CUERPOS DE
REVOLUCIÓN
DEFINICIÓN
Un cuerpo de revolución
es un cuerpo generado cuando
una figura plana gira alrededor
de un eje fijo
• TIPOS DE CUERPOS DE REVOLUCIÓN:
CILINDRO
CONO
TRONCO DE CONO
ESFERA
CILINDRO
El cilindro es el cuerpo engendrado por un
rectángulo que gira alrededor de uno de
sus lados.
ELEMENTOS DEL CILINDRO
• Bases: dos círculos
iguales y paralelos.
• Superficie lateral: la cara
lateral no plana, cuyo
desarrollo es un
rectángulo.
• Eje: el lado fijo del
rectángulo que, al girar
sobre sí mismo, engendra
al cilindro.
• Radio: el radio de las
bases.
• Altura: distancia entre las
dos bases.
r
a
l
t
u
r
a
CILINDRO OBLICUO
ÁREA DEL CILINDRO
Al desarrollar un cilindro se obtiene un
rectángulo y dos círculos iguales, que
constituyen las bases:
Área lateral,
:
Es el área de un rectángulo cuya base es la
longitud de la circunferencia de la base,
2πr, y la altura, h, es la altura del cilindro
o generatriz, g:
Área de las bases,
:
Es la suma de las áreas de las dos
bases.
Como las bases son círculos, cada una
tendrá un área:
El área total de un cilindro es la suma del
área lateral más el área de las dos bases:
VOLUMEN DE UN CILINDRO
Un cilindro y un prisma recto con la misma altura, bases
de igual área y secciones también de la misma área,
según el principio de Cavalieri, tendrán igual volumen.
Si el radio del cilindro es r y la altura h, su volumen será:
CONO
Llamamos cono al cuerpo de revolución
engendrado por un triángulo rectángulo al
girar alrededor de uno de sus catetos
ELEMENTOS DEL CONO
• Altura
: la distancia desde
el vértice al plano de la base
• Generatriz : la hipotenusa
del triángulo rectángulo
• Radio : el radio de la base
• Eje : el cateto fijo del
triángulo que al girar
engendra el cono
• Superficie Lateral : la cara
lateral no plana cuyo
desarrollo es un sector
circular
radio
CONO OBLICUO
ÁREA DEL CONO
El área total de un cono es la suma del área lateral más el
área de la base:
ÁREA DEL CONO
El área lateral es el área de un sector circular de base 2pr y de altura g:
El área de la base es el área de un círculo de radio r, por lo tanto:
A
cono
 A
lateral
 A
base
p rg  p r
2
VOLUMEN DE UN CONO
r
Un cono y una pirámide de la misma altura e iguales
áreas de la base y de las secciones, por el principio de
Cavalieri, tendrán el mismo volumen
V
cono

1
3
A
base
 altura 
1
3
p r h
2
TRONCO DE CONO
Un tronco de cono es el cuerpo de revolución engendrado
por un trapecio rectángulo al girar sobre el lado
perpendicular a sus bases
ÁREA DEL TRONCO DE CONO
A
tronco cono
 A
lateral
 A
base mayor
 A
base menor
ÁREA DEL TRONCO DE CONO
El área lateral es un sector de
corona circular que podemos
considerar como un trapecio
curvilíneo, y aplicando la fórmula
del área del trapecio:
A
lateral
A
lateral

( longitud base mayor  longitud base menor )  altura
2

( 2p R  2p r )  g
2

2p ( R  r )  g
2
 p (R  r)  g
ÁREA DEL TRONCO DE CONO
A
A
tronco cono
 A
lateral
 A
base mayor
 A
 p (R  r)  g  p R  p r
2
tronco cono
base menor
2
VOLUMEN DEL TRONCO DE
CONO
El volumen de un tronco de
cono se calcula como la
diferencia de los volúmenes
de los dos conos asociados
V
tronco cono
V
cono tronco
V

V
cono mayor
1
3
cono menor
p (R  H  r  h)
2
2
ESFERA
Llamamos esfera al cuerpo de revolución engendrado
por un semicírculo al girar sobre su diámetro
SUPERFICIE ESFÉRICA es la superficie que cubre la
esfera
ELEMENTOS DE UNA ESFERA
•Radio: Es el segmento que une el
centro con cualquier punto de la
superficie esférica
• Semiesfera: es una de las partes en
la que queda cortada una esfera por un
plano que pasa por su centro
• Hemisferio: es la porción de
superficie esférica de una semiesfera
ELEMENTOS DE UNA ESFERA
Paralelos: Las circunferencias
que se obtienen al cortar una
esfera por planos
perpendiculares a su eje
Meridianos: Las circunferencias
máximas que pasan por los
polos
ELEMENTOS DE UNA ESFERA
Segmento esférico – es la
porción de esfera que
obtenemos al cortar una
esfera por un plano que no
pasa por su centro
Casquete esférico – es la
porción de superficie esférica
delimitada por un segmento
esférico
ELEMENTOS DE UNA ESFERA
CUÑA ESFÉRICA
ZONA ESFÉRICA
ÁREA Y VOLUMEN DE LA ESFERA
A
V
esfera
esfera
 4p r

4
3
2
p r
3
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