Sesión
Contenidos:
↘Límites
15
↘ Conceptos básicos.
↘ Interpretación en funciones.
Profesor: Víctor Manuel Reyes F.
Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011)
Primer Semestre 2012
Aprendizajes esperados:
> Determina límite de funciones, sólo por
reemplazo.
> Determina límite de funciones
indeterminadas, usando funciones
equivalentes mediante factorización y/o
cambio de variable.
> Determina límites al infinito.
> Determina límites laterales.
Concepto de Límite
Imagínate que sufres una pesadilla (por tanto estudiar matemática)
en la que te encuentras cerca de una puerta.
Decides abrirla, así que te acercas.
Te das cuenta que estas cada vez más cerca, pero no alcanzas a
tocar el picaporte.
Corres tratando de llegar, pero, siempre hay espacio entre tu mano y
ese picaporte, no importa cuanto lo intentes.
Esa "pesadilla" tiene nombre matemático
Fuente: http://soko.com.ar/matem/matematica/limite.htm
Concepto de Límite
Descripción de la acción de una droga en pacientes oncológicos (que
padecen cáncer).
presión sanguínea generada
por el medicamento
Presión sanguínea
que puede producir
un derrame cerebral
xo
cantidad administrada de
un medicamento
Eficiencia eliminación cel. cancerígenas
<
>
Para eso sirve el proceso de límite, queremos acercarnos pero no
llegar a caso un límite desde la izquierda que tiende a valores
menores de xo).
Concepto de Límite
Tomemos dos números, por ejemplo, 4 y 5, busquemos un número
real entre ellos, podemos tomar 4,5 que está entre 4 y 5
4 .….. 4,5 ....... 5
4 ...... 4,3 …….. 4,5
4 ...... 4,1 ..........4,3
4 ….... 4,08 …...... 4,1
4 ........ 4,001 ….... 4,08
Fuente: http://soko.com.ar/matem/matematica/limite.htm
Límite de una función:
Consideramos la siguiente expresión:
siendo n un número natural, es decir, n = 1, 2, 3, 4,.... observamos
que cuando reemplazamos el denominador n por 1, luego por 2, por
3, 4, etc., el valor de la expresión se hace cada vez más pequeño.
¿Qué pasa si n es muy grande?
si n fuera “infinito”, entonces sí alcanzaríamos el cero, pero el
“infinito” no es un número.
Operación extraña o prohibida
Límite de una función:
En matemática se necesita realizar estas operaciones extrañas, y
para salvar las apariencias, decimos alegremente que en el límite se
alcanza el valor cero, cuando n tiende a infinito. Esto se escribe:
lim
n 
y se lee: límite de
1
n
1
0
n
cuando n tiende a infinito es cero.
lim n
n 3
2
?
Límite de una función:
Ejemplo:
El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un
comportamiento dado por la función:
f (t ) 
250
1 e
2t
Donde f(t) representa la cantidad de personas que adquieren la
enfermedad en un tiempo t medido en semanas.
¿Qué sucede con la cantidad de personas contagiadas en el largo
plazo?
lim
t
250
1 e
2t
Límite de una función:
Supone que y(t) es una función de depende del tiempo t y que da
cuenta del incremento de una variable, ejemplo crecimiento.
Si Δt es un intervalo de tiempo y durante ese intervalo la variable se
incrementa Δy, entonces el cuociente:
y
t
representa la velocidad promedio del crecimiento durante ese
tiempo. Esta expresión debe recordar la tasa de cambio entre las
variables y y t.
Límite de una función:
¿Qué pasa cuando Δt → 0?
y
t
Δy tiende a cero, pero Δt no puede ser cero. Sin embargo le
permitimos que sea cero en el límite. Pero en este límite ya no
tenemos “velocidad promedio”, sino que velocidad instantánea.
velocidad instantánea = lim
t0
y
t
Límite de una función:
Entonces la tasa de cambio de y respecto de t sigue siendo la
expresión:
y
t
Que también representa la tangente del ángulo α = ∠BAC.
Límite de una función:
¿Qué pasa cuando Δt→0? Cuando Δt disminuye, el punto B de la
curva se acerca al punto A, viajando sobre la curva, tomando la
posición B’
En el límite el punto B coincide con el punto A, se forma una recta
tangente que forma un ángulo α con el eje t.
Por lo tanto:
lim
t  0
y
t
 tg 
Cálculo de Límites
Calcula los siguientes límites
1)
lim 2 x
x 2
2x
2) lim
x0
3) lim 4
lim t
t 2
6)
7)
x 4
4)
5)
2
8)
lim 2 x   x
x  0
lim ( x  3 x
3
x1
x4
lim
x1
2
4x
lim
x 3
x 1
2
2
9
2x  3
2
 2 x  17 )
Cálculo de Límites
Calcula los siguientes límites
1)
lim 2 x
x 2
2x
2) lim
x0
3) lim 4
lim t
t 2
6)
7)
x 4
4)
5)
2
8)
lim 2 x   x
x  0
lim ( x  3 x
3
x1
x4
lim
x1
2
4x
lim
x 3
x 1
2
2
9
2x  3
2
 2 x  17 )
Cálculo de Límites
Calcula los siguientes límites
x  16
2
9)
lim
x 4
13) lim
x1
x4
x1
x1
5x  2x 7
2
10)
lim
x1
x1
x  2x  3
2
14)
lim
15)
lim
x 
2
11)
lim
x 3
x3
(1 h )  1
x  
2
12) lim
h0
h
4x  5
16)
lim
x  
2x  3
2
x1
x1
x1
x1
http://soko.com.ar/matem/matematica/limite_1.htm
Análisis de Límites

x+1
lim
=+
x – 1
x+1
lim
=
x–1
x 
y
x 



k
Indet
0

x+1
lim
=–
x – 1


x 





  



















x












Análisis de Límites
http://soko.com.ar/matem/matematica/limite_1.htm
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