La Cinemática es la parte de la Física que describe los
movimientos de los cuerpos sin abordar las causas que los
producen, las cuales son objeto de otra parte de la Física: la
Dinámica.
La Cinemática responde a la necesidad de saber como son
los movimientos de los cuerpos; en unos casos para poder
influir sobre ellos, como en la artillería, la astronáutica o el
control de ferrocarriles; en otros, para poder predecir sucesos
como los eclipses o las mareas producidos por el movimiento
de los astros.
Históricamente, la Cinemática moderna nace con los trabajos
de Galileo Galilei en el estudio de los movimientos
rectilíneos.
Cuestión 1
Dos amigas salen de su pueblo en coche y circulan por la
carretera a 60 km/h durante un cuarto de hora. ¿Cómo se
llama el pueblo al qué llegan?
Para poder responder la
pregunta se necesita más
información:
¿De qué pueblo salen?
¿Por qué carretera van?
¿En que sentido circulan?
Son magnitudes escalares aquellas, como la masa, la
temperatura, la energía, etc., cuyo valor queda fijado por un
número (con su unidad correspondiente).
Gráficamente se representan mediante un punto en una
escala (de ahí el nombre).
Algebraicamente se representan por medio de letras latinas
o griegas (T, m, V, E, a, b,...).
Son magnitudes vectoriales aquellas que, como la velocidad,
requieren para su completa especificación, no sólo su valor
numérico (con su unidad), sino también, la dirección y el
sentido en los que se manifiesta su acción.
Gráficamente se representan
mediante vectores, que son
segmentos orientados (con una
punta de flecha en uno de sus
extremos).
Algebraicamente se representan por medio de letras
latinas


o griegas con una pequeña flecha encima ( F , v ). El
módulo de un vector se representa con el mismo símbolo
sin flecha (F, v) o entre barras. ( ,
).
Características de un vector:
Origen o punto de aplicación: es el punto donde comienza
el vector, en este caso, el punto A.
Extremo: es el punto donde termina el vector (la punta de la
flecha), en este caso, B.
Módulo: es la longitud del vector.
Dirección: es la dirección de la recta donde se encuentra y
la de todas sus paralelas.
Sentido: es el indicado por la punta de la flecha.
Cuestión 2
Propón formas sencillas de determinar la posición de:
a) Un coche.
b) Un alumno en clase.
c) Un barco en alta mar.
d) Un avión en vuelo entre dos ciudades.
Un sistema de referencia o marco de referencia es un
conjunto de convenciones usadas por un observador para
poder determinar la posición y otras magnitudes físicas
de un objeto.
Hay infinitos sistemas de
referencias, pero, a efectos
prácticos, casi siempre se utiliza el
sistema de referencia cartesiano
que consta de tres rectas
perpendiculares llamadas ejes de
coordenadas, que se cortan en un
punto llamado, O, origen.
Con un sistema de
 referencia cartesiano se puede representar
cualquier vector, r .
Vectores componentes o
componentes cartesianas de un
vector, son las proyecciones de
dicho vector sobre cada uno de los
ejes de coordenadas.

r , las componentes
Para el vector,

son x , y , z . Cumpliéndose
que:
 

r = x+ y + z .

Para facilitar los cálculos,
   se suele expresar r en función de los

vectores unitarios i , j , k , que tienen las direcciones
de los
r
ejes de coordenadas: 



r = x ·i + y · j + z · k
Donde x, y, z son los módulos de las componentes cartesianas
o coordenadas cartesianas.
Se puede utilizar un sistema
de referencia polar, que
utiliza

la longitud del vector r que une
el punto A con con el punto de
referencia, O, y los ángulos
que forma este vector con el
eje horizontal, a, y con el plano
horizontal , g.
En este sistema de referencia
las coordenadas reciben el
nombre
de
coordenadas
polares.
Suma de dos vectores:



  
s  a  b  a x  b x   i  a y  b y   j  a z  b z   k
Ejemplo: dados dos vectores de componentes:







b  i  5  j  2 k
a  2  i  3  j  4 k



  
s  a  b  2  1  i  3  (  5)   j  - 4  2   k




s  3  i - 2  j  2 k
Diferencia de dos vectores:
   




d  a  b  a  (  b )  a x  b x   i  a y  b y   j  a z  b z   k
Ejemplo: dados dos vectores de componentes:




a  2  i  3  j  4 k



b  i  5  j  2 k



 
d  a  b  2  1  i  3  (  5)   j  - 4  2   k
 


d  i  8  j  6 k
Producto de un escalar por un vector:




n  a  n  a x   i  n  a y   j  n  a z   k
Ejemplo: dados el escalar, n = 6 y el vector:




a  2  i  3  j  4 k




n  a  6  2   i  6  3   j  6  (-4)   k 



12  i  18  j  24  k
Cociente de un vector entre un escalar, n≠ 0:

a
ax  ay  az 

i 
 j
k
n
n
n
n
Ejemplo: dados el escalar, n = 2 y el vector:




a  2  i  3  j  4 k

a
 3 

2 3  4 

i   j   k  1 i   j  2  k 
2
2
2
2
2

Vector unitario en la dirección del vector
 a : es un vector
cuyo sentido y dirección es la del vector a y cuyo módulo es la
unidad. Se calcula:


a
ax  ay  az 
u      i    j   k
a
a
a
a




Ejemplo: dado el vector: a  2  i  3  j  4  k

a 
2  3  (  4)
2
2
2

29  5'4





a
2 
3 
4 
u  
i 
 j
 k  0'37  i  0'56  j - 0'74  k
a
5'4
5'4
5'4
Producto escalar de dos vectores: se calcula:
A partir de los módulos:
 
 
a  b  a  b  cos α
A partir de las componentes cartesianas:
 
a b  ax bx  ay by  az bz
Ejemplo: dados los vectores:




a  2  i  3  j  4 k



b  i  5  j  2 k
 
a  b  2  1  3  (-5)  (-4)  2  -21
Ángulo que forman dos vectores: se calcula, a partir del
producto escalar de esos dos vectores, si se conocen sus
coordenadas cartesianas:
 
a  b  cos α  a x  b x  a y  b y  a z  b z
cos α 
ax bx  ay by  az bz
ax  ay  az  bx  by  bz
2
2
2
2
Ejemplo: dados los vectores:
2  1  3  (-5)  (-4)  2
2  3  (-4)
2
2
2
 1  (-5)
2
2



b  i  5  j  2 k




a  2  i  3  j  4 k
cos α 
2

2
a = 135'4º
2
2
- 21
29  30
  0'712
Derivada de un vector con respecto a un escalar, que varía
en módulo o dirección, o en ambos a la vez, respecto a un
escalar t, es otro vector que tiene por componentes la derivada
de las componentes del vector respecto de t :

da
da x  da y  da z 

i 
 j
k
dt
dt
dt
dt
Algunas derivadas elementales :
Función
Función derivada
f(x) = k
f '(x) = 0
f(x) = k · x
f '(x) = k · x'
f(x) = xn
f '(x) = n · xn-1 · x'
f(x) =
x
1
= xn
f(x) = g(x) + h(x)
·
f '(x) =
1
n

x'
x
f '(x) = g'(x) + h'(x)
Ejemplo: calcula la derivada con respecto a t de los vectores:
a)



r = (2t + 5) i + (3t - 2) j





dr
= (2 + 0) i + (3 - 0) j  2 i  3 j
dt



2
b) r  3t i  6t j

dr
 3  2t
2 -1




1-1
i  6t j  6t i - 6 j
dt



4
3
c) r = 2t i + 6t j





dr 
4 -1
3 -1
3
2
r = 2  4t i + 6  3t j  8t i  18 t j
·
dt

La posición, r de un móvil: es
una magnitud vectorial que
tiene como origen, el origen de
coordenadas y por extremo el
punto donde se encuentra el
móvil.
Su módulo es la distancia, en
línea recta, del móvil al origen
de un sistema de referencia
que se toma como fijo.
a) Si el móvil realiza un
movimiento en una dimensión
(ejemplo: un tren en una vía)
para determinar su posición solo
hay que indicar cuál es el origen
de referencia, O, y dar una
coordenada: la distancia del
cuerpo a O.
Si la coordenada es positiva el cuerpo está a la derecha del
origen y si es negativa está a la izquierda.
b) Si el móvil realiza un
movimiento en dos dimensiones
(ej: la superficie del mar) se
necesitan, para determinar su
posición, dos coordenadas que
indican la distancia a cada uno de
los ejes de cartesianos.
El signo negativo para la
coordenada x indica que el
punto está a la izquierda del
origen y para la coordenada y
que está por debajo del origen.
c) Si el móvil realiza un
movimiento en tres
dimensiones (ej.: un avión en
vuelo) se necesita el sistema de
referencia y tres coordenadas,
(x, y, z), para determinar su
posición en un instante dado.
Cuestión 3:
Supón que estás en el andén de una estación. ¿Cómo sabes
que el tren se pone en movimiento?
¿Y si estás dentro
del tren?
Entonces, ¿qué se
mueve, el tren o la
estación?
Un cuerpo está en reposo cuando su posición no cambia
respecto a un sistema de referencia elegido como fijo.
Un cuerpo está en movimiento cuando su posición cambia
respecto a un sistema de referencia elegido como fijo.
Cuestión 4:
Un pasajero se encuentra cómodamente sentado en el interior
de un tren en marcha. Su maleta está en el asiento de al lado.
El jefe de estación da vía libre y desde el andén contempla el
paso del tren. ¿Se mueve la maleta respecto al pasajero? ¿Y
con respecto al jefe de estación?
Cuestión 5:
Mientras discutimos esta cuestión, estáis sentados en vuestra
respectivas sillas.
¿Os encontráis en reposo o en movimiento?
Se dice que todo movimiento es relativo porque un mismo
movimiento se puede describir de forma diferente según el
sistema de referencia elegido.
Incluso un mismo cuerpo puede estar a la vez en reposo o en
movimiento según el sistema de referencia que se considere.
Trayectoria: línea imaginaria que describe un cuerpo al
moverse respecto a un sistema de referencia.
Cuestión 6:
Una persona dentro de un tren en marcha lanza una pelota
hacia arriba, ¿qué trayectoria describe la pelota para esa
persona?
Describe una
línea recta de
subida y otra
de bajada
¿Y para un observador que se encuentra en el andén?
Para el observador del andén la pelota describe una parábola.
Cuestión 7
Dibuja la trayectoria que describe una niña que sale desde el
centro de un tiovivo, que está girando, hasta la periferia:
a) Visto por otra niña que se encuentra en el centro del tiovivo.
b) Visto por un niño que se encuentra fuera del tiovivo.
a)
b)
La trayectoria también depende del sistema de referencia que
se elija.
Cuestión 8
Dos amigos se cruzan con un león que se ha escapado del
zoo. Uno de ellos se sube a un árbol, pero el otro, en lugar
de subir, se pone a correr alrededor del árbol. Cuando el
león se acerca, el amigo le grita:
- ¡Sube al árbol, que te va a coger!.
- No te preocupes – responde – le llevo muchas vueltas de
ventaja.

Desplazamiento, D r , de un móvil: es una magnitud vectorial
que tiene por origen la posición inicial del móvil y por extremo
su posición final. Su módulo es la distancia en línea recta
entre ambas posiciones. Se calcula:

D r  rF - r I
Distancia recorrida, DS: es una
magnitud escalar que indica la
longitud del tramo de trayectoria
comprendido entre la posición
inicial y la posición final. Se
calcula sumando todos los
desplazamientos que han tenido
lugar, tomados con signo
+. Siempre tiene valor positivo.
Estas dos magnitudes pueden tener el mismo valor si el
cuerpo se mueve en línea recta y no cambia de dirección ni
de sentido; sin embargo, se trata de conceptos operativos
diferentes.
Cuestión 9:
B
porque en el mismo tiempo recorre más
distancia.
A
porque recorre la misma distancia en menos
tiempo.
A
porque recorre más distancia en menos
tiempo.
B
porque recorre más de la mitad de la distancia
en menos tiempo.
Es una magnitud vectorial que nos indica el ritmo de cambio
del vector de posición con el tiempo.
La unidad de velocidad en el Sistema Internacional es el
m/s.
t3
t4
t5
t2
t6
t1
r1
r2
r3
r4
r5
r6

Velocidad media, v m , es una
magnitud vectorial cuya dirección y
sentido son los del vector
desplazamiento y cuyo módulo es el
cociente entre el módulo del vector
desplazamiento y el tiempo. Se utiliza
cuando hay que calcular la velocidad
en un intervalo:

 

Dr
rF  rI
vm =
  
Dt
t F  tI
Rapidez o celeridad, C, es una magnitud escalar que relaciona
la distancia recorrida en un intervalo con el tiempo. Siempre es
positiva.
DS
C=
Dt

Velocidad instantánea, v , es
una magnitud vectorial cuya
dirección es tangente a la
trayectoria en el punto
considerado, su sentido es el del
desplazamiento y su módulo es
el módulo de la derivada del
vector de posición con respecto
al tiempo.
Se utiliza cuando hay que
calcular la velocidad en un punto
o instante determinado:

v=

dr
dt
Es
una
magnitud
vectorial que nos indica
el ritmo de cambio del
vector velocidad con el
tiempo.
La
unidad
de
aceleración
en
el
Sistema Internacional,
es el m/s².

Aceleración media, a m , es una
magnitud vectorial que tiene la
misma dirección
y sentido que los

del vector D v y su módulo es el
cociente
entre el módulo del vector

Dv y el tiempo.
Se utiliza cuando hay que calcular
la aceleración en un intervalo:

am 

Dv
Dt



vF  vI
tF - t I

Aceleración instantánea, a , es un vector
cuya dirección y

sentido coinciden con los del vector
d v y su módulo es el

cociente entre el módulo de d v (infinitamente pequeño) y el
tiempo transcurrido (infinitamente pequeño).
Se utiliza cuando hay que calcular la aceleración en una
posición o instante dado:

a 

dv
dt
La aceleración nos indica si hay cambios en el vector
velocidad. Estos cambios pueden ser debidos a que varíe el
módulo de la velocidad (rapidez) y/o su dirección. Por
eso, se distinguen dos tipos de aceleración: tangencial y
normal.

La aceleración tangencial, a t , relaciona la variación del
módulo del vector velocidad con el tiempo.

La aceleración tangencial, a t , es un vector que tiene
dirección tangente a la trayectoria, sentido el mismo que el
del vector velocidad y su módulo es:

at 

Dv
dt

La aceleración normal (o centrípeta), a n , relaciona los
cambios de la dirección de la velocidad con el tiempo.

La aceleración normal (o centrípeta), a n , es un vector
que tiene dirección perpendicular a la trayectoria, sentido
hacia dentro y su módulo es:
an 

v
R
2

Si  , es un vector unitario
según
la dirección tangente,

y n , un vector unitario
según la dirección de la
normal:
 



a  a t  an  a t    an  n
Esto supone que cuando
un coche toma una curva,
aunque su rapidez sea
constante, está
cambiando su velocidad.
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