UNIDAD No. 2
Métodos de integración
Integración por sustitución
trigonométrica
INTEGRACIÓN MEDIANTE
SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA

Cuando un integrando contiene
potencias enteras de x y potencias
enteras de alguna de las expresiones:
2
2
a  x
a

x
x

a
,
o bien
es posible que se puedan evaluar por
medio de una sustitución
trigonométrica.
2
2
2
2
CASO 1 Integrandos que
contienen a  x
2

2
En este caso utilizaremos la siguiente
representación:
A partir de ella, definimos
a
x

a x
2
2
x  aSen ( )
CASO 2 Integrandos que
contienen a  x
2

2
En este caso utilizaremos la siguiente
representación:
a x
2
A partir de ella, definimos
2
x

a
x  aTan ( )
CASO 3 Integrandos que
contienen x  a
2

2
En este caso utilizaremos la siguiente
representación:
A partir de ella, definimos
x
x a
2

a
2
x  aSec ( )
PROCESO DE INTEGRACIÓN
MEDIANTE SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA

Para resolver una integral mediante
el método de sustitución
trigonométrica hay que seguir el
siguiente proceso:
1.
Proponer la sustitución adecuada.
Reemplazar los términos en la integral a partir de la
sustitución propuesta.
Resolver la integral equivalente obtenida al
reemplazar los términos a partir de la sustitución
propuesta.
Expresar la solución de la integral equivalente en
términos de la sustitución original.
2.
3.
4.
EJEMPLO:

Resolver:
x
dx
16  x
2
Seguiremos paso a paso con el proceso
indicado.
2
2
Como el radical tiene la forma a  x
con a = 4, tenemos una integral del CASO
2 y:
1. El cambio indicado es: x  4 Tan ( )
Con ello, tenemos la siguiente
representación gráfica:
SOLUCIÓN:
16  x
x  4 Tan ( )
dx  4 Sec  d 
2
16  x
2
2
x


16  16 Tan 

16 (1  Tan  )

16 Sec   4 Sec 
2
2
2
4
2.
Reemplazando los términos en la
integral propuesta tenemos:
x
16  x
4 Sec  d 
2
dx

2
 4Tan  4 Sec 
SOLUCIÓN…
Simplificando:
x
x
16  x
16  x
x

 4Tan  4 Sec 

1
2
dx
x
4 Sec  d 
2
dx
2

4
dx
16  x
Sec  d 
Tan 

1

1
2
dx
16  x
2
1 / Cos 

4 Sen  / Cos 
d 
1
1

4 Sen 
d
Csc  d 

4
Esta última representa la integral equivalente.
SOLUCIÓN…
3.
Enseguida procedemos a resolver la integral
equivalente. Como:
 Cscudu
 ln Cscu  Cotu  c
Entonces:
x
4.
dx
16  x

2
1
Csc  d 

4

1
ln Csc   Cot   c
4
Expresando lo anterior en función de los términos
originales, tenemos finalmente que:
x
dx
16  x

2
1
4
ln
16  x
x

4
x
c
PROBLEMAS:

Resolver:
1.
3.
5.

x
2.
2
25  x
x 9
dx
2
4.
2


x
4
dx
1  x dx
2
6.
dx
 (1  x


2
)
9 x
3/2
2
x
dx
x 4
2
dx
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