PPTCEG022EM32-A15V1
EM-32
Ubicación de puntos, distancias y
longitudes en el plano cartesiano
Aprendizajes esperados
• Comprender el plano cartesiano como una herramienta matemática
que permite determinar y comparar posiciones de puntos y figuras,
pudiendo establecer longitudes y distancias.
• Identificar los elementos del plano cartesiano: ejes, cuadrantes,
puntos.
• Ubicar puntos y figuras en el plano cartesiano.
• Determinar la distancia entre dos puntos ubicados en el plano
cartesiano.
• Determinar el punto medio entre dos puntos ubicados en el plano
cartesiano.
• Aplicar conceptos geométricos en el plano cartesiano.
Síntesis de la clase anterior
Círculo
Elementos
Circunferencia
Área y perímetro
Radio
Ángulos
Diámetro
Cuerda
Secante
Del Centro
Inscrito
Interior
Exterior
Tangente
Arco
Semi
circunferencia
Cuadrilátero
inscrito
Pregunta oficial PSU
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.
1. Ubicando puntos en el plano
2. Distancias y longitudes
3. Punto medio
1. Ubicando puntos en el plano
Plano Cartesiano
El famoso filósofo y matemático, René Descartes, queriendo trabajar con
elementos del plano (puntos, rectas, polígonos, etc.) en forma exacta,
propuso coordenarlo, es decir, crear un sistema de referencia que
fácilmente permita determinar la posición de un elemento.
1. Ubicando puntos en el plano
Sistema de referencia
¿Dónde está ubicado el punto (2, 4)?
¿y el punto (– 6, – 4)?
7
6
5
4
(2, 4)
3
2
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-2
-3
-4
(– 6, – 4)
-5
-6
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
1. Ubicando puntos en el plano
Elementos del plano
Eje de las ordenadas (Y)
Cuadrante II
Eje de las abscisas (X)
7
6
5
4
(2, 4)
Punto de abscisa 2
y ordenada 4.
3
2
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-2
-3
-4
(– 6, – 4)
-5
-6
Cuadrante III
Cuadrante I
1
2
3
4
Origen: (0,
5
6
7
8
9 10
0)
Cuadrante IV
1. Ubicando puntos en el plano
Elementos del plano
En forma general, para los cálculos en el plano y en el espacio se
tendrá lo siguiente:
Eje de ordenadas (Y)
P2(x2, y2)
y2
P1(x1, y1)
y1
Eje de abscisas (X)
x1
Un punto cualquiera se
representa como (x1, y1)
x2
Otro punto cualquiera tendrá
coordenadas (x2, y2)
Ejemplos
¿Cómo ubicarías un triángulo de vértices A(–3, –2), B(1, 6) y C(5, –2)
en el plano?
¿Podrías calcular el área
del triángulo?
y
7
6
5
B
4
3
2
J
1
N
x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
-2
A
¿Cuáles serán los vértices
del triángulo NSJ?
-5
4
5
C
-3
-4
3
S
6
7
8
9 10
2. Distancias y longitudes
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
se puede establecer por medio del teorema de Pitágoras.
Eje de ordenadas (Y)
P2(x2, y2)
y2
d
(y2 – y1)
P1(x1, y1)
y1
Eje de abscisas (X)
x1
x2
(x2 – x1)
¿Qué podríamos deducir de acuerdo al teorema de Pitágoras?
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
2. Distancias y longitudes
Distancia entre dos puntos
Por lo tanto, la distancia entre dos puntos, P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
del plano, se puede obtener a través de la siguiente fórmula:
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Si dos puntos difieren solo en una de sus coordenadas, la distancia
entre ellos es el valor absoluto de su diferencia.
Ejemplo:
La distancia entre (4, 6) y (– 5, 6) es:
| – 5 – 4| = | – 9| = 9
Ejemplo
x1 y1 x2 y2
¿Cuál es la distancia entre los puntos (– 3, 4) y (9, – 1)?
d2 = (9 – (– 3))2 + (– 1 – 4)2
d2 = (9 + 3)2 + (– 5)2
d2 = 144 + 25
d2 = 169
d = 13
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Ejemplo
¿Cuál es su representación gráfica?
y
(– 3, 4)
7
6
5
4
3
2
1
d
x
-3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(9, – 1)
¿Podrías determinar la distancia d solo utilizando el teorema de Pitágoras?
3. Punto medio
Punto medio entre dos puntos
El punto medio M entre dos puntos del plano, P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2),
se obtiene a través de la siguiente fórmula:
M=
x1 + x2
y + y2
, 1
2
2
Ejemplo
x1 y1 x2 y2
¿Cuál es el punto medio entre los puntos (– 3, 4) y (9, – 1)?
M=
–3+9 4+–1
,
2
2
 3
M   3, 
 2
M=
x1 + x2
y + y2
, 1
2
2
Ejemplo
¿Cuál es su representación gráfica?
y
(– 3, 4)
7
6
5
4
3
2
1
 3
M   3, 
 2
x
-3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
8 9
(9, – 1)
Pregunta oficial PSU
ALTERNATIVA
CORRECTA
A
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
1
E
Transformaciones isométricas
Aplicación
2
A
Transformaciones isométricas
Aplicación
3
C
Transformaciones isométricas
Aplicación
4
E
Transformaciones isométricas
ASE
5
B
Transformaciones isométricas
ASE
6
A
Transformaciones isométricas
ASE
7
C
Transformaciones isométricas
ASE
8
E
Transformaciones isométricas
Aplicación
9
E
Transformaciones isométricas
ASE
10
C
Geometría analítica
ASE
11
C
Geometría analítica
Aplicación
12
B
Geometría analítica
Aplicación
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
13
C
Geometría analítica
ASE
14
D
Geometría analítica
Aplicación
15
C
Geometría analítica
Aplicación
16
D
Geometría analítica
ASE
17
C
Geometría analítica
ASE
18
D
Geometría analítica
ASE
19
A
Geometría analítica
Aplicación
20
D
Geometría analítica
ASE
21
A
Geometría analítica
Aplicación
22
B
Geometría analítica
ASE
23
C
Geometría analítica
ASE
24
A
Transformaciones isométricas
ASE
25
D
Transformaciones isométricas
ASE
Síntesis de la clase
Plano Cartesiano
Elementos del Plano
Ejes Cartesianos,
Abscisas y ordenadas
Cuadrantes
Origen
Distancia y longitudes
Punto medio
Ubicación
de puntos en el plano
Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremos
Traslación y vectores en el plano
Equipo Editorial
Matemática
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