ANOVA PARA UN FACTOR
PRINCIPAL Y UNO O MAS
FACTORES DE BLOQUEO
P. Reyes / Marzo 2003
1
ANOVA - CONTENIDO

ANOVA DE UN FACTOR O DIRECCIÓN

ANOVA DE UN FACTOR Y UN FACTOR DE BLOQUEO


ANOVA DE UN FACTOR Y DOS FACTORES DE
BLOQUEO – CUADRADO LATINO
ANOVA DE UN FACTOR Y TRES FACTORES DE
BLOQUEO – CUADRADO GRECOLATINO
2
ANOVA PARA UN FACTOR
O DIRECCIÓN
3
ANOVA – Prueba de hipótesis para
probar la igualdad de medias de
varias poblaciones para un factor
Se trata de probar si el efecto de un factor o
Tratamiento en la respuesta de un proceso o sistema es
Significativo, al realizar experimentos variando
Los niveles de ese factor (Temp. 1, Temp. 2, Temp.3, etc.)
Ho :  1   2   3  .........   a
Ha : A lg unas . ' s .son .diferentes
4
ANOVA - Condiciones

Todas las poblaciones son normales

Todas las poblaciones tiene la misma varianza


Los errores son independientes con distribución
normal de media cero
La varianza se mantiene constante para todos los
niveles del factor
5
ANOVA – Ejemplo de datos
Niveles del Factor Peso % de algodón y Resistencia de tela
Peso porc.
de algodón
15
20
25
30
35
Respuesta
Resistencia de la tela
7
7
15
12
17
12
14
18
18
19
25
22
7
10
11
11
18
19
19
15
9
18
19
23
11
6
ANOVA – Suma de
cuadrados total
Xij
Gran media
Xij
a
SCT

 
i 1
2
b
j 1
( Xij  X )
7
ANOVA – Suma de cuadrados de
renglones (a)-tratamientos
Media Trat. 1
Media Trat. a
a renglones
Gran media
a
Media trat. 2
SCTr 
 b( X
i
X)
i 1
8
2
ANOVA – Suma de cuadrados
del error
X2j
X1j
X3j
Media X1.
Media X3.
Media X2.
Muestra 1
Muestra 2
a
SCE 
b
  (X
i 1
Muestra 3
j 1
ij
 X i)
2
9
ANOVA – Suma de cuadrados
del error
X2j
X1j
X3j
Media X1.
Media X2.
Muestra 1
Muestra 2
SCE  SCT  SCTr
Media X3.
Muestra 3
10
ANOVA – Grados de libertad:
Totales, Tratamientos, Error
gl .SCT  n  1
gl .SCTr  a  1
gl .SCE  ( n  1)  ( a  1)  n  a
11
ANOVA – Cuadrados medios:
Total, Tratamiento y Error
MCT
MCTr
 SCT /( n  1)
 SCTr /( a  1)
MCE  SCE /( n  a )
12
ANOVA – Cálculo del estadístico
Fc y Fexcel
Fc 
MCTr
MCE
Fexcel  FINV
ALFA , gl . SCTr , gl . SCE
13
Tabla final de ANOVA
TABLA DE ANOVA
FUENTE DE VARIACIÓN
SUMA DE GRADOS DE CUADRADO
CUADRADOS LIBERTAD MEDIO
Entre muestras (tratam.)
SCTR
a-1
CMTR
Dentro de muestras (error)
SCE
n-a
CME
Variación total
SCT
n-1
CMT
VALOR F
CMTR/CME
Regla: Rechazar Ho si la Fc de la muestra es mayor que la F de Excel para una cierta alfa
o si el valor p correspondiente a la Fc es menor al valor de alfa especificado
14
ANOVA – Toma de decisión
Distribución F
Fexcel
Alfa
Zona de no rechazo de Ho
O de no aceptar Ha
Zona de rechazo
De Ho o aceptar Ha
Fc
15
ANOVA – Toma de decisión
Si Fc es mayor que Fexcel se rechaza Ho
Aceptando Ha donde las medias son diferentes
O si el valor de p correspondiente a Fc es
menor de Alfa se rechaza Ho
16
ANOVA – Identificar las medias
diferentes por Prueba de Tukey T
T  q , a , n  a
CME
b
Para diseños balanceado
(mismo número de columnas
en los tratamientos) el valor
de q se determina por medio
de la tabla en el libro de texto
17
ANOVA – Identificar las medias
diferentes por Prueba de Tukey T
Se calcula la diferencia Di entre cada par de Medias Xi’s:
D1 = X1 – X2
D2 = X1 – X3 D3 = X2 – X3 etc.
Cada una de las diferencias Di se comparan con el
valor de T, si lo exceden entonces la diferencia es
Significativa de otra forma se considera que las medias
Son iguales
18
ANOVA – Identificar las medias
diferentes por Prueba de Diferencia
Mínima Significativa DMS
DMS 
2 ( CME ) F ,1, n  a
b
Para diseños balanceados (los tratamientos
tienen igual no. De columnas), se calcula un
factor DMS contra el que se comparan las
diferencias Xi – Xi’. Significativas si lo exceden
19
Prueba DMS para Diseños no
balanceados
DMS
j ,k

1
1
   ( CME ) F , a 1, n  a
 b j b k 
Para diseños no balanceados (los
tratamientos tienen diferente no. De
columnas), se calcula un factor DMS
Para cada una de las diferencias Xi – Xi’
20
ANOVA PARA UN FACTOR
PRINCIPAL Y UN FACTOR DE
BLOQUEO
21
ANOVA – Prueba de hipótesis para
probar la igualdad de medias de
varias poblaciones con dos factores
Se trata de probar si el efecto de un factor o
Tratamiento en la respuesta de un proceso o sistema es
Significativo, al realizar experimentos variando
Los niveles de ese factor (Temp.1, Temp.2, etc.)
POR RENGLON
Y
Considerando los niveles de otro factor que se piensa
Que tiene influencia en la prueba – FACTOR DE BLOQUEO
POR COLUMNA
22
ANOVA – Prueba de hipótesis para
probar la igualdad de medias de
varias poblaciones con dos factores
Para el tratamiento – en renglones
Ho :  1   2   3  .........   a
Ha : A lg unas . ' s . son .diferentes
Para el factor de bloqueo – en columnas
Ho :  '1   ' 2   ' 3  .........   ' a
Ha : A lg unas .  ' s . son .diferentes
23
ANOVA 2 Factores - Ejemplo
Maquinas
Maq 1
Maq 2
Maq 3
Experiencia en años de los operadores
1
2
3
4
5
27
31
42
38
45
21
33
39
41
46
25
35
39
37
45
24
ANOVA – Dos factores o
direcciones



La SCT y SCTr (renlgones) se determina de la
misma forma que para la ANOVA de una
dirección o factor
En forma adicional se determina la suma de
cuadrados del factor de bloqueo (columnas) de
forma similar a la de los renglones
La SCE = SCT – SCTr - SCBl
25
ANOVA de 2 factores – Suma de
cuadrados, gl. y Cuadrado medio
para el factor de bloqueo (en cols)
b
SCBl 
 a( X
j
 X)
2
j 1
gl . SCBl  b  1
CMBl  SCBl /( b  1)
26
ANOVA de 2 factores – Suma de
cuadrados, gl. y Cuadrado medio
para el error
SCE  SCT  SCTr  SCBl
gl . SCE  ( n  a )( n  b )
CME  SCBl /( n  a )( n  b )
27
ANOVA – Cálculo del estadístico
Fc y Fexcel
Fc 
MCTr
MCE
Fexcel  FINV
ALFA , gl . SCTr , gl . SCE
28
ANOVA de 2 factores – Cálculo del
estadístico Fcbl y Fexcel bloques
(columnas)
Fc 
MCBl
MCE
Fexcel  FINV
ALFA , gl . SCBl , gl . SCE
29
Tabla final ANOVA 2 Factores
FUENTE DE VARIACIÓN
SUMA DE GRADOS DE CUADRADO
CUADRADOS LIBERTAD MEDIO
VALOR F
Entre muestras (tratam.)
SCTR
a-1
CMTR
CMTR/CME
Entre Bloques (Factor Bl)
SCBl
b-1
CMBL
CMBL/CME
Dentro de muestras (error)
SCE
(a-1)(b-1)
CME
Variación total
SCT
n-1
CMT
Regla: No rechazar si la F de la muestra es menor que la F de Excel para una cierta alfa
30
ANOVA – 2 F. Toma de decisión
Distribución F
Fexcel
Alfa
Zona de no rechazo de Ho
O de no aceptar Ha
Fc
Tr o Bl
Zona de rechazo
De Ho o aceptar Ha
31
ANOVA – 2 F. Toma de decisión
Si Fc (Tr o Bl) es mayor que Fexcel se rechaza
Ho Aceptando Ha donde las medias son
diferentes
O si el valor de p correspondiente a Fc (Tr o Bl)
es menor de Alfa se rechaza Ho
32
Cálculo de los residuales
y
ˆ ij  y i .  y . j  y ..
Y estimada
e ij  y ij  y
ˆ ij
Error o residuo
MSE
Error estándar
s yi. 
b
R k  r0 . 05 , k , gl . MSE * s y i . Factor de comparación
Si la diferencia de medias excede a Rk es significativa
33
Adecuación del modelo


Los residuales deben seguir una recta en la gráfica
normal
Deben mostrar patrones aleatorios en las gráficas de
los residuos contra el orden de las Yij, contra los
valores estimados y contra los valores reales Yij
34
ANOVA PARA UN FACTOR
PRINCIPAL Y DOS O TRES
FACTORES DE BLOQUEO
CUADRADO LATINO Y
GRECOLATINO
35
ANOVA – 3 y 4 factores



El diseño de Cuadrado latino utiliza dos
factores de bloqueo adicionales al de
Tratamiento
EL diseño de Cuadrado Grecolatino utiliza tres
factores adicionales al del Tratamiento
El cálculo de suma de cuadrados para
renglones y para columnas es similar al de
ANOVA de un factor principal y otro de
bloqueo
36
Cuadrado Latino
Años exp.
Empleado
1
Mañana
B=15
Turno
Tarde
A=18
Noche
C=11
2
C=12
B=20
A=9
3
A=17
A, B, C = Máquinas 1, 2 y 3
C=19
B=10
37
ANOVA – Cuadrado Latino:
Factor principal (A,B,C,D)
b
SCTr 
 a( X
Tr
 X)
2
j 1
gl . SCTr  a  1  b  1
CMTr  SCTr /( b  1)
38
ANOVA – Cuadrado Latino: Cálculo
del error
SCE  SCT  SCTcol  SC Re ng  SCTr
gl . SCE  ( a  2 )( a  1)
CME  SCE /( a  2 )( a  1)
39
ANOVA – Cálculo del estadístico
Fc y Fexcel
Fc 
MCTr
MCE
Fexcel  FINV
ALFA , gl . SCTr , gl . SCE
40
ANOVA – Cuadrado Latino Reng / Col
Fcreng

MC Re ng
MCE
Fcols 
MCCols
MCE
Fexcel  FINV
ALFA , gl . SCBl , gl . SCE
41
Tabla final ANOVA 2 Factores
FUENTE DE VARIACIÓN
SUMA DE GRADOS DE CUADRADO
CUADRADOS LIBERTAD MEDIO
VALOR F
Renglores
SCRen
a-1
CMRen
CMRen/CME
Columnas
SCCol
b-1
CMCol
CMCol/CME
Tratamiento
SCTr
a-1
CMTr
CMTr/CME
Dentro de muestras (error)
SCE
(a-2)(a-1)
CME
Variación total
SCT
n-1
CMT
42
Cuadrado latino en Minitab




Se introducen las respuestas en una columna C1
Se introducen los subíndices de los renglones en una
columna C2
Se introducen los subíndices de las columnas en una
columna C3
Se introducen las letras mayúsculas que indican el
nivel del factor (A, B, C, D, etc.) correspondientes a
cada respuesta en la columna C4
43
Cuadrado latino en Minitab

Opción: ANOVA – General linear model

En Response indicar la col. De Respuesta,

En Model indicar las columnas de los factores y


En Random factors indicar los factores adicionales al
del efecto principal a probar (A, B, C, D). Se pueden
pedir interacciones entre factores x – y con Cx*Cy
Pedir gráfica de residuales Normal y vs fits y orden
44
Cuadrado Greco Latino
Experiencia de los operadores
Lotes MP
1
2
3
4
5
1
Aa=-1
Bc=-5
Ce=-6
Db=-1
Ed=-1
2
Bb=-8
Cd=-1
Da=5
Ec=2
Ae=11
3
Cc=-7
De=13
Eb=1
Ad=2
Ba=-4
4
Dd=1
Ea=6
Ac=1
Be=-2
Cb=-3
5
Ee=-3
Ab=5
Bd=-5
Ca=4
Dc=6
a, b, c y d son 5 diferentes tipos de montaje
A, B, C, D y E son las 5 formulaciones a probar
45
Cuadrado Greco latino en Minitab





Se introducen las respuestas en una columna C1
Se introducen los subíndices de los renglones en una
columna C2
Se introducen los subíndices de las columnas en una
columna C3
Introducir los subíndices del factor adicional de letras
griegas con letras latinas minúsculas (a,b,c,d,e) en C4
Se introducen las letras mayúsculas que indican el nivel
del factor (A, B, C, D, etc.) correspondientes a cada
respuesta en la columna C5
46
Cuadrado Greco latino en Minitab

Opción: ANOVA – General linear model

En Response indicar la col. De Respuesta,

En Model indicar las columnas de los factores y


En Random factors indicar los factores adicionales al del
efecto principal a probar (A, B, C, D). También se
pueden indicar interacciones entre factores x-y con Cx *
Cy
Pedir gráfica de residuales Normal y vs fits y orden 47
ANOVA – Cuadrado Grecolatino
b
SCG 
 a( X
m
 X)
2
m 1
gl . SCG  b  1
CMG  SCG /( b  1)
48
ANOVA de 2 factores – Suma de
cuadrados, gl. y Cuadrado medio
para el error
SCE  SCT  SCTr  SCG  SC Re n  SCCol
gl .SCE  ( a  3 )( a  1)
CME  SCE /( a  3 )( a  1)
49
ANOVA – Cálculo del estadístico
Fc y Fexcel
Fc 
MCG
MCE
Fexcel  FINV
ALFA , gl . SCTr , gl . SCE
50
ANOVA – Cuadrado Grecolatino
Fc 
MCTr
MCE
Fexcel  FINV
ALFA , gl . SCBl , gl . SCE
51
Tabla final ANOVA 2 Factores
FUENTE DE VARIACIÓN
SUMA DE GRADOS DE CUADRADO
CUADRADOS LIBERTAD MEDIO
VALOR F
Renglores
SCRen
a-1
CMRen
CMRen/CME
Columnas
Letras griegas
Tratamiento
SCCol
SCG
SCTr
b-1
a-1
a-1
CMCol
CMG
CMTr
CMCol/CME
CMG/CME
CMTr/CME
Dentro de muestras (error)
SCE
(a-3)(a-1)
CME
Variación total
SCT
n-1
CMT
52
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