El plano cartesiano y las gráficas
Presentación 4 MATE 3011
Coordenadas Rectangulares
• Es un sistema para asignar un par ordenado
(a, b) de números reales a cada punto en el
plano.
• Se basa en dos líneas perpendiculares
llamadas eje de x y eje de y.
 La intersección de los dos ejes se llama el origen.
 Dividen el plano en cuatro cuadrantes ,I-IV.
• Cada punto P en el plano corresponde a un
par ordenado (a, b) , como mostramos:
Diagramas
Cuadrantes
Muestra de coordenadas
Q
P
Notar los puntos P y Q. ¿Cuál punto tiene coordenadas − 5, 0 ?
¿Cuál punto tiene coordenadas
2, 2 ?
Gráfica de una Ecuación
• Una solución de una ecuación en dos
variables es un par ordenado de números
tales que la sustitución del primero en x y el
segundo en y produce un enunciado cierto.
• La gráfica de una ecuación es la imagen del
conjunto de todas las soluciones de una
ecuación.
¿Es solución de la ecuación?
• (1, -2); 3x – y – 5 = 0
 3(1) – (-2) - 5 = 0 (Reemplazar valores de x, y)
3+2–5=0
5–5=0
 0 = 0 (Se produce un enunciado cierto.)
 (1, -2) sí es solución.
¿Es solución de la ecuación?
 (-2, -1); 2x2 – 3y + x – 3 = 0
 2(-2)2 – 3(-1) + (-2) – 3 = 0 (Reemplazar valores de x, y)
 2(4) + 3 – 2 – 3 = 0
8–2=0
 6 ≠ 0 (Se produce un enunciado FALSO.)
 (-2, -1) NO es solución.
Localización de puntos
• Una forma de esbozar (“sketch”) la gráfica de
una ecuación es localizar suficientes puntos
(soluciones), hasta obtener una imagen clara
de la forma de la gráfica.
• Por ejemplo, hagamos un boceto de la gráfica
de la ecuación lineal: y = 2x – 1 .
 Elegimos algunos valores para x:
x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
 Construimos la lista de valores correspondientes
de y en una tabla (tabla de valores).
Localizando puntos (continuación)
• Completa la tabla
• Localiza los puntos en un
plano
• Observa y continúa el
patrón
Una gráfica con esta forma se conoce como una recta.
Es la forma típica de una ecuación lineal.
Otro ejemplo
• Haga un boceto de la gráfica de y = x2 – 3
• Elegir unos valores y completa la tabla con los
valores correspondientes de la y
• Localiza los puntos en un plano cartesiano:
Ejemplo (continución)
• El punto (0, -3) parece dividir
la gráfica en dos partes
iguales.
• A la derecha de este punto,
podemos notar que a
medida que x se hace más
grande, y también se hace
más grande.
• A la izquierda del (0, 3),
notamos q a medida que x
se hace más pequeño, y se
hace más grande.
Ejemplo (continución)
• Unimos los puntos
con una curva suave,
(sin picos ni brincos)
siguiendo el patrón
que observas.
Una gráfica con esta forma se conoce como una parábola.
Es la forma típica de una ecuación cuadrática.
Interceptos de una gráfica
Identificar los
interceptos en
la gráfica
int – y:
(0, -10)
int – x:
(-5, 0)
(2.5, 0)
Ejemplo
• Hallar los interceptos de 2x – 3y – 6 = 0
• Para hallar los interceptos en x, ponemos y= 0
resolvemos para x: 2x – 3 (0) – 6 = 0
 2x – 6 = 0
 2x = 6   =
6
2
El intercepto en x es (3, 0)
• Para hallar el intercepto en y, ponemos x= 0
resolvemos para y: 2 (0) – 3y – 6 = 0
-3y = 6
y = -2
El intercepto en y es (0, -2)
Ejemplo
• Hallar los interceptos de y =2 x2 – 7x + 5
• Para hallar los interceptos en x, ponemos y=0
y resolvemos: 0 = 2 x2 – 7x + 5
 0 = (2x – 5)(x – 1)
 Los interceptos en x son  =

5
,0
2
5
2
=1
(1,0)
 El intercepto en y es (0, 5) , ya que y = 5 when x
=0.
Esboce la gráfica: y = 9 – 4x2
• Hallar los interceptos
 intercepto en y (poner x = 0)
• y = 9 – 4(0)2 = 9 int-y es (0,9)
 interceptos en x (poner y = 0)
• 9 – 4x2 = 0
• (3 – 2x)(3 + 2x) = 0
• (3 – 2x) = 0 cuando x =
3
;
2
• (3 + 2x) = 0 cuando x = −
• int - x son

,


3
2

− ,

Esboce la gráfica: y = 9 – 4x2
• Elige unos valores y completa la tabla con los
valores correspondientes de la y
• Tenemos además los int-x:

,



− ,

• Localiza los puntos en un plano cartesiano:
Esboce la gráfica: y = 9 – 4x2
Localiza los puntos en un plano cartesiano:
• El punto (0, 9) parece
dividir la gráfica en dos
partes iguales.
• A la derecha de este
punto: a medida que x
se hace más grande, y
se hace más pequeño.
• A la izquierda del (0, 9):
a medida que x se
hace más pequeño, y
se hace más pequeño.
Esboce la gráfica: y = 9 – 4x2
Localiza los puntos en un plano cartesiano:
• Unir los puntos
con una curva
suave, (sin picos
ni brincos)
siguiendo el
patrón que se
describió.
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