1
Ecuaciones y Desigualdades con Valor
Absoluto
2
Objetivos:
1. Resolver ecuaciones con valor absoluto.
2. Resolver desigualdades con valor
absoluto.
Ecuaciones con Valor Absoluto
Teorema 1:
Si el valor absoluto de una expresión es
igual a un número positivo a, entonces la
expresión es igual a a ó -a. Por lo tanto,
u  a
es eq u ivalen te a
u  a o u   a.
3
E jem plo 1:
4
R esuelv a: 2 x  3  1 1
2 x  3  11
2 x  11  3
2 x  14
x7
ó
2 x  3  11
2 x  11  3
2 x  8
x  4
C . S .    4, 7 
E jem pl o 2:
R esuelva: 3 
5
3 x  5  10
3 x  5  10  3
3x  5  7
3x  5  7 ó
3 x  12
3 x  5  7
3x  2
2
x  
x  4
3
 2

C .S .  
, 4
 3

E jem pl o 3:
6
R esuelva: 4  2 2 x  8  12
2 2 x  8  12  4
2 2x  8  8
2x  8 
8
2
2x  8  4
2x  8  4 ó
2x  8  4
2x  8  4 ó
2x  8  4
2 x  12
2x  4
x  6
x  2
C .S . 
 2 , 6
7
Ecuaciones con Valor Absoluto
Teorema 2:
S i el valor absoluto de una expresión es
igual a un núm ero negativo -a, entonces el
conjunto solución de la ecuación es el
conjunto vacío.
Si u   a su solución es el conjunto
vacío
 
= .
8
E jem plo 1:
R esuelve:
9
 4  2 x  5  10
2 x  5  10  4
2 x  5  14
x5 
14
2
x  5  7
C onjunto S olución = { }  
Aclaración: La ecuación no tiene soluciones.
E jem pl o 2:
R esuelve: 3 0 
10
4 x  5  10
4 x  5  10  30
4 x  5   20
C onjunto S olución = { }  
Aclaración: La ecuación no tiene soluciones.
11
Teorema 3:
Si el valor absoluto de una expresión es
igual a cero entonces la expresión es igual
a cero.
S i u  0 en to n ces u  0 .
E jem plo 1 :
R esuelve:
12
4 2x  5  0
2x  5  0
2x  5  0
2x  5
5
x 
2
5
C .S .   
2
13
Las desigualdades con valor absoluto
Teorema 1:
Si a un número positivo entonces,
u a
es eq u ivalen te a
a  ua
u  a es eq u ivalen te a
a  ua
En otras palabras, |u| < a es equivalente a
-a < u y u < a.
u
-a
0
a
E jem p lo 1 :
14
3x  1  5
R esu elva
 5  3x  1  5
 4  3x  6

C. S. =
4
 x  2
3
4


 4

 x  R   x  2    , 2 
 3

3


)
(
-2

4
3
-1
0
1
2
3
E jem pl o 2 :
R esuelva
15
 2  2 x  4  10
2 x  4  10  2
2 x  4  12
 12  2 x  4  12
12  4  2 x  12  4
8  2 x  16
8
2

2x
2

16
2
8
16

2
2x

2
16
2
4  x  8
C. S. = x  R  4  x  8    4, 8 
(
)
-4
8
17
E jem plo 3:
4  2 3x  6  6
2 3 x  6  6 4
2 3x  6  2
2 3x  6
2

2
2
3x  6  1
18
3x  6  1
1  3x  6  1
1  6  3x  1  6
5  3x  7
5
3
5
3

3x

3
 x
7
3
7
3
19
5
 x
3
7
3
5 7
C .S .   , 
3 3
(
)
5/3
7/3
20
Teorema 2:
Si a es un número positivo, entonces
u  a es equivalent
e a u  a ó u  a
u  a es equivalent
e a u  a ó u  a
u
u
-a
0
a
E jem plo 1 :
R esuelva:
21
4 x  3  15
4 x  3   15
ó
4 x  18
x  
9
4 x  3  15
4 x  12
x3
2
9

C.S.=  x  R / x  
2

ó
9 


x  3     , 
2 


]
-6
-5 -4 -3 -2 -1
[
0
1
2
3
4
5
 3,  
E jem plo 2:
22
R esuelv a: 4 x  2  1 0
4 x  2  10
ó
4 x  2  10
4 x   12
4x  8
x  2
x  3
C.S.=    ,  3 
 2,  
]
-6
-5 -4
-3 -2 -1
[
0
1
2
3
4
5
23
Teorema 3:
Si -a es un número negativo entonces,
u  a y
u   a tien en u n
co n ju n to d e so lu cio n es v a cío ,  
Aclaración: Un valor absoluto no puede ser menor
que un número negativo, la desigualdad es inconsistente.
24
Ejemplos:
1. 2 x  6  4

C .S .     
Siempre es falso
2. 7  2 3 x  6  4
2 3x  6  4 7
25
2 3x  6  4  7
2 3x  6  3
3x  6 
3
2
  
C .S . 
  
Siempre es falso
26
Teorema 4:
Si -a es un número negativo, entonces
u   a y u   a so n ciertas p ara
to d o s lo s n ú m ero s reales, esto es
C .S .= R .
27
Ejemplos:
1. 2 x  8   4
  
Siempre es cierto
C .S .  R
2. 8  5 3 x  6  4
5 3x  6  4
5 3 x  6  4
8
28
5 3 x  6  4
5 3x  6
4

5
3x  6 
5
4
5

C .S .  R
Siempre es Cierto
29
Teorema 5:
Si u  0 entonces u  0 ó u  0 . El conjunto
solución es todos los núm eros reales ex cepto el 0.
Si u  0 entonces el conjunto solución es R .
E jem plo 1 :
3x  6  0
C .S .  R
E jem plo 2 :
3x  6  0
C .S .  R   0
Ejercicios: Resuelva la ecuación o la desigualdad.
1. 5 x  10  15
Solución
2. 15 x  10  25
Solución
3. 4  3 x  10  15
Solución
4. 20  4 x  1  15
Solución
5. 5 x  20  15
Solución
6. 8  2 5 x  10  15
Solución
7. 10  4 2 x  10  20
Solución
8. 25 x  100  125
Solución
30
Ejercicios resueltos:
31
1 . 5 x  10  15
5 x  10  15
5 x  15  10
5 x  25
5 x 25

5
5
x 5
ó
5 x  10   15
5 x  15  10
5 x  5
5x
5
x  1

5
5
C . S .   5,  1
Ejercicios
2. 15 x  10  25
15 x  10  25
15 x  25  10
15 x  35
15 x 35

15
15
7
x
3
ó
32
15 x  10   25
15 x  25  10
15 x  15
15 x

15
x  1
15
15
7

C .S .   ,  1 
3

Ejercicios
33
3. 4  3 x  10  15
3 x  10  15  4
3 x  10  11
3 x  10  11
3 x  11  10
3 x  21
ó
3 x  10   11
3 x  11  10
3x  1
Ejercicios
34
3x

3
x7
21
3x
3
3

x
1
3
1
3
1

C .S .   7,  
3

Ejercicios
35
4. 20  4 x  1  15
4 x  1  15  20
4 x  1  5
C .S .  
Es siempre falso, la ecuación
es inconsistente.

Ejercicios
5. 5 x  20  15
36
 15  5 x  20  15
15  20  5 x  15  20
5  5 x  35
5
5

5x

35
5
5
1 x  7
[
1
]
7
C . S .  1, 7 
Ejercicios
6. 8  2 5 x  10  15
37
2 5 x  10  15  8
2 5 x  10  7
 2 5 x  10
2

Es cierto siempre.
7
2
7
5 x  10  
2
C .S .  R
Ejercicios
7. 10  4 2 x  10  20
38
4 2 x  10  20  10
 4 2 x  10  30
 4 2 x  10
4

2 x  10  
30
4
15
Es falso siempre.
C .S . 
  
2
Ejercicios
8. 25 x  100  125
39
 25 x  100  125 ó  25 x  100   125
25 x  125  100
25 x  225
 25 x

225
25
 25
x  9
25 x  125  100
25 x  25
 25 x
 25

 25
 25
x 1
x  9
x 1
)
1
(
9
40
C . S .     ,  9    1,  
Ejercicios
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