PPTCES034MT22-A15V1
MT-22
Posiciones relativas de rectas
y planos en el espacio
Resumen de la clase anterior
Sistema tridimensional
Vector
en el espacio
z
Módulo
de un vector
v 
x y z
2
2
Distancia entre
dos puntos
Si A(x 1 , y 1 , z 1 ) y B(x 2 , y 2 , z 2 )
Punto medio
2
 x  x 2 y1  y 2 z1  z 2
M   1
,
,
2
2
2

d AB  AB 
x: abscisa
y: ordenada
z: cota
x
 x 1    y 2  y 1   z 2  z 1 
2
2
2
2
Ecuación vectorial
 x, y, z   A
 t(B  A)



Aprendizajes esperados
• Comprender qué rectas y planos pueden ser representados en el
sistema coordenado tridimensional y determinar la representación
cartesiana y vectorial de la ecuación de la recta y del plano en el
espacio.
Pregunta oficial PSU
57. En la figura, se tienen los puntos A(0, 0, 1), B(1, 0, 0) y C(0, 1, 0).
Si M es el punto medio del trazo BC y O es el origen del sistema de ejes
coordenados, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El plano que pasa por O, A y M es perpendicular al que pasa por O, B y C.
II) El plano que pasa por O, A y B es perpendicular al que pasa por A, B y C.
III) El plano que pasa por O, A y B es perpendicular al que pasa por O, A y C.
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014.
• Características del cubo
• Planos en el espacio
• Posiciones relativas de rectas
y planos en el espacio
Características del cubo
N° de vértices = 8
N° de aristas = 12
arista
N° de caras = 6
Área
= 6 · arista2
Volumen
= arista3
Diagonal
= arista 3
Diagonal de una de sus caras = arista 2
Características del cubo
Ejemplo:
Si la arista de un cubo mide 5 cm, entonces
Área
= 6 · 52 = 150 cm²
5 cm
Volumen
= 53 = 125 cm³
Diagonal
= 5 3 cm
Diagonal de una de sus caras = 5 2 cm
Características del cubo
Paralelismo y perpendicularidad
• Las caras opuestas son siempre paralelas
• Dos caras consecutivas son perpendiculares.
• Una arista es siempre paralela a otras tres.
Ejemplo:
Características del cubo
El cubo en el espacio
Ejemplo:
Una de las aristas de un cubo tiene sus extremos en las
coordenadas A(3, 4, – 1) y B(3, 4, 3). ¿Cuál es el área del cubo?
Como los puntos mencionados solo varían en la cota, entonces se
puede obtener la medida de la arista analíticamente.
z
3
Área
B(3, 4, 3)
= 6 · arista2
= 6 · 42
4
Arista
=4
3
x
–1
A(3, 4, – 1)
y
= 6 · 16
= 96
Planos en el espacio
Ecuación general del plano
: Ax + By + Cz + D = 0
Si un punto (a, b, c) pertenece al plano  entonces:
A·a + B·b + C·c + D = 0
Ejemplo:
Los puntos A(1, – 1, 3) y B(0, 1, – 1) pertenecen al plano de
ecuación : 2x + 3y + z – 2 = 0, ya que:
2·1 + 3·(– 1) + 3 – 2 = 0
2·0 + 3·(1) + (– 1) – 2 = 0
Planos en el espacio
Ecuación general del plano
Además, el plano de ecuación 2x + 3y + z – 2 = 0, intersecta a los
ejes en los puntos:
 2

 0, , 0 
 3

(0, 0, 2),
y (1, 0, 0)
z
|
5
|
|
A 3
|
|
|
|
|
|
–2
|
x
|
-1
|
|
|
|
2
1–1
|
|
|
y
4
|
–6
|
B
A(1, – 1, 3)
B(0, 1, – 1)
Planos en el espacio
Ecuación vectorial del plano
La ecuación vectorial de un plano que contiene los puntos
P0(x0, y0, z0), P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) está dada por:
(x, y, z) = P0 + λ·(P1 – P0) + μ·(P2 – P0)
Con λ, μ ∈ ℝ
Ejemplo:
La ecuación vectorial de un plano que contiene los puntos P0(4, 3, 2),
P1(1, 3, 5) y P2(0, 3, 2) está dada por:
(x, y, z) = (4, 3, 2)+ λ·((1, 3, 5) – (4, 3, 2)) + μ·((0, 3, 2) – (4, 3, 2))
(x, y, z) = (4, 3, 2)+ λ·(– 3, 0, 3) + μ·(– 4, 0, 0)
λ yμ∈ℝ
Planos en el espacio
Ecuaciones paramétrica del plano
Si los puntos P0(x0, y0, z0), P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2)
son puntos de un plano, entonces:
x = x0 + λ·(x1 – x0) + μ·(x2 – x0)
y = y0 + λ·(y1 – y0) + μ·(y2 – y0)
λ yμ∈ℝ
z = z0 + λ·(z1 – z0) + μ·(z2 – z0)
Ejemplo:
Las ecuaciones paramétricas del plano que contiene a los puntos
P0(4, 3, 2), P1(1, 3, 5) y P2(0, 3, 2) es
x = 4 + λ·(1 – 4) + μ·(0 – 4)
x = 4 – 3λ – 4μ
y = 3 + λ·(3 – 3) + μ·(3 – 3)
y=3
z = 2 + λ·(5 – 2) + μ·(2 – 2)
z = 2 + 3λ
Planos en el espacio
Ecuaciones paramétricas del plano
x = 4 – 3λ – 4μ
P0(4, 3, 2)
z
y=3
5
z = 2 + 3λ
P2
Si λ = 1 y μ = 1
x=4–3–4=–3
y=3
z=2+3=5
P1
1
P0
3
P1(1, 3, 5)
P2(0, 3, 2)
y
4
x
Por lo tanto, el punto (– 3, 3, 5) también es un punto del plano.
Posiciones relativas de rectas en el espacio
Vector director
Dados dos puntos del plano, P1(a, b, c) y P2(e, f, g), el vector director
es el que va desde P1 hasta P2, y está determinado por:

d  (e – a, f – b, g – c)
Ejemplo:
El vector director que va desde P1 (2, 4, 3) hasta P2 (1, – 2 , 5) es
d  (1  2,  2  4, 5  3)
P1 P2  (  1, 56, 2)
|
“Vector director”P1(2, 4, 3)
|
d  (  1,  6, 2)
z
P2(1, – 2, 5)
|
3
|
|
|
–6
|
|
|
|
–2
|
x
|
|
–1
|
|1
2
|
|
|
|
4
y
Posiciones relativas de rectas en el espacio
Rectas coincidentes
Dos rectas en el plano
λ yμ∈ℝ
L1: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + λ·(dx, dy, dz)
L2: (x, y, z) = (x2, y2, z2) + μ·(bx, by, bz)
son coincidentes si el vector director de L1, el vector director de L2
y el vector director entre (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) son proporcionales
entre sí. O sea:
(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = ·(dx, dy, dz) = ·(bx, by, bz)
Con  y  ∈ ℝ
Ejemplo:
L1: (x, y, z) = (0, 8, 4) + λ ·(– 1, 2, 1)
El vector director entre
(0, 8, 4) y (3, 2, 1) es
(3 – 0, 2 – 8, 1 – 4) = (3, – 6, – 3)
L2: (x, y, z) = (3, 2, 1) + μ ·(– 2, 4, 2)
Como (3, – 6, – 3) = – 3 · (– 1, 2, 1) =
entonces L1 y L2 son coincidentes.
3
2
· (– 2, 4, 2)
Posiciones relativas de rectas en el espacio
Rectas paralelas
Dos rectas en el plano
λ yμ∈ℝ
L1: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + λ·(dx, dy, dz)
L2: (x, y, z) = (x2, y2, z2) + μ·(bx, by, bz)
son paralelas si el vector director de L1 y el vector director de L2
son proporcionales entre sí, pero NO son proporcionales con el
vector director entre (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2). O sea:
(bx, by, bz) = ·(dx, dy, dz)
Con  y  ∈ ℝ
Pero no existe un  tal que (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = ·(dx, dy, dz)
Ejemplo:
L1: (x, y, z) = (3, 1, 0) + λ ·(– 1, 4, 3)
L2: (x, y, z) = (– 1, 1, 2) + μ ·(– 2, 8, 6)
El vector director entre
(3, 1, 0) y (– 1, 1, 2) es
(3 – (– 1) , 1 – 1, 0 – 2) = (4, 0, – 2)
Como (– 2, 8, 6) = 2 · (– 1, 4, 3), pero no existe un  tal que
(4, 0, – 2) =  · (– 1, 4, 3), entonces L1 y L2 son paralelas.
Posiciones relativas de rectas en el espacio
Rectas paralelas
Ejemplo:
L1: (x, y, z) = (3, 1, 0) + λ ·(– 1, 4, 3)
λ yμ∈ℝ
L2: (x, y, z) = (– 1, 1, 2) + μ ·(– 2, 8, 6)
(– 3, L9,8)
2
En L1, si λ = 1,
(x, y, z) = (3, 1, 0) + (– 1, 4, 3)
z
|
(x, y, z) = (2, 5, 3)
|
8
|
|
L
(– 1, 1, 2)
(2, 5, 3) 1
|
En L2, si μ = 1,
(x, y, z) = (– 1, 1, 2) + (– 2, 8, 6)
(x, y, z) = (– 3, 9, 8)
|
3
|
|
|
|
|
|
|
x
3
-3
-1
|
|
(3,
|1 1,
1 0)2
2
|
|
|
|
4 5 6
|
|
|
9
y
Posiciones relativas de rectas en el espacio
Rectas perpendiculares
Dos rectas en el plano
λ yμ∈ℝ
L1: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + λ·(dx, dy, dz)
L2: (x, y, z) = (x2, y2, z2) + μ·(bx, by, bz)
son perpendiculares si:
dx·bx + dy·by + dz·bz = 0
Ejemplo:
L1: (x, y, z) = (3, 1, 0) + λ ·(– 1, 4, 5)
L2: (x, y, z) = (– 2, 1, 4) + μ ·(– 1, 1, – 1)
Como – 1· (– 1) + 4·1 + 5·(– 1) = 0
entonces L1 y L2 son perpendiculares.
λ yμ∈ℝ
Posiciones relativas de rectas en el espacio
Rectas perpendiculares
Ejemplo:
L1: (x, y, z) = (3, 1, 0) + λ ·(– 1, 4, 5)
λ yμ∈ℝ
L2: (x, y, z) = (– 2, 1, 4) + μ ·(– 1, 1, – 1)
En L1, si λ = 1,
(x, y, z) = (3, 1, 0) + (– 1, 4, 5)
z
|
(x, y, z) = (2, 5, 5)
L1
|
8
|
(– 2, 1, 4)
(-3, 2, 3)
(2, 5, 5)
|
|
En L2, si μ = 1,
(x, y, z) = (– 2, 1, 4) + (– 1, 1, – 1)
(x, y, z) = (– 3, 2, 3)
|
3
L2
|
-2 | -3
|
|
|
|
|
(3,1,
|
1 0)2
|
|
3
x
1
2
|
|
|
|
4 5 6
|
|
|
9
y
Posiciones relativas de planos en el espacio
Planos coincidentes
Sean los planos
1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0
2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Entonces, 1 y 2 son coincidentes si:
A1

A2
B1
B2

C1
C2

D1
D2
Ejemplo:
1: 3x + y + 5z – 1 = 0
2: 6x + 2y + 10z – 2 = 0
Como
3
6

1
2

5
10

1
2
, entonces 1 y 2 son coincidentes.
Posiciones relativas de planos en el espacio
Planos paralelos
Sean los planos
1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0
2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Entonces, 1 y 2 son paralelos si:
A1

A2
B1
B2

C1
C2

D1
D2
Ejemplo:
1: 8x – 12y + 20z – 1 = 0
2: 2x – 3y + 5z + 7 = 0
Como
8
2

 12
3

20
5

1
7
, entonces 1 y 2 son paralelos.
Posiciones relativas de planos en el espacio
Planos perpendiculares
Sean los planos
1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0
2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Entonces, 1 y 2 son perpendiculares si:
A1 · A2 + B1 · B2 + C1 · C2 = 0
Ejemplo:
1: 3x + 2y – z + 6 = 0
2: – x + 2y + z + 1 = 0
Como 3·(– 1) + 2·2 – 1·(1) = 0, entonces 1 y 2 son
perpendiculares.
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
1
E
Geometría analítica
Comprensión
2
A
Geometría analítica
ASE
3
D
Geometría analítica
ASE
4
D
Geometría analítica
ASE
5
E
Geometría analítica
Aplicación
6
A
Geometría analítica
Aplicación
7
D
Geometría analítica
Aplicación
8
B
Geometría analítica
Aplicación
9
D
Geometría analítica
ASE
10
B
Geometría analítica
ASE
11
D
Geometría analítica
Aplicación
12
C
Geometría analítica
Aplicación
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
13
D
Geometría analítica
Aplicación
14
B
Geometría analítica
Aplicación
15
C
Geometría analítica
Aplicación
16
C
Geometría analítica
Aplicación
17
E
Geometría analítica
ASE
18
E
Geometría analítica
ASE
19
C
Geometría analítica
ASE
20
B
Geometría analítica
ASE
21
E
Geometría analítica
Aplicación
22
E
Geometría analítica
ASE
23
E
Geometría analítica
Aplicación
24
A
Geometría analítica
ASE
25
B
Geometría analítica
ASE
Pregunta oficial PSU
57. En la figura, se tienen los puntos A(0, 0, 1), B(1, 0, 0) y C(0, 1, 0).
Si M es el punto medio del trazo BC y O es el origen del sistema de ejes
coordenados, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El plano que pasa por O, A y M es perpendicular al que pasa por O, B y C.
II) El plano que pasa por O, A y B es perpendicular al que pasa por A, B y C.
III) El plano que pasa por O, A y B es perpendicular al que pasa por O, A y C.
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
ALTERNATIVA
CORRECTA
C
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014.
Síntesis de la clase
Características del cubo
N° de caras = 6
N° de vértices = 8
N° de aristas = 12
Planos en el espacio
Ecuación general del plano
: Ax + By + Cz + D = 0
Ecuación vectorial del plano
(x, y, z) = P0 + λ ·(P1 – P0) + μ·(P2 – P0)
Área
= 6 · arista2
Ecuación paramétrica del plano
Volumen
Diagonal
= arista3
= arista 3
Diagonal de una de sus caras = arista 2
x = x0 + λ·(x1 – x0 ) + μ·(x2 – x0)
y = y0 + λ·(y1 – y0 ) + μ·(y2 – y0)
z = z0 + λ·(z1 – z0 ) + μ·(z2 – z0)
Posiciones relativas
en el espacio
Coincidencia
Paralelismo Perpendicularidad
Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremos
Poliedros
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Matemática
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