Unidad 2: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS
(MÉTODO DE VARIACIÓN DE
PARÁMETROS)
Introducción
Para adaptar el método de variación de
parámetros a una ecuación diferencial de
segundo orden: a ( x ) y´´  a ( x ) y´  a ( x ) y  g ( x )
primeramente se debe escribir la ecuación en
la forma estándar y´´  P ( x ) y´  Q ( x ) y  f ( x )
 Esta última ecuación es la análoga de segundo
orden de la forma estándar de una ecuación
lineal de primer orden y´  P ( x ) y  f ( x )

2
1
0
Suposiciones
Al resolver una EDLNH de primer orden, se
supuso que yp=u(x)y1(x).
 Supondremos ahora que la forma de la solución
para la ecuación de orden 2 es
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x).
Al utilizar la regla del producto para diferenciar
dos veces yp se obtiene:

yp´= u1y1´+y1u1´+u2y2´+y2u2´
yp´´= u1y1´´+y1´u1´+y1u1´´+u1´y1´+u2y2´´+y2´u2´+y2u2´´+ u2´y2´
Suposiciones…
Al sustituir yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x) y sus
derivadas en la ecuación y´´  P ( x ) y´  Q ( x ) y 
tenemos:
   
    
Cero
f ( x)
Cero







 
y p  P ( x ) y p  Q ( x ) y p  u 1 [ y 1  Py 1  Qy 1 ]  u 2 [ y 2  Py 2  Qy 2 ]  y 1u 1  u 1 y 1

 


 
 
 y 2 u 2  u 2 y 2  P [ y 1u 1  y 2 u 2 ]  y 1 u 1  y 2 u 2

De donde:
d
dx

d






[ y 1u 1 ] 
[ y 2 u 2 ]  P [ y 1u 1  y 2 u 2 ]  y 1u 1  y 2 u 2
dx
dx
d
d
dx






[ y 1u 1  y 2 u 2 ]  P [ y 1u 1  y 2 u 2 ]  y 1u 1  y 2 u 2






[ y 1u 1  y 2 u 2 ]  P [ y 1u 1  y 2 u 2 ]  y 1u 1  y 2 u 2  f ( x )
Suposiciones…
Como se busca determinar dos funciones
desconocidas u1 y u2, es necesario tener dos
ecuaciones.
 Estas dos ecuaciones se obtienen con la
suposición adicional de que u1 y u2 satisfacen:


y 1u 1  y 2 u 2  0
Con ello la ecuación
d
dx






[ y 1u 1  y 2 u 2 ]  P [ y 1u 1  y 2 u 2 ]  y 1u 1  y 2 u 2  f ( x )
Se reduce a:


y 1u 1  y 2 u 2  f ( x )
Suposiciones…

Ahora se cuenta con las dos ecuaciones


deseadas
y 1u 1  y 2 u 2  0


y 1u 1  y 2 u 2  f ( x )
Por la regla de Cramer la solución del sistema
de ecuaciones puede expresarse en términos
de determinantes:
y f (x)
 W
u1  1   2
W
W
y f (x)
 W
u2  2  1
W
W
y
donde :
W 
y1
y2
y1´
y2´
,
W1 
0
y2
f (x)
y2´
,
W2 
y1
0
y1 ´
f (x)
.
Suposiciones…
Finalmente se encuentran u1 y u2 integrando los
resultados anteriores.
 Con ello:

u1   
y2 f (x)
W
dx
y
u2 

y1 f ( x )
W
dx
Resumen del método

Para resolver la EDLNH en forma estándar:
y´´ + P(X)y´ + Q(x)y = f(x)
Se resuelve la EDLH asociada de la EDLNH
original, para determinar la solución
homogénea yh=c1y1(x)+c2y2(x).
 Se supone que la solución particular de la
EDLNH se puede obtener a partir de la
solución de la EDLH variando los
parámetros, esto es: suponiendo que
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x).

Resumen del método…

Sustituyendo esta última ecuación en la
EDLNH original, con el propósito de obtener
las funciones desconocidas u1(x) y u2(x),
obtenemos después de arreglar términos, el
sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas


y 1u 1  y 2 u 2  0


y 1u 1  y 2 u 2  f ( x )

Resolviendo este sistema de ecuaciones
simultaneas por la Regla de Cramer
Resumen del método…

u1 

0
y2
f (x)
y2´
y1
y2
y1´
y2´

y2 f ( x)
y
W

u2 
y1
0
y1´
f (x)
y1
y2
y1´
y2´

y1 f ( x )
W
Integramos estas dos ecuaciones para
obtener u1(x) y u2(x).
u1   
y2 f (x)
W
dx
y
u2 

y1 f ( x )
dx
W
Sustituimos estas dos funciones en la
solución propuesta yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x).
 Sumamos las dos soluciones, así: y=yh+yp.

Ejemplo

Resuelva 4y´´+36y=Csc(3x)
La forma estándar de la EDLNH es:
y´´-9y=(1/4)Csc(3x)
 La ecuación auxiliar m2+9 tiene raíces
conjunadas m1=3i y m2=-3i, por ello:
yh=c1Cos(3x)+c2Sen(3x).
 Con y1=Cos(3x), y2=Sen(3x) y f(x)=(1/4) Csc(3x)
se obtiene:

Ejemplo…
W ( Cos 3 x , Sen 3 x ) 
0
W1  1
Csc 3 x
Cos 3 x
Sen 3 x
 3 Sen 3 x
3 Cos 3 x
Sen 3 x
3 Cos 3 x
 
W2 
 3 Sen 3 x
0
1
Csc 3 x
4

1
4
4
Cos 3 x
3

1 Cos 3 x
4 Sen 3 x
A partir de esto:

u1 

1 Cos 3 x
1
4   1
3
12
y
1 Cos 3 x

4 Sen 3 x
u2 

3
12 Sen 3 x
Ejemplo…

Integrando:
u1 

1
 12
x
dx 
12
 12
dx 
Sen 3 x
1
ln Sen 3 x
36
Con esto:
y p  u1 y1  u 2 y 2 

1 Cos 3 x
u2 
y
x
Cos 3 x 
12
1
ln Sen 3 x Sen 3 x
36
Y finalmente, como:
y h  c1Cos 3 x  c 2 Sen 3 x
yp 
x
Cos 3 x 
12
y  c1Cos 3 x  c 2 Sen 3 x 
1
ln Sen 3 x Sen 3 x
36
x
12
Cos 3 x 
1
36
ln Sen 3 x Sen 3 x
Generalización del
método

Para resolver la EDLNH en forma estándar:
y(n)+Pn-1(X)y(n-1)+ P1(x)y´+P0(x)y= f(x)
Se resuelve la EDLH asociada de la EDLNH
original, para determinar la solución
homogénea yh=c1y1(x)+c2y2(x)+ …+ cnyn(x)
 Se supone que la solución particular de la
EDLNH se puede obtener a partir de la
solución de la EDLH variando los
parámetros, esto es: suponiendo que
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)+ … +un(x)yn(x)

Generalización del
método…

Sustituyendo esta última ecuación en la
EDLNH original, con el propósito de obtener
las funciones desconocidas u1(x) y u2(x), ...
un(x),, obtenemos después de arreglar
términos, el sistema de n ecuaciones con n
incógnitas y u ´  y u ´  y u ´  ...  y u ´  0
1
1
2
2
3
3
n
n
y 1 ´ u 1 ´  y 2 ´ u 2 ´  y 3 ´ u 3 ´  ...  y n ´ u n ´  0
y 1 ´´ u 1 ´  y 2 ´´ u 2 ´  y 3 ´´ u 3 ´  ...  y n ´´ u n ´  0

y1
(n)
u1´ y 2
(n)
u 2 ´ y 3
(n)
u 3 ´  ...  y n
(n)
u n ´ f ( x )
Generalización del
método…


u1 
Resolviendo este sistema de ecuaciones
simultaneas por la Regla de Cramer
0
y2

yn
y1
0

yn
y1
y2

0
0
y2´

yn´
y1´
0

yn´
y1´
y2´

0













yn
f (x)

yn

f (x)
y1
y2

yn
f (x)
y2
(n)
(n)
,

u2 
y1
(n)
y1
y2

yn
y1´
y2´

yn´
y1´
y2´








yn
y1
(n)
y2
(n)
(n)
y1
(n)
y2
(n)
(n)
,...,

un 
y1
(n)
y2
(n)
y1
y2

yn
yn´
y1´
y2´

yn´







yn

yn
(n)
y1
(n)
y2
(n)
(n)
Generalización del
método…
Integramos estas las ecuaciones para obtener
u1(x) y u2(x), …, un(x).
 Sustituimos estas n funciones en la solución
propuesta yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)+ un(x)yn(x).
 Sumamos las dos soluciones, así: y=yh+yp.

Problemas

Resuelva las siguientes ecuaciones
diferenciales:
y   y  Secx
y   3 y   2 y 
y   y   Tanx
1
1 e
x
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