10/3/2015
SISTEMAS LINEALES
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ALGEBRA MATRICIAL
Norma vectorial y matricial
Una norma vectorial en ℝ es una función es una función . de ℝ en
ℝ con las siguientes propiedades:
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En particular definimos:
La norma 2 es la que se denomina norma euclídea
2
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Desigualdad de Cauchy- Schwarz
Para todo  = 1 , … ,  e  = 1 , … ,  ∈ ℝ  :
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Distancia
Dados dos vectores de ℝ se define la distancia entre ellos como la
norma de la diferencia. Así tenemos:
Definición
Se dice que una sucesión   ≥1 de vectores de ℝ converge a x
respecto de la norma . si ∀ >  ∃   tal que:
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Teorema
Para todo  ∈ ℝ se verifica:
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Demostración (en clase).
La siguiente figura muestra el resultado anterior cuando n=2
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Definición
Una norma matricial sobre el conjunto de las matrices de nxn es
una función de valor real . que satisface:
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La distancia entre dos matrices se define como :  −  .
Propiedad
Si . es una norma vectorial en ℝ entonces:
Es una norma matricial.
A esta norma se la llama norma natural o inducida por la norma
vectorial
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Corolario
Para todo vector  ≠
0 ,        . :
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Las normas que veremos son:
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Para el caso n=2 y la matriz igual a:
Tenemos la siguiente interpretación gráfica:
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Teorema
Si  =  es una matriz nxn, entonces:
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Ejemplo
Calcular 
∞
siendo :
Autovalores de una matriz
Si A es una matriz cuadrada el polinomio definido por:
Se denomina polinomio característico de A y los ceros de éste son
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los Autovalores o valores propios de la matriz A
Definición
Radio espectral
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Si          ≠ 0    :
 −   = 0 entonces x se denomina autovector o vector propio de A,
asociado al autovalor 
El radio espectral de una matriz A se define como:
Teorema
Si A es una matriz nxn entonces:
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Ejemplo
∞
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Calcule:
i) El radio espectral de A
ii) Calcule  2
iii) Verifique que:   ≤ 
Siendo
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Métodos iterativos para resolver sistemas lineales
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Veremos los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel, que datan de fines del
siglo XVIII.
Un método iterativo con el cual se resuelve el sistema lineal A.x=b
comienza con una aproximación lineal  0 y genera una sucesión de
vectores   ≥0 que converge a x, siendo x la solución del sistema.
Básicamente consisten en convertir el sistema A.x=b en otro
equivalente de la forma x=T.x+c para alguna matriz fija T y un vector
fijo c.
Luego de seleccionar el vector inicial  0 , la sucesión de los vectores de
la solución aproximada se genera calculando:
Ejemplo:
Resolver por el método de Jacobi
el siguiente sistema, iterar hasta
Que:

+1
= 

+c
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La siguiente tabla muestra los resultados de las sucesivas iteraciones
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Podemos observar que:
Y además:
1
Siendo  = 2 la solución real del sistema
−1
1
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Ejemplo
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Resolver por el método de Gauss-Seidel el sistema, del ejercicio
anterior.
¿Cuántas iteraciones son necesarias para obtener la misma precisión?
La siguiente tabla muestra las cinco primeras iteraciones del método
tomando como semilla el vector nulo.
Observamos que:
Esto quiere decir que el método de Gauss- Seidel requirió la mitad de14
las iteraciones que Jacobi para obtener la misma precisión!!!!
Convergencia de los métodos iterativos
El método de Jacobi se puede escribir de la forma
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Escribiendo la matriz
De la forma:
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Luego:
La ecuación A.x=b se puede reescribir como:
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Si existe  −1 (es decir si  ≠ 0) tenemos:
Luego el método de Jacobi se puede escribir como:
Si llamamos:
Tenemos:
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En el ejemplo anterior tenemos:
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Para el método de Gauss-Seidel dado que actualizamos los valores,
tenemos:
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Siguiendo la notación anterior tenemos:
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Y
Llamando
El método de Gauss-Seidel se puede escribir como:
Para que exista  − 
−1
    ≠ 0
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Dado que ambos métodos se han escrito de la forma:
para 
0

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Veremos las condiciones que debe cumplir la matriz T para asegurar la
convergencia del método.
Teorema
Para cualquier 
0
∈ ℝ , la sucesión 
Converge a la única solución de

≥0
definida por
si y solo si   < 1
Corolario
Si  < 1       es un vector cualquiera,
entonces la sucesión   ≥0 definida por
Converge a la única solución de
válidas:
y las siguientes cotas son
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Otras propiedades interesantes para investigar la
convergencia:
Definición previa.
Se dice que la matriz A de n x n es estrictamente
diagonal dominante por filas cuando se satisface:
Se dice que la matriz A de n x n es estrictamente
diagonal dominante por columnas cuando se
satisface: , > =1,≠ , , ∀ = 1, … , 
Una matriz es estrictamente diagonal dominante,
cuando lo es por filas o por columnas.
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Teorema
Si A es estrictamente diagonal dominante, entonces para
cualquier elección de   el método de Jacobi y Gauss-Seidel

≥0
que converge a la única solución
Teorema
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generan una sucesión 
del sistema A.x=b.
Si  ≤     ≠    >  ∀ = ,  … . , ,  á
á   ó     :
La parte i) indica que cuando un método da convergencia
entonces ambos la dan y el método de Gauss-Seidel converge mas
rápidamente que el de Jacobi. La parte ii) indica que, cuando un
método diverge, entonces ambos divergen y la divergencia es más
rápida en el método de Gauss-Seidel.
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