Lógica
Proposicional
Trabajo Práctico Nº 1
Lógica Proposicional
1) Para describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos con
p: “la comida es buena” ; con q: “el servicio es bueno” y con
r: “el restaurante es de tres estrellas”.
Escribir simbólicamente las siguientes proposiciones :
a)- La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas
b)-La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas.
c)-La comida es buena y el servicio no.
d)- No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres
estrellas
e)- Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de
tres estrellas.
f)- No es cierto que ser de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen
servicio.
2) Denotemos con p “el clima es agradable” y con q “vamos de día de campo”.
Traducir las siguientes proposiciones al lenguaje coloquial.
a) p  q
b) p  q
c) q  p
d)  (p  q)
3) Construir las tablas de verdad de los siguientes esquemas
proposicionales:
a) (p  q)  p
c) (q  p)  ( p  q)
e) (p q) (r)
b) p  (p  q)
d) (r r)
4) Los valores de verdad de las proposiciones p; q; y r; y s son respectivamente
V ; F ; F y V. Obtener los valores de verdad de :
i) [( p  q )  r]  s
ii) r  (s  p)
iii) (p  r)  (r   s)
5) Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer
el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso
afirmativo, justificarlo.
i) (p  q)  r ;
r es V
ii) (p  q)  ( p   q) ;
q es V
6) Determinar, si es posible, el valor de verdad de las siguientes
proposiciones :
a) (p  q)  q
si
p  q es Falso
b) p  (p  q)
si
p  q es Verdad
c) [ (p  q)   q]  q
si
p es Verdad y q es Verdad
7) Simplificar las siguientes proposiciones:
a)  ( p   q)
b)  (p  q)  ( p   q)
c)  (p  q)
8) Negar los siguientes esquemas proposicionales y obtener expresiones
equivalentes.
i) q  r
iii) p  (q  r)
ii) (p  q)  r
iv)  (p  q)  ( p   q)
9) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas :
i) ( p  q )  r
iii) p  [ p  q ]
ii) [ (p  q)  (q  r) ]  (p  r)
iv) (p  r)  (r  p)
10) Cierto país está habitado por personas que siempre dicen la verdad o
que siempre mienten, y que responderán preguntas solo con “si” o “no”. Un
turista llega a una bifurcación en el camino, una de cuyas ramas conduce a
la Capital y la otra no. No hay un letrero que diga qué camino seguir, pero
hay un nativo, el señor z, parado en la bifurcación. ¿ Qué única pregunta
deberá hacerle el turista para determinar qué camino seguir?.
1 a b
1 c d
PROPOSICION es una expresión de la cual
se puede decir que es verdadera o que es falsa
“El Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes” es una proposición verdadera
“Manuel Belgrano compuso el Himno Nacional”
es una proposición falsa
pero de la expresión: ¿ Vendrás hoy ? no puede decirse que sea verdadera, ni
falsa; entonces, ésta no es una proposición.
Vamos a denotar a las proposiciones con las letras minúsculas p, q, r, s, t, u . . .
Entonces :
p : El Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes
q : Manuel Belgrano compuso el Himno Nacional
1 e
1 f
2 a b
2 c d
1 a b
NEGACION
1 c d
Si queremos negar una proposición debemos anteponer
expresiones como
No es cierto que . . .;
No sucede que . . .;
o insertar convenientemente en la expresión
. . . NO . . . .
1 e
2 a b
así, la proposición
“No es cierto que el Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes”
es equivalente a decir : “El Gral. San Martín NO cruzó la cordillera de los
Andes”
Simbólicamente se antepone a la letra que denota la proposición,
el símbolo

ó
-
también puede usarse

 p : No es cierto que el Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes
 p : El Gral. San Martín NO cruzó la cordillera de los Andes
1 f
2 c d
CONECTORES LOGICOS
1 a b
1 c d
Para vincular las proposiciones vamos a valernos de los
conectores lógicos;
ellos son:
1 e

conjunción

disyunción
incluyente
disyunción
excluyente



implicación
doble
implicación
Mediante el uso de los conectores y símbolos
sintácticos (paréntesis, corchetes, llaves), podemos
vincular dos o mas proposiciones entre sí
2 a b
1 f
2 c d
Dadas las proposiciones :
P : El jueves es el examen
q : El viernes viajo
1 a b
1 c d
Podemos escribir las proposiciones compuestas :
1 e
2 a b
“El jueves es el examen y el viernes viajo”
pq
pq
“El jueves es el examen o el viernes viajo, o ambas cosas”
“El jueves es el examen o el viernes viajo, pero no ambas cosas”
“El jueves es el examen implica que el viernes viajo”
o
“Si el jueves es el examen, entonces el viernes viajo”
“El jueves es el examen si y solo si el viernes viajo
pq
pq
pq
1 f
2 c d
1) a) En la expresión
“La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas”
Las proposiciones involucradas son
p : La comida es buena
q : el servicio es bueno
Proposición
están vinculadas con el conector o ; debe considerarse que al final se
especifica que pueden suceder ambas cosas
el conector que corresponde es DISYUNCION INCLUYENTE (  )
La expresión simbólica es :
Negación
Operaciones
pq
Ejemplos
1 b) En la expresión
“La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas”
Las proposiciones involucradas son
p : La comida es buena
q : el servicio es bueno
están vinculadas con el conector o ; debe considerarse que al final se
especifica que no pueden suceder ambas cosas
corresponde el conector de DISYUNCION EXCLUYENTE (  )
La expresión simbólica es :
pq
1 c-d
o
pq
1e
1f
1 c) En la expresión “La comida es buena y el servicio no es bueno“
Las proposiciones involucradas son:
p : La comida es buena
q : el servicio es bueno
pero la proposición “el servicio es bueno”
p yq
está negada
q
Negación
están vinculadas con el operador y
el operador que corresponde ahora es CONJUNCION
La expresión simbólica es :
Proposición
()
Operaciones
pq
Ejemplos
1 d) En la expresión :
No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres estrellas”
Las proposiciones involucradas son:
p : La comida es buena
r : El restaurante es de tres estrellas“
No es negación pero el “que tanto“ es la negación de toda la expresión
en ella, el “como que” sugiere una conjunción
La expresión simbólica es :
(pr)
 (p  r)
1e
1f
1 e) En la expresión :
Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el
restaurante es de tres estrellas.
Proposición
Las proposiciones involucradas son :
p : La comida es buena
q : El servicio es bueno
r : El restaurante es de tres estrellas
Negación
Operaciones
El Si . . . . . . . entonces . . . . . . nos hace pensar en la implicación
Ejemplos
donde aparecerán involucradas dos proposiciones: la primera
llamada antecedente y la otra llamada consecuente
La forma es : Si
(antecedente) entonces
(consecuente)
vamos a detectar ahora cual es el antecedente y cual es el consecuente de la implicación.
El antecedente es : Si
(tanto la comida como el servicio son buenos)
El consecuente es : entonces (el restaurante es de tres estrellas)
La expresión simbólica es :
(pq)r
1f
pq
r
1 f) En la expresión :
No es cierto que si el restaurante es de tres estrellas siempre
signifique buena comida y buen servicio.
Las proposiciones involucradas son :
p : La comida es buena
q : El servicio es bueno
r : El restaurante es de tres estrellas
Aparecen aquí tres operaciones
la primera es una negación que afecta a toda la expresión que continúa
se distingue también una implicación,
Proposición
Negación
Operaciones
Ejemplos
aunque no aparezca aquí el clásico “si . . . entonces . . . “
sino
“si . . . .siempre significa . . . . “
detectaremos ahora cual es el antecedente y el consecuente de la implicación
el antecedente es la proposición r : el restaurante es de tres estrellas
el consecuente es la conjunción p  q : la comida es buena y el servicio es bueno
La expresión simbólica es :
 [ r  ( p  q) ]
2 a) Si las proposiciones son :
p : “el clima es agradable”
La proposición compuesta
q : “vamos de día de campo”
pq
es la conjunción de las
proposiciones p con q
Proposición
que en el lenguaje coloquial se expresa :
Negación
“el clima es agradable y vamos de día de campo”
2 b)
Si las proposiciones son :
p : “el clima es agradable”
La proposición compuesta
pq
Operaciones
Ejemplos
q : “vamos de día de campo”
es la doble implicación de las
proposiciones p con q
que en el lenguaje coloquial se expresa :
“el clima es agradable si y solo si vamos de día de campo”
2 c-d
2 c) Si las proposiciones son :
p : “el clima es agradable”
La proposición compuesta
q : “vamos de día de campo”
qp
es la implicación
q implica p
que en el lenguaje coloquial se expresa :
“ Si vamos de día de campo entonces el clima es agradable”
2 d) Si las proposiciones son :
p : “el clima es agradable”
La proposición compuesta (p  q)
Proposición
Negación
Operaciones
Ejemplos
q : “vamos de día de campo”
es la negación de la doble implicación
de las proposiciones p con q
que en el lenguaje coloquial se expresa :
“No es cierto que el clima es agradable si y solo si
vamos de día de campo”
3 a-b
Tablas de Verdad
3 c-d
La primera operación que vamos a tratar es la negación
p
 p
 p es falso
V
F
Si p es falso ,  p es verdad
F
V
Si p es verdad ,
3 e
4
5 i
6 i-ii
La tabla de verdad de la conjunción de proposiciones se resuelve :
Verdadera si ambas
proposiciones son verdaderas
Falsa si alguna o ambas
proposiciones son falsas
3–4-5
6
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
F
5 ii
6 iii
La tabla de verdad de la disyunción de proposiciones se resuelve
verdadera a si alguna o
ambas proposiciones son
verdaderas
falsa si ambas
proposiciones son falsas
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
3 a-b
4
verdadera si las proposiciones
tienen valores de verdad
diferentes
3–4-5
6
5 i
6 i-ii
La tabla de verdad de la disyunción excluyente
de proposiciones se resuelve
falsa si ambas
proposiciones tienen el
mismo valor de verdad
3 c-d
p
q
pq
V
V
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
3 e
5 ii
6 iii
La tabla de verdad de la implicación de proposiciones se resuelve
verdadera si ambas
proposiciones son verdaderas
falsa únicamente con
antecedente (p) verdadero
y consecuente (q) falso
si el antecedente es falso, no
importa el consecuente, la
implicación es verdadera
p
q
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
p q
3 a-b
4
falsa las proposiciones
tienen valor de verdad
diferente
3–4-5
6
5 i
6 i-ii
los términos antecedente –
consecuente se usan
exclusivamente en ésta operación
La tabla de verdad de la doble implicación se resuelve :
verdadera si ambas
proposiciones tienen el mismo
valor de verdad
3 c-d
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
3 e
5 ii
6 iii
3 a-b
3 e
Las posibles combinaciones de valores
de verdad entre dos proposiciones
siempre se agotan en cuatro
alternativas ; en caso que estén
involucradas mas de dos proposiciones
en una operación lógica, para averiguar
la cantidad de alternativas posibles,
usaremos la expresión : 2n donde n
es la cantidad de proposiciones.
Si tengo que operar las
proposiciones p ; q y
r, las combinaciones
posibles serán: 23 = 8
3–4-5
6
5 i
3 c-d
4
5 ii
6 i-ii
p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
resultado
6 iii
3 a) Para hacer la tabla de
verdad de ( p  q )  p
debemos resolver
primero p  q
considerando la columna
p  q obtenida como
antecedente y la de q
como consecuente,
resolvemos la
implicación
p
q
p  q
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
3 b) Para hacer la tabla de
verdad de p  ( p  q )
debemos resolver primero
q
y con placolumna
obtenida buscar el
resultado final.
(p  q)  p
Negación - Conjunción
Disyunción
Disyunción Excluyente
Implicación
Doble Implicación
p
q
p  q
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
3 c-d
p  (p  q)
3 e
3 c) para resolver (q  p)  ( p  q) debemos resolver por separado
las implicaciones (q  p) y ( p  q) ; y luego buscar el resultado final
hallando una implicación entre esos dos resultados parciales
p
q
qp
p q
(q  p)  (p  q)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
3 d) Para resolver  ( r  r ) debemos
resolver primero ( r  r ) ; cuando r
(antecedente) es verdad, r
(consecuente) también es verdad,
idéntica situación cuando r es falso.
r
r
V
V
F
F
Negación - Conjunción
Disyunción
Disyunción Excluyente
Implicación
Doble Implicación
r  r ( r  r )
V
F
V
F
y luego negar ( r  r )
3 e
3 e) En ( p  q )  (  r ) aparecen involucradas tres proposiciones,la
tabla de verdad debe contemplar todas las posibles configuraciones de
valores de verdad entre las tres proposiciones. También  r
p
q
r
 r
p  q
( p  q )  (  r )
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
F
V
Luego se resuelve ( p  q )
y finalmente ( p  q )  (  r )
Negación - Conjunción
Disyunción
Disyunción Excluyente
Implicación
Doble Implicación
4) Para resolver este ejercicio podemos confeccionar una tabla de
verdad solamente para los valores asignados a las proposiciones
i) [(p  q)  r]  s
p
V
q
F
r
s
F
p  q
V
se resuelve:
(p  q)  r [(p  q)  r]  s
V
ii) r  (s  p)
V
Negación - Conjunción
Disyunción
Disyunción Excluyente
V
Implicación
Doble Implicación
se resuelve:
p
r
s
V
F
V
s  p
r  (s  p)
V
iii) (p  r)  (r   s)
V
se resuelve:
p
r
s
s
p  r
V
F
V
F
V
r   s
F
(p  r)  (r  s)
F
5 i) Para saber el valor de verdad de (p  q)  r ; cuando
r es V
Debemos considerar que la operación principal es una implicación,
donde el consecuente ( r ) es verdad.
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Repasamos la tabla de verdad de la implicación:
Vemos que la implicación es falsa solo cuando
el consecuente es falso y el antecedente
verdadero.
Si nuestro consecuente r es V, no
importa si p  q es verdad o falso
p q
Negación - Conjunción
Disyunción
Disyunción Excluyente
Implicación
Doble Implicación
(p  q)  r es verdad
Otra forma de resolverlo es usando tablas de verdad
Analizamos solamente
cuando r es verdad
ahora resolvemos como
cualquier tabla de verdad
p
q
V
V
V
V
F
V
V
F
r
V
p q
V
V
F
V
V
V
V
V
F
V
(p  q)  r
V
5 ii
5 ii) Para saber el valor de verdad de
(p  q)  ( p   q)
cuando
q es
V
Debemos considerar que la operación principal es una doble implicación,
donde las expresiones involucradas son (p  q) y ( p   q)
si q es V cualquier disyunción donde esté q, será verdad,
luego (p  q) es V
al ser q “V” ;  q es F cualquier conjunción donde esté  q , será falso,
luego ( p   q)
es F
Negación - Conjunción
Disyunción
Disyunción Excluyente
Implicación
Doble Implicación
Las expresiones (p  q) y ( p   q) tienen diferentes valores de verdad
luego : (p  q)  ( p   q)
es falso
Otra forma de resolverlo es usando tablas de verdad
Analizamos solamente
cuando q es verdad
y p
puede ser
verdad ó falso
p
q
V
V
F
V
p
V
q
V
F
F
p  q  p   q (p  q)  ( p   q)
V
F
F
V
F
F
6 i)
pq
es Falso solamente cuando p es V y q es F
En (p  q)  q ;
si p es V
(p  q) es V
nos queda una implicación de antecedente verdadero y consecuente falso
entonces (p  q)  q
6 ii) si p  q
es Verdad
es falso
puede pasar que:
Para hallar p  (p  q) confeccionamos tabla de
verdad con las tres las alternativas posibles
p
q
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
(p  q)
p sea V y q sea V
Negación - Conjunción
Disyunción
Disyunción Excluyente
Implicación
Doble Implicación
p sea F y q sea V
p sea F y q sea F
p  (p  q)
Los valores de
verdad no son los
mismos para todas
las situaciones
entonces no es posible determinar el valor de verdad
con los datos proporcionados
6 iii
6 iii) sabiendo que p es Verdad y q es Verdad para hallar
[ (p  q)   q]  q hacemos tabla de verdad para esos valores
Negación - Conjunción
p
q
 q
p  q
V
F
V
V
(p  q)   q
sabiendo que  q es verdad
[ (p  q)   q]  q
V
hallamos p  q
F
Implicación
Doble Implicación
luego hacemos (p  q)   q
finalmente resolvemos [ (p  q)   q]  q
Resulta [ (p  q)   q]  q
Disyunción
Disyunción Excluyente
Falso
Para simplificar proposiciones apelaremos frecuentemente a :
las Leyes de De Morgan
“La negación de una disyunción de proposiciones es equivalente a la
conjunción de la negación de cada una de las proposiciones”
Simbólicamente
 ( p  q)
 p   q

7 a-b
7 c
8 i-ii
8 iii
8 iv
Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble implicación
p
q
 p
 q
p  q
 (p  q)
 p   q
 ( p  q)   p   q
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
Si la doble implicación de las dos expresiones
resulta verdad en cualquier caso, las
expresiones son equivalentes
“La negación de una conjunción de proposiciones es equivalente
a la disyunción de la negación de cada una de las proposiciones”
Simbólicamente  ( p  q)

 p   q
7 a-b
Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble implicación
p
q
 p
 q
p  q
 (p  q)
 p   q
 (p  q)   p   q
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
Si la doble implicación de las dos expresiones
resulta verdad en cualquier caso, las
expresiones son equivalentes
7 c
8 i-ii
8 iii
8 iv
Otra equivalencia que nos conviene considerar es:
“La implicación es equivalente a la negación del
antecedente disyunción el consecuente”
Simbólicamente
p  q

7 a-b
 p  q
7 c
8 i-ii
8 iii
8 iv
Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble implicación
p
q
 p
p  q
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
 p  q (p  q)  p  q
Si la doble implicación de las dos expresiones
resulta verdad en cualquier caso, las
expresiones son equivalentes
Otra equivalencia que nos conviene considerar es:
“La doble implicación es equivalente a la conjunción
de las implicaciones recíprocas”
Simbólicamente
p  q  (p  q)  (q  p)
8 i-ii
7 a-b
7 c
8 iii
8 iv
Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble implicación
p
q
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
p  q q  p (p  q)  (q  p) p  q
(p  q)  [(p  q)  (q  p)]
Si la doble implicación de las dos expresiones
resulta verdad en cualquier caso, las
expresiones son equivalentes
7 a)  ( p   q)
  ( p)   ( q)
La negación de una disyunción
de proposiciones

p  q
(en este caso las proposiciones
de la disyunción son  p ;  q )
es equivalente a la conjunción de la negación de  p y de  q
Pero la negación de la negación de una proposición es la afirmación
Así el resultado final es
p  q
7 b) (p  q)  ( p   q)  ( p   q)  ( p   q) 
 p   q
la negación afecta solamente al primer paréntesis y el resto de la operación se escribe igual
eliminamos una de las expresiones ( p   q) pues las dos son idénticas
(propiedad de idempotencia)
Así el resultado final es
 p   q
7 c
7 c)  (p  q) tenemos la negación de una doble implicación
recuerde que la doble implicación equivale a la
conjunción de las implicaciones recíprocas

 (p  q)   (q  p)
la implicación equivale a la disyunción de la
negación del antecedente con el consecuente
por De Morgan
  [ (p  q)  (q  p)]
Ley de De Morgan

[( p)  q]   [( q  p)]
 [( p)   q]  [( q)   p]  ( p   q)  ( q   p)
8) Para negar cualquier expresión, escribimos la expresión que
queremos negar
8 i) La encerramos entre paréntesis,  (  q  r )
y anteponiendo el signo de negación, negamos todo lo que está
comprendido en el paréntesis.
viene ahora la tarea de transformar la expresión obtenida
buscando una expresión equivalente (leyes de De Morgan)
 (  q  r )
 (q)r
8 ii) Para negar
La encerramos entre corchetes,
 qr
 [ (p  q)  r ]
y anteponiendo el signo de negación, negamos
todo lo que está comprendido en el corchete
 [ (p  q)  r ]   [  (p  q)  r ] 
 (pq)r
[ ( p  q ) ]   r
 pqr
viene ahora la tarea de transformar la expresión obtenida
buscando una expresión equivalente
8 iii
8 iv
8 iii) escribimos la expresión que queremos negar
La encerramos entre corchetes,
 [ p  (q  r) ]
y anteponiendo el signo de negación, negamos
todo lo que está comprendido en el corchete
 [ p  (q  r ) ]
  p   (q  r)
  p   [ ( q )  r ]
  p  [ ( q )   r ]   p  ( q   r )
viene ahora la tarea de transformar la expresión obtenida
buscando una expresión equivalente
aplicamos ley de De Morgan
La implicación es la disyunción de la
negación del antecedente con el
consecuente
8 iv
8 iv) escribimos la expresión que queremos negar
La encerramos entre corchetes,
 [  ( p  q )  ( r   q ) ]
y negamos todo lo que está
comprendido en el corchete
viene ahora la tarea de transformar la
expresión obtenida buscando una expresión
equivalente
La doble implicación es la conjunción de las
La implicación es la disyunción de la
implicaciones recíprocas
negación del antecedente con el
consecuente
 [  ( p  q)  ( r   q ) ]
p  q   p  q
  { [  ( p  q)  ( r   q ) ]  [ ( r   q )   ( p  q) ] } 
  { [ ( p  q)  (  r   q ) ]  [  (  r   q )   ( p  q ) ] } 
  [ ( p  q)  (  r   q ) ]   [  (  r   q )   ( p  q ) ] 
  [ ( p  q)   ( r  q ) ]   [ ( r  q )   ( p  q ) ] 
 [  ( p  q)  ( r  q ) ]  [  ( r  q)  ( p  q ) ]
Tautología o Ley Lógica: es una proposición compuesta, cuyos
valores de verdad son siempre verdad, cualquiera sean los
valores de verdad de las proposiciones que la componen
p
q
p  q
p  p  q
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
p  p  q
Es tautología
9 i
9 iii-iv
Si los valores de verdad de la proposición compuesta son falsos,
independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que lo
componen, la proposición es una Contradicción.
p
q
 p
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
P  q
 (p  q)
 (p  q)   p
9 ii
9 i) Para determinar si una proposición es ley lógica ó tautología,
en este caso ( p  q )  r
p
q
r
V
V
V
V
V
si todos los valores de verdad de la
columna de los resultados fueran
verdaderos, la proposición sería
tautología
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
en la segunda fila aparece
un valor de verdad falso
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
esta proposición que tiene valores de
verdad verdadero y valores de
verdad falso (según sea p y/ó q) es
una contingencia
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
se realiza la tabla de verdad
correspondiente
9 ii
pq
9 iii-iv
(pq)r
9 ii) se realiza la tabla de verdad correspondiente
p q
r
pq
qr
(p  q)  (q  r)
pr
V V
V
V
V
V
V
V
V V
F
V
F
F
F
V
V F
V
F
V
F
V
V
V F
F
F
V
F
F
V
F V
V
V
V
V
V
V
F V
F
V
F
F
V
V
F F
V
V
V
V
V
V
F F
F
V
V
V
V
V
[ (p  q)  (q  r) ]  (p  r)
toda la columna de resultados es verdad
[ (p  q)  (q  r) ]  (p  r) es tautología
9 iii-iv
9 iii) si
p  [ p  q ]
es tautología
también podemos resolver con tabla de verdad
La doble implicación es verdad cuando ambas proposiciones
tienen el mismo valor de verdad (las dos falsas ó las dos verdad)
La conjunción es falsa si una de las
proposiciones es falsa (o ambas)
p
esta proposición que tiene valores de
verdad verdadero y valores de
verdad falso (según sea p y/ó q)
p  [ p  q ] es contingencia
9 iv)
(p  r)  (r  p)
La implicación es falsa solo cuando
el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso
esta proposición
tiene valores de
verdad verdadero y
valores de verdad
falso (según sea p
y/ó q)
p
r
V
V
V
q
p  q
p  [ p  q ]
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
V
F
p  r
r  p
(p  r)  (r  p)
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
(p  r)  (r  p)
es contingencia
10) El viajero se encuentra frente a dos
caminos
SI
!
SI !
desea ir a la Capital, y el
único que puede indicarle el
camino correcto es el Sr. Z
B
A
(que parece no estar muy dispuesto)
Contesta las preguntas
solo con “si” o con “no”
y solo una pregunta
y si es mentiroso, miente siempre . . .
¿ o siempre dice la verdad . . . ?
Es un buen comienzo diferenciar los caminos, al de la
izquierda llamo camino A y al de la derecha camino B
Supongamos que el camino A es el correcto si el viajero señala el camino A y pregunta:
“Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?”
Si es de los que dicen la verdad, como
es el camino correcto responderá . . .
SI
Porque si el viajero hiciera la pregunta “¿ este
es el camino que lleva a la Capital ?” piensa
decir la verdad . . .
SI
frente a la misma pregunta :
Señalando el camino A
A
B
“Si yo le preguntara si este camino lleva
a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?”
Si el Sr. Z es de los que mienten siempre dirá . . .
SI !
NO
!
SI
él sabe que el camino señalado es el correcto, pero el viajero no
pregunta por el camino que lleva a la Capital , sino por una
posible respuesta a la pregunta “¿este es el camino que lleva a la
Capital?” , recién entonces el Sr. Z dirá “no”. Pero tampoco
perderá esta oportunidad de mentir y decir “si” sabiendo que
luego, a la pregunta responderá “no”
si el viajero preguntara (que no puede hacerlo)
“¿este es el camino que lleva a la Capital?” , él
piensa mentir . . .
SI
Aunque los dos pensaron cosas diferentes, dijeron idéntica respuesta “SI”
Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso ó de
los que dicen la verdad, responde SI, cuando se
señala el camino correcto
Señalando ahora el camino B
(camino equivocado)
A
B
frente a la misma pregunta :
“Si yo le preguntara si este camino lleva
a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?”
Si el Sr. Z es de los que dicen la
verdad siempre dirá . . .
NO
porque si el viajero hiciera la pregunta “¿este
es el camino que lleva a la Capital?”, piensa
decir la verdad . . .
NO
Pero si el Sr. Z es mentiroso . . . .
NO
!
NO !
frente a la misma pregunta :
señalando el camino B
A
B
“Si yo le preguntara si este camino lleva
a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?”
dirá . . .
NO !
NO
SI !
Z sabe que el camino señalado es el correcto, pero el viajero no
pregunta por el camino que lleva a la Capital , sino por una
posible respuesta a la pregunta “¿este es el camino que lleva a la
Capital?” , recién entonces dirá “si” (para mentir). Pero tampoco
perderá esta oportunidad de mentir y decir que va a responder (la
verdad),que el camino no leva a la Capital””
si el viajero preguntara (que no puede
hacerlo) “¿este es el camino que lleva a la
Capital?” , él piensa mentir . . .
SI
Aunque los dos pensaron cosas diferentes, dijeron idéntica respuesta “NO”
Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso o de
los que dicen la verdad, responde NO si el camino
señalado no es el correcto
Como la respuesta a la pregunta
Es la misma, independientemente
“Si yo le preguntara si
este camino lleva a la
Capital Ud. ¿ Qué me
respondería ?”
que se trate del que dice la verdad . . . o del que miente . . .
Así nuestro viajero, que pudo formular
una sola pregunta que descifra el
enigma, encontró el camino correcto
Y hacia la Capital se
encamina, eso sí, algo
perturbado por el esfuerzo
Descargar

Document