Multiplicadores de Lagrange
Cálculo Vectorial
¿Cómo optimizar una función
cuando sus variables están
sujetas a una restricción?
Joseph-Louis Lagrange
1736 - 1813 France
El método que nos
permitirá responder a
ésta pregunta se
encuentra en un
artículo sobre
Mecánica que
Lagrange escribió
cuando tenía 19
años !
Un extremo condicionado de una función F es
un máximo o mínimo de F, cuando (x,y)
pertenece a una curva del plano g(x,y) = K,
en el dominio de F. Es decir, (x,y) satisface
una condición o restricción.
Máximo relativo
Máximo
condicionado
Y- 2x = 4
Figure 11.57.
El método
Sean F(x,y) la función objetivo y g(x,y) = K la
restricción. F y g suaves.
Si F tiene un extremo (máximo o mínimo) sujeto a
g(x,y) = K en el punto (x0,y0) entonces existe
un escalar  tal que:
Fx (x0 , y0 )   gx (x0 , y0 )

Fy (x0 , y0 )   gy (x0 , y0 )

g(x0 , y0 )  K.

La curva de nivel más alta que
intersecta a la curva restricción
F(x,y) = C
g(x,y) = k
mCT  
Y- 2x = 4
FX
FY

gX
gY

FX
FY

mCR  
FX
gX

FY
gY

gX
gY

Máximo relativo
F(x,y) = 9- x2 – y2
F = 9/2
F=0
G(x,y) = x + y = 3
F=0
Máximo
condicionado
F = 9/2
x+y =3
Multiplicador de Langrange
F(x,y) = 9 - x2 – y2
G(x,y) = x + y = 3
G(x,y) = x + y = 4
M = 9/2 es el valor extremo de F(x,y) sujeta a
la restricción G(x,y) = 3 y K = 1 entonces: 
= -3. Lo cual significa que el valor máximo
disminuye en 3.
  M/K
Figure
11.63.
1. Cúal
es la función objetivo? Qué superficie es?
2. Cuál es la restricción?
3. Cuál es el Máximo?, Cuál es el valor mínimo?
4. Cuál es el valor de 
Cúal es la función objetivo? Qué superficie es?
Cuál es la restricción?
Cuál es el Máximo?, Cuál es el valor mínimo?
Cuál es el valor de 
Dadas la función objetivo:
F(x, y)  1  x
2
y
2
y la función restricción: x + y = 1
1. Hallar el Máximo restringido.
2. Cómo comprueba que es máximo?
3. Cuál es el valor mínimo restringido?
4. Hallar el valor 
5. Interprete este valor.
Se disponen de 320 mts de cerca para
encerrar un campo rectangular. ¿Cómo
debería colocarse la cerca, de manera que
el área encerrada sea lo más grande
posible?
1. Cuál es la mayor área encerrada?
2. Interprete el valor del multiplicador de
Lagrange en términos de la cerca.
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