Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y
hechos modales
Prof. Eduardo Alejandro Barrio
1er cuatrimestre de 2005
Facultad de Filosofía y Letras, UBA.
Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y
hechos modales
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Consecuencia

Material



a priori

Analítica


Metafísica


lógica
S es una consecuencia material de K ssi o K es
falsa, o S es verdadera
S es una consecuencia a priori de K ssi la sola
aceptación de K garantiza (sin recurrencia a elemento
empírico alguno) la aceptación de S, una vez aceptado K
por las razones que fueran.
S es una consecuencia analítica de K sss la
verdad de S garantiza la verdad de K en virtud
puramente del significado de los términos (lógicos y
extralógicos) que figuran en K y en S. Ejemplo: Esto es
rojo. Por lo tanto, Esto tiene color.
S es una consecuencia metafísica de K sss se
preserva la verdad necesaria de K a S. Por ejemplo,
Esto es agua. Por lo tanto, Esto es H2O.
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 (E) La relación de consecuencia
lógica



es una relación modal.

Es modal en cuanto que es una relación
de implicación necesaria, donde la
conclusión se sigue necesariamente de
las premisas.

Es una relación a priori

La aceptación de las premisas garantizan
(sin recurrencia a elemento empírico
alguno) la aceptación de la conclusión,
una vez aceptado K por las razones que
fueran.
es una relación formal.
Si una oración A es una consecuencia
lógica de un conjunto de oraciones B, C,
D, etc., entonces cualquier argumento que
tenga la misma forma que el argumento
con premisas B, C, D, etc. y conclusión A
será también un argumento en que la
conclusión es una consecuencia lógica de
las premisas.
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1.- Interpretación


Para todo modo de interpretar K y S de forma que todas las oraciones que componen K
sean verdaderas, también hace verdadera a S.
Preservación de la verdad para todo modo de interpretar.

2.- Sustitución:

No hay una sustitución uniforme de todos las expresiones no lógicas que figuren en K y
en S de manera tal que K sea verdadera y S falsa.

3. Modelo


Para todo modelo en el que K es verdadera, O también es verdadera.
Tarski “The sentence X follows logically from the sentences of the class K if and only if every
model of the class K is also a model of the sentence X.”
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Objeciones de Etchemendy

1.- El enfoque tarskiano tiene contraejemplos

Cuando uno compara la extensión del concepto intuitivo de consecuencia lógica
con la del concepto de consecuencia tarskiano, encuentra que esas extensiones
difieren: hay casos que resultan ser casos de consecuencia intuitiva que en el
enfoque tarskiano no resultan serlo y casos que resultan ser casos de
consecuencia tarskiana que no lo son desde el punto de vista intuitivo.
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
3.- Tarski comete una falacia modal
cuando argumenta que su
explicación captura el concepto
intuitivo de consecuencia lógica, y
por eso oscureció una debilidad
esencial de la explicación
Lo que Tarski tiene que hacer para
justificar su definición es probar:
(A) Si X es una consecuencia
tarskiana de K, ent necesariamente
(Si todas las oraciones de K son
verdaderas, X es verdadera)

Etchemendy reconstruye la prueba con la
que Tarski probaría que su concepto
captura el componente modal como sigue:

Supongamos (i) X es una consecuencia
lógica tarskiana de K
(ii) No es cierto que (Si toda todas las
oraciones de K son verdaderas, X es
verdadera) O lo que es equivalente: todas
las oraciones de K son actualmente
verdaderas y X es actualmente falsa
Estas suposiciones son contradictorias: (i)
dice que X es verdadera en todo modelo
en el cual todas las oraciones que integran
K son verdaderas, pero (ii) dice que hay
un modelo, nominalmente, uno que está
representando el mundo actual todas las
oraciones de K son verdaderas y X es
falsa


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Sin embargo, Etchemendy señala que lo que una prueba con esta estructura es

(B) Necesariamente (Si X es una consecuencia tarskiana de K, entonces (Si todas
las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera)


Pero, (B) no implica (A)
(A) Si X es una consecuencia tarskiana de K, ent necesariamente (Si todas las
oraciones de K son verdaderas, X es verdadera)
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
In palabras de Etchemendy: “To show that all Tarskian consequences are
consequences in the ordinary sense, we would need to prove a theorem with
embedded modality. . . . Obviously, the proof in question does not show that every
Tarskian consequence is a consequence ‘in the ordinary sense.’ It is only through
an illicit shift in the position of the modality that we can imagine ourselves
demonstrating of any Tarskian consequence that it is entailed by [i.e., follows with
necessity from] the corresponding set of sentences.”

De “Nec (p implica q)” no se sigue que “p implica Nec q)”
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Objeciones de Etchemendy
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3.- El enfoque de Tarski depende de que haya una distinción esencial entre
términos lógicos y no lógicos, pero hay lenguajes muy sencillos en los cuales
ninguna distinción de este tipo puede ser realizada.
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Los lenguajes de primer orden:

Al presentar un lenguaje formal se incorporan en un modo claro algunas
características importantes de los lenguajes naturales.

Estas características pueden verse de manera mucho más transparentes.

Podemos apreciar toda la riqueza del lenguaje natural que no puede ser
capturada en lenguaje formal.

Apreciar la enorme ambigüedad que presentan los lenguajes naturales.
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Nombres Propios (constantes de individuos)



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-
Todo nombre debe nombrar un objeto
Ningún nombre puede nombrar mas de un objeto
Un objeto puede ser nombrado por más de un nombre.
Un objeto puede no ser nombrado por ningún nombre.
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Predicados (Constantes de predicados)

Toda constante de predicado tiene una aridad fija, un número que nos dice
cuántos nombres son necesarios para formar una oración completa.
Todo predicado está interpretado por un conjunto o por un conjunto
ordenado.
En el LN un mismo predicado puede tener áridad diferente.
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Funciones
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Permiten formar nombres de otros nombres.
Se pueden formar términos complejos utilizando símbolos de función de
áridad n seguidos de n términos
Los términos complejos son usados como nombres.

Ejemplos: El discípulo de x. Suma (x, y)
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El Lenguaje L
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Expresiones
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
Símbolos lógicos
Cuantificador universal de primer orden ‘"’
Cuantificador existencial de primer orden ‘$’
Condicional material ‘’
Conjunción ‘’
Disyunción ‘’
Negación ‘¬’

Símbolos auxiliares
Paréntesis ‘(’ , ‘)’

Expresiones no Lógicas
Constantes individuales: ‘Alfred’, ‘Rudolf’, ‘John’
Variables de individuos: ‘x’, ‘y’, ‘z’,
Subíndice (‘1,...,n’) para generar infinitas variables por
posposición a ‘x’
Símbolos de función monádicos 'f1' (El discípulo de Alfred)
, 'f2' ,..., 'fn',
Predicados diádicos: ‘=’ (Identidad), ‘C’ (criticar
a)
Predicados monádicos ‘T’ (es un teórico de
modelos), ‘N’ (es hombre)

Ejemplos de enunciados de este lenguaje y
sus significados son

T (Alfred)
(Tarski es un teórico de
modelos)
T (f1)
(El discípulo de Tarski es un
teórico de modelos)
"x(Nx¬CxAlfred)’ (Para todo ser humano x, si x
es hombre, entonces x no critica a Tarski)
"x(Nx$x1 (N x1  Cx x1))’ (Para todo ser
humano x1 existe otro x1 tal que x critica a x1).
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

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
Las constantes individuales, las variables y el resultado de escribir cualquier función n-ádica
seguida por n-términos singulares es un término singular del lenguaje.
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
Definición de término
Definición de Fórmula Atómica
Las fórmulas atómicas bien formadas son el resultado de escribir cualquier predicado n-ádico
seguido por n-términos singulares.

Definición Recursiva de FBF

Las fórmulas bien formadas son las fórmulas atómicas bien formadas, la negación de
cualquier fórmula bien formada, la conjunción (la disyunción, la condicionalización) de dos
fórmulas bien formadas cualesquiera, y la cuantificación universal (la cuantificación
existencial) de cualquier fórmula bien formada con respecto a alguna variable.

Las oraciones son las fórmulas cerradas (fórmulas que no contienen ninguna variable libre).
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
Lenguaje Set



Predicado diádico (Símbolo de identidad) 
Predicado diádico (Símbolo de Pertenencia) 
Predicado monádico: C (ser un conjunto)

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


Constantes de individuos a, b (nombran
conjuntos o individuos)
Variables de individuos: ‘x’, ‘y’, ‘z’, Subíndice
(‘1,...,n’) para generar infinitas variables por
posposición a ‘x’
Cuantificador universal de primer orden (‘"’),
Cuantificador existencial de primer orden, (‘$’),





Condicional material (‘’),
Bicondicional material (‘’)
Conjunción (‘’)
Disyunción ‘’
Negación (‘¬’),

Paréntesis (‘(’, ‘)’)

Variables de individuos: ‘u’, ‘v’ ‘x’, ‘y’, ‘z’,
Subíndice (‘1,...,n’) para generar infinitas
variables por posposición a ‘x’




Ejemplos de fórmulas
$y "x (xy  Cx) (Para cada conjunto existe la
clase a la cual pertenece)
"u"w ("x (xu  xw  u  w) (Dos clases que
coinciden en sus elementos son la misma clase)
Cx  $y xy (Un conjunto es una clase que es
elemento de alguna clase)
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


Elementos metalingüísticos:
Las comillas se utilizan como mecanismos para generar nombres .
' ' , '<...>' son expresiones de la teoría de conjuntos, y
f, g, h son variables de secuencias de objetos.
Un caso de una secuencia de objetos podría ser <Tarski,..., Etchemendy>.
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Fórmulas de L
Interpretación pretendida
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

T (Alfred)
T (f1)
"x(Nx¬CxAlfred)

"x(Nx$x1 (N x1  Cx x1))
(Tarski es un teórico de modelos)
(El discípulo de Tarski es un teórico de modelos)
(Para todo ser humano x, si x es hombre, entonces x no critica
a Tarski)
(Para todo ser humano x1 existe otro x1 tal que x critica a x1).


Otros modos de interpretar
T (Alfred)
Interpretación 1
3 un número impar

"x(Nx¬CxAlfred)
(Para todo número natural x, si x es par, entonces x no es
mayor que 2)
Interpretación 2
4 es un número par
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
Modelo Proposicional:
<D, VM >
D = {T, F}
V es una función que asigna elementos de D a cada una de las oraciones del lenguaje
proposicional.

 (i)
V M (¬ ) = T sss
 (ii)
V M (  ) = 1 sss V M () = 1 y V M ( ) = 1
 (iii)
V M ( v ) = 1 sss V M () = 1 o V M ( ) = 1
 (iv)
V M ( → ) = 1 sss V M () = 0 o V M ( ) = 1

¿Qué capacidad tiene LP para relacionarse con una estructura extralingüistica?


Mediante V M se determinan las condiciones veritativas de todas las oraciones de LP
Esta estructura permite asignar objetos (valores veritativos) a las oraciones de LP, de tal manera que el valor
veritativo del todo sea una función del valor veritativo de los componentes.
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

¿Por qué es suficiente de el D esté integrado por T y F?
Porque la adecuación deductiva es algo que depende de las relaciones (posibles) entre
valores veritativos.
Porque la forma lógica de las oraciones de LP contienen conectivos que se aplican a
oraciones completas
I(p) = La nieve es blanca
El pasto es verde
El cielo es azul
T
El sol es verde
Las nubes son rosas
F
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
Características de los modelos LP

Los modelos LP son tales que es posible construir una lista finita de las I que son relevantes
para el establecimiento de
(i)
la verdad de cada una de sus oraciones (simples o compuestas)
(ii)
la relación de consecuencia entre cualquier conjunto K de sus oraciones y
cualquier oración perteneciente a LP
(iii)
la validez lógica de cada una de sus oraciones.



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
Modelo de primer orden:

Para determinar el valor de verdad de cualquier oración necesitamos saber de qué
estamos hablando.

El dominio de discurso indica acerca de qué estamos hablando y la función de
interpretación pone en relación este dominio con el lenguaje.

Un modelo es una estructura conjuntista que sirve para asignar una interpretación a las
oraciones de un lenguaje. < <D, I>, VM >

Toda oración de L debe recibir una interpretación (se le debe asignar un objeto apropiado de
D)
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
Restricción simplificadora: todos los objetos de D tienen nombre

Se reduce la verdad en M de "x  y de $x  a la verdad en M de [o/x] 

Sean
D: conjunto de entidades
I: función que asigna entidades apropiadas de D a las expresiones de L

(i) Si c es una constante de L, entonces I(c )  D

(ii) Si P es una letra n-aria de L, entonces I(P)  D n

(si n es 1, su interpretación es un conjunto)

[[c/x]]M = reemplace x por o.

VM : Función que asigna valores veritativos a las oraciones de L

Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de L sobre el
dominio D, entonces VM se define como sigue
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


(I)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
[[Pn (c1,..., cn)]]M = 1 sss < [[c1]]M,..., [[ cn ]]M >  [[Pn]]M
[[ ¬ ]]M = 1 sss [[ ]]M = 0
[[  & ]]M = 1 sss [[ ]]M = 1 y [[ ]]M = 1
[["x ]]M = 1 sss [[ [c/x] ]]M = 1, para toda constante c de L
[[$x ]]M = 1 sss [[ [c/x] ]]M = 1, para alguna constante c de L.
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Implicación Lógica

S es una implicación lógica de K sss para toda valuación de M, si [[K]]M = 1,
entonces [[S]]M = 1

Equivalencia Lógica

S y K son lógicamente equivalentes sss para toda valuación de M, [[K]]M = [[S]]M
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