Cálculo de la matriz inversa de una dada
por el
método de Gauss
 15

9

 5

La matriz inversa de
 15

9

 5

8
5
3
8
5
3
3  1
 
2  1
 
1    2
3

2

1 
es
1
0
5
 1

1

 2

1   1
 
3  0
 
 3   0
0
1
0
1
0
5
0

0

1 
¿Cómo se encuentra la matriz inversa de una dada?
Hay varios procedimientos. Uno es el método de Gauss.
1 

3

 3 
pues
Método de GAUSS:
1) A partir de la matriz A se construye la matriz (A/I)
2) Mediante trasformaciones adecuadas se construye la matriz (I/B)
3) B es la matriz inversa buscada.
 15

9

 5

8
3
1
0
5
2
0
1
3
1
0
0
0

0  ..................................... 

Fi  aFi  bF j , a  0
1 
1

0

0

0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
2
5
Con trasformaciones tipo
Fi  aF i  bF j ,
a0
el método garantiza que
B  A
1
 1

 1

 2

1
0
5
1 

3

 3 
1 

3

 3 
CONSEJOS:
1) Buscar los “ceros” de cada columna trabajando con las filas.
2) Buscar los “unos” efectuando la trasformación adecuada con b=0.
3) a es el coeficiente de Fj y b es el coeficiente de Fi, uno de ellos
cambiado de signo.
 15

9

 5

8
3
1
0
5
2
0
1
3
1
0

F1  F1  8 F 2
0
0

0

1 
F2  15 F2  9 F
F3  15 F3  5 F1
 15 0

0 1

0 0

5

1
o
bien F 2  5 F 2  3 F1
o bien F3  3 F3  F1
 40 0 

1 3 5
0

1 2
 5 3 
25

1
15
F3   F
F1  F1  5 F3
 15 0

0 1

0 0

8
3
1
0
1
1
3
5
1
0
1
0
0
15
 15
0
1
0
1
2
5
0

0
3 
 15 

3

3 
F 2  F 2  F3
F3  F3  F 2
F1 

 15

 0
 0

F3
3
1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1 

1 0
3

 2 5  3 
1

A
1
 1

 1

 2

1
0
5
1 

3

 3 
 15

9

 5

8
3
1
0
5
2
0
1
3
1
0
0
 15

0

 0

 15

 0
 0

0

0

1 
0
0
15
 15
1
0
1
0
0
1
2
5
8
3
1
0
1
1
3
5
1
0
1
0
 15

0

 0

0

0
3 
1 0 0

0 1 0

0 0 1

 15 

3

3 

Debe comprobarse que
1
A A  I
A
1
0
5
25
 40
1
1
3
5
0
1
2
5
0

0

3 
1 1 

1 0
3

 2 5  3 
1
 1 1 1 


 1 0
3


 2 5 3 


APLICACIONES:
1) Si es requerida directamente:
Calcular la matriz inversa de
 15

A 9

 5

3

2

1 
8
5
3
2) Para resolver ecuaciones matriciales:
Resolver la ecuación matricial
A X B  C
3) Para resolver matricialmente “algunos” sistemas de ecuaciones:
Resolver matricialmente el sistema de ecuaciones lineales siguiente:
2x

3y

7
3x

2y

8
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MATRICIALES: ejemplo
A X B  C 
XB  C  A 
 XB  B
X (BB
1
 C  A  B
1
)  C  A  B
XI  C  A  B
X  (C  A ) B
1
1

1

1
Todas las matrices son conocidas salvo X

Pero, lógicamente, hay otros posibles enunciados. Por ejemplo
XA  2B  C  X  C  2B  A
1
X  A  B  C  X  (B  C )  A
A. X  B  0  X  A
1
1
B 
1
A  B. X  I  X  B ( I  A)
X  A  B  C  X  ( C  B ). A
1
A  X  B  C  X  A .C . B
2 X  A  B  3C  X 
1
2
1
1
 3C
 B A
1
A BX C  X  B
1
C
 A
1
A  B. X  I  X  B ( I  A)
A. X  B  0  X  A
1
B 
A  X  AB  B  X  A
2
2
1
  B  AB 
X . A  B  C  X  (C  B ) A
................y más.
1
RESOLUCIÓN DE ALGUNOS SISTEMAS MATRICIALMENTE: ejemplo
2

3
2x

3y

7
3x

2y

8
 3  x   7 
     
 2  y   8 
 x 2
 
 y 3
 4

 x   10
 
 y   3

 5
3 

2 
1
7
 
8
6 

10  7 
 
2 8

5 
 2 



1


x  2
 
 y  1
SOLAMENTE podremos resolver matricialmente aquellos sistemas
cuya matriz de coeficientes admita inversa.
Ejemplo 1:
2x

3y

5z

2
x

y

z

5
La matriz de los coeficientes no es cuadrada
Ejemplo 2:
2x

y

5z

2
x

2y

2z

2
x

y

z

0
La matriz de los coeficientes es cuadrada pero no tiene inversa
pues:
2x

y

5z

2
x

2y

2z

2
x

y

z

0
1

2
1

2
1
1
1

2

1


 2  x    2 
  

5  y    2 
1   z   0 
2
2
1
0
1
5
0
1
1
1
0
0

F1  3 F1  2 F2
F3  3 F3  F2
0

0

1 
3

0

0

x

2y

2z

2
2x

y

5z

2
x

y

z

0
1
 x 1
  
y  2
  
 z  1
  
2
1
2 

5

1 
1

0

0

2
2
1
0
3
9
2
1
1
3
1
0

F2  F2  2 F
1
F3  F3  F1
0
12
1
2
3
9
2
1
0
0
1
1
1
 2 


2


 0 


0

0  im posible

3 
Podemos alterar el orden de las ecuaciones
0

0

1 
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