Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias, UNAM
19 de agosto de 2010
Campos Difusos en Ingeniería
Sísmica y Sismología:
Teoría y Aplicaciones
Francisco J. Sánchez Sesma
Investigador Titular
Contenido
1. Coda  Ondas con difracción múltiple  Ruido
2. Difracción (scattering) multiple  Regimen difusivo
3. Equipartición  Im [función de Green] = correlaciones
4. Ejemplos
5. Autocorrelación = Im [función de Green en la fuente]
6. Los casos de un estrato y un semiespacio
7. Conclusiones
Coda sísmica, ruido sísmico ambiental Campos ‘aleatorios’, Campos difusos
Comunmente se acepta que el ruido obscurece y que
no contiene información útil. De hecho, la intuición
sugiere que la difracción (scattering) múltiple de las
ondas las hace ininteligibles.
Observaciones a distancias entre 150 y 800 km
Regímenes
de
propagación
y decaimiento
de la
densidad de
energía
Teoría de Transferencia Radiativa (RTT)
Originada en astrofísica por Chandrasheckar (1960) y otros.
Fue introducida por Wu (1985) en sismología y desarrollada por Aki, Zeng,
Sato, Mayeda, Margerin, Gusev y otros.
Sato H y M Fehler (1998). Wave propagation and scattering in the
heterogeneous Earth, Academic Press, Cambridge, Mass.
Dmowska R, H Sato y M Fehler (2008) (Eds) Vol. 50 of Advances in
Geophysics, Academic Press, Cambridge, Mass.
ES
EP

2

2
en 2D;
ES
EP

2

3
3
en 3D
 ,   velocidade s de ondas P y S
Predicción de
RTT para un
campo elástico
difusivo
Dispersión (Scattering) Múltiple  Equipartición
SPAC (Auto Correlación ESPacial )
 (r ) 
Keiiti Aki
(1930-2005)
2
1
2
En 1957 K. Aki mostró que
el promedio azimuthal del
coeficiente de correlación
espacial de un campo
escalar está dado por
1
2
2
  (r , )d
0
 (r ,  ,  )
  (0, ,  )d  J
0
0
(
r
c( )
)
aquí J0 = función de Bessel
de primera especie y orden
cero. De esta manera se
Puede “invertir” c(ω).
 (r , ,  )  (ω) exp( ikr cos  ), k   / c
A
B*
A
B
u u
u
u
e
 ikr cos  0
SPAC
En este método se buscan las velocidades de las ondas superficiales
para encontrar la estructura.
Se supone que el ruido es estacionario. Se usan arreglos espaciales
para hacer el promedio azimutal.
Si además el ruido es isótropo, se puede obtener el mismo resultado
con sólo dos estaciones apilando las correlaciones por largos
periodos de tiempo.
Considérese una onda plana:
u (r , ,  )  F (ω) exp( ikr cos(   0 ))
y
Coherencia
r

P
*
u ( P )u (Q)
o
Q
x
u ( P ) u (Q )
e
 ikr cos 0
Promedio de
correlaciones
SPAC
r / c ( )
t
Función de Green
 r / c( )
r r// c( )
t
1
H (t  r / c)
 r 
Im G22 (r ,  ) 
J0 

  G22 (r , t ) 
2
2
2
4  c 
2
t  r /c
1
La correlación es una operación entre
series de valores para determinar qué
tan parecidas son estas entre sí.
Considérense dos series xi, yi donde
i=0,1,2...N-1. La correlación r con el
retraso d se define como:
Valores medios
N 1
r (d ) 
 (x
i
 mx )  ( y i  d  my )
i0
N 1
 (x
i0
N 1
 mx ) 
2
i
 (y
i0
i
 my )
2
Promedios de Correlaciones
0.1
r/c
5000
500
0.05
Correlaciones
100
50
25
0
Pulso de Ricker
Función de Green
r/c
-0.05
-6
-4
-2
0
tiempo (s)
2
4
6
El caso vectorial 2D (P-SV)
 uj
2
 ui
2

2
 (   )
2
x j x j
2
 ui
2
xi x j

t
2
Suma de ondas planas P y SV:
ul (x,  , t )  P( ,  )nl exp(  i


x j n j )  S ( , )ml exp(  i
,


x jmj )
Correlación :
2
*
,
,
,
*
P
ES / E P = α / β
Equipartición (2D):
m
n
,
2
x
r
 ( S ml ms  PS nl ms ) exp( ikr cos[   ])
2
θ
P
ul (y )us (x)  ( P nl ns  SP ml ns ) exp( ikr cos[   ])
*
x
y
S
S
z
2
Promedio Azimutal:
S 
2
ui (y )u (x) 
*
j
2
2
A
ij
 B(2 i j
ij
ui (y,  )u j (x,  )  8ES k
*
Finalmente
  )
A
2
J 0 (qr )


2

J 0 (kr)

2
Im Gij (x, y,  )

y B
J 2 (qr )

2

J 2 (kr)

2
(equipartición)
Formalmente, el mismo resultado en 3D (Sánchez-Sesma y Campillo, 2006)
Promedio de las correlaciones
de las fluctuaciones en P y Q
Respuesta impulsiva
del sistema entre P y Q
*
 1 ui ( P )u j (Q)
4
u( P) u(Q)
 Im[ Gij ( P, Q;  )]
Promedio de las correlaciones
de las fluctuaciones en P y Q
Respuesta impulsiva
del sistema entre P y Q
*
 1 ui ( P )u j (Q)
4
u( P) u(Q)
 Im[ Gij ( P, Q;  )]
Teorema de
Fluctuación-disipación
D 
F
kT
m
(Einstein, 1905)
Principio de Equipartición para Ondas Elásticas
En un regimen difusivo todos los “modos” están
exitados en la misma proporción
 

n
Gi , j ( R, S , t )    n  ( R) exp( i nt )
n
donde εn son variables aleatorias independientes
Para un sólido elástico infinito
ES
2

3

3
EP
ES
EP


2

2
en 3D
¡ Independiente de los detalles
del ¨scattering ¨..!
en 2D
¡ Independiente de la posición
en un espacio completo con
¨iluminación¨ homogénea !
Margerin, Campillo & van Tiggelen (2001)
50 m apertura
Campillo et al. (1999); Shapiro et al. (2000)
Teorema de Representación de tipo correlación


2i Im Gij (rA , rB )    Gil (rA , r )T (r, rB )
*
lj

 G (rB , r )Tli (r, rA ) dS
*
jl
rA
r Weaver & Lobkis (2004),
Wapenaar (2004),
Van Manen, Curtis &
Robertson (2006)
rB
ES
EP
 2
 2 in 2D
 

3
2


in 3D
3

 
Equipartición !
3

u i ( x A ,  ) u ( x B ,  )   4  E S k Im G ij ( x A , x B ,  )
*
j

Fuentes:
Fuerzas
puntuales
Q
P
Receptores
Fluctuaciones
de densidad 5%
Gij con 50, 100 & 500 fuerzas, 100 difractores
1.5
1
0.5
G11
0
-0.5
G13
-1
-1.5
G31
-2
-2.5
G33
-3
-3.5
0
50
100
150
200
250
300
Experimentos con ruido térmico
R. L. Weaver and O. I. Lobkis,
Ultrasonics without a source:
Thermal fluctuation correlations at
MHz frequencies, Phys. Rev. Lett. 87,
134301 (2001)
O. I. Lobkis and R. L. Weaver, On the
emergence of the Green’s function in
the correlations of a diffuse field, J.
Acoust. Soc. Am., 110, 3011-3017
(2001)
R. L. Weaver and O. I. Lobkis,
Elastic wave thermal fluctuations,
ultrasonic waveforms by correlation
of thermal phonons, J. Acoust. Soc.
Am., 113, 2611-2621 (2003)
(Weaver and Lobkis, Ultrasonics, 40, 435-439, 2002)
2000
1.1
1.0
Autocorrelacion
nois e
de
ruido
autocorrelation
1500
0.9
1000
0.8
500
0.7
0.6
0
0.5
-500
0.4
-1000
Pulso / ecos
Pulse/echo
0.3
-1500
0.2
-2000
0.1
0.0
-2500
-0.1
-3000
-0.2
-3500
-0.3
-4000
-0.4
-0.5
-4500
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
time (microseconds)
(Weaver and Lobkis, Ultrasonics, 40, 435-439, 2002)
Campillo & Paul
Science (2003)
Origen oceánico del ruido sísmico
Comparación entre sismos y respuestas reconstruidas con correlaciones
Comparación entre sismos y respuestas reconstruidas con correlaciones
Estabilidad
de los mapas: 2 conjuntos diferentes de registros
Tras el origen
del ruido sísmico
Tras el origen
del ruido sísmico
Distribución isotrópica de fuentes:
Correlación cruzada simétrica
Distribución anisotrópica de fuentes:
Correlación cruzada asimétrica
Origen aparente del ruido
Promedio de la altura de olas
invierno
verano
Datos sísmicos de la
Misión Appolo 17
Larose et al (2006)
(from Larose, 2005)
Ruido inducido
Vasconcelos et al. (EOS 2008)
u i ( x A ,  ) u ( x B ,  )   4 E S k
*
j
3

Im G ij ( x A , x B ,  )

El promedio de las correlaciones es proporcional a Im[Gij(xA,xB)]
Si fuente y receptor coinciden xA = xB
E ( x A )  
2
u m ( x A ) u m ( x A )   4  E S k
*
1
 Im[ G mm ( x A , x A )]
Densidad de Energía en el punto xA
Auto-correlación
A partir del Teorema
de Representación
exp( ikr  j n j )
 exp( iqr  j n j )

Im[ G mn ( x A , x B )] 
n
n

(


n
n
)
d 

m n
mn
m n 
2
3
3

16  r A   





 1
2 
E  A  Im[ G mn ( x , x )]  A 
  3  3   EP  ES
4  
 
Sánchez-Sesma et al, WAVE MOTION (2008)
Semiespacio.
G 22 ( x A , x B ) 
1
4i
Im[ G 22 ( x A , x B )] 
H
1
4
Problema SH antiplano
(2)
0
( kr )  H 0 ( kr ' )
J
0
(2)
( kr )  J 0 ( kr )
,
E ( z ,  )  E   1  J 0 ( 2 k z ) 


Auto-correlación
Auto-correlación
Estrato 2D. Ondas SH antiplanas
Fuente y receptor
x
h
  2h / 
z
Im[ G 22 ( 0 , 0 )] 
1
2
{1  2 J 0 ( )  2 J 0 ( 2 )  2 J 0 ( 3 )  ...}

Im[ G 22 ( 0 , 0 )] 
( 2  )
-1

n0
H ( f - n / )
n
f
2
- (n /  )
2
Estrato 2D. Ondas SH antiplanas
Im[ G 22 ( 0 , 0 )]   ( 2  )
1
H ( f  n / )


n
n0
Im[ G 22 ( 0 , 0 )]   Re
1
2
f
2
 (n /  )
2
{ H 0 ( 0 )  2 H 0 ( )  2 H 0 ( 2 )  2 H 0 ( 3 )  ...}
(2)
(2)
(2)
(2)
35
Transfer Function
30
Normalized Amplitudes
25
20
15
G (0,0,)
22
10
5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Frequency [Hz]
0.7
0.8
0.9
1
2
F-1{ixIm[G(0,0; ω)]}
1.5
Non Causal Response
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-40
-30
-20
-10
0
t [sec]
10
20
30
40
Semiespacio Elástico. OndasP-SV y de Rayleigh
s
Semiespacio Elástico. OndasP-SV y de Rayleigh
Semiespacio Elástico 3D
Perton et al (2009) – JASA
Este resultado en 3D muestra dos formas
en las cuales la equipartición puede ocurrir:
(1) à la Maxwell o (2) à la Weaver
COMO CONSECUENCIA DE LA IDENTIDAD
Energía
función de Green
E1  E 2  E 3  A  Im[ G kk ( x , x )]  E P  E S
E 1  
2
E 2  
2
E 3  
2
u
2
1
u
u
2
2
2
3
 A  Im[ G 11 ]
E1
 A  Im[ G 22 ]
E3
 A  Im[ G 33 ]
H
2
V
2

2

u1
2
u3
Im[ G 11 ]  Im[ G 22 ]
Im[ G 33 ]
Estrato sobre semiespacio
Im[Gij(0,0)]
Solución 3D
0.45
0.4
Im[G22] =Im[G11]
Im[Green functions]
0.35
0.3
0.25
0.2
Im[G33]
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
freq [Hz]
4
5
Resultados de un experimento en Texcoco
10
2
H/V ~ √ Im[G11]/Im[G33]
?
10
1
0.47Hz
10
H/V
0
-1
10 -2
10
frec [Hz]
10
-1
10
0
10
Frec [Hz]
0.45
0.4
Im[G22] =Im[G11]
Im[Green functions]
0.35
0.3
0.25
Im[G33]
¡ efecto 3D !
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
freq [Hz]
4
5
Estrato sobre semiespacio
1
Conclusiones
La coda y el ruido sísmicos califican como campos difusivos
La técnica SPAC de Aki (1957) es el antecedente de la
recuperación de la función de Green (o respuesta impulsiva)
Con iluminación de fondo y equipartición: se demuestra que:


Im Gij ( P, Q) 
*
ui ( P )u j (Q)
u( P ) u(Q)
Si P y Q coinciden se obtienen interesantes resultados sobre
la densidad de energía en un campo difusivo que son útiles
para visualizar el medio y establecer las características de su
respuesta dinámica.
Reflexiones finales
La idea del Universo en el siglo XIX era un ejemplo de
orden. Laplace postulaba que el futuro era previsible si se
conociesen en un momento dado las posiciones y velocidades de todas las partículas. Unas pocas leyes permitían
explicar el mundo.
En el siglo XX Heisenberg alteró el sueño determinista con
su principio de incertidumbre. No se conocerían posiciones
solamente probabilidades.
Poincaré, en una visionaria anticipación de la teoría del
caos, demostró que aun las más pequeñas incertidumbres
en las condiciones iniciales pueden hacer que los sistemas
evolucionen de manera impredecible.
Reflexiones finales
A partir del artículo seminal de Albert Einstein en 1905
sobre el movimiento browniano se ha establecido que la
respuesta determinista de un sistema está relacionada con
las fluctuaciones térmicas. Esto se ha generalizado a una
gran variedad de problemas.
Se ha descubierto recientemente que las fluctuaciones
pueden servir para sintetizar ondas deterministas
generadas por una fuente puntual.
Precisamente la correlación cruzada de las fluctuaciones
observadas en el campo acústico entre dos puntos permite
establecer el tiempo de viaje de las ondas entre esos
puntos. Esto abre las puertas al uso de fuentes virtuales.
Reflexiones finales
En muchas aplicaciones la extracción de la respuesta de
un sistema a partir del ruido es robusta aun cuando las
fuentes de ruido son limitadas y con distribución irregular.
Tal vez esto se debe a la estabilidad de la propagación de
ondas.
Nuestra idea del Universo ha pasado de ser determinsta a
aceptar el azar, pero no de manera simplista; los campos
generados por fuentes aleatorias pueden ser usados para
visualizar y monitorear sistemas que incluyen el subsuelo
hasta estructuras como edificios, presas y puentes.
El azar no está opuesto al determinismo; es ya una nueva
via de acceso a la respuesta determinista del mundo físico.
¡ Gracias por su atención !
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Recuperación de la función de Green