,
yt  
0,
si se hace una compra
sin o
con t: 1, 2, ..., T
en el periodo
t
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Función objetivo
T
Min
 st
y t  p t x t  h t It
t 1
Restricciones
xt + It-1 - It = dt
t = 1, 2, ..., T
I0 = inventario inicial
xt  Mt yt
t = 1, 2, ..., T
Mt = cte. grande
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
d) Problema de cobertura:
Dado un número de regiones o zonas, en las
cuales se ha subdividido una comuna, cuidad,
país, etc., digamos que un total de m, se desea
instalar un cierto número de servidores (escuelas,
centros de atención primaria de salud, compañías
de bomberos, etc.) de entre un conjunto de n
potenciales servidores ubicados en alguna de las
zonas dadas.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Se conoce la información relativa a que zonas
pueden ser atendidas por cada uno de los n
potenciales servidores, es decir, se conoce la
matriz de incidencia A = (aij) donde :
 1,
a ij  
0,
con
si la zona
i puede
ser atendida
sin o
i  1,2 ,..., m
y
j  1,2 ,..., n
por
el servidor
j
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Se desea determinar cuáles son los servidores que
deben ser instalados de modo de dar cobertura a
cada zona, dados los costos de instalación cj del
servidor j.
Variables de desición:
 1,
xj  
0,
si se instala
sin o
el servidor
j
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Función objetivo:
n
Min
 cj
xj
j 1
Restricciones:Para
cada zona i
n
 a ij x j  1
j 1
Se
agrega
la
siguiente
restricción,
si
adicionalmente, hay algún límite en el número de
servidores que se pueden instalar (digamos k) :
m

j 1
xj  k
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
e) Problema de transporte y localización :
Si se tiene un conjunto de m clientes que
demandan di unidades de un producto
determinado. Una compañía desea satisfacer esas
demandas desde un cierto conjunto de plantas
elegidas de n potenciales lugares donde se
instalarán.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Sean cj los costos asociados a la instalación de la
planta j , vj el costo unitario de producción de la
planta j y tij el costo de transporte de una unidad
desde la planta j al cliente i .
Se desea decidir cuáles plantas abrir y el tamaño
de cada una de modo de satisfacer las demandas
estimadas.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Variables de decisión:
 1,
yj  
0,
si se abre la planta
j
sin o
xij = el número de unidades elaboradas en la
planta j para satisfacer el cliente i, con j = 1,...,n y
i = 1,....,m.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Función objetivo:
n
Min
 c jy j
j 1


  v j   x ij  
 i1

j 1
n
m
n
m

t ij x ij
j 1 i 1
Costo de
Costo de
Costo de
Instalación
Producción
Transporte
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Restricciones:
1) Demanda cliente i:
m

x ij  d i
i 1
2) Relacionar variables de producción con las
asociadas a la apertura de plantas (variables
n
binarias):
 x ij
 Mj yj
j 1
donde Mj es una constante grande (por ejemplo,
capacidad máxima de producción de la planta j),
con xij  0 e yj  {0,1}.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
Temario:
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
III.2. Resolución de problemas de P. E.
III.3. Método de Branch and Bound.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.2. Resolución de problemas de P. E.
Supongamos que tenemos el siguiente problema
de programación lineal:
PL)
Max
cTx
s.a.
Ax=b
x0
Pero todas o una parte de las variables deben
restringir su valor a números enteros, dando origen
a un problema de Programación Entera (puro) o
de Programación Entera- Mixta, respectivamente.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.2. Resolución de problemas de P. E.
Por ejemplo:
PLE) Max
s.a.
cTx
Ax=b
x  0, xj entero
El problema PL) corresponde a la relajación
continua del problema PLE), que resulta de
eliminar las condiciones de integralidad de las
variables de decisión en PLE).
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.2. Resolución de problemas de P. E.
El valor óptimo de PL) provee sólo una cota
superior del valor óptimo de PLE). Notar sin
embargo, que si la solución óptima de PL) cumple
con la integralidad de los valores requiridos,
entonces esta solución es también solución óptima
de PLE).
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.2. Resolución de problemas de P. E.
Ejemplo
PLE) Max
s.a.
x2
- 2x1 + 2x2  1
2x1 + x2  7
x1  0, x2  0
enteros
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.2. Resolución de problemas de P. E.
x2
2x1 + x2  7
- 2x1 + 2x2  1
7
.
.
. .
.
. .
. .
3.5
x1
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.2. Resolución de problemas de P. E.
Notar que en el ejemplo la solución óptima puede
ser hallada por simple enumeración de todas las
soluciones factibles. Aquí las soluciones óptimas
son:
x1* = 1
x2* = 1
o
x1* = 2
x2* = 1
Esta
alternativa
de
enumeración
queda
naturalmente restringida a problemas muy
pequeños.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.2. Resolución de problemas de P. E.
Alternativamente, podemos resolver la relajación
continua asociada al problema PLE). Si la solución
óptima de la relajación continua da una solución
entera, esa es la solución óptima no solo del
problema lineal sino que también lo es del
problema lineal entero.
En el ejemplo, la solución de la relajación continua
es:
x1 = 3/2
x2 = 2
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.2. Resolución de problemas de P. E.
A partir de esta última solución podemos redondear
o truncar los valores que no salieron enteros,
obteniendo respectivamente en el ejemplo:
x1 = 2
x1 = 1
x2 = 2
x2 = 2
las cuales no son soluciones factibles de PLE), de
modo que desde el punto de vista de una
resolución numérica no es suficiente con resolver
la relajación continua.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.2. Resolución de problemas de P. E.
Todavía podrían resultar soluciones factibles de
PLE), pero no neceasariamente óptimas. Por
ejemplo:
PLE) Max
s.a.
f(x1, x2) = x1 + 5x2
x1 + 10x2  10
x1  1
x1  0, x2  0 enteros
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.2. Resolución de problemas de P. E.
Solución óptima de PL)
x1 = 1
f(1,9/10)=5,5
x2 = 9/10
Redondeando o truncando los valores
x1 = 1 infactible
x1 = 1
x2 = 1
x2 = 0
f(1,0)=1
Pero la solución óptima de PLE) es:
x1 = 0;
x2 = 1;
v(PLE) = 5
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
Temario:
III.1. Introducción y ejemplos de modelamiento.
III.2. Resolución de problemas de P. E.
III.3. Método de Branch and Bound.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.3. Método de Branch and Bound.
Consideremos
el
siguiente
programación entera:
PLE) Max
s.a.
21x1 + 11x2
7x2 + 4x2  13
x1  0
x2  0
x1, x2 enteros
problema
de
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.3. Método de Branch and Bound.
Consideremos inicialmente la resolución de la
relajación continua de PLE), que consiste en
eliminar las condiciones de integralidad.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.3. Método de Branch and Bound.
x2
3
x2 = 3
3/2
2
x2 = 2
21x1+11x2=39
1
x2 = 1
13/7 sol. relajada
x1 = 1
21x1+11x2
x1
x1 = 2
7x1+4x2=13
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.3. Método de Branch and Bound.
Descripción del
(maximización)
método
Branch
and
Paso 0
Hacer P0), la relajación continua de PLE)
Fijar la cota inferior del v(PLE) en -.
Bound
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.3. Método de Branch and Bound.
Paso1
Seleccionar un problema no resuelto, Pi)
Resolver Pi) como problema de programación
lineal.
Agotar este problema, usando:
(i) que se encontró una solución entera
(ii) que el problema resulta infactible
(iii) que el problema no provee un valor mejor que
la actual cota del valor óptimo v(PLE).
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.3. Método de Branch and Bound.
Si el problema Pi) resulta agotado y da solución
entera, mejorar el valor de la cota inferior de
v(PLE).
Si todos los problemas están agotados, parar.
Solución óptima de PLE), la solución entera
asociada a la actual cota inferior de v(PLE), si
existe (si no existe entonces PLE) es infactible)
Si el problema no está agotado pasar al paso 2.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.3. Método de Branch and Bound.
Paso 2
Seleccionar una variable xj= ûj, cuyo valor en la
solución óptima de Pi) no de entero.
Eliminar la región correspondiente a
ûj < ûj < ûj + 1
Crear dos nuevos problemas de programación
lineal que incorporen a Pi) dos restricciones
mutuamente excluyentes: xj  ûj, xj  ûj +1 una
en cada problema y volver al paso 1.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
III.3. Método de Branch and Bound.
P0
x1 = 1
x2 = 3/2
z = 37.5
x11
P1
P11
x1 = 0
x2 = 13/4
z = 35.75
x23
x1 = 0
x2 = 3 P1211
z = 33
P2
infactible
x22
x21
x1 = 1
x2 = 1
z = 32
x1 = 13/7
x2 = 0
z = 39
x12
P12
x1 = 5/7
x2 = 2
z = 37
x11
P121
P122
x24
infactible
P1212
infactible
P0) Relajación continua
-< z  39
P1) Max 21x1 + 11x2
s.a. 7x1 + 4x2  13
x1  1
x1  0
x2  0
P2) Max 21 x1 + 11x2
s.a. 7x1 + 4x2  13
x1  1
x2  1
x1  0
x2  0
De donde 32  z  39

Solución óptima
x1* = 0; x2* = 3; z = 33
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
BIBLIOGRÁFIA EN PROGRAMACIÓN ENTERA
1) Integer Programming, L.A.Wolsey. John Wiley & Sons,
Inc., New York, 1998.
2) Combinatorial Optimization C.H.Papadimitriou and
K.Steiglitz. Prentice Hall Inc., USA, 1982.
3) Linear and Combinatorial Programming, K. Murty. John
Wiley & Sons, Inc., New York, Second Edition 1976.
4) Integer and Combinatorial Optimization, George L.
Nemhauser and Laurence A. Wolsey. John Wiley & Sons, Inc.,
New York, 1999.
5) Model Building in Mathematical Programming, H.P.
Williams. John Wiley & Sons, Inc., New York, 4rd Edition 1999.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Entera
DIRECCIONES ELECTRÓNICAS EN PROGRAMACIÓN ENTERA
•Preguntas de consulta frecuente en Programación Lineal:
http://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.html
•Servidor NEOS, guía de software de Programación Entera:
http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/intprog.html
•Servidor NEOS, ejemplo problema corte de rollos:
http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/cutting/index.html
•Guía de software de Programación Lineal en revista OR&MS Today
(INFORMS Magazine):
http://lionhrtpub.com/software-surveys.shtml
Gestión de Investigación de Operaciones
Contenidos
I. Introducción a la Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
Programación Entera
Programación No- lineal
III. Modelos Probabilísticos
Procesos Estocásticos y Cadenas de Markov
Sistemas de Espera
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
Temario:
IV.1. Introducción y ejemplos.
IV.2. Propiedades básicas de los problemas de
programación no-lineal.
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
IV.5. Problemas con restricciones de igualdad y
desigualdad.
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
A esta clase de problemas de optimización
pertenecen todos aquellos, en los cuales la función
objetivo y/o las restricciones son funciones nolineales de las variables de decisión.
En particular, la programación no-lineal provee una
manera de abordar el no cumplimiento del
supuesto de proporcionalidad de la programación
lineal, permitiendo la programación de economías
o deseconomías de escala y/o retornos crecientes
o decrecientes a escala.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
a) Rendimientos decrecientes a escala.
Una compañía vende cuatro productos diferentes.
El retorno que provee cada producto es una
función de la cantidad de recursos asignados a la
promoción y venta de cada producto, según la
siguiente tabla:
PRODUCTO
RETORNO (M$)
Producto 1
10.000 x1 0.50
Producto 2
7.500 x2 0.75
Producto 3
9.000 x3 0.60
Producto 4
15.000 x4 0.30
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
En este ejemplo:
xi es la cantidad de recursos asignados al producto
i, con i = 1,2,3,4.
El siguiente modelo provee una asignación de
estos recursos, de modo de maximizar las
utilidades, considerando una inversión anual no
superior a los M$ 75.000.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
Max
10.000 x10.5 + 7.500 x20.75 + 9.000 x30.6 + 15.000 x40.3
s.a:
x1 + x2 + x3 + x4  75.000
xi  0; i = 1, 2, 3, 4, 5.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
b) Aproximación y ajuste de curvas.
Supongamos que se tiene un conjunto de datos
correspondientes a una determinada función
y=g(x) (desconocida), digamos (x1,y1), (x2,y2), ..,
(xm,ym) y se desea aproximar g(x) por una
función h(x)
ym
y2
y1
x1
x2
xm
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
Algunas elecciones posibles:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
h (x) = a0 + a1 x
h (x) = a0 + a1 x + a2 x2
h (x) = a0 + a1x a
h (x) = a0 e a x
h (x) = a0 + a1 x + a2 e a
h (x) = a0 + a1 ln(x)
2
1
3x
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
¿Cómo elegir los coeficientes a=(a0,...,an) en la
función h(x) que aproxima o ajusta los datos
observados?
Se define una función de error: e(x,a) = g(x) – h(x)
Una elección posible de los coeficientes ai resulta
de minimizar la suma ponderada de los errores al
cuadrado en cada uno de los datos , es decir:
m
Min
m
F(a) =   i e ( x i , a ) =   i ( y i  h ( x i ))
i1
2
i1
2
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
Que da origen a un problema de programación nolineal sin restricciones.
Si escogemos 1 = ... = m = 1 y h(x) = a0 + a1x, el
problema corresponde a una regresión lineal.
h(x)= a0 + a1x
ym
y2
y1
x1
x2
xm
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
Cuya solución resulta ser:
a0
 yi 
  
i 1  m 
a1
 m
  yix i
  i 1
 m 2
  xi
 i1
m






Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
c) Localización de instalaciones.
Una compañía petrolera desea construir una
refinería que recibirá suministros desde tres
instalaciones portuarias, cuyas coordenadas se
muestran en la siguiente figura:
Puerto B
40
Puerto C
30
Puerto A
30
80
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
Si denotamos por x e y las respectivas
coordenadas de la refinería que se debe instalar,
una posible elección es aquella que resulta de
minimizar la cantidad total de tubería necesaria
para conectar la refinería con los puertos, dada
por:
Min f(x,y) =
(x  0)  (y  0) 
2
2
( x  30 )  ( y  40 ) 
2
( x  80 )  ( y  30 )
2
2
2
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
La solución óptima calculada por el solver de Excel
es:
Puerto B
x*=30,8052225
y*= 37,8900128
Puerto C
Refinería
Puerto A
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
d) Optimización de carteras de inversión
Se desea obtener una cartera de inversiones en
base a distintos instrumentos (acciones, pagarés,
bonos, etc). La cartera elegida deberá reflejar un
compromiso entre los retornos de los instrumentos
elegidos y el riesgo asociado a cada uno de ellos,
de hecho es natural esperar que a mayor retorno
haya un mayor riesgo y también que exista cierta
correlación entre los retornos de los distintos
instrumentos de la cartera.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
A continuación se formula un modelo para obtener
una cartera de inversión de un tomador de
decisiones con aversión al riesgo, con un vector de
retornos que tiene una distribución normal con
media:
r = (r1, r2, ..., rn)T y
matriz de
covarianza: Q = (sij) con i = 1, 2, ..., n y j = 1, 2,
..., n donde sii denota la varianza del retorno del
instrumento i y donde sij (i  j) es la covarianza de
los retornos del instrumento i con el j.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
Sea xi el porcentaje de inversión del instrumento i
en la cartera, con i = 1, 2, ..., n las variables de
decisión del modelo y sea K una constante de
aversión al riesgo.
El siguiente modelo (propuesto por Markowitz,
Premio Nobel de Economía 1991), combina ambos
elementos presentes en una decisión de esta
naturaleza:
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
n
Max
n
n
 ri x i  K   s ij x i x j
i 1
i  1 j 1
n
sa :
 xi  1
i 1
xi  0
1  1,2 ,..., n
Usando el servidor Neos para una cartera con tres
acciones seleccionadas del menú para este
problema en el servidor y un bono, se tiene:
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
Selected value of K is 10.00
Risk less rate of return (monthly) is 0.00407
Name
Avg Return
(monthly, pet)
Std
Desviation
Pet of optimal
Portfolio
Coca Cola Co
2,885
6,574
48,6
Exxon Corp
1,647
4,939
13,7
Texaco Inc
1,869
6,381
16,6
Bond
0,407
0
21
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.1. Introducción y ejemplos.
Optimal Portfolio Statistics
Avg Return (monthly, pet)
2,03
Std Desviation
4,02
Pet of Optimal Potrfolio
27,2
21.0%
Coca Cola
48.6%
Exxon Corp
Texaco Inc
16.7%
13.7%
Bond
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
Temario:
IV.1. Introducción y ejemplos.
IV.2. Propiedades básicas de los problemas de
programación no-lineal.
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
IV.5. Problemas con restricciones de igualdad y
desigualdad.
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
De manera general, un problema de optimización
considera la resolución de un modelo como el que
sigue:
P)
Min f(x)
s.a. x  D  IRn
Donde f: IRn IR es una función, comúnmente
continua y diferenciable, y D es el dominio de
factibilidad del problema, generalmente dado por:
D = {x IRn / gi(x) = bi i=1,...,m; hr(x) dr r =1,...,l}
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
Decimos que x*  D es un mínimo global o
solución óptima del problema P) ssi:
f(x*)  f(x) para todo x  D
Por otra parte, decimos que x^  D es un mínimo
local del problema P) ssi:
f(x^)  f(x) para todo x en una vecindad de x^
(x  D  B(x^, ))
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
Min
s.a:
f(x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5)
1x5
f(x)
Son mínimos locales x=1,
x+ y x*, en tanto la
solución óptima o
minimo global es x*
x*
1
2
3
x+
4
x
5
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
f(x,y) = -4x3 + 3x - 6y
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
f(x,y) = x2 - 4x - 2y
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
Existen resultados que garantizan la existencia y
unicidad de la solución de un problema de
programación no lineal.
Teorema (Weiertrass). Si f es una función continua
y D es un conjunto no vacío cerrado y acotado de
IRn, entonces P) tiene solución óptima.
Teorema. Si f es una función continua y D es un
conjunto cerrado no vacío y además f cumple que:
lim f ( x )   , entonces P) tiene solución óptima.
|x |  
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
Por su parte, la unicidad de la solución óptima se
puede garantizar sólo bajo ciertas condiciones muy
especiales.
De igual modo es posible garantizar si un mínimo
local es un mínimo global del problema.
Para esto se requiere saber si el problema P) es un
problema convexo, esto es si la función objetivo
f(x) es convexa y el conjunto D de puntos factibles
es un conjunto convexo.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
Definición. Decimos que f: IRnIR es una función
convexa ssi:
fx + (1-)y )  f(x) + (1-)f(y)
para todo x, y  D (x  y) con   [0, 1]
Si la desigualdad anterior se cumple de manera
estricta, decimos que f es estrictamente convexa.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
Lineal a trozos
f(y)
f(x)
x
y
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
Adicionalmente, se tiene el siguiente resultado
Teorema. Si f es una función dos veces
continuamente diferenciables, las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
i) f es una función convexa
ii) f(x)  f(y) + fT(y)(x-y) para dos puntos
cualesquiera x e y.
iii) La matriz hessiana de las segundas derivadas
parciales de f, denotada en lo que sigue por D2f(x),
es semi positiva definida para todo x.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
Por otra parte, también podemos caracterizar si un
conjunto cualquiera es convexo o no, de acuerdo a
la siguiente:
Definición. D  IRn, un conjunto no vacío, es
convexo ssi x + (1-) y  D, para todo x  D,
y  D con   [0,1].
x
y
Es convexo
y
x
No es convexo
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
Así por ejemplo, si h(x) es una función convexa el
conjunto D = { x  IRn  h(x)  d } es convexo para
cualquier escalar real d.
También es posible demostrar que la intersección
de conjuntos convexos es un conjunto convexo. De
aquí que por ejemplo el problema
P)
Min
f(x)
s.a
hr(x)  dr
r=1,2,...,l
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
Con f(x) y hr(x) funciones convexas para r=1,2,..,l
definen un problema convexo, pues el dominio de
factibilidad es la intersección de los conjuntos
convexos Dr={ x  IRn  hr(x)  dr }, para r=1,2,..,l.
Teorema. Si P) es un problema convexo y x* es un
mínimo local de P) entonces x* es un mínimo
global o solución óptima de P), si además, f es una
función estrictamente convexa x* es una solución
óptima única.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
La principal dificultad en los problemas de
programación no lineal es que incluyen restriciones
no lineales de igualdad como g(x) = b y el conjunto
de puntos {xIRn : g(x)=b} generalmente no es
convexo cuando g(x) es una función no lineal
cualquiera. Por lo tanto no todos los problemas de
programación no lineal son convexos y esto hace
más difícil garantizar que la solución encontrada
por un solver sea una solución óptima del
problema.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
Como puede verse en el siguiente ejemplo, que
resolveremos gráficamente, la geometría de los
problemas también cambia respecto de lo
observado en programación lineal.
Consideremos el siguiente problema:
Min
(x1 - 3)2 + (x2 - 4)2
s.a.
x1 + x2  5
x1 - x2  5/2
x1  0, x2  0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
La solución óptima x* de este problema se alcanza
el punto x1* = 2, x2* = 3 correspondiente al único
punto de la curva de nivel que tiene el menor valor
y que intersecta la región de puntos factibles.
Notar que la solución ya no corresponde a un
vértice del dominio de factibilidad del problema,
aún cuando todavía esta solución se alcanza en la
frontera de dicho conjunto.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
Sin embargo, esto último, a diferencia de lo que
ocurre en programación lineal, no siempre se
produce. Si por ejemplo el problema es ahora:
Min
(x1 - 2)2 + (x2 - 2)2
s.a
x1 + x2  5
x1 - x2  5/2
x1  0, x2  0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
La solución cambia a lo representado en la
siguiente figura, donde la solución óptima se
alcanza en x1* = 2, x2* = 2, ahora perteneciente al
interior del dominio de factibilidad del problema.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
Gráficamente,
también
podemos
observar la
presencia de
divesos mínimos
locales en un
problema no
lineal.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
Temario:
IV.1. Introducción y ejemplos.
IV.2. Propiedades básicas de los problemas de
programación no-lineal.
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
IV.5. Problemas con restricciones de igualdad y
desigualdad.
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
En esta sección consideraremos un problema
P) Min f(x)
con x  IRn
A esta clase de problemas pertenece por ejemplo
el problema de aproximación y ajuste de curvas.
Sin embargo, la principal razón para su estudio
radica en la extensión de las ideas y métodos para
esta clase de problemas a los problemas de
optimización restringida.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
A continuación se resumen algunos resultados
teóricos para esta clase de problemas:
Teorema (condiciones necesarias de primer
orden). Si f es una función continuamente
diferenciable y x+  IRn es un mínimo local de P),
entonces: f(x+) = 0.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
Teorema (condiciones necesarias de segundo
orden). Si f es una función dos veces
continuamente diferenciable y x+  IRn es un
mínimo local de P), entonces:
f(x+) = 0 y D2 f(x+) es semi positiva definida.
Dado lo anterior, no todos los puntos x  IRn que
satisfacen las propiedades mencionadas son
mínimos locales de la función, sin embargo existen
resultados que proveen condiciones necesarias y
suficientes para que un punto sea un mínimo local.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
Teorema (condiciones necesarias y suficientes de
segundo orden). Sea f una función dos veces
continua diferenciable en x+  IRn . Si f(x+) = 0 y
D2f(x+) es positiva definida, entonces x+ es un
mínimo local estricto.
Teorema.
Sea
f
una
función
convexa
continuamente diferenciable, entonces x+ es un
mínimo global ssi f(x+) = 0.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
Ejemplo. Considere la función:
f(x1,x2) = 3 x12 + x23 - 3/2 x22
su gradiente y matriz Hessiana corresponden a:
6x1


 f (x )  
2

3
x

3
x

2
2
6
D f (x )  
0
2


6x2  3
0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
De modo que hay dos posibles candidatos,
x+ = (0, 0)T y x* = (0, 1)T, que satisfacen las
condiciones necesarias de primer orden. Sin
embargo
6
D f (x )  
0
2


6x2  3
0
sólo es positiva definida en x* = (0,1), de modo que
x* es un mínimo local del problema.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
La mayor parte de los algoritmos de optimización
para abordar esta clase de problemas pertenecen
a la clase de algoritmos generales de descenso
que reducen el cálculo de un mínimo local a una
secuencia de problemas de búsqueda lineal (o
búsqueda unidimensional).
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
Decimos que un vector d  IRn es una dirección de
descenso de la función f en el punto x+ ssi la
derivada direccional de f en x+ en la dirección d, es
x2
negativa:
f(x)
d
x+
-f(x)
Z=20
Z=10
x1
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
Consideremos además la función unidimensional
(en una variable)
g() = f(x+ + d)
donde  es un escalar real llamado el tamaño del
paso. Esta función da el valor de la función f
cuando uno se mueve a partir del punto x+ en la
dirección d un cierto paso .
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
Claramente, si g’(0) = fT(x+)d < 0, es posible
escoger un paso  tal que:
g() = f(x+ + d) < f(x+) = g(0)
esto es, que reduzca el valor de la función respecto
del valor actual en x+.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
Algoritmo general de descenso
1) Considere un punto inicial x = x0. Hacer k = 0.
2) Escoger una dirección de descenso dk.
3) Realizar una búsqueda lineal que seleccione un
paso k tal que: gk(k) = f(xk + kdk) < f(xk) = gk(0)
4) Hacer xk+1 = xk + kdk.
5) Hacer un test de convergencia. Si converge
parar. En caso contrario, hacer k=k+1 y volver a 2)
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
En el paso 5), los criterios más usuales de
convergencia son que se cumpla:
 f(xk)   
f(xk+1) - f(xk)/ (1+ f(xk))  
para un cierto número L de valores consecutivos
de k, y donde  es una tolerancia de error dada,
por ejemplo  = 10-4.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
Existen varios métodos para escoger una dirección
de descenso, uno de ellos es:
Método del Descenso más Pronunciado
En este método, también conocido como Método
del Gradiente o Método de Cauchy, dado la actual
aproximación xk, la dirección de descenso se
escoge como:
dk = -f(xk)
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
Ejemplo.Considerar el problema:
Min (x1 – 2)4 + (x1 – 2x2)2
sa:  x 1 
   IR
x 2 
2
que resolvemos usando el método del descenso
más pronunciado a partir del punto x10 = 0, x20 = 3
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
Iteración k
xk
f(xk)
f(xk)
k
1
(0.00,3.00) 52.00 (-44.00,24.00)
0.062
2
(2.70,1.51)
0.34
(0.73, 1.28)
0.24
3
(2.52,1.20)
0.09
(0.80,-0.48)
0.11
4
(2.43,1.25)
0.04
(0.18, 0.28)
0.31
5
(2.37,1.16)
0.02
(0.30,-0.20)
0.12
6
(2.33,1.18)
0.01
(0.08, 0.12)
0.36
7
(2.30,1.14) 0.009
(0.15,-0.08)
0.13
8
(2.28,1.15) 0.007
(0.05, 0.08)
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
Otra elección posible para
descenso es la que usa el:
la
dirección
de
Método de Newton
Aquí el vector dk se calcula como la solución del
siguiente sistema de ecuaciones:
D2f(x)dk = - f(x)
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
Sin embargo, a pesar de ser un método más
eficiente que el anterior respecto de su rápidez de
convergencia, requiere en cada iteración, el cálculo
de las segundas derivadas parciales y la resolución
de un sistema de ecuaciones. Además, dk está
garantizada que es una dirección de descenso sólo
si D2f(xk) es positiva definida.
Al aplicar el método al ejemplo anterior se tiene:
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
Iteración k
f(xk)
f(xk)
1
(0.00,3.00)
52.00 (-44.00,24.00)
2
(0.67,0.33)
3.13
(-9.39,-0.04)
3
(1.11,0.56)
0.63
(-2.84,-0.04)
4
(1.41,0.70)
0.12
(-0.80,-0.04)
5
(1.61,0.80)
0.02
(-0.22,-0.04)
(-0.07, 0.00)
6
(1.74,0.87)
0.05
8
(1.83,0.91) 0.0009
(-0.0003,-0.04)
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
Temario:
IV.1. Introducción y ejemplos.
IV.2. Propiedades básicas de los problemas de
programación no-lineal.
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
IV.5. Problemas con restricciones de igualdad y
desigualdad.
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
El problema que se desea abordar consiste en:
P)
Min
s.a.
f(x)
g1(x) = b1
g2(x) = b2
g m(x) = bn
mn
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
Definición. Decimos que x  IRn es un punto
regular de las restricciones del problema P) ssi:
gi(x) = bi
i = 1, 2, ..., m
g1(x), g2(x), ..., gm(x) son vectores l.i.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
Para presentar algunos resultados teóricos, que
permiten el cálculo de mínimos locales, se
introdujo la definición anterior, que se relaciona con
el cumplimiento de ciertas condiciones de
regularidad del problema.
A
continuación,
introducimos
Lagrangiana asociada a P):
L(x ,  )  f (x ) 
m
la
  i (gi ( x )  b i )
i 1
función
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
donde   1, 2, ..., m)T representa el vector de
los Multiplicadores de Lagrange.
Los siguientes resultados teóricos establecen
ciertas propiedades que satisface un mínimo local,
las cuales muestran, en particular, que dicho punto
es un punto estacionario de la función
lagrangeana.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
Teorema. (Condiciones necesarias de primer
orden):
Sean f(x) y g1(x),g2(x),...,gm(x) funciones
continuamente diferenciales y sea x^ un mínimo
local que además es un punto regular de las
restricciones de P), entonces existe un vector
λ^  IRm, de multiplicadores de Lagrange tales que:
m
 x L(x ,  )   f (x )    i  gi (x )  0
^
^
^
i 1
^
^
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
Teorema (Condiciones necesarias y suficientes de
segundo orden).
Sean f, g1 ,g2, ..., gm funciones dos veces
continuamente diferenciables y sea x^  IRn un
punto regular de las restricciones de P) que junto
con λ^  IRm, satisfacen:
m
 xL(x ,  )   f (x )    i  gi (x )  0
^
y que
^
^
m
D f (x )  
2
^
i1
^
i1
^
2
^
 i D gi (x
^
)
es una matriz positiva definida entonces x^ es un
mínimo local de P).
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
Ejemplo:
2
2
Min
x1  x2
sa :
x1  x2  4
 x1 
2

IR
 
x 2 
Buscamos la solución óptima
condiciones de optimalidad:
usando
las
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
2
2
f (x )  x 1  x 2
;m  1
 f ( x )  (2 x 1, 2 x 2 )
2
2
D f (x )  
0
0

2
T
h1(x )  x 1  x 2  4
0
 h1(x )  
0
0

0
0
D h(x )  
0
0

0
2
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
Luego las condiciones de primer orden son:
2x1 + λ1 = 0
2x2 + λ1 = 0
x1 + x2 - 4 = 0 ( Factibilidad)
Resolviendo el sistema: x1 = x2 = 2; λ1 = -4, luego
por existencia de la solución óptima de P) se tiene
que la solución óptima es :
x1=2 , x2=2
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
De todos modos las condiciones de segundo orden
se cumplen pues:
2

0
0
0
  1
2
0
0
2
  
0
0
0

2
es positiva definida.
m
*
Notar que en x* se tiene:   f ( x )    *i  h i ( x * )
i 1
 4
 4    4 1
T
1
T
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
Temario:
IV.1. Introducción y ejemplos.
IV.2. Propiedades básicas de los problemas de
programación no-lineal.
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
IV.5. Problemas con restricciones de igualdad y
desigualdad.
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.5. Prob. con rest. de igualdad y desigualdad.
Por último consideramos un problema más general
de optimización:
P)
Min f(x)
s.a. gi(x) = bi
i = 1, 2, ..., m
hr(x) = dr
r = 1, 2, ..., l
En este caso decimos que x^ es un punto regular
de las restricciones del problema ssi:
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.5. Prob. con rest. de igualdad y desigualdad.
gi(x^) = bi
; i = 1, 2, ..., m
hr(x^)  dr
; r = 1, 2, ..., l
g1(x^), g2(x^), ..., gm(x^), hj(x^) vectores l.i.
con j  { r / hr(x^) = dr }
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.5. Prob. con rest. de igualdad y desigualdad.
Teorema (condiciones necesarias de primer orden
de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)).
Suponga que las funciones f, g1, ..., gm, h1, ..., hl
son continuamente diferenciables. Sea x^ un
punto regular de P) y mínimo local del problema,
entonces existen multiplicadores de lagrange: 1, 2
, ..., m y m1 , m2 , ..., ml  0 :
m
l
 f (x )    i  gi (x )   m r  hr (x )  0
^
i1
^
m r (h r ( x )  d r )  0
^
r 1
; r  1, 2 , ..., l
^
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
Temario:
IV.1. Introducción y ejemplos.
IV.2. Propiedades básicas de los problemas de
programación no-lineal.
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
IV.5. Problemas con restricciones de igualdad y
desigualdad.
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.6. Métodos de optimización restringida.
a) Método de activación de restricciones
Este método se aplica en esta descripción a
problemas que sólo poseen restricciones de
desigualdad.
La idea es que si el problema no restringido tiene
una solución óptima que no satisface una parte de
las restricciones, se considera k restricciones como
de igualdad y se resuelve este problema
restringido hasta llegar a un conjunto de
restricciones activas cuya solución también
satisface las restricciones omitidas.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Paso1: Resuelva el problema no restringido. Si el
óptimo satisface todas las restricciones parar, en
caso contrario, hacer k=1 e ir al paso 2.
Paso 2: Activar cualquiera de las k restricciones y
hallar una solución que satisfaga las condiciones
de optimalidad KKT. Si la solución resulta factible
para las restantes restricciones parar. Sino, active
otro conjunto de k restricciones y repita el paso. Si
se han tomado todos los conjuntos de k
restricciones sin hallar solución factible ir al paso 3.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Paso 3: Si k = L (# total de restricciones) no existe
solución factible. En caso contrario, hacer k= k+1 e
ir a paso 2.
Ejemplo. Consideremos el problema:
Min
(2x1 – 5)2 + (2x2 – 1)2
s.a.
x1 + 2x2  2
x1, x2  0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.6. Métodos de optimización restringida.
El problema no restringido tiene como solución a
x1* = 5/2 y x2* = ½
obtenida al resolver: f(x) = 0
Claramente, este punto no satisface la restricción:
h1(x1,x2) = x1 + 2x2  2.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Consideramos entonces activa la restricción lineal,
esto es resolvemos:
f(x1, x2) + m1 h1(x1, x2) = 0
h1 (x1, x2) = 2
Cuya solución optima es:
x1^ = 22/10 = 11/5
x2^ = -1/10
m1^ = -12/5 que no satisface x2  0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Continuando con el método, si sólo se activa x1= 0
se llega al mínimo local:
x1 = 0, x2 = ½
m2= 0, m1= 0, m3= 0
Notar que otro mínimo local se tiene con
x1 + 2x2  2 y x2 = 0 activas, obteniéndose:
x1 = 2, x2 = 0.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.6. Métodos de optimización restringida.
b) Método de Frank – Wolfe.
Este método permite la resolución de un problema
cuya función objetivo es una función convexa nolineal y cuyas restricciones son todas lineales. Este
método reemplaza la función objetivo por una
secuencia de funciones lineales que la aproximan,
dando así origen a una secuencia de problemas de
programación lineal.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Si xk es la actual aproximación a la solución óptima
del problema
P)
Min f(x)
s.a. Ax = b
x0
Entonces la expansión en serie de Taylor en torno
a x =xk, a saber f(x) = f(xk) + f(xk)(x – xk), permite
aproximar el problema P) por el problema lineal:
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Min
f(xk) + f(xk)(x – xk)
s.a.
Ax = b
x0
o equivalentemente, eliminando los términos
constantes, se puede considerar el problema:
PLk)
Min
f(xk)x
s.a.
Ax = b
x0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Si xPLk denota la solución óptima de PLk), este
punto no necesariamente es cercano a xk de modo
que es necesario proponer un punto que resulte de
hacer una minimización unidimensional en el
segmento que une xk con xPLk.
Todo lo anterior se resume en el siguiente
algoritmo:
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Pao 0: Escoger un punto inicial factible x0. Hacer
k = 1.
Paso 1: Evaluar c= f(xk-1)
Paso 2: Hallar la solución óptima xPLk del siguiente
problema lineal
Min cT x
s.a. Ax = b
x0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Paso 3: Para la variable   [0, 1], se define
g() = f(xk-1 +  [xPLk – xk-1])
Usar algún procedimiento de minimización
unidimensional para hallar un k que aproxime la
solución de Min { g() /   [0, 1]}
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Paso 4: Hacer xk = xk-1 + k (xPLK – xk-1)
Paso 5: Si se satisface el criterio de parada del
método, parar. En caso contrario, hacer k = k + 1 y
volver al Paso 1.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
IV.6. Métodos de optimización restringida.
Ejemplo.
Min
sa:
x12 – 5x1 + 2x22 – 8x2
3x1 + 2x2  6
x1, x2  0
Iteración k x k-1  f(x k-1)
xLPk
xk
k
(0, 2)
2/3
1
(0, 0)
(-5, -8)
(0, 3)
2
(0, 2)
(-5, 0)
(2, 0) (5/6, 7/6) 5/12
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
BIBLIOGRÁFIA EN PROGRAMACIÓN NO LINEAL
1. Nonlinear Programming, M.Bazaraa, H.Sherali and C.Shetty.
John Wiley & Sons, Inc., New York, Second Edition 1993.
2. Nonlinear Programming, D.Bertsekas. Athena Scientific USA,
1995.
3. Numerical Methods for Unconstrained Optimization and
Nonlinear Equations, J.Dennis and R.Schnabel. SIAM Classics in
Applied Mathematics 16. SIAM Publications, Philadelphia, 1996.
4. Practical Methods of Optimization, R.Fletcher. John Wiley &
Sons, Inc., 1981.
5. Introducción a la Programación Lineal y No Lineal,
D.Luenberger. Adisson Wesley Iberoamericana 1989.
6. Mathematical Programming: Theory and Algorithms, M.Minoux.
John Wiley & Sons, Inc., New York, 1986
7. Optimization Software Guide, J.Moré and S.Wright, SIAM
Frontiers in Applied Mathematics 14, SIAM Publications,
Philadelphia 1993.
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No - lineal
DIRECCIONES ELECTRÓNICAS EN
LINEAL
PROGRAMACIÓN NO
•Preguntas de consulta frecuente en Programación No Lineal:
http://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/nonlinear-programming-faq.html
•Servidor NEOS, guía de software de Programación No Lineal :
http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/unconstropt.html
http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/constropt.html
•Servidor NEOS, ejemplo problema de carteras de inversión:
http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/port/index.html
•Guía de software de Programación No Lineal en revista OR&MS Today
(INFORMS Magazine):
http://lionhrtpub.com/software-surveys.shtml
Gestión de Investigación de Operaciones
Contenidos
I. Introducción a la Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
Programación Entera
Programación No- lineal
III. Modelos Probabilísticos
Procesos Estocásticos y Cadenas de Markov
Sistemas de Espera
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de Markov
Temario:
V.1. Introducción.
V.2. Proceso de Poisson.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
V.4. Clasificación de los estados y distribución
límite.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de Markov
V.1. Introducción.
Un Proceso Estocástico se define como secuencia
de variables aleatorias {Xt} tT, donde el conjunto
de índices T puede ser un conjunto discreto, por
ejemplo T = {0,1,2,3,...}, caso en el cual decimos
que el proceso es tiempo discreto o bien T puede
ser un intervalo, por ejemplo T= [0,), caso en el
cual decimos que el proceso es en tiempo
continuo.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de Markov
V.1. Introducción.
El proceso estocástico {Xt}
por ejemplo:
tT
puede representar
• El número de vehículos esperando en una plaza
de peaje en el instante t.
• El número total de llamadas recibidas solicitando
un determinado servicio hasta el instante t.
• El número de máquinas descompuestas o en
reparación en un determinado taller en el instante
t.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de Markov
V.1. Introducción.
• El nivel de inventario de cierto producto al final
del día t.
• El valor de una determinada acción en el instante
t.
Por ejemplo, la evolución del número de
compradores en una tienda al ser abierta al
público, entre las 8:00 y 9:40 de la mañana (100
minutos) puede ser representada por un proceso
estocástico y una posible realización de éste se
observa en la siguiente gráfica:
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de Markov
V.1. Introducción.
4
Número
de
3
compradores
en el
2
sistema
1
0
20
40
60
Tiempo (en minutos)
80
100
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
Temario:
V.1. Introducción.
V.2. Proceso de Poisson.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
V.4. Clasificación de los estados y distribución
límite.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
En primer lugar, definimos un proceso estocástico
de conteo {Nt} t0, que corresponde al número total
de eventos o llegada de entidades, a un sistema
dado, ocurridas hasta el instante t, el cual
satisface:
i) N0=0.
ii) Los valores de Nt están restringidos a números
enteros.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
iii) Nt es un proceso no decreciente en el tiempo,
es decir si s < t entonces Ns  Nt
iv) Si s < t entonces Nt – Ns es el número total de
eventos en el intervalo (s,t]
Si por ejemplo, Nt denota el número total de
llamadas recibidas en una central telefónica hasta
el instante t, para todo t  0, una realización
posible del proceso estocástico {Nt} t0 puede ser:
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
6
Número
de
llamadas
Nt
5
4
3
2
1
0
Tiempo
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Un proceso estocástico de conteo {Nt} t0 se dice
un proceso de Poisson ssi satisface las siguientes
propiedades:
i) Incrementos estacionarios. La probabilidad de
que ocurra exactamente k eventos en el intervalo
(s,s+h] depende sólo del tiempo de duración h y
no del instante s, es decir, si t10, t20 y h0
entonces Nt1+h–Nt1 y Nt2+h–Nt2 son v.a. con igual
distribución.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
ii) Incrementos Independientes. El número de
eventos que ocurren durante intervalos de tiempo
disjuntos son independientes. Es decir, si
0<t0<t1<...<tn entonces Nt0, Nt1-Nt0, ..., Ntn-Nt(n-1)
son v.a. Independientes.
iii) Propiedad de orden. Se asume que no tiene
lugar de manera simultánea la llegada u ocurrencia
de dos o más eventos.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Existe una constante  > 0 tal que para todo
t [0,[ y h > 0, se tiene:
IP(Nt+h – Nt =1) = h +o(h)
IP(Nt+h - Nt  2) = o(h)
Si {Nt}t0 es un proceso de Poisson, entonces para
todo t  0, la variable aleatoria Nt es una variable
aleatoria Poisson de parámetro t, esto es
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
IP(Nt = k) = -et (t)k / k ; k= 0,1,2,3,...,
donde  es la tasa de ocurrencia de eventos por
unidad de tiempo. De aquí entonces que
IE (Nt) = t
Var(Nt) = t
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Ejemplo. Para un proceso de Poisson a tasa , se
sabe que entre 0 y t han ocurrido n eventos. Hallar
la probabilidad de que en un subintervalo de
longitud h haya ocurrido exactamente k de esos
eventos.
Sea {Nt}t0 dicho proceso, entonces
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
IP(Nh=k / Nt=n)
= IP(Nh=k, Nt=n) / IP(Nt=n)
= IP(Nh=k, Nt – Nh = n - k) / IP(Nt=n)
= IP(Nh=k)IP(Nt – Nh = n - k) / IP(Nt=n)
= IP(Nh=k)IP(Nt-h= n - k) / IP(Nt=n)
= e-h(h)k / k e-(t-h) ((t-h))n-k / (n-k) /
e-t(t)n / n
k
=  h   h   t  h 
 k  t   t 
nk
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Ejemplo.
Suponga que llegan pasajeros a un terminal de
buses de acuerdo a un proceso de Poisson {Nt}t0
a tasa =3 pas./min. En el instante t=0 acaba de
salir un bus y no deja ningún pasajero en la fila,
suponga además que cada bus tiene una
capacidad suficiente para no dejar pasajeros
esperando en el terminal.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Sea T el tiempo que transcurre hasta la próxima
salida de un bus, este corresponde a una v.a.
uniforme en el intervalo (9 min, 11 min) y es
independiente del proceso {Nt}t0. Se desea
calcular el número esperado de pasajeros que
aborda cada bus.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Solución
11
IE ( Y  n ) 
 IE ( Y / T
 t)
9
11

1
 IE (N t ) 2 dt
9

1
11
2
 30
 3t
9
dt
1
11  9
dt
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Interesa estudiar sistemas en los cuales ocurren
determinados eventos a través del tiempo. Hemos
utilizado un proceso de Poisson {Nt}t0 para el
número de eventos que ocurran hasta un instante
t, asociado a este proceso también existen v.a.
continuas T1, T2,..., Ti, ... que indican el instante de
ocurrencia del i-ésimo evento y v.a. continuas
S1 = T1, S2 = T2 - T1, ... que representan el tiempo
transcurrido entre eventos sucesivos.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
6
Número
de
eventos
Nt
5
4
3
2
1
0
T1
T2 T3
S1 S2 S3
S4
T4
T5
S5
Tiempo
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Teorema. Si {Nt}t0 es un proceso de Poisson a
tasa , las v.a. S1, S2, S3, ... de los tiempos entre
eventos sucesivos, son i.i.d. con distribución
exponencial de parámetro . Es decir, para t0
F(t) = IP (Si  t) = 1 – e-t
f(t) = e-t
son sus respectivas funciones de distribución y
densidad.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Ejemplo.
Sea {Nt}t0 un proceso de Poisson a tasa , que
cuenta el número de veces que se ha
reemplazado una ampolleta en una lámpara
determinada. Si la primera ampolleta lleva s horas
funcionando, calcular la probabilidad de que
complete más de s + t horas funcionando.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Denotamos por T1 la v.a. correspondiente al
tiempo transcurrido hasta que se produce el primer
reemplazo. Entonces T1  Exp(), luego
IP ( T 1  s  t / T 1  s ) 

IP ( T 1  s  t )
IP ( T 1  s )
e
 (s t)
e
t
 e
s
 IP ( T 1  t )
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Lo anterior quiere decir que el funcionamiento de
la ampolleta durante las siguientes t horas no
depende de cuantas horas lleva funcionando, esta
propiedad es conocida como la falta de memoria
de la distribución exponencial.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Ejemplo.
Suponga que en un proceso productivo se tiene
dos máquinas que trabajan en paralelo elaborando
un mismo producto. Sean Nt1 y Nt2 procesos de
Poisson independientes a tasas 1 y 2 que
cuentan el número de fallas hasta el instante t de
la máquina 1 y 2 respectivamente. Calcular la
probabilidad de que la máquina 2 falle por primera
vez antes de que la máquina 1 falle por primera
vez.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Sean T1 y T2 los tiempos transcurridos hasta que
se produce la primera falla en la máquina 1 y 2
respectivamente.
Entonces, T1  Exp(1) y T2  Exp (2) y se pide
calcular IP(T2<T1) lo cual resulta, condicionando
por ejemplo en el valor de T1,
IP (T2<T1 ) = 2/(1 +2)
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Condicionando el valor de T1 se tiene:
IP ( T
2
1
 T )   IP ( T
  IP ( T
2
2
 T
1
 t )  1e
 t ) 1 e
  IP (1  e
 1 1 e
 t
2
 t
1
) 1 e
 (   )t
1
2
 1   1 /(  1   2 )
  2 /(  1   2 )
dt
 t
dt

1
dt
1
dt
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Por otra parte, las variables aleatorias T1,T2,..., de
los instantes de ocurrencia de los eventos
satisfacen:
T1 = S1
 Exp ()
T2 = S1 + S2  Gamma (2,)
.
.
.
Ti = S1 + S2 + ... + Si
 Gamma (n,)
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
Cuya función de distribución corresponde a:
n1
IP ( Ti  t )  1   e
k0
 t
( t )
k!
k
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
Temario:
V.1. Introducción.
V.2. Proceso de Poisson.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
V.4. Clasificación de los estados y distribución
límite.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
Consideremos un ejemplo simplificado relacionado
con la propagación de una enfermedad
contagiosa. La transmisión de la enfermedad se
produce desde un individuo infectado a uno
susceptible. Consideremos periodos semanales.
Sea p la probabilidad de que durante una semana
cualquiera un individuo infectado le transmita la
enfermedad a uno susceptible. Asuma que una
vez que una persona ha sido infectada queda
inmune, una vez que ha sido tratada.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
Sea Xn el número de individuos susceptibles de
contagio en la población, al final de la semana
n=1,2,...
p ij  IP ( X n  1  j / X n  i )
Se define
, como la
probabilidad de que haya j individuos susceptibles
al final de la semana n+1 dado que hay
exactamente i individuos susceptibles al final de la
semana n (i  j ).
 i  i j
j
Entonces:
p    p (1  p )
ij
 j 
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
Un proceso estocástico en tiempo discreto
{Xn}n=1,2,.... se denomina una Cadena de Markov
en tiempo discreto ssi satisface las siguientes
propiedades:
i) Propiedad Markoviana:
IP ( X n  1  j / X 0  i 0 , X 1  i 1 ,..., X n  1  i n  1 , X n  i )
 IP ( X n  1  j / X n  i )
Donde i0, i1, ..., in-1, i, j son posibles “ estados” o
valores que puede tomar el proceso estocástico en
las distintas etapas.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
ii) Propiedad estacionaria:
p ij  IP ( X n  1  j / X n  i ) , no
La probabilidad
depende de la etapa n.
Las
probabilidades
pij
son
llamadas
“probabilidades de transición en una etapa del
estado i al estado j “. Suponiendo que cada etapa
n la v.a. Xn toma un número finito de valores
(estados), digamos 1,2,... M; estas probabilidades
definen una matriz P de probabilidades de
transición en una etapa.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
P  (p ij ) i  1 ... M
j  1 ... M
 p 11

p 21

 

p
 ( M  1) 1
 p M 1
p 12

p 22

p ( M  1) 2

pM2



p 2M



p ( M  1) M

p MM 
p 1M
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
Adicionalmente,
se
supone
conocida
la
distribución de probabilidad de la Cadena de
Markov en la etapa inicial, que denotamos según
f0 , donde :
f
0
 IP ( X 0  1) 


IP ( X 0  2 )

 




IP
(
X

M
)


0
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
El conocimiento del proceso estocástico
{Xn}n=0,1,2,...consiste en poder determinar la
distribución de probabilidad en cada etapa,
esto es calcular IP (Xn = j) para cada n  1 y
estado j= 1,2,.....,M.
Notar que para cada j:
IP ( X n  j) 
 IP ( X n  j / X n  1  i ) IP (X n  1  i )
i

 p ij IP ( X n  1  i )
i
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
Matricialmente esto equivale a tener:
f
n
 IP ( X n  1)   p 11

 
IP ( X n  2 )
p 12

 
 
  

 

 
 IP ( X n  M )   p 1M
p 21

p 22

p 2M

p M1 

pM2




p MM 
De manera recursiva se tiene entonces:
fn = PT fn-1 = (PT)n f0
 IP ( X n  1  1) 


IP ( X n  1  2 )








 IP ( X n  1  M ) 
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
También es posible obtener las probabilidades de
transición de un estado a otro al cabo de k etapas,
que denotamos por :
(k )
p ij
 IP ( X n  k  j / X n  i )  IP ( X k  j / X 0  i )
Que resumidas en una matriz ( para el caso de un
número finito de estados).
P
(k )
(k )
 (p ij )
Estas satisfacen las ecuaciones de Chapman y
Kolmogorov que implican: P(k) = Pk
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
Ejemplo 1.
Considere una tienda que mantiene un inventario
de un producto dado para satisfacer una demanda
(aleatoria). La demanda diaria D, tiene la siguiente
distribución:
IP (D = 0) = 1/4, IP (D = 1) = 1/2,
IP (D = 2) = 1/4, IP (D >= 3) = 0
Sea Xn el nivel de inventario al inicio del día n y
suponga que la tienda tiene la política de
mantención de inventario (s, S), que consiste en
que si al final del día se posee menos de s, se
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
hace una orden de pedido que al inicio del día
siguiente eleva las existencias al nivel S y en caso
contrario, no se pide nada. Asuma que la demanda
no satisfecha es demanda perdida y que al inicio
del horizonte de planificación hay S unidades en
inventario con s = 1 y S = 2.
Se tiene que:
Xn  {1, 2} ; n = 0, 1, 2, ...
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
 IP ( x 0  1) 
0 
f  
   
 1
 IP ( x 0  2 ) 
p i , j  IP ( X n  1  j / X n  i )
0
;
i, j  { 1,2 }
p 11  IP (D  0 )  1 / 4
p 12  IP (D  1)  3 / 4
p 21  IP (D  1)  1 / 2
p 22  IP (D  0 )  IP (D  2 )  1 / 2
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
Entonces la matriz de probabilidades de transición
en una etapa corresponde a:
1 / 4
P  
1 / 2
3 / 4

1/ 2 
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
Ejemplo 2.
Suponga que en el sistema de las AFP existen
solo 2; las AFP A y las AFP B. Sea N el número
de
personas
afiliadas
al
sistema;
la
superintendencia está preocupada de que las
cuentas individuales estén al día. Para ello ha
establecido un sistema de control basado en el
siguiente procedimiento: al final de cada mes
escoge una persona al azar de los N existentes en
el sistema.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
Si la AFP a la cual pertenece la persona no tiene
su cuenta individual al día; la persona es
traspasada de inmediato a la otra AFP, en caso
contrario la deja en la AFP en la que estaba.
Suponga que la probabilidad de que un afiliado en
la AFP A tenga su cuenta al día es P1 y que esta
probabilidad para la AFP B es P2.
Se desea estudiar la movilidad de los clientes en
cada AFP en cada mes del horizonte de
planificación.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
Se tiene:
Xn: el número de personas en la AFP A al final del
mes n; con n = 0, 1, 2, ..., n
xn  {0, 1, 2, ..., N}
Calculemos las probabilidades de transición en
una etapa (mes)
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
p i ,i  1 
p i ,i 
i
N
p i ,i  1 
p ij  0
i
N
( 1  P1 )
P1 
(N  i )
N
(N  i )
N
;
;
1 i N1
P2
(1  P2 )
j  i  1, i, i  1
p 0 ,0  P2
p 0 ,1  ( 1  P 2 )
p N ,N  1  1  P1
p N ,N  P1
p 0 , j  0 j  0 ,1
p Nj  0 j  N  1, N
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
Temario:
V.1. Introducción.
V.2. Proceso de Poisson.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
V.4. Clasificación de los estados y distribución
límite.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
En esta sección se presentan algunos resultados
que tienen relación con la existencia y cálculo de
una distribución para la Cadena de Markov en el
largo plazo. Previamente, se enumeran algunas
definiciones que clasifican los estados de una
cadena:
i) Un estado j se dice accesible desde el estado i
ssi para algún n
(n )
p ij
 IP ( X n  j / X 0  i )  0
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
ii) Si tanto el estado i es accesible desde j como
viceversa decimos que los estados i y j se
comunican.
iii) Dos estados que se comunican están en una
misma clase de estados.
iv) Se dice que una cadena es irreducible si hay
una sola clase de estados.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
v) Un estado se dice que tiene periodo d, para el
mayor valor del entero d que cumple:
(n )
p ii
 IP ( X n  i / X 0  i )  0
sólo para valores de n pertenecientes al conjunto
{d, 2d, 3d, ....}. Si d=1 decimos que el estado es
aperiódico.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
vi) Se define T(i,j) como el número de etapas
requeridas por el proceso para pasar de estado i al
estado j por primera vez. De igual modo se define:
Fk (i, j)  IP ( T (i, j)  k )
es decir :
Fk (i, j)  IP ( X k  j, X k  1  j,..., X 1  j / X 0  i )
como la probabilidad de que comenzando en i,
ocurra la primera transición al estado j al cabo de
exactamente k etapas.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
Puede probarse por inducción, la siguiente formula:
F1 (i, j)  p ij
Fk  (i, j)   p im Fk  1 ( m , j),
k 1
m j
vii) En particular, se denota por Fk(i,i) la
probabilidad de que el proceso retorne al estado i
por primera vez al cabo de k etapas. De modo que:

F (i, i )   Fk (i, i )
k 1
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
que es la probabilidad que partiendo en i , el
proceso regrese al estado i alguna vez.
viii) Un estado se dice recurrente ssi F(i,i) = 1
ix) Un estado se dice transciente ssi F(i,i)< 1

x) Sea IE ( T (i, i ))   k  1 k Fk (i, i ) , el valor esperado
de el número de etapas que le toma al proceso
volver al estado i por primera vez, partiendo del
estado i.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
Un estado se dice recurrente positivo ssi:
F (i, i )  1
y
IE ( T (i, i))  
Un estado se dice recurrente nulo ssi :
F (i, i )  1
y
IE ( T (i, i ))  
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
Ejemplo
1 / 2

p 
0

 1 / 3
 1

p  1/ 2

 1 / 5
1/ 2
1/ 3
1/ 3
1/ 2
1/ 6
3/5
0 

2/3

1 / 3 
0 

1/ 3

1 / 5 
Define una cadena
de estados irreducible
con estados recurrente
positivos periódicos
Posee dos clases
de estados y uno de
los estados es
transciente.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
 0

1/ 2

p 
 0

 1
1
0
0
1/ 2
0
0
0
0
0

0

1

0
Es una cadena
irreducible, de
estados recurrentes
positivos y todos
sus estados son
periódicos de
periodo d=2.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
Si la distribución de probabilidad del proceso en el
largo plazo existe y es independiente de la
distribución inicial (o del estado inicial), decimos
que el proceso tiene una distribución estacionaria
  1, 2, ..., MT
(n )
 j  lim IP ( X n  j)  lim p ij
n 
n 
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
Proposición.
Sea {Xn}n=0,1,2 una cadena de Markov irreducible
con estados recurrentes positivos aperiódicos,
entonces existe una distribución estacionaria , tal
que  > 0 y que se obtiene como la solución única
del sistema:
T
  P 
 j  1
j
j  0
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
Ejemplo. Se desea calcular las probabilidades
estacionaria j, que también representan la
fracción del tiempo que el sistema esta en el
estado j en el largo plazo
1/2
1/2
1 / 2

p 
0

 1 / 3
1/ 2
1/ 3
1/ 3
0 

2/3

1 / 3 
1
1/3
2
1/3
2/3
T
 P 
1  2  3  1
3
1/3
1/3
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
Sistema que
ecuaciones:
(1)
(2 )
corresponde
1 
2 
1
2
1 
1
2
2
1
3
1 
las
3
1
3
1
2 
(3 )
3 
(4 )
1  2  3  1
3
2 
a
3
3
1
3
3
siguientes
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
2
de
(1)
1 
de
(2 )
2  3
así
2
3
3
3
3  3  3  1
\ Solución
1 
1
4
2  3 
3
8
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
Ejemplo:
Una compañía esta considerando emplear
cadenas de markov para analizar los cambios en
las preferencias de los usuarios por tres marcas
distintas de un determinado producto. El estudio ha
arrojado la siguiente estimación de la matriz de
probabilidades de cambiarse de una marca a otra
cada mes:
1
2
3
1
0.8
0.1
0.1
2
0.03
0.95
0.02
3
0.2
0.05
0.75
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
En la actualidad los porcentajes de mercado son
45%, 25% y 30%, respectivamente.
¿Cuales serán los porcentajes de mercado de
cada marca en dos meses más?
xn{1,2,3}: marca que adquiere un cliente
cualquiera en el mes n=0,1,2,3,...
f
0
 IP ( X 0  1)  0 . 45 


 IP ( X 0  2 )  0 . 25


 IP ( X 0  3 )  0 . 30 
 0 .8

P  0 . 03

 0 . 2
0 .1
0 . 95
0 . 05
0 .1 

0 . 02

0 . 75 
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
Al término del mes siguiente:
1
T
f P f
0
 IP ( X 1  1)  0 . 4275 


 IP ( X 1  2 )  0 . 2975


 IP ( X 1  3 )  0 . 2750 
Y dos meses después:
f
2
 IP ( X 2  1)  0 . 4059
T 1

 P f  IP ( X 2  2 )  0 . 3391

 IP ( X 2  3 )  0 . 2550




Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
De aquí las cuotas de mercado en dos meses a
cambiado de un 45% a un 40.59%; de un 25% a un
33.91% y de un 30% a un 25.50%, para las marcas
1,2 y 3 respectivamente.
¿Cuál es la cuota de mercado en el largo plazo
para cada una de las marcas?
La cadena resultante es irreducible con estados
recurrentes positivos y aperiódicos . Denotando por
=(1, 2, 3)T, las probabilidades estacionarias de
largo plazo, las cuales satisfacen:
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
=PT 
 i = 1 ; i = 1,2,3.
1=0.8 1+ 0.03 2+0.20 3
2=0.10 1+ 0.95 2+0.05 3
3=0.10 1+ 0.02 2+0.75 3
1 + 2+ 3 =1
Cuya solución resulta:
1= 0.2373 2= 0.6184
3= 0.1443
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
De aquí que la cuotas de mercado en el largo
plazo resultan ser 23.73%, 61.84% y 14.43% para
las marcas 1,2 y 3 respectivamente.
Notar
que
las
actuales
cuotas
difieren
significativamente de las cuotas obtenidas en el
largo plazo lo cual puede implicar que de alguna
manera deban ser corregidas las probabilidades de
transición.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
Temario:
V.1. Introducción.
V.2. Proceso de Poisson.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
V.4. Clasificación de los estados y distribución
límite.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Se desea estudiar el comportamiento de sistemas
que dependen en forma continua del tiempo:
Xt: número de ambulancias disponibles en el
instante t.
Xt: número de personas esperando ser atendidas
en el banco o en el supermercado en el instante t.
Xt:
número
de
máquinas
funcionando
correctamente en un taller en el instante t.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Propiedad Markoviana:
IP ( X t  s  j / X u  X (u ), 0  u  t , X t  i )
 IP ( X t  s  j / X t  i )
Propiedad Estacionaria
IP ( X t  s  j / X t  i ) , no depende de t, sólo de s.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Una realización posible del proceso estocástico es:
4
3
Xt
2
1
t
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
¿Cómo representar el proceso?
- Se necesitan las probabilidades de que ocurra un
“salto” de un estado a otro.
- La distribución de los tiempos de permanencia en
un estado.
Se necesita explicitar:
i) Probabilidades de transición pij (asumiendo pii=0)
ii) Tasas vi de los tiempos exponenciales Ti de
permanencia en el estado i.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Distribución de Xt :
p ij ( t )  IP ( X t  j / X 0  i )
Estas probabilidades satisfacen:
d
dt
p ij ( t )   p ik ( t ) v k p kj  v jp ij ( t )
k j
Si existe una distribución estacionaria:
 j  lim p ij ( t )
t 
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
La ecuación diferencial anterior provee el siguiente
sistema de ecuaciones para las probabilidades
estacionarias (de existir):
0 
  k v k p kj  v j  j
;
 j  1
j  1,2 ,...
k j
j
O equivalentemente el sistema:
v j j 
  k v k p kj
k j
;
j  1,2 ,...
 j  1
j
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Ejemplo :
En el puerto de Valparaíso existen N trenes
encargados de traer cargas de contenedores
desde los buques hasta una unidad de descarga.
En esta unidad existen c grúas ( c < N) para
descargar los trenes. El tiempo que le toma a una
grúa descargar un tren es exponencial a tasa m. Un
tren deja la unidad de descarga cuando la grúa
termina de atenderlo y vuelve con una nueva carga
después de un tiempo exponencial de tasa .
Formular un modelo que nos permita obtener en el
largo plazo :
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
- Número medio de trenes esperando ser
atendidos en la cuidad de descarga
- Número medio de grúas que se encuentran
atendiendo trenes
- Fracción del tiempo en que hay al menos una
grúya desocupada
Xt : El número de trenes que están en la unidad de
descarga
(Xt {0,1,2,...,N})
Si existen 0  j  c trenes en la unidad de descarga
vj= j m+ (N – j) 
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Es decir, el tiempo que transcurre con j trenes en la
unidad de descarga es una v.a. Exponencial
correspondiente al mínimo entre los tiempos que
transcurren hasta que se descarga completamente
un tren de los j existentes en dicha unidad y los
tiempos que transcurren hasta que retorna uno de
N – j trenes que vuelve con carga.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Además, las únicas posibles transiciones son:
pj,j-1= j m / (j m + (N – j ) )
j>0
pj,j+1=( N- j )  / (j m + (N – j ) )
Esto es, las probabilidades que se termine de
descargar un tren antes de que vuelva uno con
carga y viceversa.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Análogamente si c < j  N
resultan:
estos parámetros
vj= c m+ (N – j) 
pj,j-1= c m / (cm + (N – j ) )
pj,j+1=( N - j )  / (cm + (N – j ) )
(jN)
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
En este caso las ecuaciones que determinan las
probabilidades estacionarias :  j  lim p ij ( t )
t 
Resultan ser las siguientes:
N  0
[m + ( N – 1 )]
...
[cm + ( N – c ) ] C
...
[cm + ] N-1
=
= N  0
m 1
+ 2 m 2
= (N –( c – 1))  c-1 + c m C+1
= 2  N-2
+ c m N
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
c m N = N-1
1+ 1+...+ N = 1
Así, el número de trenes esperando ser atendidos
en la unidad de descarga es :
N
 (n  c )  n
nc
El número promedio de grúas atendiendo trenes
c
N
n1
nc 1
 n n   c n
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Y la fracción de tiempo en que hay al menos una
grúa desocupada es :
c 1
 n
n0
Gestión de Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
BIBLIOGRÁFIA EN MODELOS PROBABILÍSTICOS
1. Introduction to Probability Models, Ross, S.M. Academic
Press, New York, 1980.
2. Applied Probabability Models with Optimization
Applications, Ross, S.M. Dover Publications, Inc. New York,
1992.
3. Modelos Estocásticos para la Gestión de Sistemas,
Gazmuri, P. Ediciones Universidad Católica, Santiago, 1995.
4. Simulation Modeling and Analysis, Law, A.M. Kelton,
W.D. Mc.Graw Hill, New York, Third Edition, 2000.
Gestión de Investigación de Operaciones
III. Modelos Probabilísticos
Sistemas de Espera
DIRECCIONES ELECTRÓNICAS EN MODELOS PROBABILÍSTICOS
•Sección de simulación en INFORMS:
http://www.informs-cs.org/
•Simulation Education Homepage: :
http://www.acs.ilstu.edu/faculty/wjyurci/nsfteachsim/indexnew.html
Descargar

temas sobre investigación de operaciones