Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y
hechos modales
Prof. Eduardo Alejandro Barrio
1er cuatrimestre de 2005
Facultad de Filosofía y Letras, UBA.
Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y
hechos modales
Presentaciones actuales de la semántica de Modelos
Las fórmulas cerradas son parte de un lenguaje formal no interpretado
La interpretación se realiza por medio de estructuras conjuntistas
Modo de interpretación: estructura o modelo
Cada modelo posee un dominio de interpretación (un conjunto no
vacío)
Cada modelo posee una asignación (que puede variar de modelo en
modelo) y un dominio (que puede variar de modelo en modelo)
Ejemplos de dominios: el conjunto de los números naturales, el de los
perros de caballito, el de los alumnos del seminario, etc.
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I╞ Ф (g)
Se lee como:
La secuencia g satisface F (una función oracional) con respecto al modo de
interpretación I
U╞ Ф (g)
La secuencia g satisface F (una función oracional) con respecto a la estructura U.
M╞ Ф (g)
La secuencia g satisface F (una función oracional) con respecto al modelo M.
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[[]]M,g
Es lo mismo que M╞ Ф (g)
El valor semántico de la oración cerrada que reemplaza la función oracional .
Ese valor es producto de asignar los objetos apropiados a las constantes no
lógicas que figuren en  en el modelo M y los objetos temporales asignados por g
a las variables originales que figuren en .
[[T(Alfred)]]M,g
El valor semántico de T(Alfred). Ese valor es producto de asignar a “Alfred” el
objeto Tarski integrante del D del modelo M y determinar si este está incluido en el
conjunto de los objetos que en el dominio del modelo M son teóricos de modelos.
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Hodges W.
“Elementary Predicate Logic” en Gabbay y Guenthner
Handbook of Philosophical Logic.
A Shorter Model Theory
“Truth in structure”
Chang & Keisler
Model Theory
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
Modelo Proposicional:
<D, VM >
D = {T, F}
VM es una función que asigna elementos de D a cada una de las oraciones del lenguaje
proposicional.

 (i)
V M (¬ ) = 1 sss V M () = 0
 (ii)
V M (  ) = 1 sss V M () = 1 y V M ( ) = 1
 (iii)
V M ( v ) = 1 sss V M () = 1 o V M ( ) = 1
 (iv)
V M ( → ) = 1 sss V M () = 0 o V M ( ) = 1

¿Qué capacidad tiene LP para relacionarse con una estructura extralingüistica?


Mediante V M se determinan las condiciones veritativas de todas las oraciones de LP
Esta estructura permite asignar objetos (valores veritativos) a las oraciones de LP, de tal manera que el valor
veritativo del todo sea una función del valor veritativo de los componentes.
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







¿Por qué es suficiente de el D esté integrado por T y F?
Porque la adecuación deductiva es algo que depende de las relaciones (posibles) entre
valores veritativos.
Porque la forma lógica de las oraciones de LP contienen conectivos que se aplican a
oraciones completas
I(p) = La nieve es blanca
El pasto es verde
El cielo es azul
T
El sol es verde
Las nubes son rosas
F
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
Características de los modelos LP

Los modelos LP son tales que es posible construir una lista finita de las I que son relevantes
para el establecimiento de
(i)
la verdad de cada una de sus oraciones (simples o compuestas)
(ii)
la relación de consecuencia entre cualquier conjunto K de sus oraciones y
cualquier oración perteneciente a LP
(iii)
la validez lógica de cada una de sus oraciones.



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
Modelo de primer orden:

Para determinar el valor de verdad de cualquier oración necesitamos saber de qué
estamos hablando.

El dominio de discurso indica acerca de qué estamos hablando y la función de
interpretación pone en relación este dominio con el lenguaje.

Un modelo es una estructura conjuntista que sirve para asignar una interpretación a las
oraciones de un lenguaje. < <D, I>, VM >

Toda oración de L debe recibir una interpretación (se le debe asignar un objeto apropiado de
D)
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
Enfoque Substitucional:

Restricción simplificadora: todos los objetos de D tienen nombre

Se reduce la verdad en M de x  y de x  a la verdad en M de [c/x] 

Sean
D: conjunto de entidades
I: función que asigna entidades apropiadas de D a las expresiones de L

(i) Si c es una constante de L, entonces I(c )  D

(ii) Si P es una letra n-aria de L, entonces I(P)  D n

(si n es 1, su interpretación es un conjunto)

[[c/x]]M = reemplace x por c.

VM : Función que asigna valores veritativos a las oraciones de L

Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de L sobre el
dominio D, entonces VM se define como sigue
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


(I)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
[[Pn (c1,..., cn)]]M = 1 sss < [[c1]]M,..., [[ cn ]]M >  [[Pn]]M
[[ ¬ ]]M = 1 sss [[ ]]M = 0
[[  & ]]M = 1 sss [[ ]]M = 1 y [[ ]]M = 1
[[x ]]M = 1 sss [[ [c/x] ]]M = 1, para toda constante c de L
[[x ]]M = 1 sss [[ [c/x] ]]M = 1, para alguna constante c de L.
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
Enfoque por asignación:






No hay restricción simplificadora
[[xn]]Mg = el objeto ubicado en el n-ésimo lugar de la secuencia g asignado en el Modelo
[[Alfred]]Mg = La interpretación de “Alfred” en el modelo M
g[x/Tarski] = el objeto asignado temporalmente en la secuencia g
VMg : Función que asigna valores veritativos a las oraciones de L
Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de
L sobre el dominio D y g es una secuencia de objetos que permite asignar valores temporales
a las variables,entonces [[…]]Mg se define como sigue
(I)
[[Pn (c1,..., cn)]]Mg = 1 sss < [[c1]]Mg,..., [[ cn ]]Mg >  [[Pn]]Mg
(ii)
[[ ¬ ]]Mg = 1 sss [[ ]]Mg = 0
(iii)
[[  & ]]Mg = 1 sss [[ ]]Mg = 1 y [[ ]]Mg = 1
(iv)
[[x ]]Mg = 1 sss [[ f[d/x] ]]Mf = 1, para todo objeto d asignado
temporalmente en una secuencia f, idéntica a g, salvo en el lugar ...
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
Implicación Lógica

S es una implicación lógica de K sss para toda valuación de M respecto de una
secuencia g, si [[K]]Mg = 1, entonces [[S]]Mg = 1

Equivalencia Lógica

S y K son lógicamente equivalentes sss para toda valuación de M y toda
secuencia g, [[K]]Mg = [[S]]Mg
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
Dos conceptos de Modelo:

Verdad en toda interpretación de las constantes no lógicas
Verdad en toda interpretación de las constantes no lógicas sacada de cualquier dominio
no vacío de objetos.

Dos estructuras

< a, A, R >
< U, a, A, R >


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
Argumento de la divergencia (Etchemendy)
Sean ╞tarskiana
y
╞
MT
Dada cualquier selección fija de expresiones lingüísticas, ╞tarskiana
equivalentes,
y
╞
MT no
son
Porque (a) hay casos de una que no son casos de la otra y
(b) la ╞tarskiana no puede ser refinada de manera tal de que se convierta en ╞MT
x x (x≠x)

Hay al menos dos objetos

¿Es una fórmula universalmente válida?


Es verdadera en toda estructura tarkiana (con un único dominio),
No es verdadera en toda estructura modelo teórica (hay un dominio (el que contiene un solo
objeto) en cuya interpretación resulta falsa.
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
Propuesta de lectura
Gómez-Torrente – Ray: Tarski usa tácitamente una concepción de dominio variable




Dice Tarski: (A) Si tratamos todas las expresiones del lenguaje como constantes lógicas, el
concepto de consecuencia lógica se transforma en el de consecuencia material.
S es consecuencia material de K ssi o S es verdadera o algún miembro de K es falso
Sin embargo, esta afirmación sólo parece ser verdadera si se adopta una concepción de
dominio fijo
Argumento de Gila Sher



(1) Hay exactamente una cosa
(2) Hay exactamente dos cosas
K
S
La función oracional no contiene variables
Por eso, el valor de verdad no depende de las
secuencias particulares
(2) no es una consecuencia lógica de (1), hay secuencias de un único objeto que no
satisfacen (2), pero que satisfacen (1).
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Gómez-Torrente
“Hay al menos dos objetos”
Es una afirmación sin constantes no lógicas que habla acerca de la
cardinalidad de un conjunto de objetos
- Se la puede considerar universalmente válida: de hecho, era lo que algunos hacian
en la época
- Se puede adaptar el aparato tarskiano para que no resulte universalmente válida
-
-
-
Relativizar los cuantificadores: agregar un preducado no lógico U cuya interpretación
ponga límites a las interpretaciones de los otros predicados no lógicos.
Hay al menos dos objetos de U
x Ux x Ux (x≠x)
También se pueden relativizar las secuencias (el primer integrate sea un d)
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Propuesta de Bays
Hay razones para no atribuir un uso implícito del enfoque de dominio variable
(Etchemendy cap. 5 sostiene lo mismo, aunque no por las mismas razones)
(i) Problemas técnicos:
No hay convenciones que regulen la interacción de objetos correspondientes a las
variables de las funciones oracionales
(ii) El enfoque de dominio variable siempre es divergente de (F)
El enfoque de dominio fijo, bajo la suposición de que haya tantas expresiones
como objetos, da un resultado equivalente a (F)
(iii) La suposición de que todos los términos del lenguaje se pueden tomar como
constantes lógicas, hace coincidir las nociones de consecuencia lógica con la de
consecuencia material. Esto se cumple, siempre y cuando se adopte una
concepción de dominio fijo.
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El ejemplo de Gila Sher apoya (iii)
(1) Hay exactamente una cosa
(2) Hay exactamente dos cosas
Bajo las suposiciones usuales (2) no es una consecuencia lógica de (1) porque en el
enfoque de dominio relativizado hay secuencias de objetos de un único integrante
que Sat (1), pero no (2). Si se asume lo que dice Tarski (respecto de que si todo
término se toma como constante lógica, entonces coinciden la noción de
consecuencia lógica con la de consecuencia material), lo que dice tarski es falso.
No pueden coincidir las nociones de consecuencia lógica (def en términos de
dominios variables) y la de consecuencia material
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Dilema de Ray:
O bien Tarski se equivoca al adoptar una concepción de dominio fijo o
(no se equivoca y adopta un enfoque de dominio variable, pero) se
equivoca acerca de lo que dice respecto de la coincidencia entre las
nociones de consecuencia lógica y material.
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Ray “Logical consequence: a defense of Tarski”
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Posibles objeciones contra la tesis de Bays
Tesis de Bays: Tarski no adopta ni explicita ni implícitamente la concepción de
dominio variable.
Tesis de MGT y de Ray: Tarski adopta implícitamente la concepción de
dominio variable.
Porque:
(i) Hay muchos metateoremas que dependen de la adopción de la
concepción de dominio variable
(ii) la concepción de dominio fijo tiene consecuencias contraintuitivas
(1) Tim existe
Por eso, (2) hay 37 cosas
¿Puede la lógica determinar (presuponer) cuantas cosas existen?
¿(2) es una consecuencia a priori de (1)?
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En la concepción de dominio fijo, de hecho, las constantes no lógicas son
reinterpretadas asignando entidades de un único dominio (El conjunto de
todas las cosas actuales?)
¿Es suficiente asignar entidades a partir de D y sólo de D?
La intuición de que “Hay al menos dos objetos” no debe ser satisfecha por
toda secuencia parece indicar que hay que contemplar otra posibilidad
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La existencia de un D con un único integrante que no la satisfaga.
¿No será que la concepción de dominio fijo no contempla todas los posibles
modos de interpretar?
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